PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 3, The World of Numbers
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3 बटा 8 खोलिए तो digits आते हैं 3, 7, 5 और division रुक जाती है; 5 बटा 11 खोलिए तो 4, 5, 4, 5 चलता ही रहता है — फ़र्क़ digits ने नहीं, remainders ने डाला। 3 बटा 8 के remainders 3, 6, 4 हैं और अगला 0 है, वहीं वह ख़त्म होती है; 5 बटा 11 के remainders 5, 6 और फिर 5 — पहला ही remainder लौट आया, इसलिए block से पहले कुछ नहीं और block सीधे 2 digits का।
मुख्य idea
किसी fraction का decimal या तो रुकता है या दोहराता है — यह कोई देखा हुआ संयोग नहीं है, यही इकलौता नतीजा मुमकिन है, और वजह सिर्फ़ गिनती है। q से भाग दीजिए तो हर remainder q संभावनाओं में से ही एक होगा, इसलिए q steps के भीतर कोई न कोई remainder दूसरी बार आना ही है। 0 आ गया तो division रुक जाती है; कोई और remainder दूसरी बार आ गया तो division का पूरा आगे का सफ़र दोहराने लगता है, क्योंकि अगला step जिस चीज़ पर टिका है वह पूरी की पूरी remainder ही है। तीसरी कोई संभावना है ही नहीं। तो जो decimal न रुकता है न दोहराता है, वह किसी fraction से आ ही नहीं सकता — और यही बात expansion को एक काम का test बना देती है।
आपको क्या आना चाहिए
- decimal point के आगे तक long division कीजिए और हर step पर remainder लिखते जाइए
- किसी दिए हुए whole number से भाग देने पर कौन-कौन से remainders मुमकिन हैं, उनकी list बनाइए और बताइए कि वे कितने हैं
- समझाइए कि कोई remainder आख़िरकार लौटता ही क्यों है, और बताइए कि लौटने से पहले ज़्यादा से ज़्यादा कितने steps निकल सकते हैं
- समझाइए कि लौटा हुआ remainder digits को दोहराने पर मजबूर क्यों कर देता है — remainder को उस state के रूप में पहचानकर जो उसके बाद की हर चीज़ तय करती है
- पहचानिए कि कोई दी हुई division इन दो अंजामों में से किस पर पहुँचती है, और जहाँ ज़रूरत हो वहाँ bar लगाकर नतीजा लिखिए
- सिर्फ़ divisor से ही दोहराते हुए block की लंबाई की upper bound बताइए
- नतीजा निकालिए कि जो decimal न रुकता है न दोहराता है वह rational हो ही नहीं सकता, और बताइए कि यह किस दिशा की reasoning है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| terminating | decimal के बारे में, वह जो रुक जाता है क्योंकि remainder शून्य आ जाता है | सांत | §3.6.1, p. 57 पर छपा है |
| non-terminating | decimal के बारे में, वह जो कभी रुकता ही नहीं | असांत | §3.6.1, p. 58 पर छपा है |
| repeating decimal | वह decimal जिसमें digits का एक block बिना अंत के दोहराता रहता है | आवर्ती दशमलव | §3.6.1, pp. 57–58 पर छपा है |
| repeating block | digits का वह समूह जो दोहराता है | आवर्ती खंड | §3.6.2, p. 61 पर, और Exercise Set 3.5, p. 62 में छपा है |
| remainder | division के हर step पर जो बच जाता है | शेषफल | §3.6.1, pp. 57–58 पर छपा है |
| long division | वह लिखित तरीक़ा जो decimal को एक-एक digit करके निकालता है | दीर्घ भाग | §3.6.1, p. 58 पर छपा है |
| decimal expansion | किसी number का decimal में लिखा हुआ रूप, चाहे कितना भी लंबा हो | दशमलव प्रसार | §3.6, p. 57 पर छपा है |
| pigeonhole principle | गिनती की वह बात कि containers से ज़्यादा items हों तो दो items को एक ही container बाँटना पड़ता है | कोष्ठक सिद्धांत | यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter p. 58 पर यही reasoning इस्तेमाल करता है, पर उसे नाम नहीं देता |
| state of the division | remainder के लिए यहाँ जोड़ा गया नाम — उसे उस चीज़ की तरह देखते हुए जो बाद का हर step तय करती है | — | यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter इतना कहता है कि process लौटती है, पर इन शब्दों में क्यों नहीं समझाता |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "कुछ fractions ऐसे decimals देते हैं जो बिना किसी pattern के हमेशा चलते रहते हैं।" एक भी नहीं देता। गिनती वाला argument हर fraction के लिए इसे ख़ारिज कर देता है, और यही इस section की पूरी बात है।
- "यह इसलिए दोहराता है क्योंकि digits संयोग से लौट आते हैं।" digits इसलिए लौटते हैं क्योंकि remainders लौटते हैं। अकेले digit column को देखने से दोहराव क़िस्मत जैसा लगता है; remainder column को देखने से वह लाज़मी लगने लगता है।
- "remainder 0 भी बस एक और remainder है।" वही एक है जो process को ख़त्म करता है। उसे अलग पहचानना ही दोनों अंजामों को बाँटता है, और chapter ठीक इसी वजह से brackets में उसके बारे में पूछता है।
- "block जितना लंबा चाहो उतना हो सकता है।" उस पर divisor की हद लगी है: ज़्यादा से ज़्यादा q − 1 digits। जिन students को यह bound पता नहीं, वे अपने ही जवाब जाँच नहीं सकते।
- "1/7 का block छह digits का है, तो 1/13 का भी होगा — तेरह बड़ा जो है।" 1/13 का block भी छह digits का ही है, अपनी 12 की bound से काफ़ी नीचे। block की लंबाई divisor के आकार का कोई सीधा function नहीं है, और Q2 इसी पर बना है।
- "जिस decimal में साफ़ pattern दिखे वह repeating है।" ज़रूरी नहीं — pattern होना और एक तय दोहराता हुआ block होना अलग-अलग बातें हैं, और Irrational decimals: an expansion with no stop and no repeating block इसी फ़र्क़ पर टिका है।
- "इससे साबित होता है कि rationals दोहराते हैं, तो दोहराते हुए decimals rational होने ही चाहिए।" वह converse है, और उसके लिए Converting a terminating or repeating decimal back to p/q वाला अलग argument चाहिए। chapter दोनों देता है, अलग-अलग जगहों पर; एक को दूसरे की जगह मत लेने दीजिए।
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पूरा transcript2,000 शब्द
यहाँ 2 fractions हैं। एक है 3 बटा 8, और दूसरा है 5 बटा 11। दोनों को long division से खोलकर देखते हैं। बाईं तरफ़ digits आते हैं 3, फिर 7, फिर 5। और उसके बाद कुछ नहीं आता। वहीं पर division ख़त्म हो जाती है। दाईं तरफ़ digits आते हैं 4, फिर 5, फिर 4, फिर 5। यह कभी रुकती नहीं, बस वही 2 digits दोहराती रहती है। तो सवाल यह है कि इन 2 में फ़र्क़ किसने डाला?
कई students digits में ही जवाब ढूँढ़ने लगते हैं। पर digits को देखकर आप यह नहीं बता सकते। दोनों तरफ़ digits वैसे ही आ रहे हैं, एक-एक करके, और कोई digit यह नहीं बताता कि आगे क्या होगा। इसलिए हम digits नहीं, remainders देखेंगे। यही इस पूरी बात की जड़ है। तो remainders में ऐसा क्या दिखता है जो digits में नहीं दिखा? हर step पर एक digit निकलता है और एक remainder बचता है, और यहाँ हम दोनों को अलग-अलग column में लिख रहे हैं।
left वाली division में देखिए। remainders आते हैं 3, फिर 6, फिर 4। और फिर remainder 0 बचता है। remainder 0 का मतलब है कि अब कुछ बचा ही नहीं। यानी वहीं पर division ख़त्म हो जाती है। अब right वाली division में देखिए। remainders आते हैं 5, फिर 6, और फिर वही 5 दोबारा आ जाता है। यह वही remainder है जो पहले आ चुका था। जो चीज़ digits में छिपी हुई थी, वह remainders में साफ़ दिख रही है।
तो अब तक 2 तरह के अंत दिखे हैं। या तो remainder 0 आ जाता है, या कोई remainder दोबारा आ जाता है। एक step के अंदर आख़िर जाता क्या है? यहाँ उसे खोलकर देखिए। अंदर सिर्फ़ 2 चीज़ें जाती हैं, remainder और divisor। remainder के आगे एक 0 रख दिया जाता है। यही होता है जब हम एक और decimal place निकालते हैं। अब देखिए कि divisor उसमें कितनी बार जाता है।
वह कितनी बार गया, वही digit है। और जो बचा, वही अगला remainder है। 3 बटा 8 का पहला step देखिए। remainder 3 और divisor 8 अंदर गए, digit 3 और remainder 6 बाहर आए। लग सकता है कि पिछले digits भी कुछ न कुछ आगे ले जाते होंगे। पर इस box में और कुछ नहीं जाता, न पिछले digits, न यह कि आप कौन-से step पर हैं, न numerator।
अंदर सिर्फ़ remainder और divisor। इसका मतलब यह है कि division की पूरी हालत सिर्फ़ remainder में है। आगे जो कुछ होगा, वह इसी एक number से तय है। तो एक divisor कितने अलग remainders दे सकता है? 7 से भाग देने पर remainder सिर्फ़ 7 values में से एक हो सकता है, और यहाँ वे सब slots बने हुए हैं। remainder हमेशा divisor से छोटा होता है। अगर वह उतना बड़ा हो जाए, तो divisor एक बार और चला जाता।
पर सबसे बाईं तरफ़ वाले slot को देखिए। 0 इनमें से एक नहीं है, क्योंकि 0 आ गया तो division रुक जाती है। इसलिए division को चलाते रहने वाले remainders सिर्फ़ 6 हैं। किसी भी divisor q के लिए यही बात है। slots होते हैं q, और उनमें से 1 division को ख़त्म कर देता है। यह हमने 2 से 500 तक के 499 divisors पर जाँचा है, और हर एक पर यही निकला।
पर कोई remainder दोबारा आएगा ही, यह हम कैसे कह सकते हैं? एक गिनती की बात पहले। यहाँ ऊपर देखिए, अगर 7 चीज़ें 6 boxes में रखनी हों तो किसी न किसी box में 2 चीज़ें जानी ही हैं। पर यहाँ नीचे देखिए। 6 चीज़ें 6 boxes में रखिए तो ऐसा कुछ ज़रूरी नहीं, हर box में एक जा सकती है। यह rule ज़्यादा होने पर लगता है, बराबर होने पर नहीं।
अब division पर लगाइए। 7 से भाग देने में चलाते रहने वाले slots 6 हैं। तो 7 steps में कोई slot 2 बार भरना ही पड़ेगा। किसी भी divisor q के लिए, q steps के अंदर या तो division रुक जाएगी या कोई remainder दोबारा आ जाएगा। हमने यह 19900 fractions पर चलाकर देखा, जिनके divisors 200 तक हैं। कोई भी q steps से आगे नहीं गया। यह कोई इत्तिफ़ाक़ नहीं है जो fractions में दिख जाता है।
गिनती इसे मजबूर कर देती है। अब 1 बटा 7 को पूरा खोलकर देखिए। कई students को लगता है कि इसके digits बेतरतीब आते हैं, तो क्या सच में ऐसा है? शुरू का remainder 1 है। digits आते हैं 1, 4, 2, 8, 5, 7। यानी 1 बटा 7 है 0.142857, और यही दोहराता रहता है। और remainders आते हैं 1, 3, 2, 6, 4, 5। हर step पर एक digit और एक remainder, साथ-साथ।
7वें step पर remainder फिर से 1 हो जाता है। वहीं से सब कुछ दोबारा शुरू हो जाता है। यहाँ नीचे slots देखिए। चलाते रहने वाले सब 6 remainders इस्तेमाल हो गए, और 0 एक बार भी नहीं आया। digits का चक्कर और remainders का चक्कर साथ-साथ पूरा होता है, क्योंकि वे 2 चक्कर हैं ही नहीं। वह एक ही चक्कर है, 2 तरह से लिखा हुआ। अब 2 अलग divisions लीजिए जो किसी step पर एक ही remainder पर पहुँच जाती हैं।
पहली नज़र में लगता है कि अलग fractions आगे भी अलग ही चलेंगे। पर उसके बाद दोनों में बिल्कुल वही digits आते हैं, क्योंकि आगे का हिसाब सिर्फ़ उसी remainder से होता है। एक भी जगह फ़र्क़ नहीं पड़ता। पर ऐसा क्यों होता है? यहाँ box को फिर से देखिए, इसमें remainder और divisor के अलावा कुछ जाता ही नहीं। जहाँ से आए थे, उसका कोई निशान बचता ही नहीं।
सातवें हिस्सों को देखिए। छहों के blocks एक ही चक्कर हैं, बस हर एक उसमें अलग जगह से घुसता है। हमने यह 1806 states पर जाँचा। इनमें से 1113 पर 1 से ज़्यादा जगह से पहुँचा गया, और असली जाँच उन्हीं पर है। एक ही state से आगे हमेशा एक ही रास्ता निकलता है। यहाँ board पर वह remainder 2 बार निशान लगा हुआ है। जहाँ कोई remainder दोबारा आता है, वहाँ division उसी state में लौट आती है जहाँ वह पहले थी।
उस पहली जगह से आगे का हिस्सा उठाकर दूसरी जगह पर रख दीजिए। दोनों बिल्कुल एक-दूसरे पर बैठ जाते हैं। तो आगे क्या होगा? यह सिर्फ़ एक बार नहीं होता। जो block एक बार बना, वही आगे हमेशा बनता रहेगा, क्योंकि हर बार वही state लौट आती है। हमने यह 6392 ऐसी divisions पर जाँचा जो रुकती नहीं, और हर एक पर अगले 60 steps हूबहू वही निकले। अगर आप ग़लत जगह पर लौटें तो पहले ही step पर फ़र्क़ दिख जाता है।
2502 ऐसी divisions पर हमने यह करके देखा। इसकी वजह यह है कि step को उलटा भी किया जा सकता है। digit और अगले remainder से पिछला remainder वापस निकल आता है। इसलिए 2 अलग remainders कभी एक ही जोड़ी नहीं दे सकते। अब दोनों अंत साथ रखकर देखिए। left में remainder 0 आ जाता है, और right में कोई remainder लौट आता है। 0 आने पर आगे कुछ बचता नहीं, इसलिए division वहीं रुक जाती है।
बाक़ी कोई भी remainder division को आगे चला देता है। यहाँ हो सकता है कि तुम 0 को भी एक आम remainder मान रहे हो। पर जो division दोहराती है, उसके remainder column में 0 कहीं नहीं मिलेगा। हमने यह 19900 fractions पर जाँचा है। उन 19900 में से 1680 रुक जाती हैं और 18220 दोहराती हैं। तो क्या कोई तीसरा ढेर भी है? वह खाली रह जाता है। तीसरा ढेर मिल ही नहीं सकता, क्योंकि हर step पर remainder या तो 0 होता है या नहीं।
इसलिए fraction के decimal के पास सिर्फ़ 2 रास्ते हैं। या तो वह रुक जाता है, या वह दोहराने लगता है। एक block कितना लंबा हो सकता है? हर नया remainder एक digit देता है, और चलाते रहने वाले remainders q से 1 कम हैं। इसलिए block ज़्यादा से ज़्यादा q से 1 कम digits का हो सकता है। table में देखिए। 11 के लिए हद 10 है और block 2 digits का निकलता है।
7 के लिए हद 6 है और block ठीक 6 digits का निकलता है। 19900 fractions में एक भी block इस हद से लंबा नहीं निकला। और यह हद ढीली नहीं है। इसे 1 और नीचे कर दीजिए तो 19900 में से 1564 उसे तोड़ देते हैं। इसका फ़ायदा यह है कि अपना जवाब आप ख़ुद जाँच सकते हैं। block divisor से लंबा निकल आए तो कहीं ग़लती हुई है।
7 का block 6 digits का है। यहाँ कई students को लगता है कि 13 बड़ा है, तो उसका block भी लंबा होगा। सही है क्या? 1 बटा 13 खोलिए तो digits आते हैं 0, 7, 6, 9, 2, 3। यानी 0.076923, और block फिर से 6 digits का। table में नीचे देखिए। 13 के लिए हद 12 है, पर block सिर्फ़ 6 digits का निकला, यानी हद का आधा।
तो बाक़ी आधा कहाँ गया? सातवें हिस्सों के सब blocks एक ही चक्कर के हैं। पर तेरहवें हिस्सों के blocks 2 अलग चक्करों में बँट जाते हैं, हर चक्कर 6 का। तो 13 का block छोटा नहीं है। उसके remainders 2 चक्करों में बँटे हुए हैं, और हर fraction उनमें से किसी एक में बैठता है। block की लंबाई divisor के बड़े होने से तय नहीं होती। यहाँ 10 बटा 3 को खोलकर देखिए।
पूरा हिस्सा 3 है, और उसके बाद digit 3 आता रहता है। यानी block सिर्फ़ 1 digit का है, और वह पहले ही digit से शुरू हो जाता है। अब 11 बटा 12 खोलिए। digits आते हैं 9, फिर 1, और उसके बाद 6 दोहराता रहता है। तो क्या यह तीसरी तरह का अंत है? ऐसा बिल्कुल नहीं है। यह वही दोहराने वाला अंत है, बस block के आगे कुछ digits और खड़े हैं, इसलिए तस्वीर अलग लगती है।
यहाँ गिनती देखिए। 19900 fractions में से 7312 इसी शक्ल के हैं, इसलिए यह कोई किनारे का मामला नहीं है। जो digits पहले लौटने वाले remainder से पहले निकलते हैं, वही head हैं। rule वही है, तस्वीर थोड़ी अलग है। यह digits देखिए। 1, फिर 0, फिर 1, फिर 2 zeros, फिर 1, फिर 3 zeros। इसमें साफ़ pattern है। पर pattern होना और block होना 2 अलग बातें हैं।
block का मतलब है digits का एक टुकड़ा जो हूबहू दोहराता रहे। यहाँ हर बार zeros की गिनती बढ़ जाती है, इसलिए ऐसा कोई टुकड़ा है ही नहीं। तो क्या कहीं कोई block छिपा हुआ है? हमने 300 digits लिखकर हर head और हर block को 100 तक आज़माया। एक भी फ़िट नहीं बैठा। खाली जवाब तभी कुछ कहता है जब वही search कहीं और जवाब दे चुका हो। उसी search ने 1 बटा 7 का block ढूँढ़ लिया, 11 बटा 12 का head और block भी, और 3 बटा 8 को zeros दोहराता हुआ पढ़ लिया।
तो यह digits किसी fraction से नहीं आ सकते। क्योंकि हर fraction या तो रुकता है या दोहराता है, और यह दोनों नहीं करता। इसी वजह से decimal expansion एक test बन जाता है। number को देखे बिना, उसके digits से आप बता सकते हैं कि वह fraction है या नहीं। जो हमने साबित किया वह यह है। कोई fraction लीजिए, उसका decimal या तो रुकेगा या दोहराएगा। board पर वही line उलटी खिंची है।
कोई decimal न रुके और न दोहराए, तो वह किसी fraction से नहीं आया। यह वही statement है, दूसरी तरफ़ से लिखी हुई। पर क्या उलटा दावा भी अपने आप मिल गया? कई students यही मान लेते हैं। दोहराने वाला हर decimal किसी fraction से आता है — यह इस video ने साबित नहीं किया। एक छोटा example लीजिए। 1 से 100 तक का हर square एक positive number है।
पर उलटा सच नहीं है। यहाँ लाल रंग में देखिए। उन 100 positives में से 90 squares हैं ही नहीं। तो एक बात सच होने से उसका उलटा सच नहीं हो जाता। इस पूरे topic में कहीं भी कोई मुश्किल हिसाब नहीं लगा। सिर्फ़ गिनती लगी। remainders की गिनती सीमित है, इसलिए कोई न कोई दोबारा आना ही है, और वहीं से आगे सब कुछ तय है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- What "rational" means, and why the denominator cannot be zeroकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers
- Proof by contradiction: why √2 cannot be a ratio of integersकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers
आगे फिर कहाँ आता है
- Predicting the expansion from the denominator's prime factorsकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers
- Converting a terminating or repeating decimal back to p/qकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers
- Cyclic numbers: the hidden symmetry inside 1/7कक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers
- Irrational decimals: an expansion with no stop and no repeating blockकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers
- Experimental probability: relative frequency over many trialsकक्षा 9 · Ch 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
- Theoretical probability: counting favourable outcomes when all are equally likelyकक्षा 9 · Ch 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- π: from Āryabhaṭa's approximation to Mādhava's infinite seriesकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers