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Chapter 2 · Introduction to Linear Polynomials

polynomial को linear क्या बनाता है, और उसकी value तय करने से जो equation मिलता है

Expressions, polynomials, degree13 मिनट

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degree 1 का polynomial एक वादा करता है: अंदर बराबर steps, बाहर बराबर steps, और output step coefficient गुणा input step। और जिस पल तुम उसकी value तय करते हो, वह equation बन जाता है।

मुख्य idea

degree 1 सिर्फ़ एक label नहीं है — इसका एक नतीजा है जो आँखों से दिखता है, और chapter उसे शुरू में ही सामने रख देता है: input में बराबर steps लो और output में बराबर steps मिलते हैं, हर बार, चाहे तुम कहीं से भी शुरू करो। इससे ऊँची कोई degree यह नहीं कर पाती। topic का दूसरा हिस्सा फिर वह लकीर खींचता है जो students अक्सर चूक जाते हैं: linear polynomial और linear equation एक ही चीज़ नहीं हैं। polynomial इस सवाल का जवाब देता है कि "बाहर क्या आता है?" — हर input के लिए, एक साथ; equation तुम्हें तभी मिलता है जब तुम output को किसी चुने हुए number पर बाँध देते हो, और इससे सवाल उलट जाता है: "कौन सा input वहाँ पहुँचता है?" ऐसा करने पर polynomial में कुछ नहीं बदलता — बदला यह है कि तुम उससे पूछ क्या रहे हो।

आपको क्या आना चाहिए

  • degree देखकर linear polynomial पहचानना, और अलग-अलग letters में उदाहरण देना
  • बराबर दूरी पर रखे inputs पर linear polynomial की values की table बनाना और दिखाना कि लगातार differences बराबर हैं
  • input step और coefficient से output step का आकार बताना, और समझाना कि दोनों proportional क्यों हैं
  • linear polynomial को linear equation से अलग पहचानना, और बताना कि कौन सा काम एक को दूसरा बना देता है
  • unknown को नाम देकर शब्दों में लिखी स्थिति को linear equation में बदलना
  • एक variable वाले linear equation को solve करना और उसके हल को सवाल के शब्दों के सामने रखकर check करना
  • समझाना कि quadratic में substitute करना वही procedure है जो linear polynomial में है, भले ही differences अब बराबर न निकलें

जानने लायक़ शब्द

Termएक लाइन में definitionहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
linear polynomialdegree 1 का एक-variable polynomialरैखिक बहुपदpp. 16, 18 और 19 पर छपा; §2.2 (p. 19) का शीर्षक यही है
linear equationlinear polynomial को किसी चुने हुए number के बराबर रखने से जो मिलता हैरैखिक समीकरणp. 20 पर छपा
linear patternvalues की ऐसी कड़ी जिसमें हर अगला step पिछले जितना ही बड़ा होरैखिक पैटर्नp. 20 पर छपा, और p. 23 पर दोबारा defined
coefficientवह number जो letter को गुणा करता है, और यहाँ step का आकार तय करता हैगुणांकpp. 16 और 18 पर छपा
constant termvalue का वह हिस्सा जो letter के हिलने पर नहीं हिलताअचर पदp. 18 पर छपा
quadratic polynomialdegree 2 वाला, यहाँ फ़र्क़ दिखाने के लिए लिया गयाद्विघात बहुपदp. 18 पर छपा
perimeterकिसी shape के चारों ओर की दूरी; square के लिए, side का चार गुनापरिमापp. 19 पर Example 4 में छपा
solution of an equationletter की वह value जिस पर दोनों sides बराबर हो जाती हैंसमीकरण का हलइस chapter में बताया गया पर नाम नहीं दिया; यह Example 6 को जवाब के लिए कोई शब्द दिए बिना पूरा करता है
output stepinput के एक step पर polynomial की value कितनी हिलती हैनिर्गत पद-वृद्धियहाँ जोड़ा गया जुमला; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard गणितीय शब्दावली है। मैंने कक्षा 9 के Ganita Manjari के Hindi edition को नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "expression को solve किया जा सकता है।" 4x और 200 + 50m के कोई जवाब नहीं होते। उनकी values होती हैं, हर input के लिए एक। "solve" शब्द तभी इस्तेमाल होने लायक़ बनता है जब कोई कुल तय कर दिया जाए, और chapter उस पल पर p. 20 पर निशान लगाता है।
  • "2x + 10 = 64 और 2x = 54 अलग-अलग सवाल हैं।" ये एक ही solution वाले अलग equations हैं। हर जायज़ step एक नया equation बनाता है और जवाब को बचाए रखता है — यही उन steps को जायज़ बनाता है।
  • "output का step coefficient के बराबर होता है।" सिर्फ़ तब, जब input 1 के step ले रहा हो। chapter का अपना square 0.5 के step लेता है और 2 हिलता है, जबकि coefficient 4 है। दोनों examples को अगल-बगल रखो।
  • "joining fee table में दिख जाती है।" नहीं दिखती — छपी हुई table एक match से शुरू होती है। किसी linear model का constant term वह value है जो प्रक्रिया शुरू होने से पहले की है, और अक्सर यही वह number होता है जिसे data कभी नहीं दिखाता।
  • "अगर pattern हर बार एक तय रक़म से बढ़ता है, तो polynomial बस वही रक़म गुणा input है।" club की रक़में हर बार 50 से बढ़ती हैं, पर कुल हैं 250, 300, 350 — न कि 50, 100, 150। constant पूरी कड़ी को खिसका देता है।
  • "letter का x होना ज़रूरी है।" chapter square के लिए x, matches के लिए m, और exercise set में s इस्तेमाल करता है। letter तो बस एक label है, जो मौक़े के हिसाब से चुना जाता है।
  • "substitution सिर्फ़ linear polynomials के लिए है।" exercise set का item 2 quadratic है और उसमें substitution बिल्कुल वैसे ही होता है। degree के साथ जवाबों का pattern बदलता है, procedure नहीं।
  • "7s² – 4s + 6 को s = –3 पर कहीं न कहीं minus चाहिए।" negative input पर 7s² और –4s दोनों positive निकलते हैं। इसे धीरे-धीरे करो।
  • "64 में जुड़ने वाले कोई भी दो numbers Example 6 के लिए चल जाएँगे।" दूसरी शर्त असल काम कर रही है। हमेशा दोनों check करो।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 2.2 Q3, Exercise Set 2.2 Q4, Exercise Set 2.2 Q5, Exercise Set 2.2 Q6, Exercise Set 2.2 Q7, Exercise Set 2.3 Q1, End-of-Chapter Exercises Q3, End-of-Chapter Exercises Q4, End-of-Chapter Exercises Q6

पूरा transcript1,874 शब्द

degree 1 का अपना एक नाम है, linear। अकेले नाम की कोई क़ीमत नहीं होती। लेकिन यह नाम कुछ ख़रीदता है, और वह कुछ ऐसा है जिसे तुम आँखों से देख सकते हो। यह रहा दावा। degree 1 का कोई polynomial लो। उसमें ऐसे inputs डालो जो बराबर दूरी पर हों, दूरी जो चाहो, और जवाब भी बराबर दूरी पर निकलते हैं। अंदर बराबर steps, बाहर बराबर steps। हर बार, और इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि तुम कहाँ से शुरू करते हो।

और इससे ऊँची degree की कोई भी चीज़ यह नहीं कर पाती। यही बात इसे degree 1 के बारे में एक fact बनाती है, न कि किसी 1 ख़ुशक़िस्मत example के बारे में। तो चलो इसे होते हुए देखते हैं, और फिर ठीक ठीक निकालते हैं कि step कितना बड़ा है, क्योंकि वही असल में दिलचस्प हिस्सा है। सबसे सादे linear polynomial से शुरू करो जो सामने है। एक square, जिसकी side x है।

इसका perimeter है पूरे चक्कर की दूरी, तो चारों sides जोड़ो। यानी x plus x plus x plus x। यानी 4x। यानी 1 term, degree 1, और coefficient 4। ध्यान दो कि 4x sides गिनने से निकला। यह conclusion है, शुरुआत नहीं। किसी ने पहले से 4x नहीं लिखा था, हमने 4 sides चलकर उसे पाया। अब उस side को बढ़ाओ, और देखो perimeter क्या करता है। sides लो 1, 1.5, 2, 2.5, और 3 centimetre।

perimeters निकलते हैं 4, 6, 8, 10, और 12। इनके बीच के gaps देखो। पहले 4 से 6, फ़र्क़ 2। फिर 6 से 8, फ़र्क़ 2। फिर 8 से 10, फ़र्क़ 2। और 10 से 12, फ़र्क़ 2। बाहर 4 बराबर steps, एक ऐसी side से जो आधे centimetre के 4 बराबर steps में बढ़ी। यही दावा है, काम करता हुआ। और यह वहीं से चलता है जहाँ से भी तुम शुरू करो।

इसकी जगह 5 centimetre से शुरू करो, अब भी आधे आधे के steps में, तो perimeters आते हैं 20, 22, 24, 26, और 28। अब भी हर बार 2 ऊपर जाता है। शुरुआत बदली, step नहीं बदला। लेकिन उस 2 में कुछ अजीब है, और उस पर रुकना ज़रूरी है। coefficient 4 है। side हर बार आधा बढ़ी। और perimeter हर बार 2 बढ़ा। सोचो, 2 तो 4 नहीं है।

तो जवाब का step coefficient नहीं है। फिर वह असल में है क्या? यह रहा। क्योंकि 4 गुणा आधा, यानी 4 गुणा 0.5, बराबर 2। output step, coefficient गुणा input step होता है। इसे उल्टी तरफ़ से test करो। side को आधे की जगह पूरे 1 centimetre से बढ़ाओ, तो perimeters चलते हैं 4, 8, 12, 16। हर step 4 का। और 4 गुणा 1 बराबर 4। वही polynomial। अलग input step।

अलग output step, और दोनों बार वह coefficient गुणा वही निकला जो तुमने चुना था। step का size तय है, लेकिन तभी जब तुमने तय कर लिया हो कि तुम कैसे step ले रहे हो। तो यह कहना कि output step हमेशा coefficient के बराबर है, ग़लत है। वह सिर्फ़ तब सच है जब input 1 से बढ़े। दूसरा example, और इस बार कोई आकृति नहीं। एक club join करने के 200 देने होते हैं, सिर्फ़ 1 बार, और फिर हर match खेलने के 50।

पहला match खेलो और तुमने दे दिए 250। दूसरे match पर 300। तीसरे पर 350। फिर 400, फिर 450। तो m matches के बाद तुमने दिए हैं 200 plus 50m। फिर से degree 1। फिर से linear। और totals हर बार 50 से चढ़ते हैं। यहाँ input 1 से step ले रहा है, तो output step और coefficient इत्तेफ़ाक़ से एक ही number पर उतरते हैं, 50 गुणा 1 बराबर 50।

अब देखो कि totals की उस list में क्या नहीं है। totals हैं 250, 300, 350, 400, और 450। इसमें 200 कहीं नहीं है। वह कभी दिखता ही नहीं। और फिर भी वही joining fee है, जो शायद इस पूरे इंतज़ाम का सबसे ज़रूरी number है। अब m को 0 रखो, यानी किसी ने कुछ नहीं खेला, और polynomial तुम्हें ठीक 200 थमा देता है। constant term वह value है जो process शुरू होने से पहले की है।

और अक्सर यही वह 1 number होता है जो तुम्हारा data तुम्हें कभी नहीं दिखाता। और यहीं से एक जाल शुरू होता है। totals 50 से चढ़ते हैं, तो कहने का मन करता है कि polynomial बस 50m है। ऐसा नहीं है। अकेला 50m तुम्हें देता 50, 100, 150, 200, और 250। असली totals हैं 250, 300, 350, 400, और 450। किसी भी column में दोनों runs का कोई number मिलता नहीं।

constant ने steps नहीं बदले। उसने पूरी की पूरी list को ऊपर उठा दिया। तो अगर degree 1 न हो तो क्या होता है? अब 7s square minus 4s plus 6 लो, और उसमें डालो 0, 1, 2, 3, 4, और 5। मिलते हैं 6, 9, 26, 57, 102, और 161। steps हैं 3, 17, 31, 45, और 59। बराबर नहीं, बल्कि बढ़ते हुए। हालाँकि देखो कि वे किससे बढ़ते हैं।

हर बार 14 से। steps के steps बराबर हैं, जो degree 2 का degree 1 से ठीक 1 round बाद सपाट होना है। और ध्यान दो कि procedure कभी बदला ही नहीं। तुमने एक number डाला और हिसाब लगाया। जो बदला वह जवाबों का pattern है, और degree शुरू से यही तो बता रही थी। अब तक हर चीज़ ने एक ही सवाल पूछा है। बाहर क्या निकलता है? अब इस सवाल को पलटो।

और ध्यान दो कि अब तक solve करने को कुछ था ही नहीं। देखो, 200 plus 50m कोई सवाल नहीं है। यह हर m के लिए एक अलग number है जो तुम उसमें डालो। मान लो किसी ने 750 दिए हैं। सोचो, उसने कितने matches खेले? अब तुम यह नहीं पूछ रहे कि बाहर क्या निकलता है। तुम बता रहे हो कि बाहर क्या निकला, और पूछ रहे हो कि अंदर क्या गया था।

इसे लिखो। तो 200 plus 50m बराबर 750। दोनों तरफ़ से 200 हटाओ, तो 50m बराबर 550। फिर 50 से divide करो, तो m बराबर 11। और check करो, 11 matches, 200 plus 550, पूरे 750। ध्यान दो कि object के साथ क्या हुआ। value को किसी 1 चुने हुए number पर टिकाने से वह equation बन गई, और equation का एक जवाब होता है, जो किसी expression का कभी नहीं होता।

polynomial में कुछ नहीं बदला। बदला यह कि तुम उससे क्या पूछ रहे हो। यही move फिर से, इस बार एक वाक्य से शुरू करके। इसमें 2 numbers मिलकर 64 बनते हैं। उनमें से 1 दूसरे से 10 बड़ा है। इसमें अभी कुछ भी algebra नहीं है। algebra उस पल शुरू होता है जब तुम किसी चीज़ को नाम देते हो। छोटे वाले को x कहो। तब बड़ा वाला x plus 10 है, और यह तुम्हारा चुनाव नहीं है।

वाक्य ने इसे तुम्हारे लिए चुना। उनका जोड़ है x, plus x plus 10, जो सिमटकर 2x plus 10 बनता है। और वाक्य कहता है कि वह जोड़ 64 है। तो 2x plus 10 बराबर 64। एक linear polynomial, एक number के बराबर रखा हुआ। यही linear equation है। अब इसे solve करो, और बीच का हिस्सा मत छोड़ो। यानी 2x plus 10 बराबर 64। दोनों तरफ़ से 10 हटाओ।

तो 2x बराबर 54। दोनों तरफ़ को आधा करो। x बराबर 27। उस board पर 3 अलग equations हैं, 1 नहीं। हर step ने पुरानी को फेंककर एक नई लिखी। किसी step को legal क्या बनाता है? यह कि नई equation का ठीक वही जवाब हो जो पुरानी का था। बस यही 1 चीज़ बचाई जा रही है। देखो, 2x plus 10 बराबर 64, और 2x बराबर 54, अलग equations हैं, और x बराबर 27 दोनों को सही करता है।

तो x 27 है। तो 2 numbers हैं 27 और 37। इसे अपने algebra से check मत करो। उस वाक्य से check करो जिससे तुमने शुरू किया था। तो 27 plus 37 बराबर 64। पहली शर्त, पूरी। और 37 minus 27 बराबर 10। दूसरी शर्त, पूरी। और तुम्हें दोनों चाहिए थीं। लेकिन 30 और 34 भी जुड़कर 64 बनते हैं। वे पहला test पास करते हैं और दूसरा fail। एक ऐसी जोड़ी जो आधे वाक्य को पूरा करती है, कोई जवाब नहीं है।

वह एक near miss है जिसने जवाब का costume पहन रखा है। हमेशा हर शर्त को test करो, सिर्फ़ उसे नहीं जिससे equation बनी थी। असली काम यह चुनना है कि x किसे कहा जाए। कुछ और वाक्य। किसी की माँ की उम्र उसकी उम्र की 3 गुनी है, और 5 साल बाद दोनों की उम्रें मिलकर 70 होंगी। बच्चे की उम्र x कहो, तो माँ की 3x। और 5 साल बाद, x plus 5, और 3x plus 5, जोड़ 4x plus 10, बराबर 70।

तो 4x बराबर 60, x बराबर 15। बच्चा 15 का, माँ 45 की। check करो, 20 plus 50 बराबर 70। दूसरा वाक्य। मान लो 2 positive integers हैं, 2 और 5 के ratio में, और उनका फ़र्क़ 63। यहाँ x किसे कहें? ratio का 1 हिस्सा k कहो, तो numbers हैं 2k और 5k, फ़र्क़ 3k, बराबर 63, तो k 21। तो numbers हैं 42 और 105। मान लो 300 feet की एक fence को 2 अलग अलग टुकड़ों में काटा गया, लंबा टुकड़ा छोटे का 4 गुना।

छोटे को x कहो, लंबा 4x, जोड़ 5x बराबर 300, तो x 60। टुकड़े 60 और 240। और एक rectangle जिसकी length, width के double से 3 ज़्यादा है, perimeter 24। width को w कहो, length 2w plus 3। perimeter है 2 गुणा, w plus 2w plus 3, यानी 6w plus 6, बराबर 24। तो 6w बराबर 18, w बराबर 3, और length 9। check करो, 2 गुणा 12 बराबर 24।

हर बार वही 3 कदम। किसी चीज़ को नाम देना, वाक्य को equation बनाना, और जवाब को वापस वाक्य पर परखना। और substitution को degree की परवाह नहीं। जैसे 5x minus 3 में x बराबर 0 रखो, तो minus 3। x बराबर minus 1 रखो, तो minus 8। x बराबर 2 रखो, तो 7। ये steps बराबर नहीं हैं, और होने भी नहीं चाहिए, क्योंकि inputs 0, minus 1, 2 बराबर दूरी पर नहीं हैं।

बराबर steps का वादा सिर्फ़ बराबर दूरी वाले inputs के लिए है। अब 7s square minus 4s plus 6 में s बराबर minus 3 रखो। तो 7 गुणा 9 बराबर 63। minus 4 गुणा minus 3 बराबर plus 12। और constant 6 वैसा ही रहता है। कुल 81। इसमें कहीं कोई minus नहीं बचा, दोनों terms positive निकले। और s बराबर 4 पर, 102। procedure वही है जो linear के लिए था।

जो बदलता है वह जवाबों का pattern है, degree यह तय नहीं करती कि तुम substitute कैसे करोगे। तो degree 1, 2 काम करती हुई। polynomial के रूप में यह steps के बारे में एक वादा है। अंदर बराबर दूरी, बाहर बराबर दूरी, और output step का size coefficient गुणा input step। इसका constant term वह है जहाँ से process शुरू होता है, चाहे तुम्हारा table उसे कभी दिखाए या नहीं।

और जिस पल तुम इसकी value तय करते हो, यह बताना बंद कर देता है कि बाहर क्या निकलता है, और पूछने लगता है कि अंदर क्या गया था। वही equation है। एक ही object। अलग सवाल। यह जान पाना कि तुम्हारे हाथ में इनमें से कौन सा है, आधे से ज़्यादा हुनर यही है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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