irrational decimals: वह expansion जिसमें न अंत है, न कोई repeating block

0:001 बटा 3 को divide करते जाइए। हर step पर remainder 1 ही बचता है, इसलिए digit हर बार 3 आती है और यह decimal कभी रुकता नहीं। bar का मतलब यही है कि यह tail कहीं ख़त्म नहीं होती। यह decimal non-terminating है, पूरी तरह। तो एक सवाल: क्या यह number irrational है? जवाब नहीं है। यह decimal कभी नहीं रुकता, और फिर भी यह पूरा का पूरा एक fraction है — 1 बटा 3।

0:29rational side पर बैठा हुआ है। इसका मतलब यह है कि सिर्फ़ 'कभी नहीं रुकता' कोई test नहीं है। असली signature के 2 हिस्से हैं, और इस video में हम वही दूसरा हिस्सा बनाएँगे। एक number irrational तब है जब उसका decimal expansion न रुके और न किसी block को दोहराए। ये आपस में जुड़ी हुई 2 conditions हैं। gate के उस पार जाने के लिए number को दोनों bars से गुज़रना है।

0:56एक भी condition अगर टूट जाए, तो number इसी तरफ़ रह जाता है — rational side पर। 1 बटा 3 को इसी gate पर ले आइए। पहला bar यह पार कर जाता है, क्योंकि यह रुकता नहीं। दूसरे bar पर यह अटक जाता है, क्योंकि यह repeat करता है। यहाँ सबसे आम ग़लती यही है कि इन 2 conditions को एक ही बात के 2 नाम मान लिया जाए। ये अलग हैं, और जो काम करता है वह इनका साथ आना है।

1:25किसी भी fraction को divide कीजिए। हर step पर जो remainder बचता है वह denominator से छोटा होता है, इसलिए remainders की supply गिनी-चुनी है। अगर remainder 0 आ गया तो division रुक जाता है। और अगर कोई remainder दोबारा आ गया, तो उसके आगे की सारी digits वही होंगी जो पहले थीं — block शुरू हो गया। यह सिर्फ़ कहने की बात नहीं है। denominator 260 से नीचे के सारे fractions divide करके देखे गए — पूरे 33411।

1:55इनमें से 2441 रुक गए और 30970 ने block दोहराया। 2441 और 30970 जोड़िए तो 33411 आता है, यानी तीसरा ढेर बना ही नहीं। तो पहली direction बंद हो गई: fraction हो, तो expansion या रुकेगा या repeat करेगा। तीसरा रास्ता है ही नहीं। दूसरी direction इससे उलटी है। एक decimal लीजिए जो रुकता है या repeat करता है, उसे इतना shift कीजिए कि दोनों writings की tails बिल्कुल एक जैसी हो जाएँ, और फिर घटा दीजिए।

2:32tails एक जैसी हैं, इसलिए वे पूरी तरह कट जाती हैं और पीछे एक साफ़ whole number बचता है। बचा हुआ हिस्सा एक fraction देता है। वही 33411 fractions दोबारा जाँचे गए, इस बार सिर्फ़ उनकी digits से। सारे 33411 अपने-आप पर वापस आ गए, और इस पूरे रास्ते में कहीं divide नहीं किया गया। तो दूसरी direction भी बंद हो गई: expansion रुकता है या repeat करता है, तो number rational है।

3:03अब दोनों arrows एक साथ देखिए। एक तरफ़ से fraction आता है और expansion तय हो जाता है, दूसरी तरफ़ से expansion आता है और number तय हो जाता है। एक सवाल यहाँ पूछने लायक़ है: कोई number इन दोनों arrows के बीच से slip हो सकता है क्या? slip होने के लिए 2 में से एक चीज़ चाहिए: या तो ऐसा fraction जो न रुके और न repeat करे, या ऐसा number जो रुके या repeat करे और fraction न हो।

3:32sweep में दोनों की गिनती 0 रही। इसीलिए expansion अब कोई इशारा नहीं रह जाता, वह एक test बन जाता है। यही इस topic की पूरी कमाई है। root 2 का expansion 19 places तक ऐसा है: 1.4142135623730950488, और उसके आगे भी चलता रहता है। pi का expansion उतने ही places तक ऐसा है: 3.1415926535897932384, और यह भी आगे चलता रहता है। दोनों में 20 significant figures हैं, इसलिए इनमें से कोई एक लंबा नहीं है।

4:16यह जोड़ बराबरी पर रखा गया है। ये digits यहाँ compute की गई हैं। इन्हें काटा गया है, round नहीं किया गया: pi की 20वीं digit 6 है, इसलिए round करने पर आख़िरी 4 बढ़कर 5 हो जाती, और वह 4 ही है। इन dots को सजावट मत समझिए। इनमें से किसी को भी पूरा लिखा नहीं जा सकता, और यही इनके irrational होने का मतलब है। अब एक सवाल: root 81 gate के किस तरफ़ जाएगा?

4:48root 81 बराबर 9 है। यह एक whole number है और सीधे rational side पर बैठता है। root का चिह्न अपने-आप कुछ तय नहीं करता। root 12 दूसरी तरफ़ जाता है। 12 पूरी तरह 9 और 16 के बीच में है, और 2 consecutive squares के बीच में होना ही यह कहने का तरीक़ा है कि इसका कोई whole root नहीं। तो सवाल root के चिह्न पर नहीं, root के नीचे बैठे number पर है: क्या वह perfect square है?

5:17200 से नीचे ऐसे 14 numbers हैं — 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 और 196। पहले search: ऐसा कोई fraction ढूँढा गया जिसका square 12 हो, हर divisor 4000 तक। कुछ नहीं मिला। वही search 9 पर पूछो तो 3 बटा 1 तुरंत दे देता है। search का ख़ाली लौटना सबूत है, कारण नहीं। कारण एक ही line का arithmetic है, और वही असली argument है।

5:54fraction lowest terms में हो और denominator 1 से बड़ा हो, तो square करने पर नीचे denominator का square आता है और ऊपर उससे कटने के लिए कुछ बचता ही नहीं। 29072 coprime pairs जाँचे गए और 0 ऐसे निकले जो whole number बनते हों। lowest terms वाली शर्त यहाँ सजावट नहीं है। जिन 18670 pairs का कोई common factor है, उनमें से 995 whole number बनते ही हैं — सबसे छोटा 4 बटा 2।

6:221000 whole numbers 2 अलग रास्तों से जाँचे गए — perfect square वाला test, और fraction वाली search — और 0 numbers पर वे अलग-अलग जवाब देते हैं। search सचमुच 1 से बड़े denominators try करती है: 4 पर वह 59 fractions लौटाती है। अब एक और decimal: 1.010010001000010, और आगे भी इसी तरह। इसे groups में लिखा गया है ताकि इसकी बनावट दिखे। इसका rule सीधा है: एक 1, फिर zeros की एक run, और हर बार वह run पिछली से 1 लंबी।

7:12पहले 1 से पहले 1 zero है। उसके बाद हर जोड़ी 1s के बीच zeros की गिनती 2, 3, 4, 5 चलती हुई 13 तक जाती है, और आगे भी बढ़ती रहती है। point के बाद की पहली 14 digits हैं 01001000100001। हर digit पहले से बताई जा सकती है। हर digit predictable है, कहीं कोई अंदाज़ा नहीं लगाना पड़ता। तो क्या यह number rational है? जवाब नहीं है, और वजह यह है कि 'मैं हर digit बता सकता हूँ' और 'एक fixed block दोहराता है' 2 अलग बातें हैं।

7:54दूसरी वाली चाहिए। repeating block का मतलब है एक तय group जो बिना बदले बार-बार लौटे। बढ़ती हुई runs ऐसा group बनने ही नहीं देतीं। यह सिर्फ़ कही हुई बात नहीं है। 200 तक की हर head और 200 तक की हर block length जाँची गई, और एक भी जोड़ी ऐसी नहीं निकली जो इसे repeat करा दे। और कोई लंबी head भी इसे नहीं बचाती। 300 तक की हर block length पर digits 3500 से आगे भी अपने-आप से अलग पड़ती हैं — सबसे पहला ऐसा आख़िरी फ़र्क़ 4000 में से 3568 पर बैठता है।

8:29इन 4000 digits में zeros की सबसे लंबी run 87 है। तो यह number न रुकता है और न repeat करता है। दोनों bars टूटते हैं, इसलिए यह irrational है। अब एक decimal जो बिल्कुल बेतरतीब दिखता है: 23.560185612239874790120। इसमें कोई pattern नज़र नहीं आता। point के बाद इसकी 21 digits हैं और उसके बाद यह रुक जाता है। रुक जाना ही काफ़ी है, test इससे ज़्यादा कुछ नहीं माँगता।

9:06बेतरतीब दिखना कोई सबूत नहीं। आख़िरी digit 0 है, इसलिए number ख़ुद 1 place पहले, यानी 20 places पर रुकता है। 2 readings बनती हैं, verdict एक ही रहता है। अब दोनों को साथ रखिए। सुथरा दिखने वाला decimal irrational है और बेतरतीब दिखने वाला rational। शक्ल से कुछ तय नहीं होता, gate से होता है। इन सबको एक जगह रखकर sort करते हैं। 6 items हैं और वे जान-बूझकर मिलाकर रखे गए हैं।

9:38rational तरफ़ 4 जाते हैं: root 81 जो 9 है; 0.3 जिस पर bar है, यानी 1 बटा 3; 0.12345 जिस पर bar है, जिसका block 5 digits का है और जो 4115 बटा 33333 के बराबर है; और वह लंबा वाला जो रुक जाता है। irrational तरफ़ 2 जाते हैं: root 12, क्योंकि 12 perfect square नहीं है; और 1.010010001000010 वाला, क्योंकि उसका कोई block है ही नहीं। दोनों traps यहाँ आमने-सामने हैं: एक root का चिह्न जो कुछ तय नहीं करता, और एक pattern जो block नहीं है।

10:17बाक़ी 4 items सीधे हैं। एक और decimal: 0.9 जिस पर bar है, यानी endless 9s। ज़्यादातर लोग पहली नज़र में इसे 1 से थोड़ा कम मानते हैं। इसे 10 से multiply कीजिए और फिर मूल number घटा दीजिए। tails बिल्कुल एक जैसी हैं, इसलिए वे कट जाती हैं और 9 बचता है। यानी 9 गुणा यह number बराबर 9, और 9 बटा 9 बराबर 1। तो यह ठीक 1 है, 1 से थोड़ा कम नहीं।

10:49यह algebra का कोई trick नहीं है। tails सिर्फ़ इसलिए कटीं क्योंकि वे एक जैसी थीं; जिस decimal की tails एक जैसी न हों, वहाँ यही step कुछ और देता है। यह अकेला मामला नहीं है। जो decimal रुकता है उसकी एक दूसरी writing हमेशा बनती है: आख़िरी digit में से 1 घटाइए और आगे endless 9s लगा दीजिए। 1 की twin है 0.9 जिस पर bar है, और 2.47 की twin है 2.46 और उसके आगे लगातार 9s।

11:21उस twin को digits से वापस convert कीजिए तो 247 बटा 100 आता है, यानी वही number। 2433 terminating fractions जाँचे गए और 2433 अपने twin से होकर उसी number पर लौट आए। यहाँ एक जायज़ सवाल उठता है: अगर एक ही number की 2 writings हैं, तो क्या हमारा test टूट जाता है? जवाब नहीं है, और इसकी जाँच करके देखी गई है। पहली writing रुक जाती है, दूसरी रुकती नहीं पर 1 digit का block दोहराती है।

11:52दोनों को वही gate मिलता है और दोनों rational निकलती हैं। इसका मतलब यह है कि एक number के पास 2 signatures हो सकती हैं। यह कभी नहीं होता कि एक ही signature दोनों तरह के numbers पर फ़िट बैठ जाए। तो जोड़कर देखिए। irrational होने के लिए expansion को न रुकना है और न किसी block को दोहराना है, और ये 2 conditions साथ चाहिए। दोनों directions एक ही sweep पर जाँची गईं: 33411 fractions, हर एक दोनों तरफ़ से।

12:23इसीलिए यह इशारा नहीं, test है। इसके साथ 2 चेतावनियाँ चलती हैं। pattern दिखना block होना नहीं है, और एक ही number की 1 से ज़्यादा writings हो सकती हैं। signature भरोसेमंद है, पर fingerprint नहीं। एक number 2 signatures रख सकता है; कोई एक signature दोनों तरह के numbers को नहीं ढक सकती।