Common ratio, और nth term ar^(n−1) क्यों होता है

0:00एक पैटर्न लो जो हर stage पर 3 cell चौड़ा रहता है, पर जिसकी rows हर बार दोगुनी हो जाती हैं। पहले stage में 3 cell हैं। नीचे देखो: फिर 6, फिर 12, फिर 24। ये गिनकर निकाले गए हैं, मान नहीं लिए गए। आगे बढ़ाओ तो पट्टी बनती है: 3, 6, 12, 24, 48, 96। पिछली बार हमने ऐसी हर पट्टी को जोड़ के रूप में लिखा था। क्या यहाँ भी वही चलेगा?

0:30करके देखते हैं। मक़सद नियम ढूँढ़ना है, सिर्फ़ बयान करना नहीं। 3 में 3 जोड़ो तो 6। 6 में 6 जोड़ो तो 12। 12 में 12 जोड़ो तो 24। हर क़दम जोड़ ही है। पर नीचे देखो: जितना जुड़ रहा है वो हर बार बदल जाता है। यानी फ़ासले बराबर नहीं हैं। फ़ासले वाली जाँच यहाँ कुछ भी हाथ में नहीं देती। तो क्या यहाँ कोई नियम है ही नहीं?

1:00और यहीं फँसने की जगह है। तुम्हें लगेगा कि जब फ़ासले बराबर नहीं तो पैटर्न है ही नहीं। पर तस्वीर में पैटर्न साफ़ दिख रहा है। हर stage पर rows दोगुनी हो रही हैं। तो ग़लती पैटर्न में नहीं, उसे बयान करने के तरीक़े में है। जोड़ से नियम नहीं मिला, तो गुणा से मिलेगा क्या? उन्हीं गिनतियों को गुणा के रूप में लिखो: 3, फिर 3 गुणा 2, फिर 3 गुणा 4, फिर 3 गुणा 8।

1:31अब 4 खुद 2 गुणा 2 है, और 8 है 2 गुणा 2 गुणा 2। तो row बनती है 3, 3 गुणा 2, 3 गुणा 2 की power 2, 3 गुणा 2 की power 3। exponent 0, 1, 2, 3 चलते हैं। पहली नज़र में लगता है कि exponent जगह के बराबर होगा, इसलिए ये नीचे गिनकर लिखे गए हैं, ऊपर से बताए नहीं गए। हर exponent यही बताता है कि वहाँ तक पहुँचने में कितनी बार दोगुना किया गया।

2:00यह बात जाँची जा सकती है। तो जाँचते हैं। पहले पद से चलकर चौथे पद तक जाओ और गुणा पर counter लगा लो। यहाँ counter 3 पर रुकता है। 10वें पद तक चलो तो counter 9 पर रुकता है। और पहले पद पर खड़े हो तो counter क्या दिखाता है? कुछ भी नहीं। वहाँ 0 गुणा हुए हैं। 30 जगहों पर यह जाँचा गया। हर एक पर counter जगह से 1 कम निकला।

2:29तो nवाँ पद है 3 गुणा 2 की power n घटा 1। और चलकर निकाला जवाब इस नियम से उन्हीं 30 जगहों पर मिला। अब वो नियम जो पहली बार में सब लिखते हैं: a गुणा r की power n। तुम्हें लगेगा कि exponent वही होना चाहिए जो जगह है। सबसे सस्ती जाँच पहले पद पर है। वहाँ यह 6 देता है, जबकि पद 3 है, क्योंकि पहले पद पर एक भी गुणा नहीं हुआ।

2:58यह थोड़ा-सा ग़लत नहीं है। यह पूरे एक गुणा से ग़लत है, और 20 की 20 जगहों पर। दोनों सिर्फ़ तब मिलते हैं जब ratio 1 हो, यानी वो चाल जो कुछ करती ही नहीं। वहाँ 20 की 20 जगहों पर मिलते हैं। और किसी भी दूसरे ratio पर? 5 ratio और 10 जगहें, यानी 50 case। एक पर भी नहीं मिलते। अब असली बदलाव, जो जाँच में है। तो सही जाँच कौन सी है?

3:28arithmetic progression में हम लगातार 2 पद घटाते थे। यहाँ घटाने की जगह भाग देना है। यहाँ देखो: 6 बटा 3, 12 बटा 6, 24 बटा 12, 48 बटा 24, और 96 बटा 48। 5 भाग, और जवाब एक ही: हर बार 2। यही संख्या common ratio है, इसलिए यह पट्टी geometric progression है। और पाँचों भाग सचमुच किए गए हैं। एक भी मान नहीं लिया गया। अब दोनों जाँचें दोनों तरह की पट्टियों पर चलाकर देखो।

4:04कौन सी जाँच किसका फ़ैसला करती है? ऊपर देखो: 1, 5, 9, 13, 17, 21। इसके फ़ासले सब 4 हैं। और इसके भाग वाले जवाब एक जैसे नहीं हैं। और tile वाली पट्टी पर उल्टा है: भाग वाले जवाब एक जैसे हैं, फ़ासले नहीं। तो कोई एक जाँच सही जाँच नहीं है। हर जाँच अपने परिवार का फ़ैसला करती है। और एक पट्टी ऐसी भी है जिसे दोनों जाँचें एक साथ तय कर देती हैं: वही संख्या बार-बार।

4:38अगला सवाल: ratio वाली जाँच को कितनी जोड़ियाँ देखनी पड़ती हैं? यहाँ देखो: 1, 2, 4, 7। क्या यह geometric है? पहला भाग 2 देता है। यहीं बहुत से students रुक जाते हैं और कह देते हैं: हाँ, ratio 2। अगला भाग 7 बटा 4 देता है। फ़ैसला वहीं गिर जाता है। उस एक ratio से जो पट्टी बननी चाहिए थी वो है 1, 2, 4, 8। नीचे देखो: असली पट्टी से यह ठीक 1 जगह पर अलग है।

5:15और 1, 2, 4, 8 पर वही कमज़ोर जाँच वही फ़ैसला और वही ratio देती है, पर अब 0 जगह पर फ़र्क़ है। यानी कमज़ोर जाँच इन दोनों में फ़र्क़ ही नहीं कर पाती। पूरी जाँच कर लेती है। और सिरों पर मिल जाना भी काफ़ी नहीं है। 1, 2, 10, 20 के भाग हैं 2, 5, 2। इस पट्टी से ratio माँगो तो जवाब नहीं मिलता, इनकार मिलता है।

5:43अब आम तौर पर क्या बनता है? पद हैं a, फिर a गुणा r, फिर a गुणा r की power 2, फिर power 3। नीचे फिर वही गिनती: 0, 1, 2, 3। बिल्कुल पहले जैसी। तो nवाँ पद है a गुणा r की power n घटा 1। यहाँ देखो, इसे चाल की तरह भी कह सकते हैं: शुरू a से, और हर पद पिछले पद गुणा r। इस चाल को पिछला पद चाहिए।

6:15इसलिए यह जगह 2 से मानती है, जगह 1 पर नहीं। एक रूप को पिछला पद चाहिए, दूसरे को सिर्फ़ जगह। 3 पट्टियाँ जल्दी से। हर एक का ratio क्या है? यहाँ देखो: 1, 2, 4, 8, 16 geometric है, ratio 2। 1, 3, 9, 27, 81 geometric है, ratio 3। और 1, ऋणात्मक 1, 1, ऋणात्मक 1 भी geometric है, ratio ऋणात्मक 1। यहाँ बहुत से students चौंक जाते हैं।

6:54यह न बढ़ती है न घटती। नीचे इसकी नाप देखो: पाँचों जगहों पर 1 ही रहती है। 12 पद तक यह सिर्फ़ 2 ही क़ीमतें रखती है, और 11 की 11 भागों पर जाँच पास कर जाती है। तो बढ़ना परिभाषा का हिस्सा नहीं है। बराबर ratio है। क्या घटती हुई पट्टी भी geometric हो सकती है? यहाँ देखो: 5, 15 बटा 4, 45 बटा 16, 135 बटा 64। fraction को fraction से भाग देकर देखो।

7:26तीनों भाग 3 बटा 4 पर आते हैं। पहला पद 5, ratio 3 बटा 4। तो nवाँ पद है 5 गुणा 3 बटा 4 की power n घटा 1, और यह 20 जगहों पर जाँचा गया। इसके पद 11 की 11 क़दमों पर घटते हैं। और 40 पद तक एक भी पद शून्य तक नहीं पहुँचता। यह घटती जाती है, पहुँचती कभी नहीं। अब ऋणात्मक ratio। यह एक काम नहीं, 2 काम करता है।

7:57ratio ऋणात्मक 2, पहला पद 1। पद बनते हैं 1, ऋणात्मक 2, 4, ऋणात्मक 8। यह बढ़ रही है या घट रही है? अब सिर्फ़ नाप देखो, चिह्न छोड़कर: 1, 2, 4, 8। यह 7 की 7 क़दमों पर बढ़ती है। और सिर्फ़ चिह्न देखो: यह 7 की 7 क़दमों पर पलटता है। नाप और चिह्न 2 अलग नतीजे हैं, इसलिए उन्हें 2 अलग rows में रखा गया है। अब ratio ऋणात्मक 1 बटा 2।

8:33पद हैं 3, ऋणात्मक 3 बटा 2, 3 बटा 4, ऋणात्मक 3 बटा 8। अब नाप 7 की 7 क़दमों पर घटती है, और चिह्न फिर भी 7 की 7 पर पलटता है। घटना और पलटना, दोनों एक साथ। बहुत से students को यही मानना सबसे मुश्किल लगता है। और यह फिर भी geometric progression है। जाँच वही है: बराबर ratio। 3 और पट्टियाँ। इनमें से कौन सी geometric है?

9:05यहाँ देखो, इनमें से एक भी मना नहीं होती। 2, 10, 50, 250 का ratio 5 है। तो nवाँ पद है 2 गुणा 5 की power n घटा 1, और यह 20 जगहों पर टिका। 4, 8 बटा 3, 16 बटा 9, 32 बटा 27 का ratio 2 बटा 3 है। और नीचे: 3, ऋणात्मक 3 बटा 2, 3 बटा 4, ऋणात्मक 3 बटा 8 का ratio ऋणात्मक 1 बटा 2 है।

9:36और ratio को fraction होने की भी ज़रूरत नहीं है। 2, 2 root 2, 4 लो। पहली नज़र में ratio 2 लगता है, पर है root 2। और यह दोनों को जाँचकर कहा गया है। नीचे देखो: हर पद 2 की किसी exponent पर है, और वो exponent पूरा-पूरा है: 1, 3 बटा 2, 2, 5 बटा 2, 3। यहाँ कुछ भी गोल नहीं किया गया। दशमलव कहीं नहीं आया।

10:05अब 128 कहाँ है? 128 है 2 की power 7। और आधी-आधी exponent के 12 क़दम जुड़कर 6 बनते हैं। तो 128 जगह 13 पर बैठता है। और यह exponent मिलाकर निकला है, किसी logarithm से नहीं। अब उल्टा सवाल: कोई दी हुई क़ीमत कौन से पद पर है? 2, 6, 18 में 4374 जगह 8 पर है। यहाँ देखो: 4374 में पहले पद का भाग देकर 2187 बचता है, जो 3 की power 7 है, इसलिए वो 7 गुणा आगे है।

10:45और पट्टी 2, 8, 32 में 131072 जगह 9 पर बैठता है। और इसका nवाँ पद 2 गुणा 4 की power n घटा 1 है, 20 जगहों पर जाँचा हुआ। और जिस संख्या पर पट्टी क़दम ही नहीं रखती? ऊपर देखो, उसे इनकार मिलता है। तुम्हें लगेगा कि उसे पास वाले पद तक गोल कर देंगे। नहीं, वो पद है ही नहीं। यहाँ देखो, एक पद से दूसरे पद तक पहुँचने के लिए पहला पद ढूँढ़ना ज़रूरी नहीं है।

11:18एक दोगुनी होने वाली पट्टी, जिसका 8वाँ पद 192 है। 12वाँ पद चाहिए। पहला पद निकाले बिना यह हो सकता है क्या? 8 से 12 तक 4 गुणा लगते हैं। नीचे counter भी 4 ही दिखाता है, और यह गिनकर निकला है। जवाब 3072। और शुरू से चलकर निकालो तो भी 3072 ही आता है। कभी-कभी शर्तें एक पट्टी नहीं, 2 पट्टियाँ लौटाती हैं। ऐसा होता कैसे है? यहाँ देखो: एक पट्टी जिसका 5वाँ पद उसके 3रे पद का 4 गुना है, और जिसके पहले 2 पद जुड़कर ऋणात्मक 4 बनते हैं।

11:58इससे ratio का वर्ग 4 निकलता है। और दोनों जड़ें बताई नहीं गईं, ढूँढ़ी गईं। 39 पूरी संख्याओं को उम्मीदवार बनाकर आज़माया गया, सिर्फ़ उन 2 को नहीं जो काम करती हैं। तुम्हें लगेगा कि इनमें से एक ही सही होगा। पर दोनों जवाब दोनों शर्तें पूरी करते हैं, तो सही जवाब एक नहीं, जोड़ी है। एक और: 3 पद जिनका जोड़ 26 है और जिनके वर्गों का जोड़ 364।

12:27यहाँ भी 2 जवाब निकलते हैं: 2, 6, 18 और वही 3 उल्टे क्रम में। ratio एक तरफ़ 3 है और दूसरी तरफ़ 1 बटा 3। और वर्गों वाली शर्त सचमुच काम कर रही है: उसे बदल दें तो वही 6400 उम्मीदवार एक भी जवाब नहीं लौटाते। bacteria हर घंटे दोगुने होते हैं, और शुरुआत में 30 हैं। नीचे देखो: दूसरे घंटे के आख़िर में 120, और चौथे घंटे के आख़िर में 480।

12:58यहाँ exponent n घटा 1 क्यों नहीं है? क्योंकि यहाँ exponent घंटों की गिनती है, और शुरुआत वाले 30 पहला पद हैं, शून्यवाँ पद नहीं। 15 घंटों पर यह जाँचा गया। हर बार घंटा जगह से एक कम निकला। तो exponent हमेशा उठाए गए क़दम गिनता है। इसलिए पहले तय करो कि शुरुआत किसे कह रहे हो। आख़िरी बात: एक arithmetic progression जिसका common difference बड़ा है, और एक geometric progression जो पीछे से शुरू होती है।

13:30आगे कौन निकलेगा? एक किराया जो 240 से शुरू होकर हर बार 40 बढ़ता है, और वही tile वाली पट्टी 3, 6, 12, 24। तुम्हें लगेगा कि इतनी बड़ी बढ़त कभी नहीं पटेगी। किराया फ़ासले वाली जाँच से तय होता है, और tile वाली पट्टी ratio वाली जाँच से। इसके 9 के 9 फ़ासले 40 हैं। यहाँ देखो: किराया जगह 8 तक आगे रहता है। वहाँ 520 है, और tile वाली पट्टी 384 पर।

14:02जगह 9 पर बढ़त पलट जाती है। tile वाली पट्टी 768 पर, किराया 560 पर। जगह 10 पर 1536 और 600। और उसके बाद 31 जगहों पर बढ़त एक बार भी वापस नहीं आती। और यह बात सिर्फ़ इस किराए की नहीं है। 200 अलग-अलग common difference आज़माए गए। हर एक पर tile वाली पट्टी आगे निकल जाती है, क्योंकि गुणा जोड़ से तेज़ बढ़ता है। common difference को 200 गुना कर दें और बढ़त पलटने की जगह सिर्फ़ 8 से 11 तक खिसकती है।

14:3711 से आगे कभी नहीं। तो geometric progression आख़िर है क्या? बराबर ratio। बस इतनी ही बात है। यह बढ़ना नहीं है। 1 से छोटा ratio घटाता है, और ऋणात्मक 1 न बढ़ाता है न घटाता। यह फ़ासलों की बात भी नहीं है। फ़ासले बराबर नहीं थे, और होने भी नहीं थे। और यह एक भाग की बात नहीं है। लगातार हर 2 पद को वही संख्या देनी पड़ती है।

15:06और नीचे देखो: exponent n घटा 1 इसलिए है कि वो पीछे छूटे गुणा गिनता है, उस जगह को नहीं जिस पर आप खड़े हैं। पिछली बार जहाँ जोड़ था, यहाँ गुणा है। गिनने का तरीक़ा वही पुराना है।