Proof by contradiction: √2 को integers का अनुपात क्यों नहीं लिखा जा सकता

0:00एक square बनाइए जिसकी हर side बिलकुल 1 unit हो। अब एक corner से सामने वाले corner तक diagonal खींच दीजिए। यह कोई idea नहीं है, यह एक असली length है, जिसे आप ruler से नाप सकते हैं। अब इस diagonal के बारे में कुछ कहने के लिए हमारे पास है क्या? square की 2 sides और यह diagonal मिलकर एक right triangle बनाते हैं। और right triangle के लिए हमारे पास एक relation है।

0:26इस relation के हिसाब से diagonal पर बना square बाक़ी 2 sides पर बने squares का जोड़ है। यानी 1 गुणा 1 जमा 1 गुणा 1। और वह जोड़ 2 है। यह किसी भी 2 lengths पर नहीं चलता। 3 और 4 लीजिए तो जोड़ 25 आता है, और 25 किसी whole number का दुगुना नहीं है, क्योंकि 2 से भाग देने पर 1 बच जाता है। काम right angle कर रहा है, sides की मर्ज़ी नहीं।

0:54यहाँ यही relation 50 अलग-अलग sides पर जाँचा गया। ऐसा 0 बार हुआ कि diagonal पर बना square, area का दुगुना न निकले। और ध्यान दीजिए कि यहाँ diagonal की length निकाली ही नहीं गई। जो निकला वह उस पर बने square का number है, और वह 2 है। इसके आगे इस video में geometry का कोई काम नहीं है। यह length screen पर मौजूद है। सवाल यह नहीं है कि यह कितनी है।

1:23सवाल यह है कि इसे लिखा कैसे जाए। rational number का मतलब यही है: एक whole number के ऊपर दूसरा whole number, और नीचे वाला 0 नहीं। यहाँ सवाल साफ़ हो जाता है। क्या ऐसा कोई upper part और कोई lower part है जिनके भाग का square 2 हो? आप सोच रहे होंगे कि जवाब बता देना ही काफ़ी है। जवाब है: नहीं। पर 'हाँ' दिखाना और 'नहीं' दिखाना 2 बिलकुल अलग काम हैं।

1:51'हाँ' के लिए 1 example काफ़ी है। 'नहीं' के लिए हर writing को ख़ारिज करना पड़ता है, और writings ख़त्म नहीं होतीं। तो 'नहीं' को दिखाया कैसे जाए? आगे बढ़ने से पहले 1 छोटी बात, जिसके बिना आगे कुछ नहीं चलेगा। क्या हर writing को छोटा किया जा सकता है? 4 बटा 6 को लीजिए। इसमें ऊपर और नीचे एक common factor बैठा है। उसे काट दीजिए तो 2 बटा 3 बचता है।

2:20number वही रहा, writing छोटी हो गई। देखिए, यह हर writing के साथ होता है। 120 गुणा 60 के एक grid पर 7200 writings को इसी तरह घटाया गया, और 2 चीज़ें अलग-अलग गिनी गईं। घटाने के बाद भी common factor रखने वाली writings: 0। और घटाने से जिनका number बदल गया: 0। यह 2 अलग जाँचें हैं, इसलिए अलग गिनी गईं। 'मान लीजिए यह writing lowest terms में है' कहना मुफ़्त है।

2:48यह कोई extra शर्त नहीं जो हम थोप रहे हों। यह हर writing के लिए मुमकिन है, इसलिए इसे मान लेने से कुछ छूटता नहीं। तो सबसे पहले कोशिश क्या करनी चाहिए? सीधा तरीक़ा तो यही सूझता है, कि ढूँढ डालिए। 200 upper parts और 120 lower parts का एक grid लीजिए, जिसमें 24000 writings बैठती हैं। देखिए, हर 1 का square निकालकर परखा गया कि कौन 2 देता है।

3:16मिलीं: 0। पर यहीं रुकिए। कोई scan जो कुछ न ढूँढे, वह तब तक बेकार है जब तक वह कुछ ढूँढ न सकता हो। तो उसी grid से 4 का square माँगिए। यहाँ पहली ही row पर जवाब आ जाता है: 2 बटा 1। और 9 माँगिए तो 3 बटा 1। पहली नज़र में लगता है कि इतना बड़ा grid तो काफ़ी है। फ़िलहाल इतना ही कहिए कि scan अंधा नहीं है।

3:42जब वह 2 के लिए ख़ाली लौटता है, तो वह सच में ख़ाली है। तो grid को कितना बड़ा किया जाए? उसे बड़ा कर देते हैं। 2000 गुणा 400। यहाँ अब 800000 writings हैं। और 2 के लिए मिलीं: 0। और यह अब भी proof नहीं है। 800000 infinity नहीं है। जितना बड़ा grid लीजिए, उसके बाहर हमेशा और writings बची रहती हैं। यहाँ आप सोच सकते हैं कि इतने से तो काम हो ही जाना चाहिए।

4:14पर देखिए, अगला cell ही जवाब निकल सकता था। और आपने उसे देखा ही नहीं। 'अभी तक किसी को नहीं मिली' और 'हो ही नहीं सकती' — यह 2 अलग बातें हैं। पहली एक report है, दूसरी एक दावा। यह video दूसरी वाली कहने आया है, और उसके लिए ढूँढना छोड़ना पड़ेगा। किसी चीज़ के न होने को साबित करने का 1 ही practical तरीक़ा है। और उसकी shape बहुत सीधी है।

4:42यहाँ पहला slot यह है, कि मान लीजिए वह चीज़ है। दूसरे slot में उसी मान्यता से आगे reasoning चलाइए। तीसरे slot में किसी ऐसी जगह पहुँचिए जो हो ही नहीं सकती। अगर बीच की reasoning सही है और अंत नामुमकिन है, तो ग़लती कहाँ है? ग़लती शुरुआत में है। यानी जो चीज़ हमने मान ली थी, वह है ही नहीं। यहाँ सबसे बड़ी बात यह है कि एक भी writing जाँची नहीं गई।

5:10यह तरीक़ा गिनने का नहीं, सोचने का है। यह argument 8 steps लंबा है। हम इसे 1-1 करके चढ़ेंगे। और 1 step पर रुककर वह चीज़ साबित करेंगे जिसे आमतौर पर बिना argument के मान लिया जाता है। तो शुरुआत कहाँ से हो? step 1 में मान लीजिए कि यह length एक rational है। यानी कोई p और कोई q ऐसे हैं कि p बटा q का square 2 है।

5:38देखिए, अब वह हिस्सा आता है जो सबसे ज़रूरी है, इसलिए उस पर ring लगा दीजिए। यह writing lowest terms में है, यानी p और q में कोई common factor नहीं। और नीचे वाला 0 नहीं। आपको लग सकता है कि यह शर्त एक extra बंदिश है। पर पिछली scene से हम जानते हैं कि यह मुफ़्त थी। इसे लगाने में कुछ खोया नहीं। पर अभी इसे याद रखिए। पूरे argument में जो 1 चीज़ आख़िर में टूटेगी, वह यही ring है।

6:08step 2 में दोनों तरफ़ square कर दीजिए। बाईं तरफ़ 2 बचता है। दाईं तरफ़ ऊपर p गुणा p, और नीचे q गुणा q। अब नीचे बैठे q गुणा q का क्या किया जाए? step 3 में उसे हटा दीजिए। दोनों तरफ़ q गुणा q से गुणा कर दीजिए। जो बचता है वह पूरे video की रीढ़ है। 2 गुणा q गुणा q, p गुणा p के बराबर है। इसे देख लीजिए, आगे कोई नई जानकारी नहीं आने वाली।

6:408 steps में से यही 1 step है जो squaring करता है। इसलिए बाक़ी सब इसी 1 line से निकलता है। अब इस line को देखिए और ठहरकर सोचिए। यह p के बारे में क्या कह रही है? step 4 का पहला हिस्सा आसान है। उस line को देखिए, जहाँ p गुणा p, q गुणा q का दुगुना है। और जो चीज़ किसी whole number का दुगुना हो, वह even होती है।

7:06तो इसका मतलब क्या हुआ? p गुणा p even है। इसमें कोई चालाकी नहीं है। जिन pairs पर यह line सच है, उनमें ऐसा 0 बार हुआ कि upper part फिर भी odd रह जाए। यानी यह हिस्सा पक्का है। बहुत से students यहीं मान लेते हैं कि step 4 पूरा हो गया। पर वह अभी पूरा नहीं हुआ। आगे कहा जाता है कि इसलिए p भी even है। यह देखने में उसी बात का अगला हिस्सा लगता है।

7:35पर है यह एक अलग दावा। तो क्या इसे यूँ ही मान लेना चाहिए, या साबित करना चाहिए? दावा यह है: p गुणा p even है, इसलिए p भी even है। ज़्यादातर जगह यह कह दिया जाता है और आगे बढ़ जाया जाता है। पर कहना और दिखाना अलग हैं, तो चलिए दिखाते हैं। उलटा मानकर देखिए। मान लीजिए p odd है। तब p को 2m जमा 1 लिखा जा सकता है, चाहे m कुछ भी हो।

8:06अब इसका square कैसा दिखेगा? अब उसे पूरा खोलकर लिखिए। मिलता है: 4 गुणा m गुणा m, जमा 4 गुणा m, जमा 1। देखिए, तस्वीर में यही चीज़ है। बड़े square को काटिए तो 4 बराबर square blocks मिलते हैं, 4 पतली strips, और 1 अकेला block बचा रह जाता है। पहले 2 हिस्से even हैं, दोनों में 4 का गुणा बैठा है। उन्हें जोड़िए तो अब भी even ही मिलेगा।

8:36सब कुछ उस आख़िरी अकेले block पर टिका है। वही 1 block पूरे जोड़ को odd बना देता है। m की 1000 values पर यह खोलना जाँचा गया, और ग़लत निकलीं: 0। 1000 odd numbers के squares में even निकले: 0। और 1000 even numbers के squares में odd निकले: 0। तो odd का square हमेशा odd होता है। अब इसे उलटकर पढ़िए, कि अगर square even है, तो number odd हो ही नहीं सकता, यानी वह even है।

9:09step 4 का छेद भर गया, और अब पूरी सीढ़ी हमारी अपनी है। क्या यह बात सिर्फ़ 1 रास्ते से दिखती है? नहीं, यही बात 1 दूसरे रास्ते से भी दिखती है। और वह रास्ता अपने आप में याद रखने लायक़ है। किसी भी number का square लेकर 4 से भाग दीजिए, और सिर्फ़ बचत देखिए। odd number का square हमेशा 1 बचाता है। even number का square कुछ नहीं बचाता।

9:342000 numbers तक यह गिना गया। odd में 1 न बचाने वाले: 0। even में कुछ बचा देने वाले: 0। यहाँ लग सकता है कि 3 भी कभी न कभी आ ही जाएगा। पर 3 बचाने वाला square: 0। एक भी नहीं। यहाँ squares के पास 4 में से सिर्फ़ 2 बचतें होती हैं। इसलिए यही पिछली बात दोबारा कह देता है: 1 बचाने वाला odd से आता है, कुछ न बचाने वाला even से।

10:02एक ही सच, 2 रास्तों से। अब इसका फ़ायदा कहाँ उठाया जाए? देखिए, जो अभी साबित हुआ उसे इस्तेमाल कीजिए। p even है, तो p को 2k लिख दीजिए। step 5 में इसे रीढ़ वाली line में रख दीजिए। 2 गुणा q गुणा q अब 2k के square के बराबर है, यानी 4 गुणा k गुणा k के। step 6 में दोनों तरफ़ 2 से भाग दे दीजिए। जो बचता है वह है: q गुणा q, 2 गुणा k गुणा k के बराबर।

10:37अब इसे ठीक पिछली वाली line से मिलाकर देखिए। वही shape है। अब p की जगह q बैठा है। यह भाग देना भरोसे पर नहीं छोड़ा गया। q और k की 3600 pairs पर देखा गया कि भाग से पहले वाली line और बाद वाली line कभी अलग जवाब देती हैं या नहीं। अलग जवाब मिले: 0 pairs पर। step 7 में वही तर्क दोबारा चलाइए, इस बार q पर।

11:02q गुणा q, k गुणा k का दुगुना है, इसलिए वह even है। और अभी-अभी हमने साबित किया है कि तब q भी even होगा। अब दोनों तरफ़ देखिए। p even है, और q भी even है। और यह दोनों बातें हमने मानी नहीं, निकाली हैं। 2 even numbers में हमेशा 1 common factor होता है, और वह 2 है। यह कोई इत्तिफ़ाक़ नहीं। even होने का मतलब ही यही है।

11:32यहाँ 6000 ऐसी pairs लीं गईं जिनके दोनों हिस्से even हैं। इनमें common factor न रखने वाली निकलीं: 0। एक भी नहीं। और step 1 ने क्या कहा था? वहाँ हमने यह writing इसीलिए चुनी थी कि उसमें कोई common factor न हो। ring अब भी screen पर है। यही टक्कर है। एक ही writing में p और q common factor रखते भी हैं और नहीं भी रखते। और यह हो नहीं सकता।

12:01यहाँ 1 ग़लतफ़हमी बहुत आम है, इसलिए इसे साफ़ कर लीजिए। लोग कहते हैं कि टक्कर इस बात से है कि 2 गुणा q गुणा q, p गुणा p के बराबर हो ही नहीं सकता। यह ग़लत है। उस grid पर देखिए। अगर नीचे वाले को 0 होने दिया जाए तो इस line का 1 हल है, और वह है 0 और 0। और नीचे वाले को असली lower part बना दीजिए, तो हल बचते हैं: 0।

12:27यहाँ बहुत से students सोच रहे होंगे कि shape ही गड़बड़ है। पर shape पर इलज़ाम मत लगाइए। बहुत मिलती-जुलती 1 line यह है, 4 गुणा q गुणा q, p गुणा p के बराबर। उन्हीं 60 lower parts पर वह 60 हल देती है। तो इस तरह की lines में कोई नामुमकिनपन नहीं है। जो टूटा वह arithmetic नहीं था। जो टूटा वह उस मान्यता का अपना हिसाब-किताब था, जो step 1 में हमने ख़ुद चुना था।

12:57इसलिए ख़ुद से 1 सवाल पूछिए: कौन सी शर्त टूटी? अगर आप उसका नाम नहीं ले सकते, तो आपने यह proof समझा नहीं, याद किया है। पूरी सीढ़ी 1 बार देख लीजिए। 8 steps। step 1 मान्यता है। और किन steps पर ठहरना ज़रूरी है? यहाँ step 4 वह है जिसे आमतौर पर बिना argument के मान लिया जाता है, और जिसे हमने भरा। step 8 टक्कर है। ध्यान दीजिए कि आख़िरी step किस पर उँगली रखता है: step 1 पर।

13:30बीच में 6 steps पड़े हैं, और उन 6 में एक भी ग़लती नहीं है। हर 1 या तो simple arithmetic है, या वह चीज़ जो हमने ख़ुद साबित की। reasoning सही, अंत नामुमकिन। इसलिए शुरुआत ग़लत थी। इस length को किसी भी writing से नहीं लिखा जा सकता, चाहे उसके हिस्से कितने भी बड़े हों। अब पीछे मुड़कर देखिए। 800000 writings जाँचकर हमें कुछ नहीं मिला था, और इतने भर के argument ने सारी writings एक साथ ख़ारिज कर दीं।

14:00यही इस तरीक़े की असली ताक़त है। अब सबसे ज़रूरी चेतावनी, वरना यह video फ़ायदे से ज़्यादा नुक़सान कर जाएगा। अभी-अभी 1 square root को नामुमकिन साबित किया गया। इसका यह मतलब बिलकुल नहीं कि सारे square roots ऐसे हैं। तो 81 के साथ यही scan क्या करता है? 81 को लीजिए। उसी 200 गुणा 120 grid पर, जिन writings का square 81 है, वे 22 निकलती हैं। और उनमें lowest terms वाली सिर्फ़ 1 है: 9 बटा 1।

14:32तो वही scan 2 के लिए ख़ाली लौटता है और 81 के लिए भरा हुआ। सवाल यह है कि 81 पर यही argument कहाँ रुकता है। पहला जवाब जो सूझता है वह यह है: 81 किसी चीज़ का दुगुना नहीं है, इसलिए deduction वाला step टूट जाता है। यह जवाब ग़लत है। पहली नज़र में यही जवाब ठीक लगता है। पर वह जवाब आपको तब मिलता है जब आप शब्द वही रखकर सिर्फ़ number बदल देते हैं।

14:58argument बदलना और शब्द बदलना 2 अलग चीज़ें हैं। argument को ठीक से बदलिए। 2 की जगह 9 रखिए, क्योंकि 81 का square वाला हिस्सा 9 है। अब देखिए: 81 अगर p गुणा p को बाँटता है, तो 9 सचमुच p को बाँटता है। deduction वाला step बिलकुल चलता है। और 36 जैसे even perfect square पर तो parity वाला हिस्सा छुआ तक नहीं जाता। जो टूटता है वह अंत है।

15:2781 पर substitution के बाद जो हिस्सा बचता है, वह 60 गुणा 60 के grid पर 1 pair देता है: lower part 1, और k भी 1। उन दोनों में कोई common factor नहीं है, इसलिए ring सलामत रह जाती है। chain टकराता नहीं, चुपचाप बंद हो जाता है। और जिस proof by contradiction में contradiction ही न आए, वह कुछ साबित नहीं करता। जबकि 2 के लिए वही बचा हुआ हिस्सा 0 pairs देता है, और 12 के लिए भी 0।

15:55वहाँ बंद होने की कोई जगह नहीं बचती, इसलिए टकराना ही पड़ता है। यही वह step है जिस पर पूरा argument खड़ा है। तो असली सवाल यह बनता है। अगर n किसी square को बाँटता है, तो क्या n उस number को भी बाँटता है? जवाब है: हमेशा नहीं। 4 को लीजिए। 4, 2 के square को बाँटता है, पर 4, 2 को नहीं बाँटता। सबसे छोटा गवाह यही 2 है।

16:2312 भी नाकाम रहता है, और उसका सबसे छोटा गवाह 6 है। यहाँ 2, 3, 5 और 7 के लिए यह step चलता है। 10 के लिए भी चलता है, हालाँकि 10 prime नहीं है। इसीलिए 10 वाले case में थोड़ी और सावधानी लगती है। कई students को लगता है कि तरीक़ा हर जगह वैसे ही चल जाएगा। इसलिए 'यही तरीक़ा हर number पर चल जाता है' कहना ज़्यादा कहना होगा।

16:49सवाल पूछा गया था, जवाब मान नहीं लिया गया था। 2 से 60 तक 59 numbers हैं। इनमें यह step 36 पर चलता है और 23 पर नहीं। और जिन पर चलता है वे ठीक वही हैं जिनमें कोई square factor बचा ही नहीं। इन 2 पहचानों को अलग होते हुए पकड़ने की कोशिश की गई, और अलग होते मिले: 0 numbers। तो यहाँ 2 अलग जाँचें चल रही हैं, और उन्हें मिलाइए मत।

17:15बीच वाला step उन numbers पर चलता है जिनमें square factor नहीं बचा। और अंत तब टकराता है जब substitution के बाद 1 से बड़ा कुछ बचे। 2 के लिए 2 बचता है, 12 के लिए 3 बचता है, और 81 के लिए 1। इसीलिए 81 टकराता नहीं। आख़िर में 1 आख़िरी ग़लतफ़हमी। कोई कहेगा कि यह length तो 1414 बटा 1000 के आसपास है, और ऐसी हर writing तो rational ही है।

17:44बात सही है, और नतीजा ग़लत। 5 readings लीजिए: 1, फिर 14 बटा 10, फिर 141 बटा 100, फिर 1414 बटा 1000, और फिर 14142 बटा 10000। देखिए, इनमें से हर 1 सचमुच rational है, और हर 1 को 2 whole numbers के भाग की तरह लिखा जा सकता है। और सभी 5 के squares 2 से कम हैं। कोई भी पहुँचता नहीं। चौथी reading की चूक 151 बटा 250000 है।

18:18और आख़िरी की चूक उससे भी कहीं छोटी है। चूक छोटी होती जाती है: 5 readings में ऐसा 0 बार हुआ कि अगली reading पिछली से दूर चली जाए। पर छोटी होती जाना पहुँच जाना नहीं है। और यही पूरा फ़र्क़ है। 1 सावधानी और, कि सिर्फ़ चूक का sign देखकर मत चलिए। 15 बटा 10 का square 225 बटा 100 है, जो 2 के पार निकल जाता है। उसे तो sign सुधार बता देगा।

18:45इसलिए चूक का size देखा जाता है, उसकी दिशा नहीं। तो आख़िर में क्या दिखा? यह कि 1 ख़ास number के लिए कोई writing है ही नहीं। और यह ढूँढकर नहीं दिखा, argument से दिखा — इसीलिए यह हर writing पर एक साथ लागू होता है। और क्या नहीं दिखा? यह video यह नहीं कह रहा कि line भर गई है, या कि वह ख़ाली है। वह अलग सवाल है, और उसका जवाब यहाँ नहीं है।

19:11जिस square को आप ruler से बना सकते हैं, उसका diagonal मौजूद तो है। तो जो चीज़ मौजूद है और जिसे लिखा नहीं जा सकता, उसे numbers की दुनिया में जगह किस तरह दी जाए?