Univariate polynomials, और degree किसे नाम देती है

0:00सबसे पहले एक पाबंदी, और यही आगे का सब कुछ तय करती है। यहाँ हर expression में ठीक 1 letter होगा। 2 नहीं, 3 नहीं, सिर्फ़ 1। यह एक असली पाबंदी है, और बहुत से काम के expressions इसे तोड़ते हैं। x plus y जैसी 2 letters वाली चीज़ यहाँ बाहर है। लेकिन 1 letter के साथ एक अजीब सी चीज़ होती है। एक अकेला number पूरे object को बयान कर देता है, और वही number इस video का विषय है।

0:30letter ख़ुद कोई मायने नहीं रखता। चाहे x हो, y हो, या z, वही चीज़ अलग नाम पहनकर। जैसे 3z plus 7 और 3x plus 7 एक ही object हैं। दोनों में powers वही हैं, 1 और 0, और तुम कोई भी value डालो, दोनों एक ही जवाब देते हैं। तो जब बीच में letter बदल जाए, तो ink के अलावा कुछ नहीं बदला। ऐसी चीज़ के 3 नाम चलते हैं, one-variable polynomial, univariate polynomial, या बस polynomial।

1:03तीनों एक ही object की तरफ़ इशारा करते हैं, 1 letter, उसकी powers, और numbers से बनी हुई चीज़। univariate का मतलब बस इतना है कि variable 1 है। नाम 3 हैं, चीज़ 1 है। यहाँ ऐसे 5 हैं। पहला 4x। दूसरा x square plus 1। तीसरा 2y minus 5। चौथा 5y cube plus y square plus 2y minus 1। और पाँचवाँ 3z plus 7। अलग अलग letters, अलग अलग लंबाई, और सब के सब एक ही किस्म की चीज़।

1:43अब इन्हें sort करो, हर एक में सबसे बड़ी power देखकर। 4x, 2y minus 5, और 3z plus 7, इन तीनों की सबसे बड़ी power 1 है। यानी 5 में से 3। x square plus 1 की सबसे बड़ी power 2 है, और लंबे वाले की 3। एक नज़र, और 5 चीज़ें 3 ढेरों में बँट गईं। और ध्यान दो, ढेर बनाते वक़्त हमने letter नहीं देखा, लंबाई नहीं देखी, सिर्फ़ 1 number देखा।

2:14तो देखो कि वह सबसे बड़ी power असल में रहती कहाँ है। पहले वाले में, x square plus 5x plus 1, मौजूद powers हैं 2, 1, और 0। सबसे बड़ी 2 है। और दूसरे वाले में, 5y cube plus y square minus 8, powers हैं 3, 2, और 0। सबसे बड़ी 3 है। हर बार, power ऊपर लिखी होती है, exponent में, और सबसे बड़ी वही है जो हमें चाहिए।

2:45और ध्यान दो कि उस दूसरे वाले में क्या ग़ायब है। उसमें कोई सादा y वाला term है ही नहीं। जहाँ वह होता, वहाँ एक ख़ाली जगह है। ऐसी ख़ाली जगह लिखने की कोई ग़लती नहीं है। वह एक coefficient है जो तुम्हें अभी दिख नहीं रहा। इसे पकड़कर रखो। यह वापस आता है, और इस पूरे topic का सबसे तीखा सवाल बनकर आता है। उस सबसे बड़ी power को अपना एक नाम मिलता है।

3:14यह degree है। 1 letter वाले polynomial की degree, letter की वह सबसे बड़ी power है जो उसमें सच में मौजूद है। उस वाक्य में, सच में मौजूद, असली काम कर रहा है। लिखो 0 x power 5, plus 3x। इसकी degree 1 है, 5 नहीं, क्योंकि वह x power 5 वहाँ है ही नहीं। जिस term का coefficient 0 हो, वह term है ही नहीं। जो बचा, वह सिर्फ़ 3x है।

3:43तो degree पढ़ने का मतलब है, जो सच में मौजूद है उसकी सबसे बड़ी power। एक number, 1 second में पढ़ा जा सकता है। बाक़ी सब इस बारे में है कि यह number इतनी मेहनत के लायक क्यों है। आगे बढ़ने से पहले, लंबे वाले को खोलो। यह है 5y cube plus y square plus 2y minus 1। पहले, y cube का coefficient 5 है। सीधा सा। फिर y square का coefficient 1 है।

4:14कुछ नहीं, ऐसा नहीं। ठीक 1 है। बिना लिखा हुआ 1 एक convention है, कोई कमी नहीं। और y का coefficient 2 है। और constant term minus 1 है, 1 नहीं। sign उस number का अपना है, उसके आगे बैठे operation का नहीं। इस 1 expression में 4 terms हैं, और हर term से 1 number बाहर निकला है, 5, 1, 2, और minus 1। हर एक का एक पता है, y की एक power।

4:44अब यह कि degree को नाम क्यों मिला। पूरे के पूरे families इसके नाम पर रखे गए हैं, और किसी और चीज़ के नाम पर नहीं। degree 3 को cubic कहते हैं, और वह लंबा वाला, 5y cube plus y square plus 2y minus 1, cubic है। degree 2 quadratic है, जैसे x square plus 5x plus 1। degree 1 linear है, जैसे 3z plus 7। और degree 0 को constant कहते हैं।

5:12जिससे एक ज़ाहिर सा सवाल उठता है, और उसका जवाब इस topic की सबसे अच्छी चीज़ है। सोचो, degree 0 का polynomial आख़िर होता क्या है? अब number 8 लो। बस 8, अकेला बैठा हुआ। क्या यह polynomial है भी? और अगर है, तो इसकी power कहाँ है? यह रहा move। इसे लिखो 8 x power 0। और 0 के अलावा कोई भी number, power 0 पर, 1 होता है।

5:45तो 8 x power 0 और 8, हर उस जगह एक ही value लेते हैं जहाँ पहला define होता है। number के बारे में कुछ नहीं बदला। सिर्फ़ लिखने का तरीक़ा बदला। इसकी तुलना करो 8 को 8x लिखने से। वह 8 से ठीक 1 जगह सहमत होता है, जब x 1 हो, और कहीं नहीं। जब x 1 हो तो 8, जब 2 हो तो 16, जब 3 हो तो 24।

6:13जबकि 8 x power 0 हर जगह 8 ही रहता है। हर जगह सहमत, बनाम 1 जगह सहमत, यही पूरा फ़र्क़ है। लेकिन अब power दिख रही है, तो rule उसे पढ़ सकता है। सबसे बड़ी power 0, degree 0, यानी constant। और यही सबूत है कि degree से sort करना सही चुनाव था। इससे sort करने पर कुछ भी बचता नहीं, कोई leftover नहीं। 8 को fit कराने के लिए कोई चाल नहीं चली गई।

6:42वह पहले से fit था, बस उसकी power छुपी हुई थी। अब वापस उस ख़ाली जगह पर। यह है 4z cube plus 5z square minus 11। सोचो, z का coefficient क्या है? इसमें कहीं कोई z वाला term लिखा ही नहीं है, तो बहुत से लोग कहते हैं कि कोई coefficient है ही नहीं। यह उस बात जैसा नहीं है कि coefficient 0 है, और सिर्फ़ दूसरी बात सही है।

7:09ख़ाली जगह भरकर लिखो। अब यह है 4z cube plus 5z square plus 0z minus 11। बिल्कुल वही polynomial। तुम इसमें कोई भी number डालो, दोनों की value एक ही आती है। और degree भी वही, 3, क्योंकि जो term जोड़ा गया उसका coefficient 0 है, और 0 coefficient वाला term degree नहीं बना सकता। और अब सवाल अजीब रहा ही नहीं। तो z का coefficient 0 है। एक ग़ायब power का coefficient 0 होता है।

7:43उसका coefficient नहीं होता, ऐसा नहीं है। और यही सोच 8 वाले argument को खड़ा रखती है। अगर ग़ायब term का मतलब कोई coefficient नहीं होता, तो 8 x power 0 में भी पढ़ने को कुछ नहीं बचता। अब 2 चीज़ें जो degree नहीं है। यह terms की संख्या नहीं है। 5y cube plus y square plus 2y minus 1 में 4 terms हैं और degree 3 है। x power 4 minus 3x cube plus 6x square minus 2x plus 7 में 5 terms हैं और degree 4 है।

8:19और 4x में 1 term है और degree 1। वह मेल एक इत्तेफ़ाक़ है, कोई pattern नहीं। इन 3 में से यह अकेला है जहाँ दोनों numbers बराबर हैं। और 2 x power 9 जैसी चीज़ में 1 term है और degree 9। दोनों numbers एक दूसरे से आज़ाद चलते हैं। और degree सबसे बड़ा coefficient भी नहीं है। उसी लंबे वाले में सबसे बड़ा coefficient 5 है, और degree 3 है।

8:45ऊपर exponent की तरफ़ देखो। line के साथ साथ numbers की तरफ़ नहीं। एक और जाल, और यही वह है जो चुपचाप marks खा जाता है। इस लंबे वाले में, x power 4 minus 3x cube plus 6x square minus 2x plus 7, x square का coefficient क्या है, और x cube का coefficient क्या है? जवाब है 6, और minus 3। इसी क्रम में, क्योंकि सवाल ने पहले x square माँगा, जबकि expression पहले x cube लिखता है।

9:19दोनों क्रम उल्टे हैं। बाएँ से दाएँ पढ़ो और तुम सही 2 numbers ग़लत 2 powers से जोड़कर लौटा दोगे, minus 3 और 6। और यह minus 3 है, 3 नहीं। वही rule जो constant term पर था, sign coefficient का होता है। एक और, इसी नियम से। देखो 9x cube plus 5x square minus 8x minus 10 का constant term। वह term जो कोई letter नहीं रखता, minus 10।

9:49पूरा minus 10, sign के साथ, 10 नहीं। अब पूरी चीज़ को चलाकर देखो, 4 छोटे polynomials पर। पहला, 2x square minus 5x plus 3, सबसे बड़ी power 2, degree 2, quadratic। दूसरा, y cube plus 2y minus 1, degree 3, cubic। तीसरा, अकेला minus 9, कोई letter नहीं, degree 0, constant। यह वही 8 वाला case है, बस एक मामूली सा number पहनकर। और चौथा, 4z minus 3, degree 1, linear।

10:27और उल्टी दिशा में भी चलता है। कोई कहे, x में degree 3 का polynomial लिखो, जिसमें x square का coefficient minus 7 हो। तो x cube minus 7x square plus 4 काम करता है। सबसे बड़ी power 3, x square के आगे minus 7, और बाक़ी तुम्हारी मर्ज़ी। और letter बदलो तो कुछ नहीं बदलता। जैसे 4t cube minus t square plus 6 की degree 3 है, और t कोई ख़ास letter नहीं है।

10:57एक polynomial को पढ़ना और उसे order पर बनाना, एक ही हुनर की 2 दिशाएँ हैं। तो यह 1 number अपने नाम का हक़दार क्यों है? क्योंकि यह कुछ predict करता है, और यह रही वह चीज़। लंबा वाला लो, 5y cube plus y square plus 2y minus 1, और इसकी value निकालो y बराबर 0 पर, फिर 1, 2, 3, 4, और 5 पर। मिलते हैं minus 1, 7, 47, 149, 343, और 659।

11:29अब हर जवाब को उसके अगले वाले में से घटाओ। इससे एक नई list मिलती है, 8, 40, 102, 194, और 316। उसी list पर वही करो। इस बार 32, 62, 92, और 122। और एक बार फिर। अब मिलते हैं 30, 30, और 30। यानी 3 rounds के बाद, जो भी number बचा है, वह 30 है। और 30 है 5 गुणा 6, यानी leading coefficient गुणा 3 factorial।

12:04चौथा round करो और सिर्फ़ 0 बचते हैं, 0 और 0। तो degree 3 सिर्फ़ इस बात का बयान नहीं है कि चीज़ कैसे लिखी गई है। यह उन rounds की संख्या है जितने घटाने के बाद चीज़ सपाट हो जाती है। इसे x square पर आज़माओ। values हैं 0, 1, 4, 9, 16, फिर 1, 3, 5, 7, फिर 2, 2, 2, और यह 2 rounds के बाद सपाट है।

12:36और 3x plus 7 पर, values 7, 10, 13, 16, और 1 ही round में 3, 3, 3। हर बार, degree पहले से बता देती है कि कितने rounds लगेंगे। यही वजह है कि इस 1 number को अपना नाम मिला। तो 1 letter, और 1 number जो उन सबको sort कर देता है। degree, सच में मौजूद सबसे बड़ी power है। degrees 0, 1, 2, और 3 तुम्हें देती हैं constant, linear, quadratic, और cubic।

13:10एक ग़ायब power का coefficient 0 होता है, उसका कोई coefficient नहीं, ऐसा नहीं। sign अपने coefficient का होता है, और बिना लिखा 1 अब भी 1 है। और यहाँ से सब कुछ degree 1 पर, यानी linear पर सिमट जाता है। सबसे छोटा case जो दिलचस्प है, और वही जिसे ठीक से खोलकर देखने लायक है। आगे जो भी polynomial आए, पहला सवाल यही रहे, इसकी सबसे बड़ी power क्या है।