PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 8, Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and ProgressionsPrepShorts

Chapter 8 · Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions

कोई स्पष्ट नियम किसी भी पद को सीधे n से निकाल देता है

Sequences and the two kinds of rule13 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

13 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 9 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

विषम संख्याओं की सूची में 1170वीं संख्या चाहिए। एक-एक क़दम चलकर वहाँ पहुँचिए तो 1169 बार जोड़ना पड़ता है। जगह जितनी दूर, क़ीमत उतनी ज़्यादा। इस cut में वह चलना पूरी तरह हटा दिया जाता है।

मुख्य idea

कोई स्पष्ट नियम चलने की जगह अंकगणित रख देता है: चूँकि नियम स्थान को ही अपना input बनाता है, इसलिए स्थान 1170 पर उतनी ही मेहनत लगती है जितनी स्थान 3 पर, और पहले का कोई पद जानना ज़रूरी नहीं रहता। यही एक बदलाव एक दूसरी चीज़ भी ख़रीद लेता है, जिसकी chapter को ज़्यादा परवाह है — वह "क्या यह संख्या list में है?" को ऐसे समीकरण में बदल देता है जिसे आप हल कर सकते हैं। उसे हल करना नाकाम भी हो सकता है, और असली सामग्री यह है कि वह कैसे नाकाम होता है: जब निकलकर आया स्थान गिनती की संख्या न हो, तो उम्मीदवार पद है ही नहीं। इसलिए 471 इसलिए ख़ारिज नहीं होता कि वह देखने में ग़लत लगता है, बल्कि इसलिए कि वह जिस अकेले स्थान पर बैठ सकता था वह 94.6 है, और किसी list में चौरानबे-दशमलव-छह वाँ स्थान होता ही नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • n वाले किसी व्यंजक को स्थान n के पद का नियम मानकर पढ़िए, और उससे शुरुआत के कई पद बनाइए
  • किसी sequence का कोई दूर का पद सीधे निकालिए, उससे पहले के पद सूचीबद्ध किए बिना
  • नियम को समीकरण की तरह हल करके जाँचिए कि कोई दी हुई संख्या उस sequence का पद है या नहीं
  • किसी अपूर्णांक हल को इस बात का सबूत मानकर पढ़िए कि उम्मीदवार पद नहीं है, और समझाइए कि ऐसा क्यों है
  • किसी पद का मान बताने के साथ-साथ उसका स्थान भी बताइए
  • पहचानिए कि कुछ sequences, जिनमें अभाज्य संख्याएँ भी हैं, किसी सादे स्पष्ट नियम के साथ नहीं आतीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
explicit formulaऐसा नियम जो किसी पद को सिर्फ़ उसकी स्थान-संख्या से निकाल देता हैस्पष्ट सूत्रजहाँ §8.2 शुरू होता है वहाँ bold में छपा है, और वह जगह p. 176 के पाँव पर पड़ती है
explicit ruleवही विचार, सूत्र के बजाय नियम कहकर; दोनों कहन छपी हैंस्पष्ट नियम§8.2, p. 177 में छपा है
nth termस्थान n पर बैठा पद, जिसे tₙ लिखते हैंn वाँ पदपूरे §8.2, pp. 176–177 में छपा है
position numberवह गिनती की संख्या जो बताती है कि पद कहाँ बैठा हैपद संख्यास्पष्ट-सूत्र की परिभाषा के हिस्से के रूप में छपा है, p. 176
natural numberगिनती की एक संख्या; p. 177 स्थान से यही माँगता है, और यह brief इसी शर्त पर चलता हैप्राकृत संख्या§8.2, p. 177 में छपा है
prime number1 से बड़ी ऐसी संख्या जिसके गुणनखंड सिर्फ़ 1 और वह ख़ुद होंअभाज्य संख्या§8.2, p. 177 में छपा है
membership testनियम को समीकरण की तरह इस्तेमाल करके तय करना कि कोई मान आता है या नहींसदस्यता परीक्षणयहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter यह जाँच करता है और उसे नाम नहीं देता

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। इस किताब का हिंदी संस्करण मैंने नहीं खोला, इसलिए उसे उस संस्करण की हूबहू शब्दावली के बजाय प्रचलित इस्तेमाल की तरह लीजिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "पहले के पद तो जानने ही पड़ते हैं।" नहीं पड़ते, और सारी बात यही है। पद 1170 माँग लीजिए और दो चरणों वाले अंकगणित को ख़त्म हो जाने दीजिए, इससे पहले कि list पर चलता कोई student पद 20 तक पहुँचे।
  • "हल करने पर दशमलव आए तो उसे गोल कर लेना चाहिए।" यहाँ गोल करना एक झूठा जवाब गढ़ देता है। दशमलव वाले स्थान का मतलब है कि उम्मीदवार दो पदों के बीच बैठा है, यानी वह पद है ही नहीं। 94.6 "लगभग 95वाँ पद" नहीं है — 95वाँ पद 473 है।
  • "पहले पद से बड़ी कोई भी संख्या list में कहीं न कहीं होगी ही।" 5n − 2 से 3, 8, 13, 18, … बनते हैं और बीच का सब कुछ छूट जाता है। काफ़ी बड़ा होना और पहुँच में होना, एक बात नहीं है।
  • "'क्या 557 पद है?' चालाकी वाला सवाल है, इसलिए जवाब नहीं है।" p. 178 की exercise में जवाब हाँ है, स्थान 188 पर। तय विधि करती है, कहन नहीं।
  • "जो नियम शुरू के कुछ पदों पर बैठ जाए वही नियम है।" अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 से शुरू होती हैं और उन चारों पर कितने ही नियम बैठ जाते हैं। शुरुआत पर बैठ जाना सबूत नहीं, संकेत है — और ठीक इसीलिए chapter अभाज्य संख्याओं के बारे में पूछता है और फिर सवाल छोड़ देता है।
  • "हर sequence का कोई स्पष्ट नियम होता है।" chapter का अपना अभाज्य संख्याओं वाला उदाहरण और §8.4 की शुरुआती टिप्पणी, दोनों उल्टा कहते हैं।
  • "स्थान और मान आपस में बदले जा सकते हैं।" n के लिए हल करने पर स्थान मिलता है, और "137 कौन सा पद है?" का जवाब 69 है, 137 नहीं। students से कहलवाइए कि उन्होंने दोनों में से कौन सी संख्या निकाली है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 8.1 Q1, Exercise Set 8.1 Q2, Exercise Set 8.1 Q3, Exercise Set 8.1 Q4

पूरा transcript1,817 शब्द

यह सूची आप पहचानते हैं — 1, 3, 5, 7, 9, 11, और आगे। क्रम में लिखी हुई, हर पद अपनी जगह पर। अब इस सूची से पूछिए कि 1170वीं जगह पर कौन सा पद बैठा है। सूची कोई छोटा रास्ता नहीं देती। पहले पद से शुरू कीजिए और हर बार फ़ासला जोड़ते जाइए। 1170वीं जगह तक चलकर पहुँचने में 1169 बार जोड़ना पड़ता है। तीसरी जगह तक पहुँचने में सिर्फ़ 2 बार।

यानी सूची दूरी के हिसाब से क़ीमत लेती है। पद जितना दूर, चलना उतना लंबा। नियम इस हिसाब को बदल देता है, क्योंकि नियम में जगह ही input बनकर जाती है। जगह अंदर, पद बाहर। 2n - 1 एक निर्देश है। जो भी संख्या हाथ में दी जाए, उसे 2 से गुणा कीजिए और फिर 1 घटा दीजिए। 1 दीजिए तो 2 गुणा 1 में से 1 घटाकर 1 मिलता है।

2 दीजिए तो 3 मिलता है। और 3 दीजिए तो 5 निकलता है। पहली 6 जगहों पर यही नियम 1, 3, 5, 7, 9, 11 देता है — वही सूची जिससे हमने शुरू किया था। 53वीं जगह पर पद है 105। 108वीं जगह पर 215। और 1170वीं जगह पर 2339। इनमें से हर एक में सिर्फ़ 2 operation लगे — एक गुणा और एक जोड़। इससे अधिक कुछ नहीं। दूसरी जगह से लेकर 1200वीं जगह तक, हर एक जगह पर नियम की क़ीमत 2 operation ही रहती है।

पूरी जाँच में यही एक गिनती निकली। चलने की क़ीमत हर बार जगह में से 1 कम होती है। चौथी जगह से 1200वीं तक — यानी 1197 जगहों पर — चलना नियम से लंबा ही पड़ता है, एक भी जगह ऐसी नहीं जहाँ छोटा हो। 1170वीं जगह पर चलने की क़ीमत नियम से 500 गुना से भी अधिक है। और सबसे बड़ी बात — इसके लिए पिछला कोई पद जानना ज़रूरी नहीं था।

नियम सीधे जगह से पद निकाल देता है। ऐसे नियम को स्पष्ट नियम कहते हैं। एक ही शक्ल के 3 नियम सामने रखिए — 2n - 1, 5n - 2 और 3n - 2। हर नियम के पहले 200 पदों में 199 फ़ासले बनते हैं, और उनमें से हर एक फ़ासला उसी नियम का गुणक निकलता है। पहला पद निकालना आसान है — गुणक में constant जोड़ दीजिए। तीनों के पहले पद बनते हैं 1, 3 और 1।

तो गुणक फ़ासला तय करता है और constant शुरुआत तय करता है। जगह दीजिए, पद मिल जाएगा — यह आसान दिशा है। अब नियम को उलटी दिशा में चलाइए। पद हाथ में है, और पूछना यह है कि वह किस जगह पर बैठा है। 2n - 1 वाली सूची का कौन सा पद 137 है? इसे लिख लीजिए — 2n - 1 बराबर 137। यह अब एक ऐसा सवाल है जिसे हल किया जा सकता है।

दोनों तरफ़ 1 जोड़िए तो 2n बराबर 138। दोनों तरफ़ आधा कीजिए तो n बराबर 69। जाँच कर लीजिए — 2 गुणा 69 में से 1 घटाइए तो 137 ही आता है। यानी 137 विषम संख्याओं की सूची का 69वाँ पद है। ध्यान रखिए कि 69 एक जगह है, पद नहीं। सवाल था कौन सा पद 137 है, और जवाब 69 है — 137 नहीं। यहाँ एक साथ 2 संख्याएँ चल रही हैं, और उन्हें आपस में बदला नहीं जा सकता।

अब दूसरा नियम लीजिए — 5n - 2। इसके पहले 6 पद बनते हैं 3, 8, 13, 18, 23 और 28। इसका 100वाँ पद है 498 और 1000वाँ पद है 4998। इनमें से किसी के लिए भी पिछला पद जानने की ज़रूरत नहीं पड़ी। क्या 308 इस सूची में है? इसे भी उसी तरह लिखिए, यानी 5n - 2 बराबर 308। दोनों तरफ़ 2 जोड़िए तो 5n बराबर 310। दोनों तरफ़ 5 से भाग दीजिए तो n बराबर 62।

यानी 308 इस सूची का 62वाँ पद है। यह जाँच सूची में ढूँढ़कर नहीं हुई। यह हल करके हुई, और इसीलिए यह किसी भी दूरी पर उतनी ही तेज़ है। अब इसी सूची से एक और सवाल। जवाब देने से पहले एक पल रुककर अपना अंदाज़ा बना लीजिए — क्या 471 इस सूची में है? वही तरीका, दोनों तरफ़ 2 जोड़िए तो 5n बराबर 473। दोनों तरफ़ 5 से भाग दीजिए तो n बराबर 94.6।

94.6 गिनती वाली संख्या नहीं है। सूची में 94.6वीं जगह जैसी कोई चीज़ होती ही नहीं। इसलिए 471 इस सूची का पद नहीं है। यहाँ नियम ने काम करना बंद नहीं किया। उसने जवाब दिया — और जवाब ऐसी जगह थी जो हो ही नहीं सकती। इनकार भी एक जवाब है। तो फिर 471 बैठा कहाँ है? वह 94वें और 95वें पद के बीच में गिरता है। 94वाँ पद है 468 और 95वाँ है 473।

92 से 97 तक के पद हैं 458, 463, 468, 473, 478 और 483। इनमें 471 कहीं नहीं है। 94.6 जगह 94 से 95 की तरफ़ 3 बटा 5 हिस्सा आगे पड़ती है। जगहों की पट्टी पर वहाँ कोई निशान है ही नहीं — पूरी ख़ाली जगह है। एक तरीका बहुत लुभाता है, यह कि 94.6 को round करके 95 कर दीजिए और कह दीजिए कि 471 लगभग 95वाँ पद है।

पर 95वाँ पद निकालकर देखिए — 5 गुणा 95 में से 2 घटाइए तो 473 आता है, 471 नहीं। round करने से एक ऐसा पद बता दिया गया जो यह नियम बनाता ही नहीं। 471 लगभग 95वाँ पद नहीं है। 95वाँ पद 473 है, और 471 किसी भी जगह पर नहीं बैठता। एक और नियम लीजिए — 3n - 7। इससे पूछिए कि क्या -7 इसकी सूची में है। दोनों तरफ़ 7 जोड़िए तो 3n बराबर 0, और n बराबर 0।

0 पूरी संख्या है। भिन्न नहीं, टूटी हुई नहीं। फिर भी वह जगह नहीं है, क्योंकि जगहें 1 से शुरू होती हैं। इसी नियम से -10 के बारे में पूछिए तो n बराबर -1 आता है। फिर से पूरी संख्या, और फिर से कोई जगह नहीं। इन दोनों नाकामियों को अलग-अलग पहचानिए। 471, 2 जगहों के बीच में गिरता है। -7 सूची के शुरू होने से पहले गिरता है। दोनों का इनकार एक जैसा नहीं है।

इसलिए शर्त यह है कि जगह गिनती वाली संख्या हो — सिर्फ़ पूरी संख्या होना काफ़ी नहीं। जगहें 1 से शुरू होकर 1-1 करके बढ़ती हैं। 0वीं जगह नहीं होती और उससे नीचे कुछ भी नहीं होता। और जाँच में जितने भी टूटे हुए जवाब आए — 6 अलग-अलग भिन्न — उनमें से एक भी जगह नहीं बनी। एक सोच बहुत आम है — अगर कोई संख्या पहले पद से बड़ी है, तो आगे कहीं न कहीं सूची में आ ही जाएगी।

इसे तौलकर देखते हैं। 3 और 473 के ठीक बीच में यह नियम 93 संख्याओं पर उतरता है। उसी हिस्से में पूरी संख्याएँ कुल 469 हैं। यानी 376 संख्याओं के ऊपर से यह नियम छलाँग लगा जाता है। पहले पद से बड़ी तो 4 भी है, 100 भी और 471 भी। फिर भी इनमें से एक भी पद नहीं है। 500 तक 5n - 2 केवल 100 संख्याओं पर उतरता है और 2n - 1 पूरी 250 पर।

हिस्सा बनता है 1 बटा 5 और 1 बटा 2 — यानी गुणक को उलटा कर दीजिए। बड़ा फ़ासला अधिक संख्याएँ छोड़ देता है। अब तक जो इनकार देखा, उससे एक आदत बन सकती है — कि ऐसा सवाल पूछा ही तब जाता है जब जवाब न हो। ऐसा नहीं है। 3n - 7 की सूची शुरू होती है -4, -1, 2 से — यानी शुरू में 0 से नीचे।

इसके 12वें, 18वें और 50वें पद हैं 29, 47 और 143। 332 इसका 113वाँ पद है। और 557 के बारे में पूछिए — दोनों तरफ़ 7 जोड़िए तो 3n बराबर 564, और n बराबर 188। यह पूरी गिनती वाली संख्या है, इसलिए जवाब हाँ है। एक और नियम — 5n - 3। इसका 10वाँ पद है 47 और 15वाँ पद है 72। अब इससे 3 सवाल पूछिए। 97 इसका 20वाँ पद है, 172 इसका 35वाँ, और 607 इसका 122वाँ।

लगातार 3 बार जवाब हाँ। फ़ैसला तरीके से होता है। सवाल किन शब्दों में पूछा गया, इससे कुछ तय नहीं होता। स्पष्ट नियम की शर्त सिर्फ़ इतनी है कि उसमें input केवल जगह हो। उसका सीधा होना ज़रूरी नहीं। n को n से गुणा कीजिए और सूची बनती है 1, 4, 9, 16, 25, 36। इसके फ़ासले हैं 3, 5, 7, 9, 11 — यानी विषम संख्याएँ, एक ही संख्या बार-बार नहीं।

अब n को n से गुणा करके उसमें से 2n घटाइए और 3 जोड़िए। सूची बनती है 2, 3, 6, 11, 18। फ़ासले हैं 1, 3, 5, 7 और फ़ासलों के फ़ासले हैं 2, 2, 2। तो इसका फ़ासला एक जैसा नहीं रहता। फिर भी ये दोनों स्पष्ट नियम हैं, क्योंकि दोनों में सिर्फ़ जगह डाली जाती है और पिछला पद कहीं नहीं आता। पहले 10 prime number लिखिए — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29।

इनके फ़ासले निकालिए तो मिलते हैं 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6। एक ही संख्या बार-बार नहीं। और फ़ासलों के फ़ासले लीजिए तो वहाँ भी एक जैसी row नहीं बनती। इस शक्ल का कोई नियम इन पर बैठता है क्या? पहले 2 prime number पर ठीक एक नियम बैठता है — n जोड़ 1। पर तीसरी जगह पर वह 4 कहता है, जबकि prime number 5 है।

पहले 3 prime number पर इस शक्ल का एक भी नियम नहीं बैठता। और खोज को 400 गुना बड़ा करके फिर से चलाइए तो दोनों जवाब वही रहते हैं। एक टेढ़ा नियम पहले 4 prime number में से ठीक-ठीक गुज़ारा जा सकता है — चारों पर बिल्कुल सही। पर एक जगह आगे बढ़ाइए तो वह 8 कहता है, जबकि वहाँ prime number 11 है। इससे भी आगे — उन्हीं 4 prime number में से गुज़रने वाला नियम ऐसा भी बनाया जा सकता है जो अगली जगह पर कुछ भी कहे।

8 कहलवा लीजिए, 11 कहलवा लीजिए, 0 कहलवा लीजिए, 1000 कहलवा लीजिए, या -6। चारों पुराने पद हर बार सही ही रहते हैं। पीछे वाला टेढ़ा नियम याद कीजिए — n को n से गुणा, में से 2n, जोड़ 3। उसकी सूची थी 2, 3, 6। prime number हैं 2, 3, 5। बताइए, ये कितने पदों तक साथ चलते हैं? ठीक 2 पदों तक, और तीसरी जगह पर वे अलग हो जाते हैं — 6 और 5।

इसलिए सूची के आगे वाले हिस्से से मिल जाना अपने आप में कुछ तय नहीं करता। prime number के लिए इस तरह का कोई नियम है ही नहीं, और यही सीधा जवाब है। तो स्पष्ट नियम से क्या-क्या मिलता है। पहला — कोई भी जगह दीजिए और उसका पद बिना चले हाथ में आ जाता है। दूसरा — उसी नियम को उलटा चलाइए तो सूची में होने या न होने का सवाल ऐसा सवाल बन जाता है जिसे हल किया जा सकता है।

और तीसरा — हल करने पर इनकार भी मिल सकता है, और वह इनकार ख़ाली नहीं होता। वह बताता है कि संख्या 2 पदों के बीच में गिरी, या सूची के शुरू होने से पहले। यही पूरी जाँच है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

The book

Open in a new tab