π: Āryabhaṭa के approximation से Mādhava की infinite series तक

0:00किसी भी circle को लीजिए। उसकी boundary की लंबाई को उसके diameter से भाग दीजिए। जो number मिलता है, उसी को π कहते हैं। circle छोटा हो या बड़ा, यह भाग हमेशा वही number देता है। इसीलिए π एक number है, किसी एक circle की माप नहीं। तो असली सवाल यह है कि वह number है कितना? सीधे नाप लेना यहाँ काम नहीं आता। boundary टेढ़ी है और ruler सीधा है, और टेढ़े को सीधे से पढ़ा नहीं जा सकता।

0:32इसलिए हम boundary को सीधी sides वाली shapes से घेरते हैं। sides की लंबाई नापी जा सकती है, curve की नहीं। यहाँ circle के अंदर एक regular hexagon बनाइए, जिसके छहों corners circle पर हों। अब हम circle की जगह इस hexagon को नापेंगे। देखिए, इस hexagon की हर side बिल्कुल radius जितनी होती है। तो perimeter 6 radius हुआ, और diameter 2 radius। भाग देने पर बचता है ठीक 3, बिना किसी rounding के।

1:04यह हमने 6 अलग-अलग radius पर जाँचा, और छहों बार वही 3 आया। radius कट जाता है, इसलिए shape का size जवाब बदलता ही नहीं। यही काम square से कीजिए तो ratio का square ठीक 8 निकलता है, और यह भी हर radius पर वही रहता है। hexagon का ratio 3 है, यानी उसका square 9। तो hexagon square से बेहतर है, क्योंकि उसकी sides ज़्यादा हैं। पर दोनों π से कम पड़ते हैं, और यह इत्तिफ़ाक़ नहीं है।

1:33दोनों shapes circle के अंदर हैं, और अंदर की सीधी line बाहर के curve से हमेशा छोटी होती है। अब एक shape अंदर रखिए और एक बाहर। अंदर वाला कम बताएगा और बाहर वाला ज़्यादा, तो π बीच में फँस जाएगा। यहाँ 12 sides पर अंदर वाला 3.1058 देता है और बाहर वाला 3.2153। π इन्हीं दोनों के बीच कहीं है। अब इन sides को दोगुना करते जाइए। हमने 8 बार दोगुना करके जाँचा, और आठों बार अंदर वाला कम रहा और बाहर वाला ज़्यादा।

2:09हर बार दोनों ends एक-दूसरे के क़रीब आते हैं। 18 बार दोगुना करने पर दोनों ends के बीच का फ़ासला 0.000001 से भी कम रह जाता है। यानी π के 6 decimal places इसी तरीक़े से तय हो जाते हैं। पर देखिए कि यह कहीं रुकता नहीं। यह एक rule है जो हमेशा बेहतर जवाब देती रहती है, एक जवाब नहीं जो लिख कर रखा जा सके। rule अपनी जगह ठीक है, पर उससे हिसाब नहीं होता।

2:40लोग एक ऐसा number चाहते थे जिसे लिख कर, याद रख कर, आगे बढ़ा जा सके। इसलिए बहुत लंबे समय तक एक के बाद एक बेहतर fractions खोजे जाते रहे। हर नया fraction पिछले से थोड़ा और क़रीब बैठता था। उन्हीं में से एक fraction है 3927 बटा 1250। यह आज भी इस काम का सबसे साफ़ उदाहरण है। तो यहाँ 2 सवाल बनते हैं। पहला यह कि यह fraction कितना अच्छा है?

3:10और दूसरा यह कि कोई fraction काफ़ी अच्छा हो भी सकता है? पहले इसे divide करके देखिए। 3927 बटा 1250 निकलता है 3.1416। यहाँ एक बात ध्यान देने की है। यह decimal 4 places के बाद ख़त्म हो जाता है। इसे गोल नहीं किया गया, यह सचमुच वहीं रुक जाता है। वजह denominator में है। 1250 को तोड़िए तो मिलता है 2 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 5।

3:43और कोई prime इसमें है ही नहीं। जिस fraction के denominator में सिर्फ़ 2 और 5 हों, उसी का decimal ख़त्म होता है। हमने यह rule 10 fractions पर जाँचा और दसों पर सही निकला, जिनमें 5 ख़त्म होते हैं और 5 नहीं। अब दोनों को साथ रखिए। π शुरू होता है 3.1415926535 से, और हमारा fraction है 3.1416। दोनों 3.141 तक साथ चलते हैं और चौथे place पर अलग हो जाते हैं।

4:18यानी 3 decimal places तक मेल है, उससे आगे नहीं। फ़र्क़ नापिए तो fraction π से ऊपर है। और ऊपर है 0.0000073 से ज़्यादा, पर 0.00000735 से कम। यह चूक इतनी छोटी है कि board पर दिखाने के लिए उसे बड़ा करना पड़ता है। इसीलिए इस fraction को बहुत अच्छा कहना बनता है। यहाँ एक और fraction याद आता है, जो लगभग हर student के पास पहले से होता है।

4:53वह fraction है 22 बटा 7। उसे भी उसी तरह नापिए। वह भी π से ऊपर है, पर सिर्फ़ 2 decimal places तक मेल खाता है। और उसकी चूक उस fraction की चूक से 170 गुना से ज़्यादा बड़ी है, और 173 गुना से कम। board पर दोनों चूकों को bars की तरह रखिए तो फ़र्क़ साफ़ दिखता है। ऊपर से उसका decimal ख़त्म भी नहीं होता, क्योंकि उसके denominator में 7 है।

5:20और 7 न 2 है न 5, तो हमारी rule उसे बाहर कर देती है। तो 22 बटा 7 याद रखने में आसान है, अच्छा नहीं। याद रह जाना और सही होना 2 अलग बातें हैं। अब उस fraction की सबसे अहम बात। जिसने इसे लिखा, उसने इसके साथ यहाँ एक label भी लगाया। उस label का मतलब था कि यह क़रीब की value है, आख़िरी जवाब नहीं। साथ में यह भी कहा गया कि शायद कोई exact fraction मिलेगा ही नहीं।

5:52यह कमज़ोरी नहीं है, इसलिए board पर दोनों को साथ रखिए। जो value अपनी हद बता कर आती है, वह उस value से बेहतर है जो बिना हद के आती है। क्योंकि पहली से आप जानते हैं कि उस पर कहाँ तक भरोसा करना है। पर शक और सबूत 2 अलग चीज़ें हैं। तो सवाल यह कि कोई fraction काम क्यों नहीं करेगा? इसका जवाब बहस से नहीं मिलेगा, search चला कर मिलेगा।

6:19हमने 1 से 10000 तक हर denominator लिया। हर एक से पूछा कि क्या कोई numerator इसे ठीक π पर बिठा सकता है। 10000 में से 0 बिठा पाए। यहाँ hits वाला column पूरा ख़ाली रह जाता है। पर ख़ाली जवाब अपने आप में कुछ साबित नहीं करता। हो सकता है search ही सो रहा हो। इसलिए वही search उसी fraction पर चलाया गया, बाक़ी सब कुछ वैसा ही रख कर।

6:45वह 1250 पर बैठ गया, और 1250 के हर multiple पर भी, कुल 8 जगह। अब दोनों counts यहाँ साथ रखिए, एक ही machinery से 8 hits और 0 hits। तो π वाला 0 तरीक़े की कमी नहीं, number के बारे में एक finding है। पर एक fraction न मिलना और किसी भी finite तरीक़े का न चलना, ये अलग बातें हैं। शायद कई fractions को मिला कर π बन जाए?

7:12fractions के बारे में एक बात पहले से पक्की है। किन्हीं 2 fractions को जोड़िए, घटाइए, गुणा कीजिए या भाग दीजिए, जवाब फिर fraction ही रहता है। हमने 5 pairs पर चारों operations चलाए, कुल 20 combinations। बीसों बार जवाब fraction ही रहा। फिर 40 ऐसे लंबे expressions बनाए, जिनमें से हर एक 16 fractions को 15 operations से जोड़ता है। चालीसों का जवाब fraction ही निकला। यानी fractions का कोई भी finite जोड़-तोड़ fraction ही देता है।

7:45और π fraction नहीं है। इसलिए जो चीज़ π तक पहुँचेगी, वह finite हो ही नहीं सकती। endless होना यहाँ मजबूरी है, चालाकी नहीं। तो strategy बदलती है। एक number देने के बजाय एक rule दिया जाता है, जो जितनी देर चलाइए उतना बेहतर जवाब देती है। अब उस rule को शब्दों में रखते हैं। 1 से शुरू कीजिए, फिर 1 बटा 3 घटाइए, फिर 1 बटा 5 जोड़िए, फिर 1 बटा 7 घटाइए।

8:15नीचे के numbers odd हैं, एक के बाद एक, बिना कोई छोड़े। और signs बारी-बारी बदलते रहते हैं, plus से शुरू होकर। पूरे जोड़ को 4 से गुणा कर दीजिए। यही π है, क़रीब का नहीं, बिल्कुल। यह list कभी ख़त्म नहीं होती, और यही इसकी ख़ूबी है। पिछली scene में हमने देखा था कि finite चीज़ यहाँ काम कर ही नहीं सकती। अब rule को चला कर देखते हैं, एक-एक term करके।

8:42एक term लेने पर total सिर्फ़ 4 है। 2 terms पर 4 में से 4 बटा 3 घटता है, और बचता है 8 बटा 3। यह लगभग 2.666 है। 3 terms पर total है 52 बटा 15, यानी लगभग 3.466। 4 terms पर 304 बटा 105, यानी लगभग 2.895। और 5 terms पर लगभग 3.339। यानी 5 terms के बाद भी total पहले ही decimal place पर ग़लत है। उधर वह अकेला fraction 3 decimal places तक सही था।

9:19तो पहली नज़र में यह rule उस fraction से बहुत पीछे दिखती है। अब इन totals को एक line पर रखिए, जिस पर π की जगह तय है। पहला total 4 है, यानी line से काफ़ी ऊपर। दूसरा total 2.666 है, जो line से नीचे चला जाता है। तो total एक तरफ़ से दूसरी तरफ़ छलाँग लगाता है। जिन totals में terms की गिनती odd है, वे π के ऊपर गिरते हैं।

9:47और जिनमें even है, वे नीचे। यह हमने 200 totals पर जाँचा। उनमें 100 ऊपर हैं और 100 नीचे, और एक भी ठीक π पर नहीं बैठता। यहाँ एक बात अक्सर ग़लत बताई जाती है। कहा जाता है कि चूँकि totals ऊपर-नीचे कूदते हैं, इसलिए एक extra term कभी-कभी आपको और दूर ले जाता है। इसे जाँचने के लिए side नहीं, फ़ासला नापना पड़ेगा। यानी हर total और π के बीच की दूरी, चाहे वह ऊपर हो या नीचे।

10:19हमने 199 steps पर यह नापा। 199 में से 199 पर फ़ासला छोटा ही हुआ। एक भी step ऐसा नहीं मिला जो total को और ख़राब करता हो। तो वह बात सीधे-सीधे ग़लत है। असल में यहाँ 2 अलग बातें आपस में मिला दी जाती हैं। बदलती सिर्फ़ side है, बेहतरी नहीं। हर total पिछले से क़रीब है, बस दूसरी तरफ़ से। तो अगर हर step सुधार ही करता है, तो दिक़्क़त कहाँ है?

10:50दिक़्क़त रफ़्तार में है। n terms के बाद चूक लगभग 1 बटा n होती है। हमने यह 200 totals पर नापा। चूक गुणा n हर बार 1 से कम रहा, और दूसरे total से आगे 0.9 से ऊपर। 50 terms के बाद तो वह 1 से 0.0001 के अंदर आ जाता है। इसका मतलब बिल्कुल साफ़ है। एक और decimal place चाहिए तो terms 10 गुना चाहिए। इसीलिए 100000 terms जोड़ने के बाद भी यह series उस एक fraction से पीछे है।

11:23उस fraction की चूक अब भी छोटी है। 136000 terms पर भी series पीछे है। और 137000 पर जाकर वह उस fraction से आगे निकलती है। यानी वह अकेला fraction 100000 से ज़्यादा terms के बराबर था। तो endless जोड़ का मतलब क्या है? क्या अनगिनत चीज़ें जोड़ने से जवाब ख़ुद अनगिनत नहीं हो जाएगा? इसका जवाब नहीं है, और वजह terms में ही है। यहाँ terms छोटे होते जाते हैं और signs बारी-बारी बदलते हैं, इसलिए totals भागते नहीं, बैठ जाते हैं।

12:01नीचे लिखी definition देखिए, endless जोड़ की value वही है जिसकी तरफ़ running totals बढ़ते जाते हैं। यह कोई आख़िरी term नहीं है, क्योंकि आख़िरी term है ही नहीं। 2 terms जोड़िए, या 100, या 100000 — हर बार आपको एक approximation ही मिलती है। पर series ख़ुद approximation नहीं है। हर रुकावट approximation है, series exact है। और यही वह फ़र्क़ है जिस पर पूरा topic टिका है। एक fraction जो अपनी हद बताता है, और एक rule जिसकी कोई हद ही नहीं।

12:36आख़िर में π को line पर रखते हैं। वह 3 और 4 के बीच है। और 7 बटा 2 से पहले, यानी उसके बाईं ओर। तो line पर बाएँ से दाएँ क्रम बनता है 3, फिर π, फिर 7 बटा 2, फिर 4। अब इसे और कसते हैं। π बैठता है 3.1415 और 3.1416 के बीच, और यह interval ठीक 0.0001 चौड़ा है। इसी interval के अंदर हमने 3 rationals रखे, जो हैं 3.14151, 3.14159 और 3.141593।

13:17इनमें से 2 π से नीचे हैं और 1 ऊपर। तो rationals π को दोनों तरफ़ से घेर लेते हैं, जितना क़रीब चाहिए उतना क़रीब। घेरते सब हैं, पहुँचता कोई नहीं। और इसी में इस पूरी कहानी का असली मोड़ है। बेहतर fraction ढूँढना जवाब नहीं था, जवाब की परिभाषा बदलना था। जो चीज़ π तक पहुँचती है, वह एक number नहीं, एक rule है।