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Chapter 2 · Introduction to Linear Polynomials

polynomial, एक input–output machine की तरह

Expressions, polynomials, degree10 मिनट

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अब तक हर सवाल यही पूछता रहा कि polynomial है क्या। सवाल बदलकर पूछो कि वह करता क्या है, और rule अपने आप values से अलग हो जाता है: एक card अंदर जाता है, panel पर लिखा rule वहीं रहता है, और एक tag बाहर आती है। जो rule हर input पर ठीक 1 output देता है, उसी का नाम function है।

मुख्य idea

polynomial को machine की तरह बनाना कार्टून के लिए कार्टून नहीं है — यह rule को values से अलग कर देता है, और एक बार ये अलग हो जाएँ तो chapter के दोनों बड़े सवाल पूछे जा सकते हैं। machine को खिलाओ और value मिलती है; output display पर कोई ख़ास reading माँगो और equation मिलता है; हर input-और-output जोड़ी को सँभालकर रखो और graph मिलता है। जो एक ख़ूबी इस machine को machine बनाती है वह यह है कि वह कभी हिचकिचाती नहीं: हर input ठीक एक output पैदा करता है। जब chapter function शब्द इस्तेमाल करता है तो वह इसी तक पहुँचना चाह रहा है, और यह बर्ताव के बारे में एक दावा है, कोई नया notation नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • दिए गए input पर linear polynomial की गणना करना, negative input समेत
  • substitution को symbols की दोबारा लिखाई नहीं, बल्कि एक input और एक output वाली प्रक्रिया की तरह बताना
  • यह समझाना कि function शब्द polynomial के बारे में क्या दावा कर रहा है, उसी स्तर पर जिस पर यह chapter उसे बरतता है
  • chapter की machine वाली figure के labels पढ़ना और बताना कि कौन सा हिस्सा input है, कौन सा rule, और कौन सा output
  • machine के भीतर बैठे polynomial से linear function और quadratic function में फ़र्क़ करना
  • दिए गए input पर quadratic की गणना करना और देखना कि वही procedure चलता है
  • बताना कि input को नाम देने वाला letter मनमाना है, और वही rule किसी दूसरे letter में लिखकर उसकी गणना करना

जानने लायक़ शब्द

Termएक लाइन में definitionहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
input–output machinepolynomial की chapter वाली तस्वीर: एक value अंदर जाती है, एक value बाहर आती हैनिवेश-निर्गम मशीनp. 20 पर छपा, उस वाक्य में जो Fig. 2.3 को सामने लाता है; figure का अपना caption इसे machine नहीं, एक प्रक्रिया कहता है
functionऐसा rule जो हर input को एक output में बदल देता हैफलनp. 20 पर छपा
linear functionऐसा function जिसका rule एक linear polynomial हैरैखिक फलनp. 21 पर छपा
quadratic functionऐसा function जिसका rule एक quadratic polynomial हैद्विघात फलनp. 21 पर छपा, जाँचे गए p. 21 पर पुष्टि हुई — शब्द line पर टूटता है, इसलिए text layer उसे बाँट देती है
substituteletter की जगह कोई चुना हुआ number रखकर हिसाब करनाप्रतिस्थापित करनाp. 20 पर Think and Reflect box में छपा
value of the polynomialदिए गए input पर जो number बाहर आता हैबहुपद का मानp. 20 पर छपा
variableवह letter जो input को नाम देता हैचरp. 16 पर छपा
output displaymachine के चेहरे पर दिखती reading, Fig. 2.3 में yनिर्गत प्रदर्शनयहाँ जोड़ा गया label; figure panel पर अक्षर तो लिखती है पर उसे कोई नाम नहीं देती
one output per inputवह ख़ूबी जो इस तस्वीर को lottery नहीं, machine बनाती हैप्रत्येक निवेश पर एक निर्गमयहाँ जोड़ा गया जुमला; इस chapter में इस ख़ूबी पर भरोसा किया गया है पर उसे कहा नहीं गया

standard Hindi शब्दावली; मैंने कक्षा 9 के Ganita Manjari के Hindi edition को नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "2 × –6 + 3 में पूरी चीज़ को negative करना पड़ता है।" नहीं पड़ता। सिर्फ़ 2x वाला term negative होता है; +3 को कुछ नहीं होता। इसे दो दिखने वाले steps में करो।
  • "substitution का मतलब letter को मिटा देना है।" मतलब उसके लिए कोई value चुनना है। letter तो rule में अब भी मौजूद है, अगले input के लिए तैयार — machine वाली तस्वीर इसी के लिए है।
  • "input बदलने पर machine बदल जाती है।" display panel पर लिखा rule कभी नहीं बदलता। बदलते हैं सिर्फ़ अंदर जाता card और बाहर आती tag। एक ही अनबदली machine में कई inputs चलाकर दिखाओ।
  • "function एक formula है।" इस स्तर पर function ऐसा rule है जो हर input पर ठीक एक output देने का वादा करता है। दो अलग दिखने वाले formulas एक ही function हो सकते हैं, और ऐसा rule जो दो में से कोई भी जवाब लौटा सकता हो, function नहीं है।
  • "output पता हो तो input भी पता चल जाता है।" 2x + 3 के लिए, हाँ। 10x – x² के लिए, नहीं — 4 और 6 दोनों 24 देते हैं। इसे दिखाओ, क्योंकि दोनों machines का फ़र्क़ यही है और यही अगले module के "कौन सा input?" वाले सवाल की ज़मीन तैयार करता है।
  • "x = 0 एक ख़ास case है, इसे substitute नहीं कर सकते।" यह तो सबसे आसान है, और यह constant term लौटाता है। इसे जल्दी अंदर डालो।
  • "5x – 3 और 5s – 3 अलग rules हैं।" ये वही machine हैं, बस input वाले slot पर label अलग है। exercise set लगातार items के बीच letters इसीलिए बदलता है।
  • "output की units input जैसी ही होती हैं।" rectangle वाले case में सेंटीमीटर में एक length अंदर जाती है और वर्ग सेंटीमीटर में एक area बाहर आती है। machine के दोनों सिरों पर label लगाओ।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 2.2 Q1, Exercise Set 2.2 Q2, End-of-Chapter Exercises Q2

पूरा transcript1,533 शब्द

अब तक हर सवाल यही पूछता रहा कि polynomial है क्या। अब पूछो कि वह करता क्या है। इसे एक machine की तरह बनाओ। ऊपर से एक value अंदर जाती है, दाईं तरफ़ से एक value बाहर आती है, और rule machine के चेहरे पर लिखा रहता है जहाँ तुम उसे पढ़ सकते हो। rule को values से अलग करना ही इस तस्वीर का पूरा मक़सद है। जब ये दोनों अलग हो जाते हैं, तभी वे सवाल पूछे जा सकते हैं जिन पर आगे का पूरा काम टिका है।

rule वहीं रहता है। values उसमें से गुज़रती रहती हैं। और यह कोई सजावट नहीं है। जब तक rule और values एक ही साँस में लिखे रहते हैं, तुम यह पूछ ही नहीं सकते कि इनमें से कौन सी चीज़ बदल रही है। machine पर 2x plus 3 रखो और उसमें 4 डालो। उसी क्रम में जिसकी rule माँग करता है। पहले गुणा, यानी 2 गुणा 4 बराबर 8। फिर जोड़, यानी 8 plus 3 बराबर 11।

तो बाहर लटकी tag पर लिखा आता है, y बराबर 11। अगर गुणा से पहले जोड़ लिया, तो निकलता है 2 गुणा 7, यानी 14। और 14 जवाब नहीं है। क्रम कोई पसंद की बात नहीं है। वह rule का हिस्सा है। panel पर लिखा 2x plus 3 यही कह रहा है कि पहले x को 2 से गुणा करो, और उसके बाद 3 जोड़ो। अब इसमें minus 6 डालो।

2 गुणा minus 6 बराबर minus 12। और फिर minus 12 plus 3 बराबर minus 9। तो tag पर आता है, y बराबर minus 9। यहाँ एक जाल है। पूरे 12 plus 3 को minus कर देना, और जवाब देना minus 15। ऐसा नहीं है। सिर्फ़ 2x वाला हिस्सा negative हुआ। plus 3 अपनी जगह से हिला ही नहीं। और एक दूसरा जाल है जो इससे भी बुरा है। पूरे 12 minus 3 को minus करो, तो भी minus 9 ही आता है।

सही जवाब, लेकिन ग़लत सोच से। यह हर negative input पर मेल खा जाता है, और फिर x बराबर 4 पर वही तरीक़ा minus 5 देता है, 11 नहीं। तो वह कभी rule था ही नहीं। अब इसमें 0 डालो। सोचो, बाहर क्या निकलेगा? जवाब है 3। और वह 3 अकेला खड़ा constant term है। किसी भी polynomial में 0 डालो, बाहर उसका constant term ही आता है। यह कोई ख़ास मामला नहीं है, यह सबसे आसान input है।

और यही constant को उसका मतलब देता है। यह वह जवाब है जो तब निकलता है जब कुछ डाला ही न जाए। और यहीं एक ग़लतफ़हमी साफ़ हो जाती है। substitute करने का मतलब letter को मिटा देना नहीं है। इसका मतलब है उसके लिए एक value चुन लेना। panel पर x अब भी लिखा है, अगले input के इंतज़ार में। तस्वीर इसी बात के लिए तो बनाई गई है।

इस तस्वीर में 3 हिस्सों पर नाम लगे हैं, और हर हिस्सा एक अलग किस्म की चीज़ लिए हुए है। अंदर जाने वाले card पर लिखा है, x बराबर 4। चेहरे के panel पर लिखा है, y बराबर 2x plus 3। और बाहर लटकी tag पर लिखा है, y बराबर 11। हर बार चलाने पर card बदलता है और tag बदलती है। panel कभी नहीं बदलता। यही इस पूरी तस्वीर का मक़सद है।

rule, values नहीं है। और यह भी सोच लो कि input बदलने से machine नहीं बदलती। बहुत लोग यही मान बैठते हैं। चेहरे पर लिखा rule वही का वही रहता है। बदलते सिर्फ़ 2 चीज़ें हैं, अंदर जाता card और बाहर आती tag। उस panel पर y बिना किसी ऐलान के आ जाता है, और वह उसी चीज़ का नाम है जो बाहर निकलती है। यहाँ से आगे, x input का नाम है और y output का नाम है।

यही जोड़ी वह notation है जिस पर आगे का बाक़ी सब खड़ा है। और ध्यान दो कि y कोई नया letter नहीं जोड़ रहा। वह सिर्फ़ उस number को एक नाम दे रहा है जो अब तक बेनाम बाहर आ रहा था। अब 3 inputs को एक कतार में लगाओ और 3 outputs देखो। 4 जाता है 11 पर। minus 6 जाता है minus 9 पर। और 0 जाता है 3 पर।

तीनों बार machine वही रही, और तीनों बार उसने एक ही तरीक़े से काम किया। इसे machine बनाने वाली चीज़, और lottery से अलग करने वाली चीज़, यह है कि किसी भी input से 2 arrows नहीं निकलतीं। हर input ठीक 1 output देता है, हर बार जब तुम उसे चलाओ। जो rule 2 में से कोई भी जवाब लौटा सकता हो, वह machine है ही नहीं। इस ख़ूबी का एक नाम है, और यहाँ उसे हल्के हाथ से इस्तेमाल किया जाता है।

function वह rule है जो हर input के लिए ठीक 1 output देने का वादा करता है। यह बर्ताव के बारे में एक बात है, कोई नई notation नहीं। functions को आगे की classes में बहुत दूर तक ले जाया जाता है। यहाँ इससे ज़्यादा की ज़रूरत नहीं है। और इसे formula समझ लेना एक ग़लती है। function कोई लिखावट नहीं है, वह एक वादा है। देखने में अलग लगने वाले 2 formulas एक ही function हो सकते हैं, और जो rule 2 में से कोई भी जवाब लौटा सकता हो, वह function नहीं है, चाहे वह लिखा कितना ही साफ़ हो।

अब panel बदलो और machine वही रहने दो। उस पर 10x minus x square रखो, और उसमें 6 डालो। 10 गुणा 6 बराबर 60। और 6 का square 36। तो 60 minus 36 बराबर 24। अंदर गई एक लंबाई, centimetre में। और बाहर आया एक area, square centimetre में। machine ने बदल दिया कि वह किस किस्म की चीज़ पकड़े हुए है। इसीलिए दोनों सिरों पर label लगाना ज़रूरी है।

इससे पहले कि हम इसमें कुछ और डालें, एक सवाल। क्या कोई और input भी है जिसे यह quadratic machine 24 पर भेज देती है? अब उसी quadratic machine में 4 डालो। 40 minus 16, फिर से 24। 2 अलग inputs, 1 ही output। तो इस machine पर 24 देखकर तुम यह नहीं बता सकते कि अंदर क्या गया था। और यह कोई छोटी बात नहीं है। यह ठीक वह सवाल है जो आगे पूछा जाने वाला है, कि किसी दिए हुए output के लिए input क्या था।

इस machine पर उस सवाल का 1 जवाब नहीं है। और ये टकराव कोई इत्तेफ़ाक़ नहीं हैं। जो भी जोड़ी टकराती है, वह 5 के दोनों तरफ़ पड़ती है, क्योंकि 10x minus x square, x बराबर 5 के आसपास symmetric है। minus 20 से 20 के बीच खोजने पर ऐसी 15 जोड़ियाँ निकलती हैं। rectangle इसे साफ़ साफ़ कह देता है। 20 centimetre की wire से, 6 की एक side लो, तो दूसरी side बचती है 4, और 6 गुणा 4 का area है 24।

4 की side लो, तो दूसरी बचती है 6, और 4 गुणा 6 का area भी 24। यह वही rectangle है, बस घुमाया हुआ। और हर टकराने वाली जोड़ी जुड़कर 10 बनती है, यानी wire का आधा। linear machine यह कभी नहीं कर सकती। 2x plus 3 पर ठीक 1 input से 11 निकलता है। उसे 2 अलग inputs दोगे, तो उसे 2 अलग outputs देने ही होंगे। क्योंकि outputs का फ़र्क़, coefficient गुणा inputs का फ़र्क़ होता है।

और बाहर 0 का फ़र्क़ आने के लिए अंदर भी 0 का फ़र्क़ चाहिए। इसे 108 ऐसे linear rules पर जाँचा गया जिनका coefficient 0 नहीं है, और उनमें से 1 भी कभी कोई output दोहराता नहीं। input को नाम देने वाला letter एक slot पर लगा label है, इससे ज़्यादा कुछ नहीं। 5x minus 3 और 5s minus 3 हर input पर एक ही जवाब देते हैं। इसीलिए अभ्यास में लगातार आने वाले सवालों के बीच letter बदल दिया जाता है।

यह कोई चाल नहीं है। यह चुपचाप यही कह रहा है कि letter से कुछ नहीं बदलता। और 2 rules जो देखने में अलग लगते हैं, वे भी एक ही machine हो सकते हैं। x plus, bracket में, x plus 3, हर input पर 2x plus 3 से मेल खाता है, जबकि लिखा हुआ अलग है। अब अभ्यास के सवाल, इसी machine से चलाकर। 5x minus 3 में 0 डालो, तो minus 3।

minus 1 डालो, तो minus 8। और 2 डालो, तो 7। और 7s square minus 4s plus 6 में 0 डालो, तो 6। minus 3 डालो, तो 81। और 4 डालो, तो 102। s बराबर minus 3 पर square वाला हिस्सा है 7 गुणा 9, यानी 63। और minus का चिह्न लिए हुए हिस्सा है minus 4 गुणा minus 3, यानी plus 12। तो कहीं कोई minus बचता ही नहीं।

तो machine rule को values से अलग कर देती है, और उससे 3 सवाल पूछे जा सकने लगते हैं। और इनमें से हर सवाल आगे आने वाला कोई न कोई हिस्सा है। चुने हुए input पर बाहर क्या निकलता है, जो substitution है। किस input से कोई बताया हुआ output निकलता है, जो equation है। और सारी जोड़ियाँ एक साथ कैसी दिखती हैं, जो graph है। एक तस्वीर, 3 सवाल।

और बीच वाले सवाल का जवाब तभी अकेला होता है जब machine ख़ुद को दोहरा न सकती हो। linear machine पर वह जवाब अकेला होता है। quadratic पर नहीं। यही फ़र्क़ इस तस्वीर को बनाने के लायक़ बनाता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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