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Chapter 3 · The World of Numbers

denominator के prime factors से expansion पहले ही बता देना

The decimal expansion as a signature13 मिनट

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0.15 यानी 15 बटा 100, 0.375 यानी 375 बटा 1000, 0.052 यानी 52 बटा 1000 — जो decimal रुक जाता है वह नीचे 10 की किसी power वाला fraction है, और उल्टी तरफ़ से भी वही। तो सवाल fraction का नहीं रहा, नीचे वाले हिस्से का हो गया: क्या वह 10 की कोई power बन सकता है?

मुख्य idea

decimal और कुछ नहीं, एक ऐसा fraction ही है जिसका denominator दस की कोई घात हो, और दस भी और कुछ नहीं, 2 × 5 ही है। इसलिए lowest terms में लिखा कोई fraction दस की घात पर ठीक तभी दोबारा लिखा जा सकता है जब उसका denominator सिर्फ़ 2s और 5s से बना हो, और किसी चीज़ से नहीं। पूरी कसौटी बस इतनी है, और साथ में एक फ़ायदा भी आता है जिसे chapter उठाता ही नहीं: वही reasoning यह भी बता देती है कि कितने decimal places चाहिए होंगे — यानी दोनों exponents में से जो बड़ा हो उतने। "lowest terms में" वाली शर्त भी कोई पादटिप्पणी नहीं है — बिना घटाए हुए denominator में बैठा एक आवारा factor हर बार ग़लत फ़ैसला सुना देगा।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी denominator के primes निकालिए और पढ़ लीजिए कि उसमें सिर्फ़ 2s और 5s आते हैं या नहीं
  • बिना भाग दिए तय कीजिए कि कोई दिया हुआ fraction terminate करता है या नहीं
  • किसी terminating fraction को दस की घात वाले denominator पर बदलिए, और बताइए कि इसके लिए कौन सा multiplier इस्तेमाल हुआ
  • समझाइए कि जिस denominator में 2 या 5 के अलावा कोई prime हो उसे दस की घात में क्यों नहीं बदला जा सकता
  • समझाइए कि सिर्फ़ 2s और 5s से बना denominator हमेशा क्यों बदला जा सकता है
  • 2 और 5 के exponents से decimal places की संख्या का पूर्वानुमान लगाइए
  • समझाइए कि test लगाने से पहले fraction का lowest terms में होना क्यों ज़रूरी है, और एक ऐसा मामला दीजिए जहाँ इसे अनदेखा करना गुमराह कर देता है
  • किसी पूर्वानुमान को असली long division से जाँचिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
prime factorsवे primes जिनका गुणनफल कोई number देता हैअभाज्य गुणनखंड§3.6.1, p. 58 पर bold में छपा है
prime factorisationकिसी number को primes के गुणनफल के रूप में लिखनाअभाज्य गुणनखंडन§3.6.1, p. 58 पर छपा है
lowest termsवह लेखन जिसमें numerator और denominator का 1 से बड़ा कोई साझा factor न होनिम्नतम पद§3.6.1, p. 58 पर छपा है
terminating decimalवह decimal जो रुक जाता हैसांत दशमलव§3.6.1, p. 58 पर छपा है
decimal expansionकिसी number का decimal में लिखा हुआ रूपदशमलव प्रसार§3.6, p. 57 पर छपा है
power of 1010, 100, 1000 वग़ैरह में से कोई एकदस की घात§3.6.1, p. 58 पर छपा है
denominatorfraction का निचला हिस्सा, जिसके factors नतीजा तय करते हैंहर§3.4, p. 47 पर छपा है, और §3.6.1, p. 58 पर इसी तरह इस्तेमाल हुआ है
decimal placespoint के बाद के digits की गिनतीदशमलव स्थानchapter के आख़िर वाले exercises, Q11 और Q12, p. 65 में छपा है
balancing the exponentsयहाँ जोड़ा गया नाम — 2 या 5 में से जो कम पड़ रहा हो उसे तब तक ऊपर गुणा करते जाना जब तक दोनों गिनतियाँ बराबर न हो जाएँ—यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter एक example पर यह करता तो है, पर इसे आम रूप नहीं देता
place-count ruledecimal places की गिनती को बड़े exponent से पढ़ लेने का यहाँ जोड़ा गया नाम—यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter इसे exercise की तरह रख देता है और नियम कभी नहीं बताता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बड़े denominators दोहराते हैं और छोटे terminate करते हैं।" 13/250 terminate करता है और 4/15 दोहराता है। आकार बेमानी है; मायने सिर्फ़ इस बात के हैं कि कौन से primes आते हैं।
  • "पता करने के लिए भाग तो देना ही पड़ेगा।" इस subsection की पूरी बात ही यह है कि नहीं देना पड़ता। Q1 student से पहले पूर्वानुमान लगवाता है और फिर जाँच करवाता है, इसी क्रम में।
  • "विषम denominator का मतलब repeating decimal।" 1/5 और 13/250 कुछ और ही कहते हैं। मायने इस बात के हैं कि 2 और 5 के अलावा कोई prime मौजूद है या नहीं, सम-विषम होने के नहीं।
  • "denominator में से 3 को काटकर काम बना लीजिए।" lowest terms में नहीं, क्योंकि उसे काटने के लिए numerator में कुछ है ही नहीं। सब इसी वजह पर टिका है और इसे अपना अलग beat मिलना चाहिए।
  • "test fraction के किसी भी लेखन पर चल जाता है।" नहीं चलता। 3/6 test में फ़ेल होता है और फिर भी terminate करता है। पहले घटाइए, हमेशा।
  • "decimal places की गिनती denominator के prime factors की गिनती के बराबर होती है।" वह दोनों exponents में से बड़े के बराबर होती है। 2³ × 5 के लिए वह 3 है, 4 नहीं, और Q12 ठीक यही परखता है।
  • "3/80 चौथे place पर ख़त्म होता है, और 80 न 2 की घात है न 5 की, तो चौथे place पर ख़त्म होने वाले के नीचे 2⁴ या 5⁴ होना ज़रूरी नहीं।" यह Q10 वाला जाल है, और यह दो तरह से ग़लत है: जिस दावे को परखा जा रहा है वह सिर्फ़ विभाज्यता माँगता है, यह नहीं कि denominator कोरी घात ही हो, और 80 = 2⁴ × 5 है, जो 2⁴ से विभाज्य है। Q10 का जवाब हाँ है। counterexample ढूँढ़ने के बजाय दिखाइए कि कोई हो ही क्यों नहीं सकता — place 4 बड़े exponent को 4 होने पर मजबूर कर देता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 3.5 Q1, End-of-Chapter Exercises Q10, End-of-Chapter Exercises Q11, End-of-Chapter Exercises Q12

पूरा transcript1,848 शब्द

board पर 3 decimals लिखे हैं जो रुक जाते हैं। 0.15, फिर 0.375, और फिर 0.052। तीनों कहीं न कहीं ख़त्म हो जाते हैं। पहले वाले को fraction की तरह लिखिए। 0.15 यानी 15 बटा 100। यह वही number है, बस दूसरी तरह लिखा हुआ। बाक़ी दोनों भी ऐसे ही। 0.375 यानी 375 बटा 1000, और 0.052 यानी 52 बटा 1000। अब तीनों के नीचे वाले हिस्से देखिए, 100, फिर 1000, फिर 1000।

हर बार नीचे 10 की कोई power बैठी है। और यह बात उल्टी तरफ़ भी चलती है, क्योंकि 10 की power पर लिखा कोई भी fraction एक रुकने वाला decimal ही है। तो असली सवाल यही है। कौन-से fractions इस तरह लिखे जा सकते हैं? और यह सवाल fraction के नीचे वाले हिस्से का है, ऊपर वाले का नहीं। 10 को तोड़िए। 10 बनता है 2 और 5 से। बस यही 2 primes इसके अंदर हैं।

अब 100 को तोड़िए। यहाँ 2 भी 2 बार आता है और 5 भी 2 बार, और इनके सिवा कुछ नहीं। 1000 में दोनों की गिनती 3 है। हर बार वही 2 primes, बस गिनती बढ़ती जाती है। कई students इसे बस एक pattern मान लेते हैं। पर वजह साफ़ है, क्योंकि 10 ख़ुद 2 गुणा 5 है। इसलिए 10 की किसी भी power के अंदर इन 2 के अलावा कुछ आ ही नहीं सकता।

10 की 41 powers पर यह जाँचा गया, और हर एक में 2 की गिनती और 5 की गिनती बिल्कुल बराबर निकली। तो इस पूरे video में 2 और 5 ही allowed primes हैं। बाक़ी हर prime रास्ता रोकता है। अब तक सवाल यह था। क्या यह fraction रुकता है? इसे दूसरी तरह पूछिए। क्या इसके नीचे वाले हिस्से को 10 की power बनाया जा सकता है? ये दोनों एक ही सवाल हैं।

10 की power पर लिखा fraction रुकने वाला decimal है, और रुकने वाला decimal 10 की power पर लिखा जा सकता है। एक पल रुकिए और सोचिए। क्या 20 को 10 की power बनाया जा सकता है? आगे से board सिर्फ़ दूसरा सवाल पूछेगा, पहला नहीं। और वह सवाल पूरी तरह इस बात पर टिका है कि नीचे वाला हिस्सा किन primes से बना है। हमारे पास एक ही move है।

fraction के ऊपर और नीचे, दोनों को एक ही number से multiply कर दीजिए। यहाँ 3 बटा 20 को 5 बटा 5 से multiply कीजिए। मिलता है 15 बटा 100। इस move से लिखावट बदलती है, number नहीं। value वही की वही रहती है। अब right side पर दूसरा move देखिए। 4 बटा 15 में नीचे वाला 3 काट देना। पहली नज़र में यह move भी ठीक लगता है। पर lowest terms में ऊपर ऐसा कुछ बचा ही नहीं जिससे यह 3 कट सके।

तो रास्ता एक ही है। multiply कर सकते हैं, cancel नहीं। 15 को तोड़िए। 15 बनता है 3 और 5 से। यह 3 ही मुश्किल खड़ी करता है। अब 10 की powers एक-एक करके आज़माइए। 10, फिर 100, फिर 1000, फिर 10000। इनमें से कोई भी 15 का multiple नहीं है। हर बार कुछ न कुछ बच जाता है। इसकी वजह ऊपर वाले boards पर लिखी है। 10 की किसी भी power के अंदर सिर्फ़ 2 और 5 हैं।

तो नीचे बैठा 3 किसी में जा ही नहीं सकता। उसे हटाने के लिए ऊपर 3 चाहिए, और multiply करने से वह कभी नहीं मिलेगा। 2 से 500 तक के 499 denominators में से 476 ऐसे ही हैं। इनमें से कोई 10 की किसी power को divide नहीं करता। और sweep के 18220 दोहराने वाले fractions में से एक भी 10 की किसी power पर पूरा नहीं लिखा जा सकता, 10 की 40 वाली power तक जाँचकर।

तो एक तरफ़ का जवाब पूरा हो गया। जिसमें 2 और 5 के अलावा कुछ है, वह कभी नहीं रुकेगा। अब दूसरी तरफ़। कई students को यहाँ लगता है कि हर बार नया तरीक़ा ढूँढ़ना पड़ेगा। पर तरीक़ा एक ही है, 2 की गिनती एक column में और 5 की गिनती दूसरे column में। 20 के लिए यह गिनती है, 2 वाली 2 और 5 वाली 1। left में 2 marks, right में 1।

छोटी वाली तरफ़ एक 5 और जोड़ दीजिए। अब दोनों columns बराबर ऊँचे हैं। जब 2 और 5 की गिनती बराबर हो जाए, तो नीचे वाला हिस्सा 10 की power बन जाता है। यहाँ वह 100 है। जो number आपने multiply किया, उसे balancing number कहिए। इस case में वह 5 था। यह number हमेशा या तो सिर्फ़ 2 से बनता है या सिर्फ़ 5 से, दोनों से कभी नहीं।

यह गिनतियों के 169 जोड़ों पर चलाकर देखा गया। हर बार यह ठीक 10 की उसी power पर उतरता है। और 169 में से 13 जोड़े ऐसे हैं जहाँ गिनती पहले से बराबर है। वहाँ balancing number 1 है, यानी करना कुछ नहीं है। अब पूरी chain एक साथ देखिए। शुरू करते हैं 3 बटा 20 से। 20 यानी 2 squared गुणा 5। इसमें 2 वाली गिनती 2 है और 5 वाली 1।

5 की गिनती एक कम है। तो ऊपर और नीचे, दोनों को 5 से multiply कीजिए। अब यह बन गया 15 बटा 100। और 15 बटा 100 यानी 0.15। यही जवाब है, और यह बिना divide किए मिला। ऊपर 15 बचा, जो 10 का multiple नहीं है, इसलिए आख़िरी digit 0 नहीं है। हर step पिछले 2 boards से आया है। कोई नया rule यहाँ नहीं जोड़ा गया। अब वही 2 गिनतियाँ numbers की तरह लिखिए।

2 वाली 2, और 5 वाली 1। इनमें बड़ी गिनती 2 है। और 0.15 में decimal places भी 2 ही हैं। कई students यहाँ दोनों गिनतियाँ जोड़ देते हैं। पर rule यह है, decimal places उतने ही होते हैं जितनी बड़ी वाली गिनती। वजह भी वही है। balancing करने पर नीचे वाला हिस्सा 10 की उसी power पर पहुँचता है जो बड़ी गिनती है। sweep के 1680 रुकने वाले fractions पर यह rule चलाया गया।

एक भी जगह फ़र्क़ नहीं मिला। और वही 1680 fractions 10 की अपनी-अपनी power पर ठीक-ठीक लिखे भी जा सकते हैं। फिर 405 और denominators बनाकर जाँचा गया, 10 की 8 वाली power तक। वहाँ भी वही जवाब। और आख़िरी place पर कभी 0 नहीं आता। रुकने वाला decimal 0 पर ख़त्म नहीं होता। अब एक सवाल। यहाँ 3 rules लिखे हैं और तीनों 0.375 वाले case पर फ़िट बैठते हैं।

इनमें से कौन-सा सही है? पहला rule कहता है, prime factors गिन लीजिए। 40 में 2 का हिस्सा 3 बार आता है और 5 एक बार, यानी 4 prime factors। पर places सिर्फ़ 3 हैं, क्योंकि बड़ी गिनती 3 है। दूसरा rule कहता है, बड़ा denominator दोहराता है। पर 1020 रुकने वाले fractions ऐसे हैं जिनका नीचे वाला हिस्सा 100 से बड़ा है। तीसरा rule कहता है, odd denominator दोहराता है।

पर 5, 25 और 125 odd हैं और रुक जाते हैं, जबकि 3, 7 और 9 odd हैं और दोहराते हैं। तीनों rules गिर गए। सिर्फ़ 2 और 5 की गिनतियाँ ही फ़ैसला करती हैं। अब 3 fractions लीजिए। 7 बटा 20, फिर 4 बटा 15, और फिर 13 बटा 250। अभी कुछ भी divide नहीं किया गया। पहले card पर 20 है, यानी 2 squared गुणा 5। तो यह रुकेगा, और 2 places में।

दूसरे card पर 15 है, और उसमें 3 बैठा है। तो यह दोहराएगा। तीसरे card पर 250 है, यानी 2 गुणा 5 cubed। तो यह रुकेगा, और 3 places में। अब हर card के नीचे division चलाइए। मिलता है 0.35, फिर 0.2 और उसके बाद 6 दोहराता हुआ, और फिर 0.052। पहला 2 places में रुका, तीसरा 3 places में, और बीच वाला रुका ही नहीं। बहुत से students यहाँ पहले divide करते हैं और बाद में सोचते हैं।

यहाँ उल्टा हुआ, और तीनों cards सही निकले। जवाब division से पहले लिखा गया था, बाद में नहीं। अब एक जाल देखिए। यह fraction है 3 बटा 6, जैसे लिखा है ठीक वैसे ही। नीचे 6 है, यानी 2 गुणा 3। test कहता है, इसमें 3 है, तो यह दोहराएगा। पर 3 बटा 6 तो 1 बटा 2 है, और वह 0.5 है। यह रुक जाता है। 6 बटा 15 की भी यही कहानी।

वह 2 बटा 5 है, यानी 0.4। दोनों में एक ही बात हुई। ऊपर वाले हिस्से ने उस 3 को पहले ही काट दिया, test चलाने से पहले। अब इसके साथ 4 बटा 15 रखिए। यह कम नहीं होता, और सचमुच दोहराता है। यानी नीचे लिखा 15 दोनों जवाब देता है। सिर्फ़ lowest terms में लिखने पर ही दोनों अलग हो पाते हैं। sweep में 629 fractions ऐसे हैं जिन पर लिखी हुई शक्ल से test ग़लत जवाब देता।

बाक़ी 1051 पहले से ही 2 और 5 वाले denominator पर लिखे हैं, और दोनों मिलाकर वही 1680 बनते हैं। उल्टी तरफ़ एक भी ग़लती नहीं होती। अब पूरा sweep। 2 से 200 तक हर denominator, और उसके नीचे हर fraction। कुल 19900। हर एक के लिए जवाब और places, सिर्फ़ factors देखकर लिख दिए गए। पहले lowest terms में लाइए, फिर नीचे वाले हिस्से के 2 और 5 गिन लीजिए, बस इतना ही।

इसमें कितनी long divisions चलीं? यह गिना गया है, और वह गिनती 0 है। बहुत से students मानते हैं कि divide किए बिना पता नहीं चलता। फिर इन्हीं को divide करके जाँचा गया, और उसमें 21580 long divisions लगीं। दोनों जवाब पूरे 19900 पर मिलते हैं, verdict भी और places भी। इनमें 1680 रुक जाते हैं और 18220 दोहराते हैं। तीसरा ढेर कोई नहीं। अब सबसे मुश्किल सवाल। किसी decimal का आख़िरी non-zero digit चौथी place पर है।

नीचे वाले हिस्से में क्या होना ही चाहिए? अब वही rule लगाइए, क्योंकि places 4 हैं। तो बड़ी गिनती भी 4 ही होगी। यानी 2 की गिनती 4 है, या 5 की गिनती 4 है। तो नीचे वाला हिस्सा 16 से divide होता है, या 625 से। sweep में ऐसे 160 fractions मिले। lowest terms में उनके denominators सिर्फ़ 16 और 80 हैं। sweep 625 वाली तरफ़ पहुँच ही नहीं सकता, तो वह तरफ़ denominators बनाकर जाँची गई।

बनाए गए denominators में 9 ऐसे निकले जिनकी बड़ी गिनती 4 है, 5 वे जो 2 की तरफ़ से वहाँ पहुँचते हैं और 5 वे जो 5 की तरफ़ से, और 10000 दोनों में गिना जाता है। और यहीं जाल है। 80 न 2 की power है, न 5 की। फिर भी यह चलता है, क्योंकि 80 के अंदर 16 बैठा है। सवाल divide होने का था, ख़ुद power होने का नहीं।

तो अंत में 2 ही रास्ते हैं। रुक जाना, या दोहराना। नीचे सिर्फ़ 2 और 5 हों तो रुकता है। कुछ और हो तो दोहराता है। और जो बड़ी गिनती है, वही बताती है कि कितनी places लगेंगी। कई students सोचते हैं कि यह rule सिर्फ़ रुकने वालों के लिए है। वही गिनती दूसरी तरफ़ भी काम करती है, क्योंकि दोहराने वाले decimal में block से पहले उतने ही digits आते हैं।

11 बटा 12 में यह 2 है, और 1 बटा 7 में 0 है क्योंकि 7 में न 2 है न 5, और यह sweep के पूरे 18220 पर जाँचा गया। यानी fraction का नीचे वाला हिस्सा जवाब पहले से लिए बैठा था। divide करना सिर्फ़ उसे पढ़ना था।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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