terminating या repeating decimal को वापस p/q में बदलना

0:000.35 — यह decimal रुक जाता है। point के बाद 2 digits हैं और उसके आगे कुछ नहीं। इसे fraction बनाने में कोई trick नहीं है। 0.35 यानी 35 बटा 100, क्योंकि point के बाद 2 digits थीं। और आख़िर में lowest terms। 35 बटा 100 reduce होकर 7 बटा 20 बनता है। नीचे 10 की जो power आई, वह digits की गिनती है। point के बाद 2 digits, तो 10 का square।

0:29और इसके आगे जहाँ भी काटो, number वही रहता है। ऐसे 5 decimals पर 46 जगह काटा गया और एक बार भी फ़र्क़ नहीं पड़ा। पर आख़िरी digit से पहले काटो तो number बदल जाता है। यानी आगे का tail सचमुच noughts का है — यह मान लिया हुआ नहीं है। तो रुकने वाले decimal का काम ख़त्म। असली सवाल तब शुरू होता है जब decimal रुकता ही नहीं। अब यह वाला decimal — 0.666, और 6 चलते ही रहते हैं, board के किनारे से बाहर निकलकर।

1:02पिछला तरीक़ा यहाँ रुक जाता है। नीचे 10 की power लिखने के लिए आख़िरी digit चाहिए, और आख़िरी digit है ही नहीं। एक पल रुककर सोचो। अगर आख़िरी digit ही नहीं है, तो नीचे 10 की कौन सी power लिखी जाएगी? इसका जवाब है, कोई नहीं — 10 की हर power एक ऐसा decimal देती है जो रुक जाता है, और यह रुकता नहीं। कई students यहाँ कहते हैं कि थोड़ा round कर लो।

1:29पर 0.666 एक अलग number है — वह रुक जाता है, यह नहीं। तो सवाल बदल जाता है। fraction ढूँढ़ने से पहले इस tail से पीछा छुड़ाना पड़ेगा। इसे x कह दो। x बराबर 0.666, और आगे भी वही 6। अब इसे 10 से multiply करो। point एक जगह खिसक जाता है और सामने एक 6 आ जाता है। अब दोनों rows को एक के नीचे एक देखो। point के बाद दोनों में वही digits हैं, वही column में।

2:03यह इत्तिफ़ाक़ नहीं है। दूसरा number पहले वाले से ही बनाया गया है, इसीलिए उसकी tail बिलकुल वही है। और जब 2 चीज़ें बिलकुल एक जैसी हों, तो घटाने पर कुछ बचता नहीं। tail चली जाती है। 10x में से x घटाओ तो दाईं तरफ़ सिर्फ़ 6 बचता है। पूरी endless tail ग़ायब। बाईं तरफ़ 10x में से एक x गया, तो 9x बचा। यानी 9x बराबर 6। अब यह एक साधारण equation है।

2:35इसे solve करो तो x बराबर 6 बटा 9। और reduce करके 2 बटा 3। यही वह fraction है जिसका decimal शुरू में लिखा गया था। उल्टा करके भी देख लो। 2 बटा 3 को divide करो तो वही 0.666 वापस आता है, तो दोनों दिशाएँ एक ही number पर मिलती हैं। और 9 कहाँ से आया? पहली नज़र में यह एक और याद रखने वाली चीज़ लगती है, पर यह सिर्फ़ 10 में से 1 है।

3:02पूरा method यही है — एक shift, एक subtraction, और आख़िर में reduce। पर यहाँ एक सवाल खड़ा होता है। 2 endless tails को घटाना आम तौर पर जायज़ नहीं होता। यहाँ जायज़ इसलिए है क्योंकि ये 2 अलग tails हैं ही नहीं। column दर column वही digits हैं। पर इसका मतलब क्या है कि एक endless tail कोई number है? पहली नज़र में यह सिर्फ़ एक आदत लगती है।

3:29जवाब यह है — decimal को जहाँ भी काटो, असली number उस cut और अगले cut के बीच फँस जाता है। पहली 40 जगहों पर यह जाँचा गया और एक बार भी नहीं टूटा। और window ठीक उतनी ही चौड़ी है। अगला cut, 0.667, उसके बाहर रह जाता है, तो अंदर सिर्फ़ एक ही number बचता है। और यही बात एक line में। coefficient को number से multiply करो तो पूरा whole number मिलता है — 4950 fractions पर, एक भी exception नहीं।

4:02तो यह approximation नहीं है। यह exact है, और exact इसलिए है कि दूसरी tail बनाई गई थी, मिली नहीं थी। अब एक और decimal — 0.454545, जिसमें वही 45 चलता रहता है। यहाँ block 1 digit का नहीं, 2 digits का है। एक पल रुककर block गिनो। अब किस power से multiply करना चाहिए? block 2 digits का है, तो 10 का square — यानी 100। power block की length से आती है, हमेशा 10 से नहीं।

4:38100x लिखो और घटाओ। 99x बराबर 45 बचता है, और coefficient 99 है — 100 में से 1। तो x बराबर 45 बटा 99, और reduce करके 5 बटा 11। और अगर सिर्फ़ 10 से multiply करते तो? tail line में नहीं आती और घटाने पर बची रह जाती। ऐसे हर case पर यह try किया गया और एक बार भी tail ग़ायब नहीं हुई। अब 5 बटा 11 को divide करो तो वही decimal वापस मिलता है।

5:08और block को 1 digit पढ़ लो तो 4 बटा 9 आता है, जो अलग number है। अब एक मिला-जुला case — 0.1666, जिसमें 1 सिर्फ़ एक बार आता है और उसके बाद 6 चलते रहते हैं। यहाँ 2 गिनतियाँ हैं। block के बाहर 1 digit, और block ख़ुद भी 1 digit का। पहला shift इस 1 को point के बाईं तरफ़ भेज देता है। 10 से multiply करो और 1 सामने आ जाता है।

5:37अब point के बाद सिर्फ़ block बचा है। यानी यह वही पहले वाला case बन गया, बस सामने एक whole part लगा हुआ। दूसरा shift एक पूरा cycle आगे बढ़ाता है। block 1 digit का है, तो फिर 10 से। कई students यहाँ एक ही बड़ी power लगा देते हैं। पर दोनों shifts के काम अलग हैं — एक digits को park करता है, दूसरा एक cycle चलाता है। अब दोनों shifted copies को एक के नीचे एक रखो।

6:04point के बाद दोनों में वही tail खड़ी है। घटाओ तो tail चली जाती है और 90x बराबर 15 बचता है। तो x बराबर 15 बटा 90, और reduce करके 1 बटा 6। coefficient 90 है — 100 में से 10। यह दोनों shifts की powers का फ़र्क़ है, और कुछ नहीं। और parking वाला shift छोड़ दिया तो? जिन cases में block के बाहर digits हैं, उन सब पर right side whole number नहीं बचता — एक भी ऐसा case नहीं मिला जहाँ decimal पूरी तरह हट जाए।

6:35तो order यही है — पहले बाहर की digits park करो, फिर एक पूरा cycle आगे बढ़ो, फिर घटाओ। कई students इन coefficients को अलग-अलग याद करते हैं। पर इन्हें एक column में रखकर देखो — 9, 99, 90, 900 और 9900। इन सब में एक ही shape है। 10 की power दोनों गिनतियों को जोड़कर, और उसमें से 10 की power सिर्फ़ बाहर वाली गिनती की। इन 5 पर यह जाँचा गया और एक भी exception नहीं निकला।

7:07और ये 2 गिनतियाँ decimal को देखकर ही मिल जाती हैं, algebra शुरू करने से पहले। पर 5 examples किसी method को सही साबित नहीं करते। तो 24642 अलग-अलग लिखे हुए decimals पर यह चलाया गया, और एक दूसरे रास्ते से भी — दोनों कभी अलग जवाब नहीं देते। और हर जवाब को वापस divide करके पहली 24 digits मिलाई गईं, और सब पर वही digits आईं। सिर्फ़ 444 forms अलग निकले, जो nines पर ख़त्म होते हैं और जिनकी बात आगे आएगी।

7:39अब एक मुश्किल case, जो पहली नज़र में डरावना लगता है — 2.35777, जिसमें सामने 2 खड़ा है, फिर 35 जो repeat नहीं करता, फिर 7 जो करता है। बाहर 2 digits, block 1 digit — तो 1000 में से 100, यानी coefficient 900। घटाने पर 2122 बटा 900 मिलता है, और reduce करके 1061 बटा 450। और आख़िरी वाला — 2.45373737। बाहर 2 digits, block भी 2 digits। तो 10000 में से 100, यानी 9900।

8:2024292 बटा 9900 आता है, और इसमें से 4 निकलता है — 6073 बटा 2475। और यह आख़िरी step मत छोड़ो। यहाँ किए गए 5 के 5 cases में equation solve होने के बाद भी कुछ कटना बाक़ी था। अब एक list — 9 decimals, और हर एक पर bar अलग-अलग जगह तक जाता है। जैसे 12.6 रुक जाता है और 63 बटा 5 बनता है। और जिसमें 23 सीधे point से दोहराने लगता है, वह 23 बटा 99।

8:55इन 9 में से 2 रुक जाते हैं, 2 का block सीधे point से शुरू होता है, और 5 में पहले कुछ digits आती हैं। आख़िरी item में point से पहले एक 2 खड़ा है, और block point के तुरंत बाद शुरू होता है। क्या सामने खड़े इस number की वजह से दूसरी row लगेगी? नहीं, table की row वही रहती है। वह इस बात से तय होती है कि block कहाँ से शुरू होता है, इससे नहीं कि point के आगे कुछ खड़ा है।

9:22block 1625 का है, तो coefficient 9999। पर सामने का 2 गिराना नहीं। गिरा दोगे तो जवाब एक अलग number होगा, और फ़र्क़ ठीक 2 का। तो सबसे पहले bar की हद देखो। उसकी हद ग़लत पढ़ी तो दोनों गिनतियाँ ग़लत, powers ग़लत, और जवाब भी ग़लत। अब वह case जो सबसे ज़्यादा बहस करवाता है — 0.999, और 9 चलते ही रहते हैं। इसमें कुछ नया नहीं है। block 1 digit का है, तो वही coefficient 9 जो 2 बटा 3 पर लगा था।

9:5810x में से x घटाओ तो 9x बराबर 9 बचता है। यानी x बराबर 1, बिलकुल 1। बहुत से students को लगता है कि यह 1 से थोड़ा कम है। तो बताओ, किस decimal place पर कम है। ऐसी कोई जगह है ही नहीं। और यह 9 का कोई जादू भी नहीं है। इसी machinery से 0.888 निकालो तो 8 बटा 9 आता है, जो 1 नहीं है। अब इसका एक नतीजा।

10:292.47 और 2.46999 — ये एक ही number के 2 writings हैं। यह किसी गड़बड़ी की वजह से नहीं है। 2.47 और 2.46 अलग numbers हैं, फिर भी nines वाला writing ठीक 2.47 पर आ जाता है। और यह सिर्फ़ इसी पर नहीं। जिन 660 fractions का decimal रुकता है, उन सब का ऐसा दूसरा writing बनता है, और एक भी fail नहीं हुआ। test ऐसा भी नहीं है जो हर चीज़ को पास कर दे।

10:592.45999 को 2.47 मानोगे तो वह ग़लत निकलता है। और बाक़ी 4290 का सिर्फ़ एक ही writing है। 2 writings सिर्फ़ रुकने वाले decimals को मिलते हैं। इसीलिए decimal एक signature है, fingerprint नहीं। number एक ही है, लिखने के तरीक़े कभी-कभी 2। उल्टी दिशा भी देख लो। 3 बटा 50 को divide करो तो 0.06 आता है और रुक जाता है। और 2 बटा 9 से 0.222 आता है, जिसमें block बिलकुल point से ही शुरू हो जाता है।

11:34लग सकता है कि 5 examples काफ़ी हैं। तो 4950 fractions को divide किया गया और फिर उस decimal से method चलाकर fraction वापस निकाला — हर बार वही fraction, एक भी failure नहीं। इन 4950 में 660 रुक जाते हैं, 2676 का block सीधे point से शुरू होता है, और 1614 में पहले कुछ digits आती हैं। और यही 3 numbers बिना कोई division किए, सिर्फ़ denominator के divisors गिनकर भी निकले।

12:07इन 3 के अलावा कोई चौथी क़िस्म नहीं मिली। और block से पहले कितनी digits आएँगी, यह भी पहले से पता चल जाता है — denominator में 2 और 5 की गिनतियों में से जो बड़ी हो। 4950 पर एक भी exception नहीं। एक सवाल बाक़ी है — इतनी मेहनत करके fraction बनाया ही क्यों? क्योंकि bar वाले decimal पर arithmetic नहीं किया जा सकता, fraction पर किया जा सकता है।

12:34जैसे यह वाला सवाल — x बटा 3 और x बटा 5 जोड़ो तो 16 बटा 15 मिलता है। ऐसा कौन सा rational x है? x बराबर 2। और वापस रखकर देखो तो सचमुच 16 बटा 15 आता है। 3 रखोगे तो नहीं आता। और यह वाला। a और b कोई भी non-zero rationals हों और a में 1 बटा b जोड़ने पर 0 मिले, तो a गुणा b positive होगा या negative?

13:04इस condition से a निकलता है 1 बटा b का opposite, तो a गुणा b ठीक minus 1 — यानी negative। किसी को कोई value दिए बिना। और यह 288 pairs पर चलाया गया, दोनों signs के numerators के साथ, और एक भी exception नहीं निकला। पहली नज़र में यह method कई steps का लगता है, पर पूरा का पूरा 2 rows में आ जाता है। पहली row — block point के तुरंत बाद शुरू हो, तो block की length जितनी power से multiply करो, घटाओ, solve करो।

13:37दूसरी row — पहले block के बाहर वाली digits को park करो, फिर एक पूरा cycle आगे बढ़ो, फिर घटाओ। coefficient दोनों powers का फ़र्क़ है, और दोनों powers उन 2 गिनतियों से आती हैं जो decimal पर लिखी हुई दिखती हैं। और subtraction exact इसलिए है कि दूसरी tail बनाई गई थी, मिली नहीं थी। और आख़िर में reduce करना मत भूलो। पहले यह दिखा था कि हर fraction रुकने वाला या दोहराने वाला decimal देता है।

14:06यह उसका दूसरा आधा है — जो decimal रुकता है या दोहराता है, वह एक fraction है।