PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 2, Introduction to Linear PolynomialsPrepShorts

Chapter 2 · Introduction to Linear Polynomials

a और b line के साथ क्या करते हैं: slope, y-intercept, और parallel families

Linear relationships and their graphs14 मिनट

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y बराबर ax plus b में 2 constants हैं, और दोनों एक साथ हिलें तो किसी बदलाव का ज़िम्मेदार कौन है, यह कहा ही नहीं जा सकता। इसलिए पहले b रोका जाता है और a हिलाया जाता है, फिर उल्टा — और तब a का काम दिशा और ढाल निकलता है, b का काम crossing की ऊँचाई।

मुख्य idea

y = ax + b में बैठे दो constants दो चीज़ें तय करते हैं, और एक दूसरे के काम में दख़ल नहीं देता — a तय करता है कि line किस दिशा में जाएगी और b तय करता है कि वह कितनी ऊँचाई पर बैठेगी — और chapter इसे उसी एक तरीक़े से साबित करता है जिससे यह साबित हो सकता है, एक को रोककर और दूसरे को हिलाकर। यही तरीक़ा नतीजों को दोहराई हुई बात नहीं, भरोसे लायक़ बनाता है: Figs. 2.8 से 2.11 में b zero पर रुका है और a बदलता है, और Figs. 2.12 और 2.13 में a 2 पर रुका है और b बदलता है। इसी स्वतंत्रता से parallel वाला rule मुफ़्त में निकल आता है, क्योंकि दो lines तभी न मिलें जब उनकी दिशा में कभी फ़र्क़ ही न हो — वही a, अलग b। और chapter का सबसे बढ़िया जोड़ सबसे चुपचाप है: a वही number है जो किसी linear pattern के लगातार terms के बीच का तय gap है, यानी page पर दिखती ढाल और table में गिना हुआ step एक ही चीज़ हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • y = ax + b वाली form में लिखी equation से a और b पढ़ लेना
  • a अकेला बदले तो line कैसे बदलेगी, और b अकेला बदले तो कैसे — दोनों का अंदाज़ा लगाना
  • यह समझाना कि y = ax वाली हर line origin से क्यों गुज़रती है
  • origin से गुज़रती दो lines की ढाल की तुलना उनके coefficients से करना, negative coefficients के साथ भी
  • a के चिह्न को linear growth और linear decay से जोड़ना
  • y = ax + b vertical axis से कहाँ मिलती है, यह coordinate pair की तरह बताना, और equation से y-intercept पढ़ लेना
  • दो दी हुई lines parallel हैं या नहीं, यह उनके coefficients की तुलना करके तय करना
  • जिस समूह में कोई coefficient साझा नहीं है, उसमें से अलग पड़ने वाली line पहचानना
  • a को उसी numerical pattern के तय gap से जोड़ना

जानने लायक़ शब्द

Termएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
slopecoefficient a, जो line की दिशा और ढाल तय करता हैढालp. 31 पर छपा
y-interceptconstant b, यानी वह ऊँचाई जिस पर line vertical axis को काटती हैy-अंतःखंडp. 35 पर छपा
originवह point (0, 0) जहाँ दोनों axes कटते हैंमूल बिंदुp. 31 पर छपा; Chapter 1 में तय हुआ
parallelदो lines के बारे में: एक ही दिशा वाली, इसलिए कभी न मिलने वालीसमांतरp. 36 पर छपा
steeperकिसी line के बारे में: उतने ही आड़े step में दूसरी से ज़्यादा तेज़ी से चढ़ने वालीअधिक ढालूp. 31 पर छपा
linear growthतय बढ़त वाला pattern, जो यहाँ positive slope वाली line की तरह दिखता हैरैखिक वृद्धिpp. 24, 25 और 31 पर छपा
linear decayतय कमी वाला pattern, जो यहाँ negative slope वाली line की तरह दिखता हैरैखिक क्षयpp. 25 और 31 पर छपा
linear relationshipदो quantities की वह जोड़ी जो y = ax + b की तरह लिखी जाती हैरैखिक संबंधpp. 22, 26 और 31 पर छपा
equally inclinedy = x के बारे में: दोनों axes की तरफ़ बराबर झुकी हुईदोनों अक्षों से समान झुकावp. 31 पर छपा
magnitude of the slopea का आकार, चिह्न अलग रखकर, जिससे ढाल की तुलना की जाती हैढाल का परिमाणयहाँ जोड़ी गई शब्दावली; इस chapter में छपा नहीं, जो negative वाली सूरत को p. 33 पर सवाल की तरह रखता है
signed interceptb को axis पर चिह्न सहित एक जगह की तरह समझना, जो negative भी हो सकती हैचिह्नित अंतःखंडयहाँ जोड़ी गई शब्दावली; इस chapter में छपा नहीं

मानक हिंदी शब्दावली; मैंने कक्षा 9 के लिए Ganita Manjari का हिंदी संस्करण नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बड़ा a हमेशा ज़्यादा ढालू line का मतलब है।" positive coefficients के लिए यह सही है। negative वालों के लिए फ़ैसला a का आकार करता है: y = –3x, y = –x से ज़्यादा ढालू है, हालाँकि –3 छोटा number है। chapter इस सूरत को रखता है और खुला छोड़ देता है।
  • "negative slope का मतलब है line axis के नीचे है।" मतलब यह है कि दाईं तरफ़ बढ़ने पर line गिरती है। y = –3x + 1 हर negative x के लिए axis के ऊपर है। उसे काटते हुए दिखाओ।
  • "b बदलने से line झुक जाती है।" वह सरकती है। y = 2x – 1 को ऊपर y = 2x + 1 और y = 2x + 5 तक ले जाकर दिखाओ और दिशा को साफ़ दिखते हुए वहीं रोके रखो — Fig. 2.13 का पूरा मज़मून यही है।
  • "a बदलने से crossing वाला point हिल जाता है।" y = ax + b की तरह लिखी lines के लिए नहीं हिलता: x = 0 पर ax वाला हिस्सा zero ही रहता है, चाहे a कुछ भी हो। chapter यह p. 36 पर कहता है, और Think and Reflect की जोड़ी y = 3x + 1 और y = –3x + 1, p. 33 पर, इसे दिखा देती है।
  • "parallel lines देखने में parallel लगती हैं, तो मैं आँख से तय कर लूँगा।" जाँच arithmetic वाली है: बराबर a। Fig. 2.14 की तीनों lines आम तौर पर एक ही तरफ़ झुकी दिखती हैं और उनमें से कोई भी parallel नहीं है।
  • "हर line origin से गुज़रती है।" सिर्फ़ वे जिनमें b = 0 है। chapter Figs. 2.8 से 2.11 तक उसी परिवार पर लगाता है और फिर Figs. 2.12 से 2.14 में उसे जान-बूझकर छोड़ देता है।
  • "y-intercept एक दूरी है, इसलिए वह negative हो ही नहीं सकती।" वह axis पर चिह्न सहित एक जगह है। chapter की अपनी value –2, जो y = 3x – 2 के लिए है, इसका फ़ैसला कर देती है, और p. 40 की summary की ढीली शब्दावली नहीं अपनानी चाहिए।
  • "y = 2x + 3, y = –2x के parallel है।" नहीं है — एक चढ़ती है और एक गिरती है। Exercise Set 2.6 के हिस्से (v) का जाल ठीक यही है, और जो student मान लेता है कि हर गिनाया हुआ समूह parallel है वह इसे ग़लत कर आएगा।
  • "slope और तय अंतर अलग-अलग विचार हैं जो संयोग से मिल जाते हैं।" वे एक ही number हैं। chapter tile pattern के लिए p. 31 पर यही कहता है, और पूरा section 9 इसी के चारों ओर बनाने लायक़ है।
  • "y = x वही मानक है जिससे हर ढाल नापी जाती है।" वह chapter का चुना हुआ संदर्भ है क्योंकि वह दोनों axes की तरफ़ बराबर झुकती है, जो एक सुविधाजनक landmark है, कोई क़ानून नहीं। बताओ कि उसे क्यों चुना गया।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 2.6 Q1, End-of-Chapter Exercises Q7, End-of-Chapter Exercises Q13, End-of-Chapter Exercises Q14

पूरा transcript2,171 शब्द

इस form में, y बराबर ax plus b, 2 constants बैठे हैं, a और b। इनमें से हर एक line के साथ कुछ न कुछ करता है। पर कौन क्या करता है, यह अभी तय नहीं हुआ है। अगर दोनों एक साथ हिलें, तो जो बदलाव दिखे उसका ज़िम्मेदार कौन है, यह कहा ही नहीं जा सकता। इसलिए यहाँ पहले b को 0 पर रोका जाएगा और a को हिलाया जाएगा।

उसके बाद a को रोका जाएगा और b को हिलाया जाएगा। यही 1 वजह है कि इस topic के नतीजे दोहराई हुई बातें नहीं, जाँचे हुए नतीजे हैं। अब पहला experiment। यहाँ b को 0 पर रोक दिया गया है, और सिर्फ़ a बदलेगा। यहाँ 3 rules हैं, y बराबर आधा x, y बराबर x, और y बराबर 2x। तीनों को एक ही grid पर खींचो, हर 1 को अपने rule के नाम के साथ।

तीनों lines एक ही point से गुज़र रही हैं, origin से। पर तस्वीर सिर्फ़ इतना बताती है कि इन तीनों के साथ ऐसा हुआ। सवाल यह है कि क्या ऐसा हर उस rule के साथ होगा जिसमें कुछ जोड़ा न गया हो? इसका जवाब देखने से नहीं, रखने से मिलता है। उस rule में x की जगह 0 रखकर देखो। तब a गुणा x वाला हिस्सा बनता है a गुणा 0, और वह 0 ही रहता है, चाहे a कुछ भी हो।

तो y निकलता है 0, यानी point 0 और 0 उस line पर है। और यह सिर्फ़ उन 3 lines की बात नहीं है। यहाँ minus 10 से 10 तक, तिहाई-तिहाई करके, 61 अलग coefficients जाँचे गए। इनमें से हर 1 के लिए input 0 पर output 0 ही निकला, 1 भी अपवाद नहीं। पर जैसे ही कुछ जोड़ा जाता है, origin छूट जाता है। यहाँ minus 4 से 4 तक के constants आज़माए गए, और उनमें से सिर्फ़ 1 constant पर origin line पर रहता है, वह है 0।

तो origin से गुज़रना b के 0 होने की पहचान है, किसी और चीज़ की नहीं। अब steepness को आँख से आँकने के बजाय नाप लो। किसी भी line पर कहीं से भी 1 step दाएँ चलो, और देखो output कितना खिसकता है। जैसे y बराबर आधा x पर वह आधा खिसकता है, y बराबर x पर 1, और y बराबर 2x पर 2। यानी वह खिसकाव coefficient ही है।

और यह इस बात पर टिका नहीं है कि तुमने कहाँ से नापा। एक ही line पर 19 अलग जगहों से नापने पर वही खिसकाव मिलता है। और 49 coefficients तथा 9 जगहों को मिलाकर बनी 441 सूरतों में, खिसकाव हमेशा coefficient ही निकला, 1 बार भी कुछ और नहीं। इन तीनों में y बराबर x को बीच का पैमाना क्यों माना जाता है। क्योंकि वह 1 दाएँ पर ठीक 1 ऊपर चढ़ती है, और इतनी सीधी-सादी चीज़ से तुलना करना आसान रहता है।

यह सिर्फ़ सुविधा है, कोई नियम नहीं। जिस rule का coefficient 1 से बड़ा है, वह इससे ज़्यादा ढालू है, और जिसका 1 से छोटा है, वह कम। यहाँ positive coefficients के 1521 जोड़े जाँचे गए, और हर बार बड़ा coefficient ही ज़्यादा ढालू line देता है, 1 भी अपवाद नहीं। और इस coefficient a का एक नाम है। इसे उस line का slope कहते हैं। आगे चलकर slope पर बहुत काम होता है, पर इस topic के लिए इतना काफ़ी है कि slope वही खिसकाव है जो अभी नापा गया।

अब यही experiment उल्टे चिह्न के साथ करो। यहाँ 3 rules हैं, y बराबर minus एक तिहाई x, y बराबर minus x, और y बराबर minus 3x। इनके खिसकाव निकलते हैं minus एक तिहाई, minus 1, और minus 3। तीनों lines दाएँ जाते-जाते नीचे गिरती हैं। और तीनों अब भी origin से ही गुज़रती हैं, क्योंकि इनमें से किसी में कुछ जोड़ा नहीं गया। वही पहचान, वही वजह। अब वह सवाल जिसे टाला नहीं जा सकता।

इन तीनों lines के coefficients हैं minus एक तिहाई, minus 1, और minus 3। तो इनमें सबसे ज़्यादा ढालू कौन-सी line है? जवाब coefficient के आकार से मिलता है, चिह्न को अलग रखकर। इन तीनों के आकार हैं एक तिहाई, 1 और 3। तो सबसे ढालू है y बराबर minus 3x, और सबसे कम ढालू है y बराबर minus एक तिहाई x। और minus 3 वाली line ठीक उतनी ही ढालू है जितनी plus 3 वाली, बस झुकी दूसरी तरफ़ है।

और यहीं फिसलन है। अगर तुम इन्हें number के हिसाब से क्रम में लगाओ, तो जवाब बिलकुल उल्टा निकलेगा, क्योंकि minus 3 इन तीनों numbers में सबसे छोटा है, पर उसकी line सबसे ढालू है। तो number का क्रम और आकार का क्रम, ये दोनों एक-दूसरे के उल्टे हैं, एक जैसे नहीं। तो चिह्न का काम क्या है। चिह्न यह तय करता है कि line किस तरफ़ झुकेगी, कितनी तेज़ नहीं।

जिस rule का coefficient positive है उसकी line चढ़ती है, और negative वाले की गिरती है। यहाँ 40 coefficients और 7 constants से बने 280 rules जाँचे गए, और हर बार यही निकला। और इस फ़ैसले को constant भी पलट नहीं सकता। जैसे rule y बराबर 2x minus 50 फिर भी चढ़ता है, भले ही वह बहुत नीचे से शुरू हो। और y बराबर minus 2x plus 50 फिर भी गिरता है, भले ही वह बहुत ऊपर से शुरू हो।

और गिरने का मतलब यह नहीं कि line axis के नीचे बैठी है। अब rule y बराबर minus 3x plus 1 को देखो। यह गिरता तो है, पर minus 30 से minus 1 तक के हर input पर इसका output 0 से ऊपर है। गिरना दिशा है, जगह नहीं। अब इस topic की सबसे चुपचाप वाली बात। एक pattern बनाओ, सिर्फ़ 1 gap दोहराकर। इसे 1 से शुरू करो और हर बार 2 जोड़ते जाओ, तो मिलता है 1, 3, 5, 7।

इसके सारे gaps एक जैसे हैं, और वह gap है 2। अब सिर्फ़ पहली 2 stages से उसका rule निकालो। वह निकलता है y बराबर 2x minus 1। और यही rule आगे की हर stage को वापस दे देता है, जो पहले सिर्फ़ gap दोहराकर बनाई गई थीं। तो उस line का slope और इस pattern का gap, ये 2 अलग बातें नहीं, 1 ही number हैं। और यह सिर्फ़ इसी pattern का इत्तेफ़ाक़ नहीं है।

यहाँ 13 अलग शुरुआती values और 12 अलग gaps से बने 156 patterns जाँचे गए। हर 1 pattern का slope ठीक वही निकला जो उसका gap था। और जहाँ यह बात टूटनी चाहिए, वहाँ टूटती भी है। अब squares को लो, यानी 1, 4, 9, 16, 25 और 36। इनके 5 gaps हैं और पाँचों अलग हैं, 3, 5, 7, 9 और 11। इनकी पहली 2 terms से rule निकालो, तो वह stage 3, 4, 5 और 6 पर चूक जाता है।

अब दूसरा experiment। इस बार coefficient रुका रहेगा और constant हिलेगा। यहाँ 3 rules हैं, y बराबर 2x minus 1, y बराबर 2x plus 1, और y बराबर 2x plus 5। इन तीनों में coefficient 2 ही है। यहाँ constant बदलने से line झुकती नहीं, खिसकती है। तीनों पर वही 1 step दाएँ वाला नाप रखो, तो तीनों का खिसकाव 2 ही निकलता है। और इन तीनों में से कोई भी 2 lines कहीं भी नहीं मिलतीं।

अब वही 1 line वाला काम दोबारा। जो axis खड़ी है, वह ठीक उन points का समूह है जिनका पहला coordinate 0 है। तो rule y बराबर ax plus b में x की जगह 0 रखकर देखो। तब a गुणा x वाला हिस्सा ग़ायब हो जाता है, और बचता है y बराबर b। और यह भी जाँचा गया है। यहाँ 475 rules पर देखा गया, और हर 1 का crossing उसके constant पर ही मिला, 1 भी अपवाद नहीं।

तो हर ऐसी line उस खड़ी axis को point 0 और b पर काटती है। अब 3 अलग rules के crossings देखो। पहला rule है y बराबर 2x plus 5, और वह खड़ी axis को point 0 और 5 पर काटता है, इसे A कहो। दूसरा rule है y बराबर x plus 3, और वह उसे point 0 और 3 पर काटता है, यह B है। और rule y बराबर 3x minus 2 उसे point 0 और minus 2 पर काटता है, यह C है।

और ध्यान दो कि तीसरा crossing origin से नीचे है। कोई भी दूरी minus 2 नहीं हो सकती। इसलिए b कोई लंबाई नहीं है, वह उस axis पर चिह्न सहित जगह है। इसी b को उस line का y-intercept कहते हैं। अब उन्हीं 3 lines को दोबारा देखो। तीनों एक ही तरफ़ झुकी दिखती हैं। तो क्या ये तीनों आपस में parallel हैं? बिलकुल नहीं। इनके coefficients हैं 2, 1 और 3, तीनों अलग।

और ये तीनों एक-दूसरे को काटती हैं, x बराबर minus 2 पर, x बराबर 7 पर, और x बराबर 5 बटा 2 पर। आँख से parallel तय नहीं होता, यह हिसाब से तय होता है। अब दोनों बातों को एक साथ रखो। पहले constant को 3 पर रोको और coefficient को हिलाओ। यहाँ 25 अलग coefficients आज़माए गए, और crossing हर बार 3 पर ही रहा। यानी a बदलने से crossing हिलता ही नहीं।

और उल्टा करो। अब coefficient को 2 पर रोको और constant को हिलाओ, तो हर line का खिसकाव 2 ही रहता है। तो a दिशा और ढाल तय करता है, b ऊँचाई तय करता है, और इनमें से कोई दूसरे के काम में दख़ल नहीं देता। और इसी से parallel वाली बात मुफ़्त में मिल जाती है। कोई भी 2 lines आपस में तभी नहीं मिल सकतीं जब उनकी दिशा कभी अलग हो ही न।

यहाँ एक जैसे coefficient और अलग constants वाले 2028 जोड़े जाँचे गए, और इनमें से 1 जोड़ा भी कहीं नहीं मिला। और उल्टी तरफ़ भी। अगर 2 lines के coefficients अलग हों, तो वे कहीं न कहीं ज़रूर कटती हैं, चाहे उनके constants कुछ भी हों। तो parallel होने की पहचान यही है, coefficients बराबर और constants अलग। अब 1 जोड़ी ऐसी लो जो a के दोनों काम एक ही झटके में अलग कर देती है।

वे हैं rule y बराबर 3x plus 1 और rule y बराबर minus 3x plus 1। दोनों खड़ी axis को 1 पर काटते हैं, यानी coefficient बदलने से crossing हिला ही नहीं। दोनों बराबर ढालू हैं, यानी आकार साझा है। और 1 चढ़ता है जबकि दूसरा गिरता है, यानी फ़र्क़ सिर्फ़ चिह्न का है। और यह जोड़ी parallel नहीं है। ये दोनों एक-दूसरे को ठीक वहीं काटते हैं जहाँ से दोनों शुरू हुए थे, x बराबर 0 पर।

तो एक ही जगह से गुज़रना parallel की पहचान नहीं है, coefficients का बराबर होना है। अब 5 समूह lines के सामने रखो। पहला, 4x, 2x और x। दूसरा, minus 6x, minus 3x और minus x। तीसरा, 5x के साथ minus 5x। चौथा, 3x minus 1, 3x और 3x plus 1। और पाँचवाँ, minus 2x minus 3, minus 2x और 2x plus 3। हर समूह पर crossing वाला test चलाओ, आँख से नहीं।

इनमें से ठीक 1 समूह parallel है, और वह चौथा है। और पाँचवाँ समूह वहीं टूटता है। उसमें 1 line बाक़ी दोनों को काटती है, और वह तीसरी है, क्योंकि उसका coefficient plus 2 है जबकि बाक़ी दोनों का minus 2। बाक़ी दोनों आपस में कभी नहीं मिलतीं। वह तीसरी line उनका आईना है, उनकी खिसकी हुई नक़ल नहीं। जो यह मान ले कि हर दी हुई सूची parallel होगी, वह यहीं चूकेगा।

और तीसरा समूह यही आईना जान-बूझकर दिखाता है। यहाँ rule 5x और rule minus 5x बराबर ढालू हैं, बस 1 चढ़ता है और दूसरा गिरता है। आकार वही, चिह्न उल्टा। अब 3 ऐसे rules लो जो अभी उस form में लिखे ही नहीं हैं। पहला, 2y बराबर 4x plus 7। दूसरा, 5y बराबर 6x minus 10। तीसरा, 3y बराबर 6x minus 11। हर 1 को y के आगे बैठे number से भाग दिया जाए, पूरे का पूरा।

तब ये बनते हैं y बराबर 2x plus 7 बटा 2, फिर y बराबर 6 बटा 5 गुणा x minus 2, और फिर y बराबर 2x minus 11 बटा 3। अब देखो कि तीनों में से 2 का coefficient एक जैसा है, और वे हैं पहला और तीसरा। यह वह जोड़ी नहीं है जो constants पर सरसरी नज़र डालने से लगती। और इन दोनों के constants अलग हैं, इसलिए ये parallel हैं, एक ही line नहीं।

तो आख़िर में यह याद रखो। उस form में, y बराबर ax plus b, coefficient a दिशा और ढाल तय करता है, और constant b वह ऊँचाई तय करता है जिस पर line खड़ी axis को काटती है। और इनमें से कोई दूसरे के काम में दख़ल नहीं देता। ढाल coefficient का आकार है, चिह्न अलग रखकर, और चिह्न सिर्फ़ यह बताता है कि line किस तरफ़ झुकी है। वह crossing point 0 और b पर है, जो चिह्न सहित जगह है, कोई लंबाई नहीं।

और 2 lines ठीक तभी parallel हैं जब उनके coefficients बराबर हों और constants अलग। और सबसे चुपचाप वाली बात यह है कि यही coefficient उस pattern के पक्के gap वाला number भी है। यानी जो ढाल तुम तस्वीर में देखते हो और जो step तुमने table में गिना था, वे 2 चीज़ें नहीं, 1 ही चीज़ हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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