चक्रीय संख्याएँ: 1/7 के भीतर छिपी समरूपता

0:001 बटा 7 को divide करो तो decimal कभी रुकता नहीं। digits आती हैं 1, 4, 2, 8, 5, 7 और फिर वही 6 digits दोबारा। bar इन्हीं 6 पर लगता है, और यही repeating block है। block की length 6 है — यह गिनी हुई है, मानी हुई नहीं। अब इस 6 digit वाले number को एक छोटी सी digit से multiply करते हैं। 142857 गुणा 2 — जवाब क्या आएगा?

0:29एक पल रुककर सोचो: क्या digits बिखर जाएँगी? ज़्यादातर लोग यही उम्मीद करते हैं कि multiply करने पर digits बदल जाएँगी। यहाँ ऐसा नहीं होता, और यही इस video की पूरी कहानी है। 142857 गुणा 2 बराबर 285714। अब दोनों rows को ध्यान से देखो। कोई नई digit नहीं आई। ऊपर भी 1, 4, 2, 8, 5, 7 हैं और नीचे भी वही 6। फ़र्क़ सिर्फ़ इतना है कि शुरुआत कहाँ से हुई।

1:05पहली row 1 से शुरू होती है, दूसरी 2 से। और अंदर का order भी वही है: 2 के बाद 8, फिर 5, फिर 7, फिर 1, फिर 4। यह shuffle नहीं है, digits आपस में बदली नहीं गईं। 142857 गुणा 3 बराबर 428571। 142857 गुणा 4 बराबर 571428। 142857 गुणा 5 बराबर 714285। और 142857 गुणा 6 बराबर 857142। 2 से लेकर 6 तक, 5 multipliers try किए गए।

1:52हर बार वही 6 digits वापस आईं और एक भी बार कोई नई digit नहीं आई। हर product किसी अलग digit से शुरू होता है। शुरुआती digits हैं 1, 2, 4, 5, 7 और 8। और यही तो block की अपनी 6 digits हैं, हर एक ठीक 1 बार इस्तेमाल हुई। यानी हर digit को एक बार शुरुआत बनने का मौक़ा मिला। इन 6 digits को एक ring पर रख दो।

2:201, फिर 4, फिर 2, फिर 8, फिर 5, फिर 7, और वापस 1 पर। अब ring को किसी भी जगह से पढ़ना शुरू करो और एक पूरा चक्कर लगा लो। जो string मिलती है, उसे rotation कहते हैं। सावधान: 142875 में भी वही 6 digits हैं, पर वह rotation नहीं है। rotation में digits न उलटती हैं, न आपस में जगह बदलती हैं — सिर्फ़ शुरुआत हटती है। इस ring के ठीक 6 अलग readings हैं।

2:52और हमारे सारे 6 products उन्हीं में से निकले। यानी 6 rows की list असल में एक ही तस्वीर थी। 6 अलग numbers नहीं, एक ring जिसे 6 जगहों से पढ़ा गया। अब असली सवाल: यह products आख़िर आए कहाँ से? 2 बटा 7 को divide करके देखो। जवाब आता है 0.285714 और आगे वही block — यानी ठीक वही दूसरा product, आगे एक point लगाकर। 3 बटा 7 देता है 0.428571।

3:304 बटा 7 देता है 0.571428। 5 बटा 7 देता है 0.714285 और 6 बटा 7 देता है 0.857142। 6 में से 6 fractions पर यह मिलान ठीक बैठा और एक भी अलग नहीं निकला। तो वह list इत्तेफ़ाक़ नहीं थी। वह 7 वाले बाक़ी fractions की expansions थीं, बस multiply के भेस में। पर यह सब हो क्यों रहा है? जवाब digits में नहीं है, उनके नीचे चल रही division में है।

4:081 को 7 से divide करो और सिर्फ़ remainders पर नज़र रखो। हर step में remainder 10 से गुणा होता है, एक digit निकलती है, और एक नया remainder बचता है। digit और remainder अलग-अलग चीज़ें नहीं हैं — दोनों एक ही step से निकलते हैं। remainder 1 से digit 1 निकली और 3 बचा। 3 से 4 निकली और 2 बचा; 2 से 2 निकली और 6 बचा। फिर 6 से 8 निकली और 4 बचा; 4 से 5 निकली और 5 बचा; 5 से 7 निकली और 1 बचा।

4:42remainder वापस 1 पर आ गया, और ring बंद हो गई। यह जोड़ी वाली बात 6 divisions पर, कुल 144 steps तक जाँची गई। एक भी step ऐसा नहीं मिला जहाँ digit और remainder अलग-अलग निकले हों। हर division ring के अंदर से शुरू नहीं होती। 1 बटा 6 पहले एक 1 लिखता है और फिर 6 दोहराता है, और जिस ring में वह बैठता है उसमें सिर्फ़ 4 है — शुरू का remainder उस ring के बाहर है।

5:10अब एक ही figure पर बाहर digits और अंदर remainders रख दो। दोनों साथ-साथ आगे बढ़ते हैं, हर step पर एक जोड़ा। division ने जो remainders छुए वे थे 1, 3, 2, 6, 4, 5। और यही 6 possible remainders हैं — 0 आ जाता तो division रुक जाता। अब k बटा 7 करो, k चाहे 1 से 6 तक कुछ भी हो। पहला remainder ठीक k होता है, यानी हर fraction उसी ring में घुसता है, बस अलग जगह से।

5:45और जहाँ से घुसा, वहाँ से आगे की सारी digits पहले से तय हैं। क्योंकि remainder ही पूरी division की हालत है — वही अगला digit तय करता है। इसीलिए एक ही digit string 6 fractions को चला रही है। 6 में से 6 पर यह जाँचा गया और एक भी exception नहीं मिला। तो digits का यह खेल जादू नहीं है। यह एक ही cycle है, जिसमें अंदर आने के 6 रास्ते हैं।

6:11multipliers 6 तक ही क्यों? क्या यह बस एक चुनाव है? 7 से multiply करके देखो: 142857 गुणा 7 बराबर 999999। यह rotation नहीं है — इसमें तो सारी digits 9 हैं। 8 से करो तो 1142856 मिलता है, जिसमें 7 digits हैं। 6 digits की rearrangement में 7 digits आ ही नहीं सकतीं। 7 से 20 तक हर multiplier try किया गया — 14 बार, और एक भी rotation नहीं।

6:46यानी 6 पर रुकना मनमानी नहीं, एक नापी हुई बात है। और 999999 इत्तेफ़ाक़ नहीं है। 999999 बटा 7 बराबर 142857 — यानी block शुरू से ही 999999 का सातवाँ हिस्सा था, इसलिए 7 से गुणा करते ही सारी 9 वापस आ जाती हैं। हालाँकि निशान अब भी बाक़ी है। 1142856 में से आगे का 1 हटाकर बाक़ी में जोड़ दें तो 142857 वापस आ जाता है। तो असली शर्त क्या है?

7:261 बटा 7 का block 6 digits का है, और 7 में से 1 कम भी ठीक 6 है। इसका मतलब cycle हर उपलब्ध remainder को छू लेता है। जब सारे remainders एक ही ring में हों, तो दूसरा ring बनने के लिए कुछ बचता ही नहीं। इसलिए 1 से लेकर 6 तक हर numerator उसी एक ring में मिलेगा। यही वह शर्त है: block की length denominator से ठीक 1 कम।

7:51और अब यह शर्त एक tool बन जाती है, जिससे किसी भी denominator को जाँचा जा सकता है। एक और तरीक़ा भी है, उल्टी दिशा से। block को उतनी ही 9 के ऊपर लिख लें: 142857 बटा 999999, और reduce करने पर 1 बटा 7 वापस आ जाता है। वही 13 पर करो: 76923 बटा 999999 reduce होकर 1 बटा 13 बनता है। यानी digits से fraction और fraction से digits — दोनों रास्ते खुले हैं।

8:26यह round trip 94 जोड़ों पर चलाया गया और हर एक अपनी ही fraction पर वापस आया। उनमें से 3 ऐसे थे जिनका numerator denominator से बड़ा था, और वहाँ भी point के आगे की digits वही रहीं। अब वही जाँच 13 पर करते हैं। 1 बटा 13 से आता है 0.076923, और block फिर 6 digits का है। 3 बटा 13 को divide करो तो 0.230769 मिलता है। यह 076923 का ही rotation है — वही digits, नई शुरुआत।

9:044 बटा 13 से आता है 0.307692, और यह भी उसी पहली ring में है। यहाँ तक सब कुछ 7 जैसा ही लग रहा है। तो क्या 2 बटा 13 भी उसी ring में होगा? 2 बटा 13 को divide करो तो 0.153846 आता है। और यह 076923 का rotation नहीं है — digits ही अलग हैं: 1, 5, 3, 8, 4 और 6। यह अपनी अलग ring शुरू करता है।

9:385 बटा 13 से आता है 0.384615, और 6 बटा 13 से 0.461538 — दोनों उसी दूसरी ring में। सुनकर उम्मीद बनती है कि जवाब हाँ होगा। पर ईमानदार जवाब है — कुछ हद तक, और यही इस सवाल की असली सीख है। 13 वाले 12 fractions 2 rings में बँट जाते हैं, हर ring में 6। एक ring में हैं 1, 3, 4, 9, 10 और 12; दूसरी में 2, 5, 6, 7, 8 और 11।

10:16वजह वही length वाली शर्त है। 13 का block 6 digits का है, पर शर्त 12 माँगती है। 6 गुणा 2 बराबर 12 — इसीलिए ठीक 2 rings बनती हैं, न कम न ज़्यादा। और एक ग़लतफ़हमी यहीं ख़त्म कर दें: prime होना काफ़ी नहीं है। 13 prime है और फिर भी बँट जाता है। अब इस tool को चलाते हैं। 11 को देखो। 1 बटा 11 का block है 09, यानी 2 digits, जबकि शर्त 10 माँगती है — fail।

10:48अब 17 को देखो। उसका block 16 digits का है, और 17 में से 1 कम भी 16 — pass। 10 से coprime हर denominator 200 तक जाँचा गया। 79 candidates में से सिर्फ़ 17 यह शर्त पूरी करते हैं, और 1000 तक जाओ तो 60 मिलते हैं। 17 में से 17 prime निकले। पर यह नतीजा है, शर्त नहीं — शर्त अब भी length वाली ही है। एक near miss भी है: 49।

11:15उसका block 42 digits का है, 48 का नहीं, फिर भी उसके ज़्यादातर numerators एक ही ring में बैठते हैं। पर 7 बटा 49 तो 1 बटा 7 ही है, और उसकी 6 digits उस लंबी ring में हैं ही नहीं। इसलिए शर्त टूटती नहीं — बस यह जानना ज़रूरी है कि ऐसा case मौजूद है। तो पूरी बात एक ही तस्वीर में आ जाती है। 6 digits 6 अलग चीज़ें नहीं हैं — वे एक ही cycle हैं, 6 जगहों से देखी हुई।

11:45multiply करने पर digits बिखरती नहीं, ring घूम जाती है। और ring इसलिए घूमती है क्योंकि नीचे remainders की ring घूम रही है। digits में जो symmetry दिखती है, वह असल में division की symmetry है। और जाँच एक ही है: block की length denominator से 1 कम हो। जहाँ यह पूरी होती है वहाँ एक ring, और जहाँ नहीं वहाँ कई।