GP एक वक्र की तरह plot होता है, और वह वक्र क्या बताता है

0:002 sequences लिख कर रखी हैं। दोनों 3 से शुरू होती हैं, और दोनों का दूसरा term 6 है। पहली में हर step पर 3 जुड़ता है। दूसरी में हर step पर 2 से गुणा होता है। यहाँ तक इन दोनों में कोई फ़र्क़ नहीं है। पहली नज़र में लगता है कि ये एक ही sequence हैं — एक जैसी शुरुआत, और एक जैसे 2 numbers। तीसरे term पर क्या होगा — क्या दोनों अब भी बराबर रहेंगी?

0:27नहीं — यहाँ जोड़ने वाली 9 देती है और गुणा करने वाली 12। इसी term पर दोनों अलग हो जाती हैं। पूरी लिख लेते हैं। जोड़ने वाली है 3, 6, 9, 12, 15। और गुणा करने वाली है 3, 6, 12, 24, 48। हर value की अपनी एक position है। तो table का हर column असल में एक pair है — position आड़ी तरफ़, value ऊपर की तरफ़। गुणा करने वाली के pairs हैं 1 और 3, 2 और 6, 3 और 12, 4 और 24, और 5 और 48।

1:10दोनों के pairs एक ही axes पर निशान लगाते हैं। आड़ी तरफ़ position, ऊपर की तरफ़ value। जोड़ने वाली के 5 निशान पहले। और गुणा करने वाली के 5 निशान उसी grid पर। तो आँख क्या कहती है? जोड़ने वाले निशान ऐसे लगते हैं जैसे एक ही line पर बैठे हों, और गुणा वाले निशान मुड़े हुए। यहाँ फ़र्क़ आँख से भी पकड़ में आ जाता है। पर क्या "लगता है" कोई नतीजा होता है?

1:39नहीं होता, और यहाँ उसे जाँचा भी जा सकता है। 3 निशान ठीक तब एक ही line पर होते हैं जब उनसे बनने वाली एक ख़ास quantity 0 आए। यह आँख की राय नहीं, हिसाब है। जोड़ने वाले निशानों पर चलाओ तो हर बार 0 आता है। यानी वे सच में एक ही line पर हैं। गुणा वाले निशानों पर चलाओ तो 0 नहीं आता। यानी वे सच में एक line पर हैं ही नहीं।

2:05और जाँच यह भी बता देती है कि पहली बार कहाँ टूटता है। देखो — 0 से गिनें तो index 2 वाला निशान ही पहली 2 के बीच खींची line से बाहर निकल जाता है। लग सकता है कि मुड़ाव बनाने की ख़ामी है। पर नहीं — यह numbers की बात है, और कुछ भी बनाने से पहले निकल आई थी। सीधी होने का मतलब क्या है? बढ़तें बराबर — यही सीधी होना है, और कुछ नहीं।

2:31यहाँ जोड़ने वाले plot पर हर बढ़त एक ही लंबाई की है। अब ऊपर वाले plot पर देखो — गुणा वाली की बढ़तें हैं 3, 6, 12 और 24। ये बराबर नहीं हैं। पर बात सिर्फ़ इतनी नहीं कि बराबर नहीं हैं। असली बात यह है कि कितनी बराबर नहीं हैं, और क्यों। हर बढ़त को उस ऊँचाई से बाँटो जहाँ से वह शुरू हुई थी। इस जवाब को हम हिस्सा कहेंगे।

3:00और इसका जवाब क्या आता है? गुणा वाली में चारों steps पर हिस्सा 1 है। यानी हर बढ़त उतनी ही है जितनी ऊँचाई पहले से हासिल थी। यह इन numbers का इत्तिफ़ाक़ नहीं है। हिस्सा हमेशा ratio में से 1 घटा कर मिलता है, ratio चाहे जो हो। तो गुणा करना हिस्से को टिका देता है। और उस हिस्से के नीचे की ऊँचाई हर step पर हिलती रहती है। हिलती हुई ऊँचाई का टिका हुआ हिस्सा ख़ुद टिक नहीं सकता।

3:29इसलिए यहाँ एक बात पक्की हो जाती है — जैसे ही ratio 1 के अलावा कुछ है, बराबर बढ़तें नामुमकिन हैं। अब वही gauge जोड़ने वाली sequence पर लगाते हैं। यहाँ क्या निकलेगा — वही टिका हुआ हिस्सा, या कुछ और? इसकी बढ़तें हर step पर 3 हैं, यानी पूरी तरह टिकी हुई। और इसके हिस्से नीचे की तरफ़ जाते हैं — 1, फिर 1 बटा 2, फिर 1 बटा 3, फिर 1 बटा 4।

3:58ये घटते चले जाते हैं। पहली नज़र में टिकी हुई बढ़त और टिका हुआ हिस्सा एक ही बात लगते हैं। पर एक ही instrument से दोनों families बिलकुल उलटी निकलती हैं, क्योंकि जोड़ना बढ़त को टिकाता है और हिस्सा खो देता है, जबकि गुणा हिस्से को टिकाता है और बढ़त खो देता है। क्या यह सिर्फ़ चढ़ने वाली runs की बात है? नहीं — यहाँ देखो, घटती हुई गुणा वाली run भी एक हिस्सा टिकाए रखती है, बस वह ऋणात्मक होता है।

4:28ratio 3 बटा 4 पर हिस्सा है माइनस 1 बटा 4। और जिस run का ratio 5 बटा 2 है, वह अपने तीनों steps पर हिस्सा 3 बटा 2 रखती है। तो ऊपर लिखी तीनों runs में एक ही चीज़ टिकती है — हिस्सा। और क्योंकि वह चढ़ते हुए भी टिकता है और घटते हुए भी, हिस्सा ही गुणा करने का हस्ताक्षर है। पर क्या हर ratio इस दलील में फँसता है?

4:53एक ratio इससे बच निकलता है, और उसका नाम लेना ज़रूरी है — वरना दलील ही कमज़ोर रह जाती है। ratio 1 देता है 7, 7, 7, 7, 7 — यहाँ वही value बार-बार लौट आती है। यह एक साथ गुणा वाली run भी है और जोड़ने वाली भी, क्योंकि इसका ratio भी बराबर है और इसकी बढ़त भी बराबर। यहाँ इसके निशान सच में एक सीधी line पर बैठते हैं — एक सपाट line — और इसकी बढ़तें 0 हैं।

5:23कई students इसे एक पूरी बात मान लेते हैं — कि गुणा वाली run कभी सीधी नहीं बनती। पर वह तभी सही है जब ratio 1 के अलावा कुछ हो, और वह शर्त बोलनी पड़ेगी। तीनों को करके देखा गया है: ratio 2 मुड़ता है, ratio 3 बटा 4 मुड़ता है, और ratio 1 नहीं मुड़ता। अब तक तीर एक ही तरफ़ है। 1 के अलावा किसी ratio से गुणा करो, plot मुड़ेगा।

5:50अब उल्टा पूछते हैं। क्या मुड़ा हुआ plot इस बात का सबूत है कि गुणा हो रहा है? वर्ग संख्याएँ लो — 1, 4, 9, 16, 25। देखो — इनका plot मुड़ता है, ठीक वैसे ही जैसे गुणा वाली sequence का मुड़ता था। पर हर एक को पिछली से भाग दो। मिलता है 4, फिर 9 बटा 4, फिर 16 बटा 9, फिर 25 बटा 16। ये टिकते नहीं, भटकते हैं।

6:204 से गिरते हुए, 16 बटा 9 यानी करीब 1 दशमलव 7 8 से होते हुए, और नीचे। यहाँ बहुत सारे students फँसते हैं — मुड़ाव देख कर मान लेते हैं कि ratio बराबर है। पर यह plot मुड़ता है और इसका कोई बराबर ratio है ही नहीं। इसलिए निदान सिर्फ़ एक तरफ़ चलता है। मुड़ाव जोड़ने वाले परिवार को देखते ही बाहर कर देता है, और किसी परिवार को अंदर नहीं करता।

6:47तो गुणा वाली run को पक्का कैसे करें? तरीक़ा वही पुराना है — लगातार terms को आपस में बाँटो, और देखो कि जवाब टिकता है या नहीं। गुणा वाली पर: 6 बटा 3, 12 बटा 6, 24 बटा 12, 48 बटा 24 — हर बार 2। जवाब टिक गया, तो यह सच में गुणा वाली run है। वर्ग संख्याओं पर वही भाग 4, 9 बटा 4, 16 बटा 9, 25 बटा 16 देता है।

7:16टिका नहीं, तो बात यहीं ख़त्म। यहाँ plot सिर्फ़ आँख के लिए है। फ़ैसला भाग वाली जाँच करती है। पिछली बार जो काट-कर-फेंको वाला निर्देश था, उसने एक साथ 2 sequences दी थीं। तो अब उन्हें यहाँ plot करके देखते हैं। टुकड़े हैं 1, 3, 9, 27, 81। और क्षेत्रफल है 1, 3 बटा 4, 9 बटा 16, 27 बटा 64, 81 बटा 256। दोनों को stage number के सामने निशान लगाते हैं, एक ही stage axis पर, एक के ऊपर एक।

7:55कौन सा plot किस तरफ़ जाएगा? ऊपर वाला तेज़ी से चढ़ता है। नीचे वाला तेज़ी से गिरता है और फिर चपटा हो जाता है। दोनों मुड़ते हैं। पर किस तरफ़ मुड़ते हैं? दोनों ऊपर की तरफ़। पहली नज़र में लगता है कि ऊपर की तरफ़ मुड़ना यानी बढ़ना। पर मुड़ाव की दिशा यह नहीं बताती कि values किधर जा रही हैं — नीचे वाला plot ऊपर की तरफ़ मुड़ता है और फिर भी घटता है।

8:22तो मुड़ाव जो बताता है वह है बराबर ratio। और values किधर जाएँगी, यह इस पर टिका है कि वह ratio 1 से ऊपर है या 1 से नीचे। दोनों एक हिस्सा टिकाए हुए हैं। गिनती हर stage पर अपने आप का पूरा 2 बार कमाती है, और क्षेत्रफल 1 चौथाई खोता है। 1 से छोटा ratio plot को कुछ नहीं की तरफ़ चपटा करता है। तो क्या वह कभी कुछ नहीं तक पहुँच जाता है?

8:50"की तरफ़" यहाँ असली काम कर रहा है। क्षेत्रफल कुछ नहीं के जितना पास चाहो उतना पास चला जाता है, और पहुँचता नहीं। यह जाँच कर के देखा गया है। जो 5 stage बने हैं उन पर भी, और उनसे आगे 200 stage पर भी — हर एक पर क्षेत्रफल कुछ नहीं से ऊपर है। वजह सीधी है। एक धनात्मक number को किसी भी power पर उठाओ, वह धनात्मक ही रहता है।

9:17पर मोटा scale इसे छिपा देता है। ऐसा क्यों होता है? क्योंकि लकीरें दूर-दूर हों, तो सबसे नीचे वाली लकीर के नीचे की सारी values एक जैसी दिखने लगती हैं। 0 दशमलव 2 के steps वाले chart पर stage 6 पहला ऐसा stage है जिसका क्षेत्रफल सबसे नीचे वाली लकीर से भी नीचे बैठ जाता है। यहाँ लग सकता है कि plot 0 तक पहुँच गया। पर सबसे नीचे वाली लकीर से नीचे होना कुछ नहीं हो जाना नहीं है — वह बस सबसे नीचे वाली लकीर से नीचे होना है।

9:49चढ़ने वाले chart में वही जाल उल्टा है। उसकी सबसे ऊपर वाली लकीर 80 पर है, और उसका आख़िरी निशान 81 उससे ऊपर बैठा है। chart पर बराबर दूरी वाली लकीरों को बराबर दूरी वाले labels चाहिए। वरना chart अपनी ही दूरी के बारे में झूठ बोल रहा है। यहाँ देखो — 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 45, 50 पढ़ने वाले scale के पास वे नहीं हैं। कौन सा step इसे तोड़ता है?

10:247वाँ — 5 वालों के बीच में 10 की छलाँग। 40 को वहाँ वापस रखो, और 9 के 9 steps फिर से 5 हो जाते हैं। तो chart से कोई ऊँचाई पढ़ने से पहले उसका scale पढ़ो। एक गेंद 24 फ़ुट से गिराई जाती है। और हर उछाल पिछली ऊँचाई के 3 बटा 4 तक पहुँचती है। चल कर देखते हैं, और हर ऊँचाई यहाँ लिखते जाते हैं। 18, फिर 13 दशमलव 5, फिर 10 दशमलव 1 2 5, फिर 7 दशमलव 5 9 3 7 5।

11:01पूरी तरह आगे ले जाओ तो अगले 3 आते हैं — करीब 5 दशमलव 7, करीब 4 दशमलव 2 7, और करीब 3 दशमलव 2। 7 उछालों में हर एक पर ऊँचाई घटती है, और हर एक पिछली की ठीक 3 बटा 4 है। तो यह गुणा वाली run है, ratio 3 बटा 4। अब 5वीं ऊँचाई को 3 decimals पर गोल करो, और उसी को आगे गुणा करो। कितना फ़र्क़ पड़ेगा?

11:27नीचे वाली chain थोड़ी खिसक जाती है — 5 दशमलव 6 9 5, 4 दशमलव 2 7 1 2 5, 3 दशमलव 2 0 3 4 3 7 5। सोच सकते हो कि बीच में गोल कर देने से जवाब ही बदल जाएगा। पर दोनों chains 4थी उछाल तक हूबहू एक हैं, और उसके बाद का फ़र्क़ 7 उछालों में हर एक पर 1 बटा 100 फ़ुट से कम है।

11:52तो जवाब कोई भी chain दे देगी। ज़रूरी बस यह कहना है कि आप कौन सी चल रहे हैं। पहली नज़र में 24 ही पहला term लगता है। पर 24 फ़ुट गिरावट है — वह उछाल नहीं है। उछाल की ऊँचाइयाँ यहाँ 18 से शुरू होती हैं। तो 18 ही इस progression का पहला term है। अब देखो क्या होता है अगर progression को 24 से शुरू करें। 7वीं माँगने पर वह 6ठी उछाल की ऊँचाई पकड़ा देती है।

12:21चूक कितनी की है? ठीक 1 उछाल की, और हर बार 1 की ही रहती है। chart फिर भी गिरावट को bounce number 0 पर लगा सकता है। वह समझदार chart है, और axis को जस का तस पढ़ने वाले के लिए जाल भी। अब वह सवाल जिसके लिए यह सारा data है। कितनी उछालों के बाद गेंद उस ऊँचाई के 1 बटा 6 से नीचे रहने लगेगी जहाँ से गिराई गई थी?

12:4824 फ़ुट का 1 बटा 6 है 4 फ़ुट। 4 फ़ुट पर एक line plot के आर-पार खींच दो। वही line इस chart को जवाब में बदलती है। 6ठी उछाल करीब 4 दशमलव 2 7 फ़ुट तक जाती है। line से ऊपर। 7वीं करीब 3 दशमलव 2 फ़ुट। line से नीचे। तो जवाब है 7 उछालें। और खिसकी हुई chain भी वही 7 देती है। ऊँचाइयों को पहले पूरे फ़ुट पर गोल कर लो, और जवाब 6 आ जाता है।

13:20क्योंकि 4 दशमलव 2 7 गोल होकर 4 बनता है। और 4, 4 से नीचे नहीं है। तुलना से पहले गोल करना ही इस सवाल का ग़लत जवाब देने का तरीक़ा है। तुलना ऊँचाई पर होनी चाहिए। और progression को 24 से शुरू करो, तो जवाब 8 आता है। एक ही सवाल, 3 अलग जवाब। जल्दी गोल करने से 6, ग़लत जगह से शुरू करने से 8, और ईमानदारी से चल कर देखने पर 7।

13:50इस गेंद के chart पर 8 निशान हैं। गिरावट, और फिर 7 उछालें। इसके labels पढ़ते हैं 24, 18, 13 दशमलव 5, 10 दशमलव 1 2, 7 दशमलव 9, 5 दशमलव 7, 4 दशमलव 2 7 और 3 दशमलव 2। क्या ये वही ऊँचाइयाँ हैं? हिसाब को 3 अलग गोल करने के नियमों से गुज़ारते हैं। और गिनते हैं कि हर नियम 8 में से कितने labels दोबारा बना पाता है।

14:21आधे को हमेशा ऊपर करने वाला नियम 8 में से 6 बनाता है। पूँछ काट देने वाला भी 6। और आधे को सम वाले पड़ोसी तक ले जाने वाला 7। कोई भी नियम 8 के 8 नहीं बनाता। सबसे अच्छा नियम भी एक label चूकता है, और वह 4थी उछाल का है। label पढ़ता है 7 दशमलव 9, और हिसाब देता है 7 दशमलव 5 9। वह label तीनों नियमों में से किसी के हिसाब से भी गोल किया हुआ रूप नहीं है।

14:50इसलिए वह लिखने की चूक है, और दोबारा बनाया गया chart 7 दशमलव 5 9 लिखता है। 10 दशमलव 1 2 5 दिखाता है कि नियम मायने क्यों रखता है। सम वाले पड़ोसी तक जाने पर 10 दशमलव 1 2, और आधे को हमेशा ऊपर करने पर 10 दशमलव 1 3। label पढ़ता है 10 दशमलव 1 2, जो उस ऊँचाई से 0 दशमलव 0 0 5 नीचे है जिसके लिए वह खड़ा है।

15:18पहली नज़र में chart पर लिखा number ही ऊँचाई लगता है। पर label ऊँचाई नहीं है — chart पढ़ो, और फिर उसे उसी नियम से जाँचो जिसने उसे बनाया है। तरीक़ा हिलाने के लिए दूसरी गेंद। 80 मीटर से गिराई गई, और हर बार पिछली ऊँचाई के 3 बटा 5 तक उठती है। इसकी उछाल-ऊँचाइयाँ हैं 48, 28 दशमलव 8, 17 दशमलव 2 8, 10 दशमलव 3 6 8, और 6 दशमलव 2 2 0 8 मीटर।

15:49तो 5वीं उछाल 6 दशमलव 2 2 0 8 मीटर तक जाती है। इतना तो plot दिखा ही देता है। अब कुल तय की गई खड़ी दूरी, 6ठी बार ज़मीन छूने तक। क्या यह plot पर कहीं दिख रही है? नहीं, plot इसे बिलकुल नहीं दिखाता। चल कर देखते हैं। पहली गिरावट 80 मीटर। और फिर उन 5 ऊँचाइयों में से हर एक 2 बार — एक बार ऊपर जाते हुए, एक बार नीचे आते हुए।

16:16यह हुआ 301 दशमलव 3 3 7 6 मीटर। करीब 301 दशमलव 3 4। भूल जाओ कि गेंद नीचे भी आती है, और 110 दशमलव 6 6 8 8 मीटर ग़ायब हो जाते हैं। एक बार ज़्यादा चल जाओ, तो 6ठी उछाल की ऊँचाई 2 बार जुड़ जाती है और कुल 308 दशमलव 8 0 2 5 6 हो जाता है। और chart का कोई एक निशान कुल के आसपास भी नहीं है।

16:47उन 6 numbers में सबसे बड़ा 80 है, और कुल उससे 3 गुना से भी ज़्यादा। यहाँ कुल 6 numbers का जोड़ है। किसी एक को पढ़ लेना नहीं। और कोई shortcut चाहिए भी नहीं, न ही छिपाया जा रहा है। 5 ऊँचाइयाँ जोड़ लेना ही पूरा काम है। तो आख़िर में मुड़ाव की बात। यह गुणा करने का हस्ताक्षर है, क्योंकि बढ़त उस ऊँचाई का एक टिका हुआ हिस्सा होती है जो पहले से हासिल है।

17:16यह जोड़ने वाले परिवार को देखते ही बाहर कर देता है। सिवाय ratio 1 के, जहाँ दोनों परिवार एक ही परिवार हैं और plot सपाट रहता है। यह गुणा वाले परिवार को अंदर नहीं करता। वर्ग संख्याएँ मुड़ती हैं और उनके ratios भटकते हैं। 1 से ऊपर plot axis से दूर चढ़ता चला जाता है। 1 से नीचे कुछ नहीं की तरफ़ चपटा होता है, और पहुँचता नहीं। और एक chart आख़िर क्या पकड़ाता है?

17:43terms, कुल नहीं। labels, ऊँचाइयाँ नहीं।