जो difference कभी नहीं बदलता, वही linear pattern की पहचान है

0:00यहाँ square tiles का एक pattern है, जो एक बार में 1 stage आगे बढ़ता है। पहला stage सिर्फ़ 1 square है। दूसरे stage में 2 squares की एक row है, और उसके दाईं तरफ़ वाले square के ऊपर 1 और square रखा है, यानी कुल 3 tiles। तीसरे stage में 2 tiles चौड़ी 2 rows हैं, और उनके ऊपर वही अकेला square, यानी 5 tiles। और चौथे stage में 2 tiles चौड़ी 3 rows हैं, और वही cap ऊपर, यानी 7 tiles।

0:29तो counts बने 1, 3, 5, 7। अब असली सवाल यह नहीं है कि आगे क्या आएगा, क्योंकि 9 तो लगभग कोई भी बता देगा। असली सवाल यह है कि 50वें stage को कितनी tiles चाहिए, और वह भी 46 और तस्वीरें बनाए बिना? इन counts को एक row में रखो और 7वें stage तक ले जाओ। तब मिलते हैं 1, 3, 5, 7, 9, 11 और 13। अब इन numbers को मत देखो, इनके बीच की जगह को देखो।

1:04यहाँ 1 से 3 तक का फ़र्क़ है 2। और 3 से 5 तक भी 2। और 5 से 7 तक भी 2। यहाँ कुल 6 gaps हैं, और छहों 2 के हैं। ये numbers ख़ुद सब अलग हैं, तो उनमें देखने को कुछ है ही नहीं। देखने लायक़ कुछ है तो वह steps में है। जिस run के सारे gaps एक ही size के हों, उसे linear कहते हैं, और यह कभी न बदलने वाला gap ही वह पहचान है जिसे तुम ढूँढ़ते हो।

1:31पर यहीं एक फिसलन भी है। आगे का 1 term बता देना कोई rule नहीं होता, वह सिर्फ़ 1 number है। और rule वह चीज़ है जो 26वें stage पर भी चले, और जिसे वापस उसी stage में डालकर जाँचा जा सके जिसे तुम पहले ही बना चुके हो। और gap जान लेना rule जान लेना नहीं है। देखो कि यहाँ ग़लती कितनी आसानी से हो जाती है। अब देखो कि हर बार जुड़ता क्या है, और जुड़ता कहाँ है।

1:59हर stage पर ठीक 2 squares आते हैं, और कभी कुछ हटाया नहीं जाता। यह बात लगातार 11 steps तक जाँची गई है, और हर step पर वही 2 आते हैं, न 1 कम न 1 ज़्यादा। और वे 2 नए squares block की 1 नई row बनकर आते हैं। ऊपर वाला अकेला square हर stage पर 1 row और ऊँचा चला जाता है, और हमेशा दाईं column के ऊपर ही बैठता है।

2:23इसीलिए हर stage की सबसे ऊपर वाली row में ठीक 1 square होता है। यह बात आगे काम आने वाली है, इसलिए इसे तस्वीर में देख लो, गिनती में नहीं। हर बार 2 बढ़ रहा है, तो rule हुआ 2n। यह इस पूरे topic का सबसे स्वाभाविक अंदाज़ा है, और यह ग़लत है। ख़ुद चलाकर देख लो। यहाँ 2 गुणा 1 है 2। फिर 2 गुणा 2 है 4। फिर 2 गुणा 3 है 6।

2:54और 2 गुणा 4 है 8। अब 2, 4, 6, 8 को असली counts 1, 3, 5, 7 के सामने रखो। इसके gaps बिल्कुल सही हैं, हर gap 2 का, ठीक जैसा होना चाहिए। और values देखो तो हर एक ग़लत है। और सब उतनी ही ग़लत हैं, हर बार ठीक 1 ज़्यादा। तो gap यह तय करता है कि stage number में क्या गुणा होगा, और यह बिल्कुल नहीं बताता कि pattern शुरू कहाँ से हुआ।

3:24शुरुआत की क़ीमत अलग से चुकानी पड़ती है। तो numbers पढ़ना छोड़ो और तस्वीर को दोबारा देखो। हर stage में वही 2 आकार हैं। एक block, जो 2 tiles चौड़ा है, और 1 अकेला square, जो दाईं column के ऊपर cap की तरह बैठा है। यह बँटवारा हर stage पर वही रहता है, सिर्फ़ block की rows बढ़ती जाती हैं। पहले stage पर block में कोई row है ही नहीं, सिर्फ़ cap है।

3:51दूसरे stage पर block में 1 row है। तीसरे पर 2 rows, और चौथे पर 3। यानी rows हमेशा stage number से 1 कम हैं। तो nवें stage पर block में n minus 1 rows होंगी। और हर row में 2 tiles हैं। इसी से count सीधे मिल जाता है। यानी block के लिए 2 गुणा n minus 1, और cap के लिए plus 1। इसे चौथे stage पर जाँचो।

4:20यहाँ 2 गुणा 3 है 6, और उसमें plus 1 करने पर 7। और 7 ही वह number है जो तस्वीर से गिना गया था। अब bracket खोलो। इससे मिलता है 2n minus 2, plus 1, यानी 2n minus 1। यही rule है, और इसका हर हिस्सा तस्वीर से आया है। जो 2 है, वह block की चौड़ाई है। जो n minus 1 है, वह उन rows को गिनता है जो पहले stage के बाद जुड़ीं।

4:48और जो minus 1 बच जाता है, वह देर से शुरू करने की क़ीमत है। दोनों रूप आपस में भी मेल खाते हैं और गिनती से भी, और यह 39 stages पर जाँचा गया है। उस अंदाज़े से इसकी तुलना करो। वह 2n बढ़त के बारे में सही था और शुरुआत के बारे में चुप। यह rule दोनों जानता है। इसी rule तक पहुँचने का एक और रास्ता है, जो तस्वीर को देखता ही नहीं और सिर्फ़ numbers पढ़ता है।

5:15हर count अपने stage number के दुगुने से ठीक 1 कम है। दूसरे stage पर 2 गुणा 2 minus 1 है 3। और पाँचवें stage पर 2 गुणा 5 minus 1 है 9। दोनों रास्ते एक ही जगह पहुँचते हैं, 2n minus 1 पर। और किसी भी rule पर भरोसा तभी करना चाहिए जब उसे वापस उसी stage में डालकर देख लिया जाए जिसे तुम पहले ही बना चुके हो।

5:40यही वह इकलौती जाँच है जो अंदाज़े को rule से अलग करती है। पहले वाला अंदाज़ा 2n इसी जाँच पर गिरा था। कोई भी rule अपनी क़ीमत तब वसूल करता है जब वह वे सवाल हल कर दे जो तस्वीर नहीं कर सकती। अब 15वाँ stage लो। यहाँ 2 गुणा 15 है 30, और minus 1 करने पर 29 tiles। अब 26वाँ stage लो। वहाँ 52 minus 1, यानी 51 tiles।

6:11इनमें से कोई भी तस्वीर हमने बनाई ही नहीं है। अब इसे उल्टी तरफ़ चलाओ। कोई तुम्हें 21 tiles देकर पूछे कि यह कौन सा stage है। यानी 2n minus 1 बराबर 21, तो 2n हुआ 22, और n हुआ 11। और 47 tiles पर भी वही तरीक़ा, 48 का आधा, यानी 24वाँ stage। और उल्टा जवाब हमेशा सीधा चलाकर जाँचा जा सकता है, क्योंकि 2 गुणा 24 है 48, और minus 1 करने पर 47।

6:41जाँच हो गई। अब 48 tiles माँगकर देखो। कौन सा stage ठीक 48 tiles रखता है? थोड़ा रुककर सोच लो, क्योंकि जवाब उतना सीधा नहीं है जितना दिखता है? यहाँ 2n minus 1 बराबर 48 रखने पर 2n हुआ 49, और n हुआ साढ़े 24। और साढ़े 24 नाम का कोई stage होता ही नहीं। इसलिए 48 tiles किसी भी stage पर नहीं मिलतीं। और 20 tiles पर भी यही होता है, उसका भी कोई stage नहीं है।

7:15यह arithmetic का फ़ेल होना नहीं है, यह rule का कुछ सच बता देना है। यहाँ 2n हमेशा even होता है, और किसी भी even number से 1 कम हमेशा odd होता है। तो यह pattern जितने भी counts बना सकता है, वे सब odd हैं। यानी जितने numbers तुम गिन सकते हो, उनमें से आधे इस pattern की पहुँच से ही बाहर हैं, और rule को पता है कि कौन से आधे।

7:42एक सवाल और बचा है। उसी 2n minus 1 को stage 0 तक पीछे ले जाओ, तो वह minus 1 लौटाता है। और minus 1 tiles की गिनती हो ही नहीं सकती। यह pattern पहले stage से गिना जाता है, और stage 0 इसका हिस्सा है ही नहीं। पर इससे यह मत समझ लेना कि गिनती हमेशा 1 से ही शुरू होती है। कोई situation 0 से गिनती शुरू करती है और कोई 1 से, और यह उस situation के बारे में एक बात है, linear होने के बारे में नहीं।

8:10अगला उदाहरण ठीक 0 से शुरू होगा, और वहाँ यह फ़र्क़ साफ़ दिखेगा। अब तक कहीं यह ज़रूरी नहीं था कि pattern बढ़े ही। मान लो किसी ने 100 अलग रख लिए हैं और वह हर दिन उसमें से 5 ख़र्च करता है। दिन 0 पर उसके पास 100 हैं। पहले दिन उसके पास 95 बचते हैं। दूसरे दिन 90 बचते हैं। तीसरे दिन 85। और चौथे दिन 80। अब इनके gaps लो।

8:40हर बार वही minus 5, फिर minus 5, फिर minus 5, और फिर minus 5। यानी gap हर बार वही है, बस उसका रुख़ नीचे की तरफ़ है। और definition सिर्फ़ इतना माँगती है कि gap का size कभी न बदले, यह नहीं कि वह किस तरफ़ इशारा करता है। इसलिए घटता हुआ pattern भी उतना ही linear है जितना बढ़ता हुआ। तो rule बना 100 minus 5n। शुरू में 100, और हर बीते दिन के लिए minus 5।

9:12बारहवें दिन बचते हैं 40। पंद्रहवें दिन बचते हैं 25। और बीसवें दिन कुछ भी नहीं बचता। अब tiles वाले pattern को इसके सामने रखो। एक ऊपर जाता है, दूसरा नीचे आता है, और दोनों के gaps का size कभी नहीं बदलता। एक और बात ध्यान से देखो। यह record दिन 0 से शुरू होता है, इसलिए शुरुआती 100 सीधे data में दिख रहा है। उस tiles वाले pattern में वह शुरुआत दिखती ही नहीं थी, और इसीलिए उसके rule को minus 1 के रूप में उसकी क़ीमत चुकानी पड़ी थी।

9:46अब एक ऐसा मामला, जो इतनी सफ़ाई से नहीं चलता। किसी ride की शुरुआत 25 से होती है, और उतने में पहले 2 kilometre तय हो जाते हैं। उसके बाद हर आगे वाले kilometre पर 15 और जुड़ते हैं। तो 1 kilometre पर fare है 25, और 2 kilometre पर भी 25 ही, क्योंकि दोनों उसी शुरुआती charge में आ जाते हैं। फिर 3 kilometre पर fare हो जाता है 40।

10:10चौथे पर 55। पाँचवें पर 70। और छठे पर 85। इस table को कुछ करने से पहले थोड़ी देर देखो। अब इस table के gaps लो। पहला gap 0 का है। उसके बाद 15, फिर 15, फिर 15, और फिर 15। ये सब एक जैसे नहीं हैं। इसलिए यह पूरी table constant difference वाला run नहीं है। पहला arc बाक़ी सबसे साफ़ अलग दिख रहा है। पर यह उससे बहुत दूर भी नहीं है।

10:41पहली entry को ढक लो, और जो बचता है वह पूरी तरह नियमित है। यह pattern दूसरे kilometre से आगे linear है, और उससे पहले नहीं। और इसका मतलब यह है कि ईमानदार जवाब अकेला rule नहीं होता। जवाब होता है rule, और उसके साथ वह हिस्सा जहाँ तक वह rule सच रहता है। यहीं यह भी साफ़ हो जाता है कि gaps कहीं बराबर हो जाने से पूरी table linear नहीं हो जाती।

11:09तो rule उसी हिस्से पर बनाओ जो नियम से चलता है। शुरू में 25, और दूसरे kilometre के बाद हर kilometre पर 15। यानी 25 plus 15 गुणा, bracket में, n minus 2। अब 10 kilometre लो। यहाँ 10 minus 2 है 8, तो 10 नहीं, सिर्फ़ 8 बार 15 जुड़ता है। और 15 गुणा 8 है 120, फिर 120 plus 25 है 145। अब bracket खोलो। इससे मिलता है 25 plus 15n minus 30, जो साफ़ होकर 15n minus 5 बन जाता है।

11:46और 10 पर यह देता है 150 minus 5, यानी वही 145। साथ में एक शर्त भी टँगी है, कि n कम से कम 2 हो। अब उसी 15n minus 5 में 1 kilometre डालो। वह लौटाता है 15 minus 5, यानी 10, जबकि असली fare 25 है। यानी अपनी हद के बाहर rule चुप नहीं हो जाता। वह पूरे भरोसे के साथ एक जवाब देता है, जो सीधे-सीधे ग़लत है।

12:15और rule तथा table की असहमति ठीक 1 kilometre पर है, कहीं और नहीं। इसीलिए n कम से कम 2 वाली शर्त सजावट नहीं, काम की चीज़ है। और इसे हद के अंदर चलाकर भी देख लो। कोई fare अगर 130 हो, तो 15n minus 5 बराबर 130, यानी 15n हुआ 135, और n हुआ 9। और 9 kilometre उस हद के आराम से अंदर है, इसलिए यह जवाब भरोसे के लायक़ है।

12:45आख़िर में एक बात, जिसे 2 का gap छिपा ले गया था। एक rectangle की length 13 पर टिका रखो, और breadth को 12, 10, 8 पर चलाओ। तब areas निकलते हैं 156, 130 और 104। और उनका gap है minus 26। पर breadths 1-1 करके नहीं बदलीं, वे minus 2 के step से चलीं। और 13 गुणा minus 2 है minus 26। अब ऊपर की तरफ़। एक box का base 7 गुणा 11 का है, और उसकी heights चलती हैं 5, 9, 13।

13:20तब volumes निकलते हैं 385, 693 और 1001। यहाँ heights 4 के step से चलीं, base का area है 77, और 77 गुणा 4 है 308, जो ठीक वही gap है। तो कभी न बदलने वाला gap ही पहचान है, और उस gap का size वह multiplier है जो तुम्हारे चुने हुए step से गुणा हो चुका है। इसलिए किसी भी table पर 3 सवाल पूछो। पहला, gap क्या है।

13:50दूसरा, शुरुआत की क़ीमत क्या है। और तीसरा, यह rule कहाँ तक सच रहता है। तीनों, हर बार।