Common difference, और nth term a + (n − 1)d क्यों होता है

0:00पहली नज़र में यह सिर्फ़ एक तस्वीर लगती है। एक पैटर्न, जो हर stage पर बढ़ता है। पहले 4 stage देखिए। हर बार कुछ tile और जुड़ जाते हैं। अब इन्हें गिन लीजिए — 1 tile, फिर 5, फिर 9, फिर 13। एक stage से अगले stage तक कितना बढ़ा? हर बार 4। 6 stage तक 5 चालें हैं, और पाँचों में यही 4 है। अगले 2 stage? 13 में 4 जोड़िए, 17।

0:30फिर 4 और, 21। अभी तक जोड़ना काम कर रहा है। अब stage 20? जोड़ते-जोड़ते वहाँ पहुँचेंगे, पर इसमें बहुत समय लगेगा। कोई छोटा रास्ता चाहिए? तो एक चाल चलते हैं। नीचे लिखी गिनतियाँ देखिए। tile गिनना छोड़िए, और जोड़ गिनिए। क्या हर गिनती को उसी जोड़ के रूप में लिखा जा सकता है? नीचे देखते जाइए। पहली row में सिर्फ़ 1 है। दूसरी में 1 जोड़ 4 है। तीसरा 1 जोड़ 4 जोड़ 4।

1:08चौथे में 1 के बाद 4 ठीक 3 बार आता है। कुछ भी नया नहीं हुआ, बस वही गिनती दूसरी तरह लिखी गई है। वही 4 row, फिर से लिखिए। बार-बार आ रहे 4 को इकट्ठा कर दीजिए। 1 जोड़ 0 गुणा 4, 1 जोड़ 1 गुणा 4, 1 जोड़ 2 गुणा 4, 1 जोड़ 3 गुणा 4। इन चारों row में सिर्फ़ एक चीज़ बदल रही है। 1 वही है, 4 वही है।

1:38जो बदल रहा है वह गुणक है। ऊपर वाले गुणक क्या हैं? 0, 1, 2, 3। और नीचे वाली जगहें क्या हैं? 1, 2, 3, 4। दोनों row को एक-दूसरे के ठीक ऊपर रखिए, ताकि हर जगह के सामने उसका गुणक आ जाए। पहली नज़र में लगता है कि गुणक और जगह एक ही चीज़ हैं। पर गुणक हमेशा जगह से 1 कम है। यह सिर्फ़ इन चारों की बात नहीं है।

2:0940 जगहों पर गिना गया, और चालीसों पर यही निकला। यह इत्तेफ़ाक़ नहीं है। गुणक जगह गिनता ही नहीं। वह गिनता है कि वहाँ तक पहुँचने में 4 कितनी बार जोड़ा गया। पहले पद पर खड़े होकर पूछिए, अब तक कितनी बार जोड़ा? एक बार भी नहीं, यानी 0। इसीलिए पहले पद का गुणक 0 है। ऊपर लिखी चारों row देखिए। तो n वें stage पर कितने tile? 1 जोड़, n से 1 कम, गुणा 4।

2:4159 जगहों पर जाँचा गया, और उनसठों पर यह सही निकला। नीचे इसे छोटा कर दीजिए तो 4n घटा 3 बनता है। उन्हीं 59 जगहों पर दोनों एक ही पद देते हैं। यह नया नियम नहीं, वही नियम छोटा लिखा हुआ है। अब वह सवाल — stage 20। 4 गुणा 20 घटा 3। 77 tile। न कुछ बनाया, न कुछ गिना। एक सवाल यहीं उठता है, और यह सोच रहे लोगों का सबसे आम सवाल है।

3:14n से 1 कम क्यों? सीधे n क्यों नहीं? यह रहा वह नियम जो ज़्यादातर लोग पहले लिखते हैं। इसे पहले पद पर आज़माइए। ऊपर वाला सही जवाब 1 है। नीचे वाला नियम 5 देता है। यह इसलिए हुआ क्योंकि इसने पहली ही जगह पर d को एक बार जोड़ दिया, जबकि वहाँ अभी कोई चाल चली ही नहीं थी। और यह सिर्फ़ पहले पद पर ग़लत नहीं है। 59 जगहों पर जाँचा गया।

3:41हर एक जगह पर यह ठीक 1 common difference आगे था। क्या ये दोनों कभी एक जैसे होते हैं? 11 अलग-अलग common difference आज़माकर देखे गए। सिर्फ़ 1 पर दोनों बराबर निकले, और वह है 0 वाली चाल, जहाँ सूची हिलती ही नहीं। अब इसे आम रूप में लिखिए। ऊपर पहला पद a है। उसके नीचे a जोड़ d। फिर a जोड़ 2d। फिर a जोड़ 3d। हर बार वही d, एक बार और।

4:14तीरों के ऊपर गिनिए कि d कितनी बार जुड़ा। 0 बार, 1 बार, 2 बार, 3 बार। वही गुणक, फिर से। तो n वें पद पर d कितनी बार जुड़ा होगा? n से 1 कम बार। n वाँ पद है a जोड़, n से 1 कम, गुणा d। यह n से 1 कम कोई सुधार नहीं है जो नियम को ठीक करने के लिए चिपकाया गया हो। यह एक गिनती है — कितनी चालें चली गईं।

4:44इसका मतलब यह है कि पूरी सूची सिर्फ़ 2 संख्याओं से तय हो जाती है। कहाँ से शुरू हुई, और हर बार कितनी चाल। इन 2 को arithmetic progression का पहला पद और common difference कहते हैं। क्या इस सूची को नियम के बिना, सिर्फ़ चाल बताकर कहा जा सकता है? नीचे लिखा रूप देखिए। पहला पद a है। उसके बाद हर पद पिछले पद में d जोड़कर बनता है।

5:11पहली नज़र में यह शर्त एक फ़ालतू सी बात लगती है। पर ऊपर लिखी इस शर्त के बिना यह नियम चलता ही नहीं। पहली जगह पूछिए, तो पिछला पद है ही नहीं। 29 जगहें जाँची गईं और अट्ठाईस के पास पिछला पद था। जो सबसे पहली जगह इसे मानती है, वह 2 है। दोनों तरीक़े एक ही सूची बनाते हैं। 39 जगहों पर परखा गया, और उनतालीसों पर दोनों का पद एक ही निकला।

5:40पर क़ीमत अलग है। नीचे दोनों रास्ते देखिए। 400 वाँ पद चाहिए। चलकर पहुँचिए तो कितनी बार जोड़ना पड़ेगा? जवाब है 399 जोड़। फिर वही गिनती — जगहों से 1 कम। और ऊपर वाले नियम से? एक गुणा, एक जोड़। 2 operation। जवाब वही, मेहनत अलग। यहाँ लग सकता है कि जिस भी सूची का नियम लिखा जा सके वह arithmetic progression है। अब तक 8 सूचियाँ सामने आ चुकी हैं।

6:12नीचे लिखी सब सूचियों पर एक ही जाँच लगाइए — क्या हर फ़ासला एक जैसा है? 8 में से 4 पास हुईं। बाक़ी 4 नहीं। सिर्फ़ पास होने वालियाँ arithmetic progression कहलाती हैं। इनमें से एक पर रुकिए — वर्ग संख्याएँ। इनका नियम बिलकुल साफ़ है, और ज़्यादातर लोग इसे देखकर इन्हें भी arithmetic progression मान लेते हैं। पर नीचे लिखे फ़ासले देखिए। 3, 5, 7, 9, 11। ये बढ़ते जा रहे हैं, रुकते नहीं।

6:46तो नियम होना जाँच नहीं है। बहुत सी सूचियों का नियम होता है। जाँच यह है कि फ़ासला हर बार वही रहे। क्या हर arithmetic progression ऊपर ही जाती है? यह सूची देखिए — 11, 7, 3, फिर ऋणात्मक 1, फिर ऋणात्मक 5। इसका common difference ऋणात्मक 4 है। जाँच वही है, तो यह सूची भी उसमें पास हो जाती है। नीचे जाना अलग किस्म की चीज़ नहीं है, वह बस ऋणात्मक चाल है।

7:19इसका नियम है 15 घटा 4n। पूरी 39 जगहों पर यही निकला। यही तरीक़ा 3 और सूचियों पर। 2, 5, 8, 11 का नियम 3n घटा 1। ऋणात्मक 5, ऋणात्मक 1, 3, 7 का नियम 4n घटा 9। और 11, 8, 5, 2 का नियम 14 घटा 3n। तीनों में से हर एक 39 जगहों पर परखा गया, और किसी में एक भी जगह चूकी नहीं। पहला पद और common difference पूरी संख्या होने ज़रूरी नहीं।

7:57यह सूची देखिए — 1 बटा 2, 5 बटा 2, 9 बटा 2, 13 बटा 2। यहाँ भी फ़ासला हर बार 2 है। और इसका नियम क्या निकलता है? 4n घटा 3 बटा 2। इसे भी 39 जगहों पर परखा गया। इसके नीचे एक और — 1.5, 3.5, 5.5, 7.5। इसका फ़ासला भी 2 है। और नियम है 2n घटा 1 बटा 2, वह भी 39 जगहों पर जाँचा गया।

8:31दोनों का common difference वही 2 है। पर पहला पद अलग है — एक 1 बटा 2 से शुरू होती है, दूसरी 3 बटा 2 से। तो अकेला common difference किसी एक सूची का नाम नहीं है। वह एक पूरे कुनबे का नाम है। 13 अलग पहले पद से चलाइए तो 13 अलग सूचियाँ निकलती हैं, और तेरहों का फ़ासला वही 4 रहता है। अब एक सवाल जो पहली नज़र में आसान लगता है।

8:58ये 2 सूचियाँ, एक ही फ़ासले के साथ चलती हुई — क्या कभी किसी एक ही संख्या पर मिलती हैं? हर सूची के 400 पद खोजे गए। एक भी साझा संख्या नहीं मिली। पर खोज कभी नहीं कह सकती — आगे भी नहीं मिलेगी। इसलिए खोज छोड़िए और वजह देखिए। दोनों को दुगुना कर दीजिए, तो नीचे का 2 चला जाता है। पहली सूची के 40 पद दुगुने करके देखे गए, चालीसों 4 के गुणज से 1 ज़्यादा निकले।

9:28दूसरी के चालीसों 3 ज़्यादा। 1 ज़्यादा और 3 ज़्यादा कभी एक ही संख्या नहीं हो सकते। यह खोज का नतीजा नहीं है, यह वजह है। इसीलिए कितनी भी लंबी खोज कोई साझा संख्या नहीं ढूँढ पाएगी। एक tank है। उसमें पहले से 200 litre पानी खड़ा है। अब भरना शुरू होता है, हर minute 40 litre। नीचे reading देखिए। 1 minute बाद कितनी? 240 litre। 2 minute बाद 280 litre।

10:013 minute बाद 320 litre। हर minute वही 40 litre आ रहा है, इसीलिए ये तीनों मिलकर एक arithmetic progression बनाते हैं। पहला पद 240, common difference 40। इसका नियम 2 तरह लिखा जा सकता है। 240 जोड़, n से 1 कम, गुणा 40। या छोटा करके, 200 जोड़ 40n। 39 जगहों पर जाँचा गया और दोनों हर बार एक ही reading देते हैं। और ऊपर वाले नियम से, 10 minute बाद?

10:33200 जोड़ 40 गुणा 10। 600 litre। यहाँ लग सकता है कि जो संख्या नियम में सबसे आगे लिखी है वही पहला पद है। अब ऊपर लिखे नियम पर ध्यान दीजिए। इसमें 2 constant दिख रहे हैं — 240 और 200। दोनों शुरू जैसे लगते हैं। पर सूची में सिर्फ़ एक है। वह 200 litre कब से खड़ा था? भरना शुरू होने से भी पहले। सूची से पूछिए कि 200 किस जगह बैठेगा, तो जवाब आता है ठीक 0।

11:07पर 0 कोई जगह नहीं है। सूची की गिनती 1 से शुरू होती है। एक चाल और पीछे जाइए तो ऋणात्मक 1 मिलता है, वह भी जगह नहीं। इसीलिए 200 इस सूची का पद नहीं है — वह वहाँ की reading है जहाँ यह सूची शुरू ही नहीं होती। एक सूची: 21, 18, 15, और नीचे। पहली नज़र में 0 कुछ ख़ास सा लगता है। क्या 0 इसका पद है?

11:35जोड़-घटाकर हल कीजिए। 0 ठीक 8 वीं जगह पर बैठता है। यह पूरी संख्या है, तो 0 इस सूची का पद है। 0 में कुछ ख़ास नहीं है। इसी तरह ऋणात्मक 81। वह 35 वीं जगह पर है। नीचे चले जाना कोई रुकावट नहीं है। और अगर कोई संख्या 2 पदों के बीच आती है, तो उसकी जगह पूरी संख्या नहीं निकलती। बस यही जाँच है। अब नीचे देखिए, और वह ग़लती पहचानिए जो सबसे भारी पड़ती है।

12:07common difference किन्हीं 2 पदों का फ़ासला नहीं है। वह ऊपर दिखे हुए पड़ोसी पदों का फ़ासला है। दूर के 2 पदों का फ़ासला क्या है? बीच की चालों की गिनती, गुणा common difference। पहली 20 जगहों के 190 जोड़े जाँचे गए, और 190 के 190 पर यही सही निकला। यही बात एक औज़ार भी है। अगर 2 पद पता हों, तो उनके बीच की चालें गिनकर पूरी सूची वापस निकाली जा सकती है।

12:37यहाँ लग सकता है कि 2 पद काफ़ी नहीं होंगे। ऊपर दी गई 2 जानकारियाँ देखिए। एक सूची में 3 री जगह पर 12 है, और 50 वीं जगह पर 106। पहला पद और common difference निकालिए। 3 री से 50 वीं जगह तक कितनी चालें? 47। और वे कितना ले जाती हैं? 106 घटा 12, यानी 94। तो common difference है 94 बटा 47, यानी 2। और पहले पद तक?

13:073 री जगह से 2 चालें पीछे। 12 में से 2 बार 2 घटाइए, 8। अब 29 वाँ पद निकालिए। पहला पद 8 है, और उसमें 2 को, 29 से 1 कम बार, जोड़ना है। जवाब 64। फिर वही चाल। 11 वाँ पद 38 है और 16 वाँ पद 73। नीचे गिनिए — बीच में 5 चालें हैं और वे 35 ले जाती हैं। तो common difference 7 है। पीछे चलकर पहला पद ऋणात्मक 32।

13:40और 31 वाँ पद 178। तीसरा सवाल थोड़ा अलग कहा गया है। 3 रा पद 16 है, और 7 वाँ पद 5 वें से 12 ज़्यादा है। 5 वें से 7 वें तक 2 चालें हैं और वे 12 ले जाती हैं। तो common difference 6। और 3 रे पद से 2 चालें पीछे, पहला पद 4। सूची चलती है 4, 10, 16, 22। नीचे एक factory का आँकड़ा है।

14:12पहले साल वह 500000 चीज़ें बनाती है। उसके बाद हर साल 20000 चीज़ें और। कब 700000 चीज़ों तक पहुँचेगी? पूरी बढ़त 200000 चीज़ों की है, और हर साल की बढ़त 20000 चीज़ें। तो 700000 चीज़ें इस सूची का 11 वाँ आँकड़ा है। अब यहीं सावधान हो जाइए। 11 वाँ आँकड़ा है, पर इसका मतलब 11 साल की बढ़त नहीं। बढ़तें गिनिए — 10। 200000 चीज़ों में 20000 ठीक 10 बार जाता है।

14:43ऊपर आँकड़े खंभे हैं, और बढ़तें उनके बीच के फ़ासले। फ़ासले हमेशा खंभों से 1 कम होते हैं। यह वही वाक्य है जो नियम में n से 1 कम बनकर बैठा है। आख़िरी सवाल इसी गिनती का एक और रूप है। किसी range के अंदर कितने पद आते हैं? 3 अंक वाली संख्याओं में 7 के गुणज कितने हैं? पहला 105, आख़िरी 994, और गिनती 128। 10 और 250 के बीच 4 के गुणज?

15:17पहला 12, आख़िरी 248, और गिनती 60। नीचे जाती सूची भी इसी तरह गिनी जाती है। 21 से ऋणात्मक 81 तक 35 पद हैं। और ऋणात्मक 81 की जगह भी 35 है। यह इत्तेफ़ाक़ नहीं है। और सिर्फ़ 0 से नीचे गिनिए तो 28 पद मिलते हैं। यह 8 वीं जगह से 35 वीं जगह तक का हिस्सा है। इन 3 गिनतियों को साथ रखिए। तीनों में गिनती आख़िरी पद की जगह के बराबर निकली, और तीनों में वह जगह चालों से ठीक 1 ज़्यादा थी।

15:53तो n से 1 कम कोई सुधार नहीं था। arithmetic progression हमेशा एक ही सवाल पूछती है — शुरू से कितनी चालें? और जवाब में जगह से हमेशा 1 कम चालें चली होती हैं।