PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 8, Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and ProgressionsPrepShorts

Chapter 8 · Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions

Fractals: स्वसमरूपता एक GP पैदा करती है

Geometric progressions17 मिनट

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एक काग़ज़ का त्रिभुज लो, हर भुजा के बीच पर निशान लगाओ, निशानों को जोड़ो, और जो बीच वाला टुकड़ा बने उसे हटा दो। फिर यही निर्देश बचे हुए हर टुकड़े पर दोहराओ। बस इतना ही। इसके बाद जो कुछ भी निकलता है, वो इसी एक निर्देश से निकलता है।

मुख्य idea

यहाँ जो geometric progression है वह गिनकर पकड़ी जाने वाली चीज़ नहीं है; वह रचना की मजबूरी है। हर stage हर काले त्रिभुज की जगह उतनी ही तय संख्या में प्रतियाँ रख देता है, और वह भी उसी तय पैमाने पर, इसलिए आप जिस भी राशि का पीछा करें वह हर stage पर उसी गुणक से गुणा हो जाती है — और तय अनुपात का मतलब ठीक यही है। टुकड़ों का पीछा कीजिए और 3 का अनुपात मिलता है; क्षेत्रफल का पीछा कीजिए और 3/4 का। एक ही rule, हर पैमाने पर एक जैसा लगाया हुआ, इसलिए एक साथ दो progressions पैदा करता है, जो उल्टी दिशाओं में चलते हैं: गिनती फटती जाती है जबकि क्षेत्रफल रिसकर शून्य की ओर जाता है। fractal की पूरी अजीबियत यही है, और यह अंकगणित है, विरोधाभास नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • Sierpiński त्रिभुज की रचना करके दिखाइए और मौजूदा stage से अगला stage खींचिए
  • हर stage पर काले टुकड़े गिनिए और अनुपात से sequence को GP की तरह पहचानिए
  • समझाइए कि गिनती तिगुनी क्यों होनी ही है — आँकड़ों से नहीं, रचना से
  • stage n पर टुकड़ों की गिनती को 3 की घात की तरह लिखिए, घातांक को stage number से मिलाते हुए
  • हर stage पर काला क्षेत्रफल निकालिए और उसे 3/4 की घात की तरह लिखिए
  • बताइए कि stages चलते रहने पर गिनती और क्षेत्रफल का क्या होता है, और दोनों उल्टी दिशाओं में क्यों जाते हैं
  • stage number से index होने वाले explicit rule और 1 से index होने वाले step rule का फ़र्क़ बताइए, और एक से दूसरे में बदलिए
  • वही विश्लेषण Sierpiński वर्गाकार क़ालीन पर लगाइए और उसके दोनों sequences बताइए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
fractalऐसा आकार जिसका pattern अलग-अलग पैमानों पर दोहराता हैभग्नकp. 190 के box वाले अंश में bold में छपा है, और §8.6.1, p. 188 पर नाम लिया गया है
Sierpiński triangleबार-बार बीच वाला त्रिभुज हटाकर बनाया गया fractalसिएरपिंस्की त्रिभुज§8.6.1, p. 188 पर bold में छपा है
Sierpiński gasketजीवनी वाली टिप्पणी में दिया गया दूसरा नामसिएरपिंस्की गैस्केटp. 188 के हरे note box में छपा है
Sierpiński square carpetवर्ग वाला रूप, जो नौ उप-वर्गों में से बीच वाला हटाकर बनता हैसिएरपिंस्की वर्ग कालीनExercise Set 8.3 के item 7 में और Fig. 8.12 के caption, p. 194 में छपा है
stageरचना का step number, जिसकी गिनती यहाँ 0 से हैचरणFigs. 8.7 और 8.12 के अंदर छपा है, और Table 1 की पहली पंक्ति की तरह
shaded areaकिसी stage पर बचे काले क्षेत्रफल के लिए Table 1 का नामछायांकित क्षेत्रफलTable 1, p. 190 में पंक्ति के नाम की तरह छपा है
self-similarityपास जाकर देखने पर ख़ुद जैसा दिखने का गुणस्वसमरूपतायहाँ जोड़ा गया शब्द; box वाला अंश इस गुण का वर्णन करता है और वस्तु को fractal कहता है
replacement ruleवह हिदायत जो हर टुकड़े की जगह तय संख्या में छोटी प्रतियाँ रख देती हैप्रतिस्थापन नियमयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में छपा नहीं है

हिंदी column में standard स्कूली शब्दावली है, और व्यक्तिवाचक नामों का लिप्यंतरण। इस किताब का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा, इसलिए इसे उस संस्करण की हूबहू शब्दावली नहीं, बल्कि प्रचलित प्रयोग मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • “ज़्यादा टुकड़े यानी ज़्यादा क्षेत्रफल।” Stage 5 पर त्रिभुज में 243 काले टुकड़े हैं और शुरुआत के क्षेत्रफल का एक चौथाई से भी कम बचा है। टुकड़े गिनना और क्षेत्रफल नापना एक ही तस्वीर के बारे में दो अलग सवाल हैं, और यहाँ वे उल्टी दिशाओं में जवाब देते हैं।
  • “क्षेत्रफल शून्य तक पहुँच जाता है।” (3/4)ⁿ का हर term धनात्मक है, इसलिए क्षेत्रफल कभी 0 नहीं होता; वह 0 के जितना चाहें उतना क़रीब पहुँच जाता है। p. 191 पर chapter के अपने शब्द यही हैं कि वह 0 की ओर बढ़ता है, और व्याख्या को इसे पहुँच जाने में नहीं बदलना चाहिए।
  • “बीच वाला हटाने से लंबाई का एक चौथाई हट जाता है।” उससे क्षेत्रफल का एक चौथाई हटता है। चारों उप-त्रिभुज सर्वांगसम हैं, इसलिए हर एक पूरे का एक चौथाई है, जबकि किसी उप-त्रिभुज की हर भुजा मूल भुजा की आधी है। क्षेत्रफल और लंबाई को अलग रखना ही section 6 का कब्ज़ा है।
  • “pattern जानने के लिए हर stage पर टुकड़े गिनने ही पड़ेंगे।” नहीं पड़ेंगे, और दलील यही है। चूँकि हर टुकड़े के साथ एक जैसा सलूक होता है, अनुपात हिदायत से ही निकल आता है। गिनती उसे सिर्फ़ पक्का करती है।
  • “Stage 1 ही पहला term है, इसलिए rule 3ⁿ⁻¹ हुआ।” chapter की stage-गिनती में Stage 0 मौजूद है और उसमें एक टुकड़ा है, इसलिए गिनती 3ⁿ है, जिसका घातांक stage के बराबर है। chapter के अपने step rules अलग index इस्तेमाल करते हैं, और ठीक इसीलिए section 9 है।
  • “fractals बस सजावट हैं।” box वाला अंश फूलगोभी, broccoli, शाखाओं वाले पेड़, बर्फ़ के फूल और समुद्रतट गिनाता है, और chapter की बात यह है कि एक सीधा-सादा दोहराया गया rule उतनी जटिलता पैदा कर सकता है।
  • “क़ालीन भी त्रिभुज की ही तरह चलता है।” अनुपात 8 और 8/9 हैं, 3 और 3/4 नहीं। रीति आगे जाती है; संख्याएँ नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 8.3 Q7

पूरा transcript2,456 शब्द

एक काग़ज़ का त्रिभुज लो जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हों। अभी इस पर कुछ नहीं किया गया है, और इसे हम stage 0 कहेंगे। अब हर भुजा के ठीक बीच पर निशान लगाओ। यहाँ देखो: 3 भुजाएँ हैं, तो 3 निशान। इन 3 निशानों को आपस में जोड़ दें तो त्रिभुज कितने टुकड़ों में बँटेगा? जोड़ो, और त्रिभुज अपने आप 4 छोटे त्रिभुजों में बँट जाता है। चारों एक जैसे हैं, बराबर नाप और बराबर आकार के, और हर एक का आकार वही है जो शुरू वाले त्रिभुज का था।

अब बीच वाला हटाओ और कोनों वाले 3 रख लो। नीचे जो बचा है, वही stage 1 है। यही निर्देश पूरी video है। आगे जो भी आएगा वो इसी से निकलेगा, इसलिए तस्वीर देखकर अंदाज़ा लगाने की ज़रूरत नहीं पड़ेगी। पहली नज़र में लगता है कि हर stage पर कोई नई तरकीब लगानी पड़ेगी। ऐसा नहीं है। वही काम इन 3 बचे हुए टुकड़ों पर करो। यहाँ देखो: हर एक के मध्य-बिंदु जोड़ो, और हर एक का बीच वाला हिस्सा हटाओ।

यह stage 2 है। एक बार और करो तो stage 3 मिल जाता है। ऊपर तीनों stage एक साथ देखो। क्या यह निर्देश सिर्फ़ बड़े त्रिभुज पर लगता है, या किसी भी टुकड़े पर? निर्देश वही है, बस त्रिभुज छोटा है और जगह अलग। निर्देश में न नाप का ज़िक्र है न जगह का, इसीलिए इसे किसी भी scale पर लगाया जा सकता है। और इसे बिना रुके आगे चलाया जा सकता है, जितनी बार चाहो।

अब काले त्रिभुज गिनो। यहाँ नीचे: stage 0 पर 1, stage 1 पर 3, stage 2 पर 9, और stage 3 पर 27। ये गिने गए हैं, रचना करके उसके बाद। अंदाज़ा नहीं लगाया गया। आगे बढ़ाओ तो stage 4 पर 81 और stage 5 पर 243। पिछले हिस्से की आदत के हिसाब से पहले फ़ासले निकालें। क्या फ़ासले वाली जाँच इस पट्टी पर कुछ हाथ में देगी? फ़ासले निकलते हैं 2, 6, 18, 54, 162।

ये कहीं नहीं ले जाते, इसलिए इस पट्टी पर यह जाँच कुछ भी हाथ में नहीं देती। अब घटाने की जगह भाग करो। नीचे देखो: हर गिनती को पिछली से भाग करो, और जवाब हर बार 3 आता है। बराबर ratio का होना ही geometric progression है। तो ये गिनतियाँ एक geometric progression बनाती हैं। और रचना 3 देना बंद नहीं करती: stage 6 पर 729, और stage 7 पर 2187।

बहुत से students इस मोड़ पर हर stage गिनकर pattern ढूँढ़ते हैं। पर क्या गिनना ज़रूरी था? नहीं, 3 गुना होना निर्देश से ही निकलता है। यहाँ देखो: 1 त्रिभुज अंदर जाता है, 4 टुकड़े बनते हैं, 1 हटता है, और 3 बाहर आते हैं। अब एक अलग नाप के टुकड़े पर, अलग जगह पर, वही करो। फिर भी 4 में से 3। stage 3 के 27 में से हर एक टुकड़े को काटा गया।

यहाँ पूरी क़तार देखो: हर एक ने ठीक 3 दिए और ठीक 1 फेंका। इसलिए गिनती जो भी हो, अगली गिनती उसकी 3 गुना है, क्योंकि हर टुकड़े के साथ एक जैसा सलूक होता है। 2 अलग नापों के 5 त्रिभुज लो और सबको काटो: 15 वापस आते हैं। वो 5 एक ही नाप के नहीं थे, इसलिए गिनती नाप पर निर्भर नहीं करती। गिनती ने ratio की पुष्टि की।

पैदा उसे निर्देश ने किया। 1, 3, 9, 27, 81, 243, ये सब 3 की powers हैं। ऊपर देखो: powers की तरह लिखते ही exponent वही निकलता है जो stage number है। stage 0 पर 1 टुकड़ा है, और 3 की power 0 भी 1 है। तो stage n पर गिनती 3 की power n है, और यह stages 0 से 7 तक जाँचा गया है। पिछली video में exponent n घटा 1 था।

इस रचना पर वो क्यों नहीं? stage 0 पर वो 1 बटा 3 टुकड़ा माँगता है, जबकि board पर पूरा 1 टुकड़ा रखा है। इसलिए वो इस रचना पर ग़लत है। exponent यहाँ stage के बराबर है क्योंकि stage 0 मौजूद है और board पर रखा है। अब गिनती से हटकर क्षेत्रफल पर आओ। शुरू वाले त्रिभुज को 1 वर्ग unit मान लो। यहाँ देखो: 4 टुकड़े एक जैसे हैं, इसलिए हर एक के पास क्षेत्रफल का 1 चौथाई है।

1 टुकड़ा हटाओ तो 3 बटा 4 बचता है। तुम्हें लगेगा कि अगर क्षेत्रफल 1 चौथाई हुआ तो भुजा भी 1 चौथाई हुई होगी। क्या ऐसा है? नहीं, और यहाँ नीचे दोनों भुजाएँ साथ रखी हैं: छोटे त्रिभुज की भुजा बड़े की भुजा की आधी है। भुजाओं के वर्ग 1 और 4 के अनुपात में हैं, और आधे का वर्ग 1 चौथाई होता है। एक ही कटाई पर 2 अलग नाप निकलती हैं: लंबाई में आधा, और क्षेत्रफल में 1 चौथाई।

और जो हटाया गया वो बीच वाला ही है: उसका केंद्र बड़े त्रिभुज का केंद्र है, और कोने वाले किसी टुकड़े का नहीं। stage 1 में 3 बटा 4 बचा। stage 2 में उसका 3 बटा 4 बचता है। रचना पर नापो तो पूरी पट्टी यह है: 1, 3 बटा 4, 9 बटा 16, 27 बटा 64, 81 बटा 256, और 243 बटा 1024। ऊपर देखो, पूरी पट्टी वहीं लिखी है।

गिनती वाली पट्टी progression निकली थी। क्या यह भी है? हर एक को पिछले से भाग करो: हर बार 3 बटा 4 आता है। तो क्षेत्रफल भी एक geometric progression है, पर इस बार ratio 1 से छोटा है। बहुत से students सोचते हैं कि घटता हुआ क्रम progression नहीं होता। होता है: 1 से छोटा ratio का मतलब है हर stage पिछले से कम, इसलिए यह पट्टी घटती जाती है।

stage n पर क्षेत्रफल 3 बटा 4 की power n है, वही exponent और वही stage। इसमें कुछ भी पैमाने से नहीं नापा गया: यहाँ जो पट्टी लिखी है वो बचे हुए टुकड़ों को ही जोड़कर निकाली गई है। जो टुकड़े फेंके गए, उन्हें भी रखो और नापो। काला और छेद जोड़ दें तो क्या पूरा शुरू वाला त्रिभुज मिलेगा? हाँ, हर stage पर काला और छेद मिलाकर ठीक पूरा शुरू वाला त्रिभुज बनता है।

यहाँ देखो, दोनों साथ रखे हैं। इसका मतलब है कि कोई टुकड़ा किसी दूसरे पर चढ़ा नहीं, और हिसाब से कोई क्षेत्रफल बाहर नहीं गया। नीचे देखो: stage 3 तक छेद आधे से ज़्यादा ढक चुके हैं। छेद सब एक नाप के नहीं हैं, और stage 3 तक 13 छेद कट चुके हैं। और सबसे पहला छेद, बाद में कटे 12 में से हर एक से बड़ा है। एक ही निर्देश ने 2 geometric progression बना दी हैं।

यहाँ ऊपर वाली 3 के ratio से चढ़ती है, और नीचे वाली 3 बटा 4 के ratio से गिरती है। एक stage से अगले stage तक की 5 में से हर चाल पर गिनती बढ़ती है और क्षेत्रफल उसी चाल में घटता है। stage 5 पर 243 टुकड़े हैं। तो क्या जगह भी ज़्यादा घिरी हुई है? नहीं, stage 5 पर 243 टुकड़े हैं और काग़ज़ का 1 चौथाई से भी कम घिरा है।

यहाँ देखो, बाक़ी सब सफ़ेद पड़ा है। ज़्यादा टुकड़ों का मतलब ज़्यादा जगह नहीं है। ये एक ही तस्वीर पर 2 अलग सवाल हैं। fractal की सारी अजीबियत यही है, और यह गणित है, कोई विरोधाभास नहीं। दोनों दिशाएँ एक ही number से निकलती हैं: 3, जो 1 से बड़ा है और 4 से छोटा, इसलिए गिनती चढ़ती है और क्षेत्रफल गिरता है। पहली नज़र में यह उल्टा लगता है।

दोनों उल्टी दिशाओं में जाते क्यों हैं? गिनती को एक टुकड़े की नाप से गुणा करो। stage 2 पर 9 टुकड़े हैं, हर एक 1 बटा 16 का। stage 3 पर 27 टुकड़े, हर एक 1 बटा 64 का। यहाँ देखो: 9 गुना 1 बटा 16 यानी 9 बटा 16, और 27 गुना 1 बटा 64 यानी 27 बटा 64। यही तो नापे हुए क्षेत्रफल हैं। हर stage गिनती को 3 से गुणा करता है और टुकड़े की नाप को 4 से भाग देता है।

बचता है 3 बटा 4, और 3 बटा 4, 1 से छोटा है, इसलिए क्षेत्रफल गिरता है जबकि गिनती चढ़ती रहती है। यहाँ दोनों तीर साथ देखो। stage 4 का एक टुकड़ा शुरू वाले का 1 बटा 256 है, और उसके 81 टुकड़े मिलकर वही क्षेत्रफल बनाते हैं। क्षेत्रफल काटने से जाता है, या फेंकने से? अब एक control चलाकर देखते हैं। वही 4 टुकड़े बनाओ, पर इस बार चारों रख लो।

नीचे देखो: क्षेत्रफल हर stage पर ठीक 1 रहता है। और गिनती फिर भी गुणा होती है, अब 3 से नहीं, 4 से। यहाँ देखो: 1, 4, 16, 64। तो काटना गिनती बढ़ाता है और फेंकना क्षेत्रफल घटाता है। एक चीज़ बदलकर 2 असर अलग कर दिए गए। और इसी से पता चलता है कि ratio 3 बटा 4 ही क्यों है: 4 में से ठीक 1 जाता है। stage 3 का एक कोना काटकर निकालो, और उसे 2 गुना बड़ा कर दो।

तुम्हें लगेगा कि यह बस लगभग मिलता-जुलता कुछ होगा। क्या वापस मिलता है? पूरा stage 2 वापस मिलता है, त्रिभुज दर त्रिभुज। यहाँ दोनों एक दूसरे पर रखे हैं। मोटे तौर पर नहीं: यहाँ देखो, 9 में से हर त्रिभुज stage 2 के किसी एक पर ठीक बैठता है। यही stage 4 और stage 3 के बीच भी होता है। और यह 3 में से किसी भी कोने पर होता है, सिर्फ़ उस एक पर नहीं जो हमने चुना।

यही ख़ुद जैसा होना है: हिस्सा पूरे जैसा दिखता है। और इसीलिए एक तय ratio आना ही था: एक कोना पिछले stage की छोटी नक़ल है। अब निर्देश को आम रूप दो। मान लो हर टुकड़ा k नक़लों में बदलता है, और हर नक़ल 1 बटा m नाप की है। तब गिनती हर stage पर k से गुणा होती है। और क्षेत्रफल का क्या होगा? हर नक़ल क्षेत्रफल का 1 बटा m का वर्ग हिस्सा उठाती है, इसलिए क्षेत्रफल k बटा m के वर्ग से गुणा होता है।

असली कटाई से k और m पढ़ लो। यहाँ k 3 है और m 2 है। m का वर्ग 4 है, तो k बटा m का वर्ग 3 बटा 4 निकलता है। वही 2 ratio जो नापे गए थे। आम नियम को 5 stage चलाओ और वो रचना से बिल्कुल मिल जाता है। यहाँ नीचे दोनों पट्टियाँ साथ देखो। बहुत से students इस मोड़ पर कहते हैं कि आख़िर में कुछ नहीं बचेगा।

क्षेत्रफल गिरता जाता है, पर क्या यह कभी 0 तक पहुँचता है? यह पहली बार आधे से कम stage 3 पर होता है। और 1 बटा 100 से कम stage 17 पर। और उसी stage 17 पर टुकड़ों की गिनती 129140163 है। यहाँ ऊपर वो गिनती लिखी है। फिर भी 200 तक के 201 stage में से हर एक पर क्षेत्रफल 0 से बड़ा है। 3 बटा 4 को किसी भी power पर उठाओ, जवाब धनात्मक ही रहता है, और धनात्मक 0 नहीं होता।

तो क्षेत्रफल 0 के जितना पास चाहो उतना पास चला जाता है, पहुँचता कभी नहीं। यहाँ नीचे दूरी घटती जाती है, पर कभी ख़त्म नहीं होती। पास जाना और पहुँच जाना एक बात नहीं है, और इस पूरे हिस्से का मतलब यही फ़र्क़ है। पहली नज़र में लगता है कि इनमें से एक नियम ग़लत होगा। 2 नियम इसी sequence को बताते हैं, और term 1 के मतलब पर वो आपस में नहीं मिलते।

stage वाला नियम कहता है, stage n पर गिनती 3 की power n। क़दम वाला नियम 1 से शुरू होता है और हर क़दम पर 3 से गुणा करता है। दोनों एक ही sequence बताते हैं: इनकी पहली 6 क़ीमतें एक जैसी हैं। ऊपर दोनों पट्टियाँ साथ देखो। अब n बराबर 1 रखो तो पहला नियम 3 देता है, और दूसरे नियम से उसका term 1 माँगो तो 1 मिलता है।

यहाँ दोनों आमने-सामने रखे हैं। कौन सा ग़लत है? कोई ग़लत नहीं है। दोनों अलग जगह से गिनना शुरू करते हैं। क़दम वाले नियम का index stage number से ठीक 1 पीछे चलता है, और यह नापा गया है, बहस से तय नहीं हुआ। क़दम वाले नियम को stage वाला समझ लो तो stage 5 पर जवाब 3 गुना बड़ा आ जाता है, इसलिए एक indexing चुनकर उसी में रहना पड़ता है।

अब वही मशीन एक वर्ग पर। हर भुजा को 3 हिस्सों में काटो और आमने-सामने के निशान जोड़ो: 9 छोटे वर्ग बनते हैं। बीच वाला हटाओ, बाक़ी 8 रख लो, और फिर उन आठों पर वही दोहराओ। करके देखो तो गिनतियाँ ये निकलती हैं: 1, 8, 64, 512, फिर 4096 और 32768, जो यहाँ नीचे लिखी हैं। वही तरीक़ा यहाँ लगाओ तो ratio क्या निकलेगा? ratio 8 है, और stage n पर गिनती 8 की power n।

क्षेत्रफल उसी तरह नापे गए: 1, 8 बटा 9, 64 बटा 81, 512 बटा 729, और 4096 बटा 6561। क्षेत्रफल का ratio 8 बटा 9 है। और 9 cell वाक़ई पूरे वर्ग को ढकते हैं: कोई किसी पर चढ़ा नहीं और कोई बाहर नहीं निकला, इसलिए यहाँ भी हिसाब पूरा है। या फिर आम नियम से पढ़ लो: 8 नक़लें, हर एक 1 बटा 3 नाप की। यहाँ m का वर्ग 9 है, तो k बटा m का वर्ग 8 बटा 9 निकलता है।

एक ही जोड़ी नियम दोनों fractal दे देती है। तरीक़ा तो चला आया। क्या numbers भी वही रहेंगे? नहीं, वर्ग वाला 1 बटा 9 फेंकता है, जहाँ त्रिभुज 1 चौथाई फेंकता है। ऊपर दोनों को एक ही पट्टी पर देखो: 8 बटा 9, 3 बटा 4 के मुक़ाबले 1 के कहीं ज़्यादा पास है, इसलिए कालीन बहुत धीरे घटता है। त्रिभुज stage 3 से आधे से कम था। कालीन stage 6 तक आधे से कम नहीं होता।

और stage 4 पर कालीन के पास अब भी त्रिभुज के क्षेत्रफल का लगभग 2 गुना है। तुम्हें लगेगा कि ऐसे उलझे आकार के पीछे कोई उलझा हुआ नियम होगा। तो fractal आख़िर है क्या? एक ही नियम को हर scale पर दोहराओ, और आकार ऐसा बनता है जो पास जाकर देखने पर ख़ुद जैसा दिखता है। यहाँ देखो: पेड़ की शाखाएँ, फूलगोभी का एक सिर, बर्फ़ का फाहा, समुद्र का किनारा।

यह उलझाव किसी उलझे हुए नियम से नहीं आता। दोहराने से आता है। और गणित सबसे सीधा वाला है: हर बार उसी number से गुणा करो। यहाँ नीचे देखो। इसीलिए fractal geometric progression से मिलने की अच्छी जगह है। इस पूरी video में असली काम किसने किया, गिनती ने या निर्देश ने? निर्देश ने, यानी एक प्रतिस्थापन नियम जो हर scale पर एक जैसा लगाया गया। उससे 2 progression निकलीं: गिनती 3 के ratio से, और क्षेत्रफल 3 बटा 4 के ratio से।

यहाँ ऊपर दोनों रखी हैं। exponent stage के बराबर है, क्योंकि stage 0 मौजूद है और board पर रखा है। और जो नहीं दिखाया गया वो भी लिख लो: क्षेत्रफल 0 के पास जाता है और वहाँ पहुँचता नहीं। और ज़्यादा टुकड़ों का मतलब ज़्यादा जगह नहीं। तरीक़ा ऐसी हर रचना पर चलता है। सिर्फ़ वो 2 numbers बदलते हैं, इसलिए अगली बार बस k और m पढ़ने होंगे।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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