PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to ProbabilityPrepShorts

Chapter 7 · The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability

सैद्धांतिक प्रायिकता: सब समसंभाव्य हों तो अनुकूल परिणाम गिनना

Two honest ways to get a number14 मिनट

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पिछली बार मौका एक रिकॉर्ड से निकला था। इस बार कुछ चलाया ही नहीं जाता — एक बार भी नहीं — और फिर भी number निकल आता है। मेज पर न कोई tally है, न कोई रिकॉर्ड; सिर्फ एक बात मान ली गई है, कि जिन जवाबों को आप गिन रहे हैं उन सबका मौका आपस में बराबर है। बहुत से students उस formula को probability की definition मान लेते हैं। वह definition नहीं है; वह एक नतीजा है, और यह पूरा video उसी एक शर्त के बारे में है।

मुख्य idea

"अनुकूल बटा संभव" प्रायिकता का अर्थ नहीं है; वह एक नतीजा है जो एक शर्त के नीचे टिकता है, और सारी सामग्री उसी शर्त में है। गिनती तभी प्रायिकता देती है जब जो चीज़ें गिनी जा रही हैं वे समसंभाव्य हों, और उन्हें समसंभाव्य बनाने वाली इकलौती चीज़ हमेशा सममिति ही होती है — एक जैसे फलकों वाला घन, एक ही नाप पर कटे cards, एक ही तरह मोड़ी हुई पर्चियाँ। तो सिखाया जा रहा कौशल भाग देना नहीं है; वह यह चुनना है कि गिनना क्या है। chapter का अपना Example 4 यही प्रदर्शन है: PROBABILITY में अक्षर B की प्रायिकता 2/11 है क्योंकि छपे हुए ग्यारह अक्षर-स्थान समसंभाव्य हैं, और 1/9 वह है जो नौ अलग अक्षर गिनने से मिलता है, जो समसंभाव्य नहीं हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • सैद्धांतिक प्रायिकता का सूत्र बताइए और वह मान्यता भी जो उसे चाहिए
  • समझाइए कि "समसंभाव्य" क्या माँगता है, और सममिति को उसके टिकने का आम कारण बताइए
  • पासे, सिक्के, cards के समुच्चय और किसी spinner के लिए किसी नामित outcome की सैद्धांतिक प्रायिकता निकालिए
  • sample space ऐसे चुनिए कि उसके अवयव समसंभाव्य हों, और किसी शब्द के अक्षरों से समझाइए कि यह चुनाव क्यों मायने रखता है
  • किसी बताए हुए प्रयोग के लिए तय कीजिए कि उसके outcomes समसंभाव्य हैं या नहीं, और अपने फ़ैसले को सही ठहराइए
  • कंचों की थैली से यह अलग कीजिए कि किस प्रयोग के outcomes समसंभाव्य हैं और किसके वर्ग नहीं हैं
  • chapter का संकेत P(Event) और P(Outcome) सही-सही बरतिए
  • प्रायोगिक और सैद्धांतिक रास्तों की तुलना इस पर कीजिए कि हर एक क्या मान लेता है और हर एक को क्या चाहिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
theoretical probabilityखरे उतरने वाले outcomes की गिनती, उन सबकी गिनती के ऊपर, जब सब समसंभाव्य होंसैद्धांतिक प्रायिकता§7.2 के दूसरे रास्ते की तरह (p. 159) bold में छपा है और §7.2.2 (p. 161) में परिभाषित है
equally likelyऐसे outcomes के बारे में जिनमें से किसी को तरजीह देने का कोई कारण न होसमसंभाव्य§7.2.2 (p. 161) में bold में छपा है; §7.2 की अपनी टीका यह है कि किसी outcome को तरजीह मिलने का कोई कारण नहीं है (p. 159)
perfectly fair situationउस आदर्श रूप के लिए chapter का वाक्यांश जिसका वर्णन सैद्धांतिक प्रायिकता करती हैपूर्णतः निष्पक्ष स्थिति§7.2.2 (p. 161) में bold में छपा है
favourable outcomesवे outcomes जो घटना के घटने में गिने जाते हैंअनुकूल परिणाम§7.2.2 (p. 161) के सूत्र में छपा है
possible outcomesहर वह outcome जो प्रयोग दे सकता हैसंभावित परिणाम§7.2.2 (p. 161) के सूत्र में छपा है
P(Event)किसी नामित घटना की प्रायिकता के लिए chapter का संकेतP(घटना)§7.2.2 (p. 161) में P(Outcome) के साथ छपा है
symmetricalऐसे गढ़ा हुआ कि किसी पक्ष को तरजीह न मिले — सिक्के के न्यायसंगत होने का chapter का कारणसममितFAIR AND UNBIASED box (p. 164) में छपा है
standard dieऐसा घन जिस पर 1 से 6 तक की संख्याएँ हों, हर फलक पर एकमानक पासा§7.2.2 के Example 3 (p. 161) में और घटनाओं वाली table (p. 158) में छपा है
at randomऐसे ढंग से कि किसी outcome को बढ़त न मिलेयादृच्छिक रूप से§7.2.2 के Example 4 (p. 161) में और पूरे exercises में छपा है
equally likely categoriesoutcomes के ऐसे समूह जो संयोग से एक ही आकार के होंसमान आकार के वर्गयहाँ जोड़ा गया वाक्यांश, सिर्फ़ section 8 के फंदे को नाम देने के लिए बरता गया; chapter इसे कोई नाम नहीं देता
granularity of the sample spaceगिनने से पहले outcomes कितनी बारीकी से बाँटे गए हैंप्रतिदर्श समष्टि की सूक्ष्मतायहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter यह चुनाव दो बार करता है और उसे नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण यहाँ नहीं देखा गया।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "सैद्धांतिक यानी सच्चा, प्रायोगिक यानी लगभग।" सैद्धांतिक किसी आदर्श रूप के बारे में बिलकुल सही है। वह आदर्श रूप आपके सामने रखी चीज़ है या नहीं, यह अलग सवाल है, और कितना भी सिद्धांत उसका जवाब नहीं देता।
  • "जो-जो अलग चीज़ें हो सकती हैं, उन्हें गिनिए।" PROBABILITY में नौ अलग अक्षर हैं और ग्यारह समसंभाव्य स्थान। ग़लत वाले को गिनने से 1/9 मिलता है, 2/11 की जगह।
  • "दो मुमकिन नतीजे हैं, तो हर एक की प्रायिकता आधी।" car या तो start होती है या नहीं। End-of-Chapter Q3 (i) किताब में इसी को मारने के लिए है।
  • "रंग outcomes होते हैं।" जिस थैली में 3 लाल कंचे 7 नीले कंचों के सामने हों, वहाँ दसों कंचे समसंभाव्य outcomes हैं; लाल और नीला असमान आकार के समूह हैं।
  • "शिशु लड़का होता है या लड़की, तो ठीक 1/2।" लगभग, ठीक नहीं, और यह chapter आपको दोनों ओर कोई प्रमाण नहीं देता। ईमानदार जवाब मान्यता का नाम लेता है।
  • "सूत्र ही प्रायिकता की परिभाषा है।" वह एक तरीक़ा है जो एक बताई हुई शर्त के नीचे चलता है। शर्त गिरते ही — Exercise Set 7.2 Q4 वाला कप — सूत्र के पास कहने को कुछ नहीं बचता और प्रायोगिक रास्ता कमान सँभाल लेता है।
  • "P कोई चीज़ है जिससे गुणा किया जाता है।" P(Event) एक संकेत है जो किसी संख्या का नाम लेता है, जैसे sin θ लेता है। गुणा कुछ भी नहीं हो रहा।
  • "आठ रंगीन त्रिज्यखंडों वाला spinner इसलिए न्यायसंगत है कि रंग अलग-अलग हैं।" वह न्यायसंगत है, अगर है, तो इसलिए कि त्रिज्यखंड बराबर हैं और घुमाव पक्षपाती नहीं। रंग सजावट है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 7.2 Q5, End-of-Chapter Exercises Q3, End-of-Chapter Exercises Q4, End-of-Chapter Exercises Q5, End-of-Chapter Exercises Q9, End-of-Chapter Exercises Q12

पूरा transcript2,185 शब्द

पिछली बार हमने रिकॉर्ड से मौका निकाला था। अब दूसरा तरीका, जिसमें कुछ चलाया ही नहीं जाता — एक बार भी नहीं — और फिर भी number निकल आता है। मेज खाली है — न कोई tally, न कोई रिकॉर्ड, न data। सिर्फ एक बात मान ली गई है, और पूरा तरीका उसी एक मान्यता पर टिका है। वह मान्यता यह है कि जिन जवाबों को आप गिन रहे हैं, उन सबका मौका आपस में बराबर है।

ऐसे जवाबों को बराबर मौके वाले जवाब कहते हैं, और यही इस पूरे video का असली विषय है। बहुत से students इस formula को probability की definition मान लेते हैं। यह definition नहीं है; यह एक नतीजा है जो एक शर्त पूरी होने पर ही मिलता है, और आज की पूरी बात उसी शर्त के बारे में है। तो सवाल यह है: यह मान्यता आती कहाँ से है? die के 6 फलक बराबर क्यों माने जाते हैं — सिर्फ इसलिए कि वे 6 हैं, या कोई और वजह भी है?

जवाब है symmetry, और symmetry कोई भावना नहीं है — उसे गिना जा सकता है। गिनिए कि cube को कितने तरीकों से घुमाकर ठीक उसी जगह वापस बिठाया जा सकता है। ऐसे घुमाव कुल 24 हैं। पूरी पट्टी बोर्ड पर है — हर घुमाव के बाद cube वहीं का वहीं बैठता है, बस उसके फलक आपस में जगह बदल लेते हैं। और 24 के 24 सचमुच 6 फलकों की साफ अदला-बदली हैं: कोई फलक गायब नहीं होता, और कोई 2 फलक एक ही जगह पर नहीं आ जाते।

अब ऊपर वाले फलक पर उंगली रखिए और सारे 24 घुमाव चलाइए। वह फलक कहाँ-कहाँ पहुँचता है? छहों जगह — ऊपर, नीचे, सामने, पीछे और दोनों बगल। यानी छहों फलक एक ही टोली में हैं — पूरी 1 टोली। कोई फलक ऐसा नहीं जो इस टोली से बाहर रह जाता हो। अब उल्टा गिनिए: किसी एक फलक को जहाँ का तहाँ रखने वाले घुमाव कितने हैं? ठीक 4, और हर फलक के लिए यही 4।

6 फलकों के 4-4 मिलकर पूरे 24 बन जाते हैं। उन्हीं 24 को दूसरी तरह भी बाँटा जा सकता है: 14 ऐसे हैं जिनके बाद कोई भी फलक अपनी पुरानी जगह पर नहीं बचता, 9 ऐसे जो ठीक 2 फलक टिकाए रखते हैं, और 1 ऐसा जो सबको जहाँ का तहाँ छोड़ देता है। 14, 9 और 1 जोड़िए तो 24 — पूरा हिसाब बैठ गया। और यही 'आपस में बदले जा सकना' है: यही वह वजह है जिसके कारण 6 फलकों का मौका बराबर माना जाता है।

अब एक चीज बदलिए और एक फलक के अंदर वजन चिपका दीजिए। वही सवाल दोहराइए — कितने घुमाव अब भी cube को सचमुच वैसा ही छोड़ते हैं? 24 नहीं, सिर्फ 4। बचे हुए 4 घुमावों से फलक 3 अलग टोलियों में बँट जाते हैं। इन टोलियों के आकार हैं 1, 1 और 4। ऊपर वाला फलक अब सामने वाले तक पहुँच ही नहीं सकता। बगल के 4 फलक आपस में अब भी बदले जा सकते हैं, पर ऊपर और नीचे अकेले खड़े रह जाते हैं।

ध्यान दीजिए कि 6 अब भी बिल्कुल सही गिनती है — फलक 6 ही हैं। वजन ने गिनती नहीं तोड़ी, वजन ने वह दलील तोड़ी है जो उन 6 को बराबर बनाती थी। अब formula लिखते हैं। ऊपर काम के जवाबों की गिनती, नीचे सारे मुमकिन जवाबों की गिनती। दोनों तीर बोर्ड पर हैं — और दोनों गिनतियाँ बिना कुछ चलाए हो जाती हैं। पर यह formula हर गिनती स्वीकार नहीं करता।

इनमें से किसे मना कर देना चाहिए — बराबर मौके वाली बात कहे बिना दी गई गिनती, घटाकर लिखी गिनती, कुल से बड़ी गिनती, या ऐसा प्रयोग जिसमें कोई जवाब है ही नहीं? चारों को मना किया जाता है, और चारों पर cross लगा है। साथ में एक आम गिनती रखी है जिसे मना नहीं किया जाता — उसके बिना ये चारों मना करना कुछ साबित न करते। इनमें पहला वाला सबसे जरूरी है: अगर आप यह नहीं कह सकते कि जवाब बराबर मौके वाले हैं, तो भाग करने का हक ही नहीं मिलता।

एक सही die फेंकिए और 4 आने का मौका निकालिए। काम के जवाब 1 — सिर्फ वह फलक जिस पर 4 लिखा है — और मुमकिन जवाब 6। तो जवाब है 1 बटा 6। दशमलव में यह 3 जगह तक 0 दशमलव 1 6 7 है। और इसी को 16 दशमलव 7 प्रतिशत भी लिखा जा सकता है। यहाँ एक छोटी सी गलती अकसर होती है: यह 0 दशमलव 1 6 6 नहीं है।

3 जगह तक सही लिखाई 0 दशमलव 1 6 7 ही है, और दूसरी वाली पर cross लगा है। छहों फलकों के मौके जोड़िए तो पूरा 1 आता है — जैसा आना ही चाहिए, क्योंकि कोई न कोई फलक तो ऊपर आएगा ही। अब वही सवाल उस वजन वाले die पर पूछिए। formula कुछ कहता ही नहीं — वह मना कर देता है, क्योंकि जिस शर्त पर वह चलता है वह टूट चुकी है।

अब एक शब्द। बोर्ड पर PROBABILITY को 11 अलग-अलग tile में तोड़ा गया है, हर letter की अपनी जगह। इन 11 में अलग-अलग letter 9 हैं। दोहराए गए letter सिर्फ 2 हैं — B और I — और ये दोनों ठीक 2-2 बार आते हैं। बाकी सब 1-1 बार। पूरी गिनती जोड़िए तो 11 वापस आ जाता है, यानी कोई letter छूटा नहीं और कोई 2 बार नहीं गिना गया।

अब बिना देखे एक जगह चुनिए। B आने का मौका 2 बटा 11 है, क्योंकि 11 जगहों में से 2 पर B बैठा है। दशमलव में यह 0 दशमलव 1 8 2 है, यानी 18 दशमलव 2 प्रतिशत। और I का मौका भी ठीक इतना ही है — 2 बटा 11। अब सिर्फ vowel वाली जगहें जलाइए। ऐसी जगहें 4 हैं, इसलिए vowel आने का मौका 4 बटा 11 है।

और अगर हर letter का मौका जोड़ दिया जाए तो पूरा 1 बनता है। कुछ बाहर नहीं छूटा, और यही जाँच बताती है कि गिनती पूरी थी। ध्यान दीजिए कि हर बार चाल एक ही थी: जगहें गिनो, letter नहीं। अब वह गलती करके देखते हैं जो सबसे ज्यादा होती है। अगर कोई कहे कि अलग-अलग letter 9 हैं और B उनमें से 1 है, तो उसका जवाब 1 बटा 9 आएगा।

यह जवाब गलत क्यों है? पहले नाप लीजिए कि फर्क कितना है। 2 बटा 11 और 1 बटा 9 के बीच का फासला 7 बटा 99 है, और 1 बटा 9 छोटा पड़ता है। एक ही शब्द से 2 अलग जवाब निकल आए, और ये सचमुच 2 अलग number हैं — एक ही number के 2 नाम नहीं। फर्क सिर्फ इतना था कि गिना क्या गया, और उतने से ही जवाब बदल गया।

वजह यह है। उन 9 letter का मौका आपस में बराबर है ही नहीं। उनमें 2 तरह के मौके हैं — 7 letter 1 बटा 11 पर, और 2 letter 2 बटा 11 पर। हर letter का मौका उसकी अपनी जगहों के मौके जोड़कर बनता है। B की 2 जगहें हैं, इसलिए उसका मौका दुगना बैठता है। दूसरी तरफ 11 जगहों का मौका आपस में बिल्कुल बराबर है, हर एक 1 बटा 11।

इसीलिए 11 गिनने लायक हैं और 9 नहीं। यह मत सोचिए कि 1 बटा 9 वाला रास्ता थोड़ा कच्चा है। वह गलत है, क्योंकि उसने बराबर मौके वाली शर्त तोड़कर भाग किया। इसके नीचे एक आम नियम है। किसी बराबर मौके वाले समूह को टोलियों में बाँटिए। वे टोलियाँ तभी बराबर मौके वाली होंगी जब उनका आकार एक जैसा हो। इस नियम को 6 मामलों पर चलाया गया और छहों पर यह सही निकला।

और यह सबको हाँ नहीं कहता — 6 में से 4 को हाँ मिली और 2 को ना। खाली टोली वाले बंटवारे को यह मना कर देता है, क्योंकि जिस टोली में कुछ है ही नहीं उसका आकार दूसरों से मिलाने का कोई मतलब नहीं बनता। अब वही नियम शब्द पर लगाइए: अलग-अलग letter वाला बंटवारा इस नियम पर खरा नहीं उतरता, और 11 जगहों वाला बंटवारा खरा उतरता है।

अब यही चीज एक थैली पर। थैली में 10 marble हैं — 3 बैंगनी और 7 नीले — और बिना देखे उनमें से 1 निकालना है। हर एक marble का मौका 1 बटा 10 है, और ये 10 आपस में बराबर मौके वाले हैं। यही वह गिनती है जो भरोसे लायक है। पर रंग बराबर नहीं हैं। बैंगनी का मौका 3 बटा 10 है और नीले का 7 बटा 10।

जोड़िए तो 1 बनता है, फिर भी इनमें से कोई आधा नहीं है। तो एक ही थैली से जवाब बदल जाता है — इस पर कि आप जवाब किसे कह रहे हैं, marble को या रंग को। अब एक test, जो इस पूरे विषय की असली परीक्षा है। बोर्ड पर 5 प्रयोग रखे हैं। इनमें से किन-किन के जवाब बराबर मौके वाले हैं? सबसे पहले वे लीजिए जिन्हें तय ही नहीं किया जा सकता — ऐसे 2 हैं।

एक गाड़ी जो या तो चल पड़ती है या नहीं चलती, और एक नया बच्चा। इनका जवाब आधा-आधा नहीं है। इनके बारे में जो बताया गया है उसमें गिनने लायक कुछ है ही नहीं, इसलिए ईमानदार जवाब मना करना है, बाँट देना नहीं। बचे 3, और इन्हें तय किया जा सकता है: 2 में जवाब बराबर मौके वाले हैं और 1 में नहीं। coin और die हाँ, और रंग से निकाला गया marble ना।

यहाँ एक आदत तोड़नी है। '2 ही तो जवाब हैं, इसलिए हर एक आधा' — यह दलील अपने आप में कभी काम नहीं करती। 10 को 2 टोलियों में बाँटने के जितने तरीके हैं, उनमें ठीक 1 ही ऐसा है जिसमें दोनों टोलियाँ बराबर होती हैं। बाकी सब में नहीं। यानी '2 जवाब' से आधा नहीं निकलता। आधा तब निकलता है जब दोनों टोलियों का आकार बराबर हो, और वह अलग से जाँचना पड़ता है।

अब कुछ तेज गिनतियाँ, और सबमें चाल वही एक है। die पर सम फलक 3 हैं, तो सम आने का मौका आधा। 10 card में सम number 5 हैं, तो वहाँ भी आधा। दोनों जगह जवाब एक ही निकला, हालाँकि एक जगह 6 में से 3 थे और दूसरी जगह 10 में से 5। die पर 4 से बड़े फलक 2 हैं, तो वह मौका 1 बटा 3। एक थैली में 6 ball हैं और उनमें 3 बैंगनी नहीं हैं, तो 'बैंगनी नहीं' का मौका आधा।

और 3 candy, तीनों अलग-अलग किस्म की — हर एक का मौका 1 बटा 3। यहाँ किस्में और चीजें एक ही हैं, इसीलिए यहाँ वह जाल बन ही नहीं सकता। अब वही दोहराव एक छोटे शब्द में। PEACE के 5 letter 5 card पर लिखे हैं। अलग-अलग letter 4 हैं, क्योंकि E 2 बार आता है। P, E या C निकलने का मौका 4 बटा 5 है — 5 card में से 4 इन्हीं के हैं।

और E न निकलने का मौका 3 बटा 5 है। ध्यान दीजिए कि गिनती फिर card की हुई, letter की नहीं। अब एक घूमने वाला wheel, जिस पर 8 number लिखे हैं और बीच में एक arrow लगा है। किसी एक बताए हुए number पर रुकने का मौका 1 बटा 8 है। इनमें विषम 4 हैं, तो विषम आने का मौका आधा। 2 से बड़े 6 हैं, तो वह मौका 3 बटा 4।

9 से छोटे सारे 8 हैं, इसलिए वह मौका पूरा 1 है — यह पक्का है। और 3 के गुणज 2 हैं, तो वह मौका 1 बटा 4। एक sector का माप देखिए — 45 degree। और ऐसे 8 sector मिलकर पूरे 360 degree भर देते हैं, इसलिए कोई sector दूसरे से बड़ा नहीं है। फिर भी एक बात साफ रहे: बराबर मौके वाली बात यहाँ हमें बताई गई है, हमने चित्र देखकर तय नहीं की।

असली wheel सचमुच सही घूमता है या नहीं, यह चित्र से कभी साबित नहीं होता। अब 3 कड़ी गिनतियाँ बाकी हैं, और इनमें मुश्किल हिस्सा गिनना है, शर्त नहीं। 2 dice फेंकिए — कुल जवाब 36 हैं। जोड़ अभाज्य हो और 5 से बड़ा हो, ऐसे जोड़ सिर्फ 7 और 11 हैं। 7 बनने के 6 तरीके हैं और 11 बनने के 2। मिलाकर 36 में से 8 जोड़े काम के, यानी मौका 2 बटा 9।

अब 4 अंकों से बिना दोहराए बनने वाले number — ऐसे 24 हैं। इनमें से 12 सम हैं, इसलिए सम होने का मौका आधा। और 4-4 विकल्प वाले 3 सवालों में अटकल लगाने के 64 तरीके हैं। ठीक 2 सही होने वाले 9 हैं, तो मौका 9 बटा 64, दशमलव में करीब 0 दशमलव 1 4 1। और तीनों सही होना इससे भी कम मौके की बात है, क्योंकि उसके लिए तीनों अटकलें एक साथ सही बैठनी पड़ेंगी।

अब दोनों रास्ते साथ रखिए। एक रिकॉर्ड पर टिका है और कुछ मानता नहीं; दूसरा एक मान्यता पर टिका है और कोई data माँगता नहीं। पहला आपको यह नहीं बता सकता कि अगली बार क्या होगा। दूसरा आपको यह नहीं बता सकता कि आपके हाथ में पड़ी चीज सचमुच वैसी है या नहीं। इसीलिए formula probability की definition नहीं है। गिनती तभी number देती है जब गिनी जा रही चीजें बराबर मौके वाली हों, और वह शर्त formula के ऊपर बैठती है, नीचे नहीं।

और यही इस video का असली हुनर है — भाग करना नहीं, बल्कि यह तय करना कि गिनना किसे है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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