PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 3, The World of Numbers
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Multiplication का मतलब repetition है, और count कभी negative नहीं होता — इसलिए debt को debt से गुणा करने का repetition में जवाब मुश्किल नहीं, है ही नहीं: 300 में से 300 negative counts लौटा दिए जाते हैं। Minus को removal पढ़िए तो ledger जवाब दे देता है, और 108 cases में हर बार वही जवाब।
मुख्य idea
sign का rule कोई ऐसी convention नहीं है जिसे याद कर लेना हो। multiplication को repetition पढ़िए और minus को removal, तो rule अपने आप मजबूर हो जाता है: ₹3 के चार debts अपने नाम लेना एक नुक़सान को चार बार दोहराना है, जबकि उन्हीं चार debts का रद्द हो जाना उस नुक़सान को चार बार हटाना है, जिससे आप ठीक ₹12 बेहतर हालत में आ जाते हैं। chapter का अपना hint इसी reading पर चलता है। और एक दूसरी, बिल्कुल हिसाबी वजह भी है: distributivity, और Brahmagupta का वह rule कि किसी को भी zero से गुणा करने पर zero बचता है, दोनों मिलकर (−3) × (−4) के लिए सिर्फ़ एक ही मुमकिन value छोड़ते हैं। दो अलग-अलग दलीलें +12 पर आकर मिलती हैं, और इसीलिए यह rule पसंद-नापसंद का मामला नहीं है।
आपको क्या आना चाहिए
- signed numbers के लिए छपे हुए दोनों product rules बताइए और हर एक का chapter वाला instance दीजिए
- chapter के debt hint की मदद से negative multiplier को दोहराई गई quantities के हटने की तरह समझाइए
- मिले-जुले और एक जैसे signs वाले integers के products निकालिए
- दो negatives के product की value distributivity और zero-product rule से निकालिए, और यह पहचानिए कि इस निकासी में कौन-कौन से छपे हुए rules लगे हैं
- बताइए कि जब distributivity का टिके रहना ज़रूरी मान लिया जाए, तो अलग से किसी convention की ज़रूरत क्यों नहीं रहती
- products के sign rule को sums के sign rule से अलग पहचानिए, और ऐसा एक case दीजिए जहाँ दोनों को गड्डमड्ड करने पर answer ग़लत आता है
- product rule को पिछले topic में मिले subtraction rule से जोड़िए, और बताइए कि वे एक ही बात क्यों हैं
जानने लायक़ शब्द
| Term | एक पंक्ति में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ छपा |
|---|---|---|---|
| Debts (Ṛiṇa) | negative quantities, chapter की व्यापारी वाली reading में | ऋण | §3.3, p. 45 पर bold में छपा |
| Fortunes (Dhana) | positive quantities, chapter की व्यापारी वाली reading में | धन | §3.3, p. 45 पर bold में छपा |
| distributivity | वह law जिसके मुताबिक़ किसी sum को multiply करना अलग-अलग products को जोड़ लेने के बराबर है | बंटन नियम | §3.4, p. 48, law 4 पर छपा |
| commutative | वह गुण कि दोनों inputs का क्रम नतीजा नहीं बदलता | क्रमविनिमेय | §3.4, p. 48, law 4 पर छपा |
| product | किसी multiplication का नतीजा | गुणनफल | §3.3.1, p. 45 पर, rules 4 और 5 में छपा |
| additive inverse | वह number जो किसी दिए हुए number में जुड़कर zero देता है | योज्य प्रतिलोम | §3.4, p. 46 पर, fractions के लिए छपा |
| removal reading | किसी negative से multiply करने को दोहराई गई quantities के हटने की तरह पढ़ने के लिए यहाँ जोड़ा गया नाम | — | यहाँ जोड़ा गया शब्द; p. 46 पर chapter का Think and Reflect ठीक इसी तरह दलील देता है, बिना उसे कोई नाम दिए |
| zero anchor | a + (−a) = 0 को उस तय बिंदु की तरह इस्तेमाल करने के लिए यहाँ जोड़ा गया नाम, जो sign rule को मजबूर करता है | — | यहाँ जोड़ा गया शब्द; यह दलील chapter में कहीं नहीं दी गई |
हिन्दी column में मानक हिन्दी गणितीय शब्दावली दी गई है, और उन दो संस्कृत शब्दों के देवनागरी रूप जिन्हें chapter रोमन में लिखता है। मैंने Ganita Manjari का कोई हिन्दी संस्करण नहीं देखा।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "दो negatives मिलकर positive बनते हैं — यही बात जोड़ने पर भी लगती है।" नहीं लगती: (−5) + (−4) = −9। signed arithmetic की यह अकेली सबसे आम ग़लती है, और section 9 वाला चार cells का मुक़ाबला इसी को ख़त्म करने के लिए है।
- "यह rule एक convention है जिस पर गणितज्ञ सहमत हो गए।" यह सहमति के लिए खुला ही नहीं है। एक बार distributivity का टिकना ज़रूरी मान लिया और a × 0 = 0 भी टिकता हो, तो +12 के सिवा कोई value बचती नहीं।
- "किसी चीज़ को negative बार दोहराया नहीं जा सकता, इसलिए यह rule बेमानी है।" पहले हिस्से तक बात सही है, और ठीक इसी वजह से chapter negative multiplier को repetition के बजाय removal की तरह दोबारा पढ़ता है। उस दोबारा पढ़ने को नाम देना ही सबक़ है।
- "debt हटने से आपको पैसा मिल जाता है।" इससे आप उतने ही बेहतर हालत में आते हैं जितना वह debt था, और कोई नक़दी हाथ नहीं बदलती। जो students समझते हैं कि नक़दी आ जाती है, उनका हिसाब सही रहता है और मतलब ग़लत, और फिर वे example देकर समझाने वाला सवाल छोड़ आते हैं।
- "(−3) × (−4), 12 से बड़ा है क्योंकि इसमें दो negatives हैं।" size तो सिर्फ़ 3 × 4 है। सवाल सिर्फ़ sign का है, और size को sign से अलग करना वही तरीक़े की आदत है जिसका अभ्यास कराना चाहिए।
- "Distributivity positive numbers के बारे में एक बात है और यहाँ इस्तेमाल नहीं हो सकती।" chapter उसे rational numbers के लिए कहता है, जिनमें सारे integers आ जाते हैं, §3.4, p. 48 पर। दलील की इजाज़त किताब से ही मिलती है, हालाँकि किताब ख़ुद उसे चलाती नहीं।
- "debt वाली कहानी बस याद रखने का एक तरीक़ा है।" यह एक model है, और यह एक ऐसी पेशीनगोई करता है जिसे परखा जा सकता है — कि ₹3 के चार debts हटने पर आप ठीक ₹12 ऊपर आते हैं, लगभग नहीं।
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पूरा transcript1,977 शब्द
मान लीजिए आपके नाम 4 debts हैं, और हर एक 3 का है। इन सबको एक ledger पर लिख दीजिए और नीचे उनका net निकाल लीजिए। Net -12 आता है, यानी आपके नाम कुल 12 का debt है। यही बात multiplication में इस तरह लिखी जाती है: -3 into 4 बराबर -12। इस पर कोई बहस नहीं करता। और बहस इसलिए नहीं होती, क्योंकि यहाँ multiplication का मतलब साफ़ है।
Multiplication का सबसे पुराना मतलब repetition है। एक quantity को गिनी हुई बार जोड़ते जाइए, और जो total बने वही product है। इसमें कुछ नया नहीं है, यही आपने गिनती के numbers पर सीखा था। 3 को जोड़ते जाइए: 3, फिर 6, फिर 9, फिर 12। बहुत से students सीधे 12 लिख देते हैं। पर देखिए कि 12 आ कहाँ से रहा है: यह निकाला गया है, याद नहीं किया गया।
यहाँ 3 और 4 एक जैसी चीज़ें नहीं हैं। 3 वह quantity है जो जुड़ रही है, और 4 सिर्फ़ यह बता रहा है कि कितनी बार। इस फ़र्क़ को पकड़े रहिए, आगे पूरी बात इसी पर टिकी है। अब यहाँ देखिए, वही machine अब एक debt लेकर चलाइए। -3 को जोड़ते जाइए: -3, फिर -6, फिर -9, फिर -12। Total हर बार नीचे जाता है, और आख़िर में -12 पर रुकता है।
यह सिर्फ़ इस एक example में नहीं चलता। हमने 325 ऐसे pairs पर repetition और multiplication को आमने-सामने रखा। इनमें से एक भी जोड़ी पर वे अलग जवाब नहीं देते। अब वह सवाल जो इस पूरी machine को तोड़ देता है। पहली नज़र में यह बस एक और मुश्किल सवाल लगता है। -3 को -4 बार जोड़ने का क्या मतलब होगा? यह मुश्किल सवाल नहीं है। यह ख़ाली सवाल है।
Count का मतलब ही है कितनी बार, और कोई काम -4 बार नहीं किया जा सकता। ध्यान दीजिए कि दिक्क़त कहाँ है। जो quantity जुड़ रही है, वह debt हो सकती है, और वही हमने अभी किया भी। पर count debt नहीं हो सकता, क्योंकि count गिनती है, हालत नहीं। हमने इस machine को 300 ऐसे pairs दिए जिनमें count negative था। इनमें से एक पर भी उसने कोई जवाब नहीं दिया।
सभी 300 वापस आ गए। तो repetition के हिसाब से इस product का जवाब मुश्किल नहीं है। जवाब है ही नहीं। यहीं से यह बात निकलती है कि sign का rule बस एक convention है, जिस पर लोग सहमत हो गए। इस बात को अभी खारिज नहीं करेंगे। आगे देखिए कि यह टिकती है या नहीं। पहला रास्ता यह है कि count के आगे लगे minus को repetition न पढ़ा जाए।
उसे removal पढ़ा जाए। यानी उतनी बार जोड़ना नहीं, उतनी बार हटाना। कई students को लग सकता है कि यह कोई चालाकी है। ऐसा नहीं है, यह एक reading है। और हर reading को अपनी जगह कमानी पड़ती है। इसलिए इसे पहले चलाकर देखते हैं, और फिर परखते हैं। एक ledger लीजिए जिस पर entries लिखी जाती हैं और सबसे नीचे उनका net। किसी entry को हटाने का मतलब है उसे काट देना।
काटी हुई entry ledger से उठ जाती है। इसे अभी से पकड़ लीजिए, क्योंकि आगे यही जगह फिसलती है। काटने से ledger पर कुछ नया नहीं आता। Ledger सिर्फ़ छोटा होता है। और यह reading आसमान से नहीं आई है। घटाने में minus पहले से यही करता आया है, हटाता आया है। यहाँ बस वही काम count पर लागू हो रहा है। Ledger पर 20 लिखा है, और उसके नीचे 5 वाले 2 debts रखे हैं।
Net 10 है। अब उनमें से एक debt काट दीजिए, तो net 10 से 15 हो जाता है। बहुत से students चौंकते हैं कि घटाने पर total बढ़ कैसे गया। पर यही तो पिछली बार मिला था: 10 में से 5 का debt घटाने पर 15। वही move है, बस एक बार किया गया। अब इसे कई बार करके देखिए। अब वही काम 4 बार। Ledger पर 10 है, और उसके नीचे 3 के 4 debts।
Net -2 है, यानी अभी हालत घाटे की है। अब एक-एक करके काटिए और हर बार net पढ़िए। पहले -2, फिर 1, फिर 4, फिर 7, और आख़िर में 10। हर कटाई पर net ठीक 3 ऊपर चढ़ता है। ऊपर देखिए: शुरू में net -2 था और अंत में 10। पहली नज़र में लगता है कि 10 ही जवाब है, पर जवाब फ़र्क़ है। वह फ़र्क़ ठीक 12 का है।
और यह लगभग 12 नहीं है, बिलकुल 12 है। 3 के 4 debts हटे, और आप ठीक 12 बेहतर हालत में आ गए। इसी reading में -3 into -4 का मतलब 12 निकलता है। सबसे बड़ी ग़लती यहीं होती है। लोग समझ लेते हैं कि वे 12 आपके हाथ में आ गए। मिले कुछ भी नहीं। Ledger को देखिए। उस पर 4 entries कम हैं, और नई एक भी नहीं आई।
जो एक fortune अब भी बचा है, वह पहले से वहीं था। बेहतर हालत में आना और कुछ हाथ में आना, ये अलग बातें हैं। यहाँ सिर्फ़ पहली हुई है। इसी वजह से यह सिर्फ़ याद रखने का तरीक़ा नहीं है। यह एक model है, क्योंकि यह पहले से बता देता है कि कितना, ठीक 12 और लगभग 12 नहीं। और जो पहले से बता देता है, उसे ग़लत भी साबित किया जा सकता है।
कई students मान लेते हैं कि यह इसी example का इत्तिफ़ाक़ है। तो इसे एक example से बाहर ले जाइए। हमने 108 cases चलाए। हर size के debts, 1 से 12 तक, और हर बार 0 से 8 बार तक हटाए गए। हर बार net ठीक उतना ही चढ़ा जितना उस size को उतनी बार जोड़ने से आता है। 108 में से एक भी case में कुछ और नहीं निकला।
उल्टा भी जाँचना पड़ता है, वरना यह जाँच कुछ साबित नहीं करती। Ledger से fortune हटाइए तो net गिरता है। और जो debt ledger पर है ही नहीं, उसे हटाया ही नहीं जा सकता। तो क्या यह एक argument है? या बस एक कहानी है जो ठीक बैठ गई? यह एक model है, और model ग़लत भी हो सकता है। इसलिए अगर यह value सचमुच forced है, तो वह बिना किसी कहानी के भी निकलनी चाहिए।
अब दूसरा रास्ता, जिस पर कोई कहानी नहीं है। लग सकता है कि अब कोई नया rule माँगा जाएगा। पर इस रास्ते पर सिर्फ़ वे rules लगेंगे जो आप पहले ही मान चुके हैं। कोई नई शर्त नहीं जोड़ी जाएगी। यही इस argument की पूरी ताक़त है। पहला rule distributive law है। किसी sum को multiply करना उतना ही है जितना अलग-अलग products को जोड़ लेना। यह आपने whole numbers पर पहले ही मान लिया था।
नीचे वाला rule और भी सीधा है। किसी को 0 बार लेने पर 0 ही बचता है। इन 2 cards को सामने रखिए, आगे हर step इन्हीं में से किसी एक की तरफ़ इशारा करेगा। अब यह bracket देखिए: -4 और 4। ये दोनों जुड़कर 0 देते हैं। एक number और उसका opposite हमेशा यही करते हैं। शुरुआत यहीं से क्यों की जाए? क्योंकि 0 वही अकेली जगह है जहाँ हमारे दोनों rules एक साथ कुछ कहते हैं।
इसलिए जवाब वहीं से निकलवाया जा सकता है। तो -3 को उस bracket से multiply कीजिए। Bracket 0 है, इसलिए पूरी value भी 0 है। यह line लिख लीजिए, क्योंकि आगे सब कुछ इसी से निकलेगा। अब यहाँ देखिए: जो हिस्सा -3 और bracket से बना है, उसे distributive law से खोलिए। और यह बन जाता है -3 into -4, जोड़ -3 into 4। बहुत से students दोनों terms को एक जैसा मान लेते हैं।
इन 2 terms को अलग-अलग देखिए। पहला वही है जिस पर सारी बहस है। और दूसरा वही है जो शुरू में ही तय हो चुका था। -3 को 4 बार जोड़ने पर -12 आता है। यह हमने जोड़कर निकाला था, कहीं से उठाया नहीं था। इसे line में रख दीजिए। अब पूरी line यह रह गई: जिस product पर बहस है, उसमें -12 जोड़ने पर 0 आता है। एक ही चीज़ बाक़ी है जिसका पता नहीं है।
और उसी को अब ढूँढना है। ऊपर से एक बार दोबारा देख लीजिए। हर line या तो किसी माने हुए rule से आई है, या जोड़कर बनाई गई है। जिस value पर बहस है, उसे कहीं भी इस्तेमाल नहीं किया गया। अब इस product की value मानी नहीं जाएगी, बल्कि ढूँढी जाएगी। अब देखिए, -200 से 200 तक हर whole number एक candidate है। ये कुल 401 candidates हैं। हर एक को उसी शर्त पर परखिए: उसमें -12 जोड़ने पर 0 आना चाहिए।
जो नहीं टिकता, वह गिर जाता है। आख़िर में बचता है सिर्फ़ 1। और वह 12 है। यह value चुनी नहीं गई। यह घेर ली गई। इसकी जगह कोई और value रखिए, तो उन 2 rules में से कोई एक टूटेगा। मान लीजिए वहाँ 12 की जगह -12 रख देते हैं। तब line में -12 और -12 जुड़कर -24 देते हैं। पर वहाँ 0 आना चाहिए था, इसलिए वह candidate उसी जगह गिर जाता है।
और यह सिर्फ़ एक जोड़ी की बात नहीं है। -12 से -1 तक के हर pair पर, कुल 144 pairs पर, वही search चलाई गई। हर बार ठीक एक ही value बची। और हर बार वह value ठीक वही निकली जो दोनों sizes को जोड़ने से मिलती है। 144 में से 144 जोड़ियों पर यही हुआ। लग सकता है कि 0 वाला rule बस सजावट था। तो देखिए कि इस घेरे पर ताला कौन लगा रहा है।
0 वाला rule हटा दीजिए, और वही search दोबारा चलाइए। अब एक भी candidate नहीं गिरता। सभी 401 candidates बच जाते हैं। यानी वह rule सजावट नहीं था, सारा काम वही कर रहा था। एक और ग़लतफ़हमी यह है कि दोनों negative हैं, इसलिए answer 12 से बड़ा होगा। ऐसा कुछ नहीं है। यहाँ देखिए, size तो सिर्फ़ 3 into 4 है। हमने -40 से 40 तक 6561 pairs पर यह जाँचा, और वह भी जोड़-जोड़कर, multiply करके नहीं।
हर बार product का size दोनों sizes के product के बराबर निकला। सवाल कभी size का था ही नहीं। सवाल हमेशा सिर्फ़ sign का था। अब सबसे आम ग़लती, और बहुत से students यहीं फिसलते हैं। वे कहते हैं कि negative और negative मिलकर positive बनते हैं, और यही बात जोड़ने पर भी लगा देते हैं। एक ही जोड़ी पर 4 cells वाला grid बना लीजिए, बात वहीं ख़त्म हो जाएगी।
-5 और -4 जोड़ने पर -9 आता है, और वही जोड़ी multiply करने पर 20। -5 और 4 जोड़ने पर -1 आता है, और multiply करने पर -20। 4 में से सिर्फ़ 1 cell fortune निकला। फिर 1600 ऐसे pairs पर जाँचा जिनमें दोनों numbers debts थे। जोड़ने पर इनमें से एक भी fortune नहीं बना। Multiply करने पर सभी 1600 fortune बने। जिन operations को परखा वे 2 थे।
और उनमें से सिर्फ़ 1 ऐसा है जो debts की जोड़ी को fortune बनाता है। यह ग़लती अकेले sum में नहीं पकड़ी जाती, mixed expression में पकड़ी जाती है। वहाँ एक operation पर दूसरे का rule चढ़ा दिया जाता है और answer का sign उलट जाता है। इसलिए हर operation का rule अलग से याद रखिए, एक साथ नहीं। अब कुछ instances देख लीजिए। -12 को 5 बार लेने पर -60 आता है।
-8 और -7, दोनों debts, घेरने पर 56 देते हैं। और 20 के debt को 4 में बाँटने पर -5 आता है। यानी sign का यह हिसाब division में भी वैसे ही चलता है। और आख़िर में, 0 में से 14 वाला debt घटाने पर 14 बचता है। यह वही removal है, एक ही step में। जो rule अभी निकाला, वह पिछली बार वाले rule से अलग कभी था ही नहीं।
तो हमारे पास 2 रास्ते थे। पहला removal का, जो एक model है और ग़लत भी हो सकता था। दूसरा सिर्फ़ 2 rules पर खड़ा है, और उसमें कोई कहानी नहीं है। दोनों रास्ते एक ही value पर पहुँचते हैं। इसीलिए sign का यह rule किसी सहमति का नतीजा नहीं है। इस पर कभी कोई vote नहीं हुआ।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Debts and fortunes: negative numbers close subtractionकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers
- From śhūnyatā to śhūnya: turning nothing into a number you can compute withकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers
आगे फिर कहाँ आता है
- Uniting rationals and irrationals into an unbroken lineकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers
- An identity holds for every value; an equation need notकक्षा 9 · Ch 4, Exploring Algebraic Identities
- Splitting the middle term once the tiles come awayकक्षा 9 · Ch 4, Exploring Algebraic Identities
- Cubes: (a ± b)³ from a cube cut into eight piecesकक्षा 9 · Ch 4, Exploring Algebraic Identities
- Common ratio, and why the nth term is ar^(n−1)कक्षा 9 · Ch 8, Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- What "rational" means, and why the denominator cannot be zeroकक्षा 9 · Ch 3, The World of Numbers