PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 8, Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and ProgressionsPrepShorts

Chapter 8 · Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions

दोनों सिरों से जोड़ियाँ बनाना: 1 + 2 + ⋯ + n का एक बंद रूप

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1 से 10 तक जोड़ना हाथ से हो जाता है — 9 जोड़, जवाब 55। वही सवाल 1 से 1000 तक का पूछ लो और वही तरीक़ा 999 जोड़ माँगने लगता है। जवाब 500500 है, और वो सिर्फ़ 3 operation में निकलता है। चाल यह है कि योग को एक बार सीधा लिखो और ठीक उसके नीचे वही योग उल्टा। अब lines को लंबाई में मत पढ़ो, column बनाकर पढ़ो: हर column 11 बनता है, ऐसे column 10 हैं, तो योग का दोगुना 110 है। आधा सबसे आख़िर में — और तब 55।

मुख्य idea

जोड़ के सिरों की जोड़ियाँ बनाना जिस वजह से काम करता है, वह एक ही पंक्ति में कही जा सकती है: बाएँ से एक step भीतर चलिए और आपको 1 मिल जाता है, दाएँ से एक step भीतर चलिए और आपका 1 घट जाता है, इसलिए आप जो भी जोड़ी बनाएँ उसका योग वही रहता है। जोड़ को दो बार लिखना — एक बार सीधा और एक बार उल्टा — दरअसल उन सारी बराबर जोड़ियों को एक ही पल में दिखा देने का तरीक़ा है, और यह उस असहज सवाल को किनारे कर देता है कि terms विषम संख्या में हों तो क्या किया जाए, क्योंकि जोड़ दोगुना कर देने पर जोड़ियाँ पूरी-पूरी बनना पक्का हो जाता है। इसीलिए 2S = n(n + 1) नतीजे का ईमानदार रूप है और आधा करना सबसे आख़िर में आता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • पहली दस गिनती की संख्याओं को दोनों सिरों से जोड़ियाँ बनाकर जोड़िए, एक-एक term जोड़े बिना
  • समझाइए कि हर ऐसी जोड़ी का योग एक ही क्यों होता है
  • जोड़ को सीधा और उल्टा लिखकर 2S = n(n + 1) निकालिए, और S का बंद रूप बताइए
  • वही नतीजा दो एक-दूसरे में फँसती सीढ़ियों की आयताकार सरणी से सही ठहराइए
  • बंद रूप से कोई बताई हुई त्रिभुजाकार संख्या निकालिए
  • ऐसी लगातार संख्याओं की लड़ी का कुल निकालिए जो 1 से शुरू नहीं होती, एक बंद रूप में से दूसरा घटाकर
  • गिनिए कि ऐसी लड़ी में कितने terms हैं
  • नतीजे को माध्य गुणा गिनती की तरह दोबारा कहिए, और बताइए कि वह रूप कब लागू होता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
sumterms की किसी बताई हुई लड़ी का कुल, यहाँ S या Sₙ लिखा हुआयोग§8.5, pp. 183–185 में पूरे section में छपा है
Sₙपहली n गिनती की संख्याओं के कुल के लिए chapter का notationSₙ§8.5, p. 184 में छपा है — छपे हुए p. 184 पर पढ़ा गया, क्योंकि subscript निकाले गए text में नहीं आता
triangular numberगिनती की संख्याओं का चलता जोड़, यानी n(n + 1)/2त्रिभुजाकार संख्या§8.1 में छपा है, और p. 185 के चिंतन-box में दोबारा
rectangular arraycircles की वह grid जो तस्वीर वाली दलील बनाती है, यहाँ 7 गुणा 6आयताकार सरणीFig. 8.5, p. 184 के बग़ल के text में छपा है
averageदोनों सिरों के terms के ठीक बीच की value, आर्यभट वाले रूप मेंमाध्य§8.5, p. 185 में छपा है
Āryabhaṭīyaआर्यभट की कृति, जिसका हवाला यहाँ सबसे पहले लिखे गए कथन के लिए हैआर्यभटीय§8.5, p. 185 में italics में छपा है
pairing from the endsपहले को आख़िरी से, दूसरे को आख़िरी से दूसरे से, और इसी तरह जोड़ने की रीतिसिरों से युग्मनयहाँ जोड़ा गया वाक्यांश; chapter यह करता तो है पर इसे कोई नाम नहीं देता

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली है, और शीर्षक का लिप्यंतरण। इस किताब का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा, इसलिए इसे उस संस्करण की हूबहू शब्दावली नहीं, बल्कि प्रचलित प्रयोग मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • “पहले आधा कीजिए, फिर जोड़ियाँ बनाइए।” जल्दी आधा कर देना ही वह जगह है जहाँ अंकगणित बिगड़ता है। जोड़ को दोगुना कीजिए, columns की जोड़ियाँ बनाइए, और भाग सबसे आख़िर में दीजिए — यही क्रम विषम n वाले मामले को सँभाल देता है, क्योंकि 2S के पास जोड़ी बनाने को हमेशा सम संख्या में terms होते हैं।
  • **“जोड़ी का योग n + 1 होना संयोग है।”** वह मजबूरी है। पहली जोड़ी 1 + n है; भीतर बढ़ने पर बाईं ओर 1 जुड़ता है और दाईं ओर 1 घटता है, इसलिए कोई जोड़ी पहली से अलग हो ही नहीं सकती। दो-तीन columns को उल्टी दिशाओं में बदलते हुए दिखाइए।
  • “यह किसी भी progression का कुल दे देता है।” यह सिर्फ़ गिनती की संख्याओं का कुल देता है। chapter और कुछ निकालता ही नहीं — summary समेत chapter में कहीं भी किसी सामान्य AP का कुल नहीं कहा गया। फिर भी वह इतना दे देता है कि हर छपे हुए सवाल तक पहुँचा जा सके, और ईमानदार गिनती यह है कि §8.5 जो सीधे देता है उससे ज़्यादा की ज़रूरत एक को है: Exercise Set 8.2 का item 5, और वह भी 3 बाहर निकाल देने से बन जाता है। उसी set का Item 7 है 1 + 2 + ⋯ + 25, जो ख़ुद S₂₅ है, और End-of-Chapter problem 6 दो S values का अंतर है — ठीक वही चाल जो p. 185, 25 से 58 वाली लड़ी पर दिखाता है। तो chapter जो रास्ता छोड़ता है वह यह है कि किसी लड़ी को गिनती की संख्याओं तक घटा लीजिए — साझा गुणक बाहर निकालकर, या एक बंद रूप में से दूसरा घटाकर — और वह रास्ता कभी बंद नहीं होता।
  • “25 से 58 तक 33 terms हैं, क्योंकि 58 − 25 = 33।” वे 34 हैं। दोनों सिरे शामिल हैं, इसलिए गिनती 58 − 24 है। यह वही fence-post है जिसने nवें term के formula में (n − 1) डाला, और इसे उसी ग़लती के नाम से पुकारना बनता है।
  • **“25 से नीचे सब हटाने के लिए S₂₅ घटा दीजिए।”** इससे 25 भी हट जाता है। आपको S₂₄ चाहिए।
  • “माध्य वाली चाल किसी भी list पर चलती है।” वह तब चलती है जब terms बराबर दूरी पर हों, ताकि list का मध्य सिरों के माध्य से मेल खा जाए। आर्यभट की भाषा progressions के बारे में एक कथन है, मनमानी संख्याओं के बारे में नहीं।
  • **“formula सिर्फ़ तब चलता है जब n सम हो, क्योंकि terms की जोड़ियाँ बनानी पड़ती हैं।”** दोगुना करना ठीक वही है जो इस चिंता को हटा देता है। n = 7 पर चलाकर देखिए और कक्षा को 2S = 7 × 8 साफ़ निकलता हुआ दिखने दीजिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 8.2 Q5, Exercise Set 8.2 Q7, End-of-Chapter Exercises Q6, End-of-Chapter Exercises Q9

पूरा transcript1,863 शब्द

1 से 10 तक की सारी गिनती वाली संख्याएँ जोड़नी हैं। सीधा तरीक़ा यही है कि एक-एक करके जोड़ते जाओ। पहला पद शुरुआत है, और उसके बाद हर पद एक जोड़ है। 10 पद, यानी 9 जोड़। जवाब 55 आता है। इतना तो हाथ से हो ही जाता है, कोई परेशानी नहीं। अब यही सवाल 1 से 1000 तक का पूछ लो। वही तरीक़ा अब 999 जोड़ माँगता है। जवाब 500500 है।

और वो हम 999 जोड़ से नहीं, सिर्फ़ 3 operation से निकालेंगे। सवाल यही है कि एक-एक करके जोड़े बिना यह निकलेगा कैसे? चाल यह है। योग को एक बार सीधा लिख लो। अब ठीक उसके नीचे वही योग उल्टा लिख दो। इसमें कुछ खोया नहीं है। दूसरी line में वही 10 पद हैं, बस क्रम उल्टा है। तो दोनों lines मिलकर योग का दोगुना हैं। यही वो बात है जिसका फ़ायदा उठाना है।

अब इन दोनों lines को लंबाई में मत पढ़ो। column बनाकर पढ़ो। पहला column 1 और 10 है। दूसरा 2 और 9 है। तीसरा 3 और 8 है। चौथा column 4 और 7 है। पाँचवाँ 5 और 6 है। दोनों फिर से 11। हर column जुड़कर 11 बनता है। और यह 11 column जोड़कर निकला है, मान नहीं लिया गया। column कितने हैं? 10, 5 नहीं। इस बार कोई पद बचा ही नहीं।

तो दोनों lines मिलकर 11 को 10 बार हैं। यानी 110। और दोनों lines मिलकर योग का दोगुना हैं। तो योग का दोगुना 110 है। अब, और सिर्फ़ अब, आधा करो। योग 55 है। यह वही 55 है जो शुरू में एक-एक करके जोड़ने पर निकला था। क्रम मायने रखता है। पहले आधा कर देना, वहीं हिसाब बिगड़ता है। 7 पद लो। पहले आधा करोगे तो रास्ते में 7 बटा 2 लेकर चलना पड़ेगा, जो पूरी संख्या है ही नहीं।

पहले गुणा करो तो हर संख्या पूरी रहती है। 7 गुणा 8 यानी 56, और 56 का आधा साफ़-साफ़ 28। यह भी साफ़ कर देना ज़रूरी है कि पहले आधा करना ग़लत जवाब नहीं देता। वो भी 28 पर ही पहुँचता है। बात सिर्फ़ इतनी है कि रास्ते में जो संख्या वो लेकर चलता है, वो पूरी नहीं होती। और आधा हमेशा पूरा-पूरा क्यों होता है? किन्हीं 2 पड़ोसी संख्याओं में से एक सम होती ही है।

1 से 200 तक हर n पर यह जाँचा गया। 200 में से एक बार भी आधा अधूरा नहीं आया। अब दोगुना करने की असली वजह, जिसका fractions से कोई लेना-देना नहीं है। 1 से 10 की सिर्फ़ एक बार लिखी हुई सूची लो और उसे दोनों सिरों से जोड़ी बनाओ। 5 जोड़ियाँ बनती हैं, और कुछ बचता नहीं। अब 1 से 7 के साथ वही करो। बीच वाला पद, 4, अकेला रह जाता है।

उसकी कोई जोड़ी है ही नहीं। 1 से 100 तक में 50 ऐसे हैं जिनमें कोई न कोई पद बचा रह जाता है। और वो ठीक-ठीक विषम वाले हैं। अब वही 1 से 100 तक दोगुना करके देखो। 100 में से एक में भी कुछ नहीं बचता। योग को 2 बार लिखने की यही असली वजह है। विषम वाला झंझट ही ख़त्म हो जाता है। 7 पद दोगुना करो: हर column 8 बनता है, तो योग का दोगुना 7 गुणा 8, यानी 56।

और इस बार column 7 हैं, जो विषम है। पर इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता, क्योंकि अब किसी पद को किसी के साथ जोड़ी बनानी ही नहीं है। आधा करो तो 28। और एक-एक करके जोड़ने पर भी 28 ही आता है। विषम वाले हाल ने कोई दिक़्क़त नहीं की। अब यह कि column का जोड़ खिसकता क्यों नहीं। दोनों सिरों से एक-एक जगह अंदर की तरफ़ आओ। बाईं तरफ़ वाला पद 1 बढ़ जाता है।

दाईं तरफ़ वाला पद 1 घट जाता है। 2 बदलाव, अलग-अलग नापे गए। और 4 के 4 कदमों पर वो एक-दूसरे को काट देते हैं। इसलिए column का जोड़ वहीं टिका रहता है। यह कोई इत्तिफ़ाक़ नहीं है जिसे टिकना पड़ रहा हो। तो असल में यह काम कर कौन रहा है: जोड़ी बनाना, या बराबर फ़ासला? 1, 2, 3, 10 लो। इसके फ़ासले 1, 1 और 7 हैं। एक जैसे नहीं।

अंदर आओ तो बाईं तरफ़ 1 बढ़ता है और दाईं तरफ़ 7 घटता है। ये कटते नहीं, और column का जोड़ 11 से 5 पर खिसक जाता है। अब 7, 11, 15, 19, 23, 27 लो। इसके सारे 5 फ़ासले 4 हैं। अंदर आओ तो 4 बढ़ता है और 4 घटता है। तो ये भी आपस में कट गए। तो यह बात बराबर फ़ासले वाली हर सूची की है, और गिनती वाली संख्याएँ उन्हीं में से एक हैं।

अब यही चाल किसी भी n के लिए। सीधी line पहले, उल्टी line उसके नीचे। हर column पहला पद और आख़िरी पद है, यानी n जोड़ 1। यह n जोड़ 1 आख़िर आया कहाँ से? पहला column पहला पद और आख़िरी पद है। बाक़ी हर column उसी के बराबर है, क्योंकि एक तरफ़ जितना बढ़ता है दूसरी तरफ़ उतना ही घटता है। और ऐसे column n हैं। तो योग का दोगुना n गुणा n जोड़ 1 है।

2 से 100 तक के हर n पर, यानी 99 case पर, यह जाँचा गया। हर बार column का जोड़ एक ही संख्या निकला, और वो संख्या n जोड़ 1 थी। योग का दोगुना n गुणा n जोड़ 1: यही इस नतीजे की सही शक्ल है। आधा सबसे आख़िर में। और closed form 1 से 100 तक के हर एक n पर एक-एक करके जोड़ने वाले जवाब से मिला। यही बात एक तस्वीर एक ही बार में कह देती है।

6 cell चौड़ा और 7 cell गहरा grid बनाओ। कुल 42 cell। इसे सीढ़ी जैसी कटी हुई line से काटो। कट के एक तरफ़ rows में 6, 5, 4, 3, 2, 1 और फिर कुछ नहीं हैं। दूसरी तरफ़ rows उल्टी चलती हैं: कुछ नहीं, 1, 2, 3, 4, 5, 6। हर staircase में 21 cell हैं, और 21 ही 1 से 6 तक का योग है। और यह गिनकर निकाला गया है।

हर cell गिनी गई, और rectangle की दोनों भुजाएँ भी बनावट से ही गिनी गईं, मान नहीं ली गईं। दोनों में एक भी cell साझा नहीं है, और दोनों मिलकर पूरा grid भर देते हैं। और एक को आधा घुमाव देने पर वो दूसरी बन जाती है। वही सीढ़ी है, सिर्फ़ उतने ही cell वाली कोई और चीज़ नहीं। तो 1 से 6 तक के योग का दोगुना 7 गुणा 6 है, यानी 42।

और जोड़ में जो 1 आता है वो यहीं से आता है: column n हैं, पर rows n जोड़ 1 हैं। यह बनावट सिर्फ़ 6 पर नहीं, 40 अलग-अलग नापों पर जाँची गई। चालीसों पर टिकी। 7 पद के लिए यह rectangle 7 चौड़ा और 8 गहरा है। 56 cell, यानी 28 का दोगुना। विषम हाल तस्वीर में भी कोई दिक़्क़त नहीं करता। 10 पद के लिए rectangle 10 चौड़ा और 11 गहरा है।

110 cell, यानी 55 का दोगुना। इसी नतीजे को कहने का एक दूसरा तरीक़ा भी है, और वो काम का है। दोनों सिरों का average लो और पदों की गिनती से गुणा कर दो। 1 से 10 के लिए: 1 और 10 का average 5 और आधा है। 5 और आधा, 10 बार, यानी 55। 1 से 100 तक के हर एक n पर यह एक-एक करके जोड़ने वाले जवाब से मिला।

और यह सिर्फ़ गिनती वाली संख्याओं तक सीमित नहीं है। 7, 11, 15, 19, 23 पर यह 75 देता है, जो सही है। पर इसकी सीमा है, और वो यहीं है। ऐसी सूची लो, 0, 1, 5, 6 और 7। 5 पद हैं, पर फ़ासले बराबर नहीं। दोनों सिरों का average 3 और आधा है। 5 पदों से गुणा करो तो 17 और आधा। असली योग 19 है। average वाला तरीक़ा 1 और आधे से कम पड़ गया।

1, 2, 4 पर यही तरीक़ा उल्टी तरफ़ ग़लत होता है: आधे से ज़्यादा बता देता है। और ध्यान दो: इस सूची का पहला फ़ासला 1 है और आख़िरी भी 1। सिरे मिलते हैं, फिर भी इसे मना किया जाता है। शर्त हर फ़ासले पर है, सिर्फ़ पहले पर नहीं। इसलिए बराबर फ़ासले के बिना यह तरीक़ा मना कर दिया जाता है। बराबर फ़ासला ही वो शर्त है जो सूची के बीच को उसके सिरों का average बनाती है।

अब एक ऐसी पट्टी जो 1 से शुरू नहीं होती। 25 से 58 तक की लगातार संख्याएँ जोड़नी हैं। पहले यह कि इसमें पद कितने हैं? एक सिरे से दूसरा घटाओ तो 33 आता है। क्या यही जवाब है? हैं 34। दोनों सिरे गिने जाते हैं, इसलिए गिनती फ़र्क़ से 1 ज़्यादा है। यह वही fence post है जिसने nth पद वाले नियम में 1 घटाने की बात डाली थी।

एक-एक करके गिनो तो भी 34 ही आते हैं। अब योग के लिए: 58 तक की पूरी पट्टी लो, और उसमें से 24 तक वाली पट्टी हटा दो। 24 तक हटाना है, 25 तक नहीं। 25 तक हटाओगे तो 25 भी साथ चला जाएगा, और 25 तो हमें चाहिए। 58 तक का योग 1711 है। हटाया गया हिस्सा 300 है। तो जवाब 1411 है। दूसरे रास्ते से जाँच लो: 25 और 58 का average 41 और आधा है, और 41 और आधा 34 बार भी 1411 ही है।

2 रास्ते, एक जवाब। अब देखो कि इस एक नतीजे से क्या-क्या एक साँस में निकल आता है: 210, 1275, और 500500। आख़िरी वाला 1000 पद का योग है। वही जिसे शुरू में हमने हाथ से करने से मना किया था, और जो 999 जोड़ माँगता। यही closed form त्रिभुजाकार संख्याएँ भी दे देता है: 10वीं 55, 17वीं 153, और 80वीं 3240। marble की 25 कतारें लगाओ, पहली में 1, दूसरी में 2, और हर अगली में 1 ज़्यादा।

कुल 325 marble लगते हैं। और एक ऐसी पट्टी जो गिनती वाली संख्याएँ हैं ही नहीं: 3 के वो multiple जो 2 अंकों के हैं। ऐसे 30 हैं, 12 से 99 तक, और उनका योग 1665 है। हर एक में 3 से भाग दें तो पीछे गिनती वाली संख्याएँ बचती हैं, 4 से 33 तक। तो योग 3 गुणा एक closed form में से दूसरा है: 3 गुणा 561 कम 6।

यही रास्ता है: जो पट्टी सामने है उसे गिनती वाली संख्याओं तक घटा लो। closed form 2 और सवाल फटाफट निपटा देता है। कुल योग पहली बार 1000 को 45वें पद पर पार करता है: 44 पर 990, और 45 पर 1035। और 100 को लगातार गिनती वाली संख्याओं की पट्टी के रूप में 2 तरीक़ों से लिखा जा सकता है: 9 से 16, और 18 से 22। दोनों जोड़कर जाँच लिए गए।

एक दूसरी, भोंदू search भी चलाई गई, जो हर शुरुआत और हर अंत आज़माती है। वो भी वही 2 निकालती है, और कुछ नहीं। वही search 45 पर 5 तरीक़े निकालती है, तो वो दूर वाली शुरुआतों तक सचमुच पहुँचती है। और search को और आगे जाने की ज़रूरत भी नहीं थी: 50 से शुरू करके सिर्फ़ 2 पद ही 101 बना देते हैं, जो 100 से ऊपर है। आख़िर में, यह नतीजा है क्या नहीं।

यह गिनती वाली संख्याओं का योग है, हर सूची का नहीं। योग को 2 बार लिखो, उसे column बनाकर पढ़ो, और आधा सबसे आख़िर में करो। बस इतनी ही बात है: योग का दोगुना n गुणा n जोड़ 1।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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