PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 2, Introduction to Linear PolynomialsPrepShorts

Chapter 2 · Introduction to Linear Polynomials

दो observations से y = ax + b वापस निकालना

Linear relationships and their graphs10 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

10 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 9 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

y = ax + b में ठीक 2 numbers अनजान हैं, और हर observation उनके बारे में ठीक 1 equation देती है। इसीलिए 2 observations काफ़ी हैं — और इसीलिए वे कब काफ़ी नहीं होतीं, यह भी वही गिनती बताती है।

मुख्य idea

दो measurements किसी linear relationship को पूरा वापस निकालने के लिए काफ़ी हैं, और इसकी वजह कोई चतुर technique नहीं बल्कि एक गिनती है: y = ax + b में ठीक दो अनजान numbers छिपे हैं, और तुम जो भी observation लेते हो वह उनके बारे में ठीक एक equation देती है। दो के बदले दो, और relationship पकड़ में आ जाता है। यही framing यह भी ठीक-ठीक बता देती है कि यह तरीक़ा कब टूटता है — एक ही x पर ली गई दो readings वही equation दो बार देती हैं और कुछ नहीं पकड़तीं, और अगर situation शुरू से linear था ही नहीं तो arithmetic फिर भी तुम्हें एक a और एक b थमा देगा, जो तुम्हारे दोनों points पर तो बैठेगा पर बाक़ी हर जगह ग़लत होगा।

आपको क्या आना चाहिए

  • यह समझाना कि y = ax + b शक्ल वाले relationship में ठीक दो अनजान क्यों हैं
  • दोनों observations में से हर एक को a और b वाली equation में बदलना
  • बनी हुई जोड़ी को हल करना, एक अनजान को दूसरे के रूप में लिखकर और उसे रखकर
  • निकाले हुए a और b को असली situation की भाषा में पढ़ना
  • a को सीधे y के बदलाव बँटा x के बदलाव के रूप में निकालना, और यह समझाना कि वह shortcut काम क्यों करता है
  • निकाले हुए relationship को दोनों असली observations वापस उसमें से गुज़ारकर जाँचना
  • वे दोनों हालात बताना जिनमें दो observations काफ़ी नहीं होतीं
  • relationship तब खड़ा करना जब दोनों quantities की भूमिकाएँ उलटी बाँटी गई हों, जैसा temperature वाला exercise करता है

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
linear relationshipदो quantities की एक जोड़ी, जिसे y = ax + b के रूप में लिखा जा सकेरैखिक संबंधpp. 22 और 26 पर छपा; §2.5, p. 26 पर, का शीर्षक यही है
linear equationdegree 1 की equation, यहाँ observations से बनी दो में से एकरैखिक समीकरणp. 20 पर छपा
coefficientगुणा करने वाला a, यानी x की हर unit पर y में बदलावगुणांकpp. 16 और 18 पर छपा
constantवह number b, यानी x के zero होने पर y की valueअचरp. 16 पर छपा
substituteकिसी letter की जगह जानी हुई value या कोई दूसरा expression रखनाप्रतिस्थापित करनाpp. 20 और 26 पर छपा
fixed monthly feebill का वह हिस्सा जो usage चाहे जितना हो, लगता ही है — इस situation में b का नामनियत मासिक शुल्कp. 26 पर Example 11 में छपा
slopeआगे चलकर chapter a को यही नाम देता हैढालp. 31 पर छपा, इस topic की सामग्री के चार पन्ने बाद
y-interceptआगे चलकर chapter b को यही नाम देता हैy-अंतःखंडp. 35 पर छपा
simultaneous conditionsदो शर्तें, जिन्हें numbers की एक ही जोड़ी को एक साथ पूरा करना हैयुगपत शर्तेंयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो जोड़ी को हल तो करता है पर इस बनावट का नाम नहीं लेता

मानक हिंदी शब्दावली; मैंने कक्षा 9 के लिए Ganita Manjari का हिंदी संस्करण नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "एक reading काफ़ी है — bill को usage से भाग दे दो।" ₹350, 10 GB पर, यानी ₹35 प्रति GB, जो दूसरी reading से टकराता है। वह भाग चुपचाप मान लेता है कि fixed fee zero है। इसे 20 GB पर गिरते हुए दिखाओ।
  • "a और b आज़माकर निकाले जाते हैं।" वे उन दो equations का हल हैं जो दोनों observations तुम्हारे लिए लिख देती हैं। कुछ भी अंदाज़े से नहीं होता।
  • "दोनों observations कोई भी दो हो सकती हैं।" उन्हें x की अलग-अलग values पर होना ही चाहिए। एक ही 10 GB के दो bills एक ही equation दो बार देते हैं, और कितना भी algebra a को b से अलग नहीं कर पाएगा।
  • "अगर numbers निकल आए, तो model सही था।" arithmetic हमेशा एक a और एक b दे ही देता है। relationship linear था भी या नहीं, इसकी जाँच तीसरी observation करती है। इसीलिए एक और point जाँचना मायने रखता है — और अगला topic graph के साथ यही करता है।
  • "b बड़ा number है, a छोटा।" item 2 में a = 60 और b = 200; item 1 में a = 25 और b = 150; item 3 में a एक से छोटा fraction है और b negative। आकार का कोई नियम नहीं है, सिर्फ़ भूमिका का।
  • "negative b का मतलब कुछ ग़लत हो गया है।" item 3 में वह सही है और अर्थ रखता है: 0 °F पर Celsius की reading zero से नीचे होती है।
  • "°C = a °F + b में a को 9/5 ही होना चाहिए, क्योंकि formula तो मुझे यही पता है।" exercise ने भूमिकाएँ उलटी तरफ़ बाँटी हैं, इसलिए a है 5/9। किसी याद किए हुए constant की ओर हाथ बढ़ाने से पहले पढ़ो कि equation किस quantity के लिए हल हो रही है।
  • "20 और 150 बस जवाब हैं।" वे price list हैं। p. 27 वाला Think and Reflect box इसी पढ़ाई को मजबूर करने के लिए है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 2.5 Q1, Exercise Set 2.5 Q2, Exercise Set 2.5 Q3, End-of-Chapter Exercises Q10, End-of-Chapter Exercises Q11

पूरा transcript1,593 शब्द

यहाँ 2 bills हैं, और जो price list उन्हें बनाती है वह कहीं लिखी हुई नहीं है। किसी ने एक महीने में 10 GB data इस्तेमाल किया, और bill आया 350। अगले महीने उसी ने 20 GB इस्तेमाल किया, और उसकी bill आई 550। अब सवाल यह है कि क्या ये 2 bills उस पूरी price list को वापस बनाने के लिए काफ़ी हैं? या इसके लिए और readings चाहिए?

पहले जवाब की शक्ल तय करो। जब 2 quantities के बीच linear relationship होता है, तब उसे लिखा जाता है y बराबर ax plus b। अब इसमें देखो कि अनजान क्या है। जो x और y हैं, वे तो तुम ख़ुद नापते हो, इसलिए वे अनजान नहीं हैं। अनजान सिर्फ़ a और b हैं। यानी ठीक 2 numbers पता नहीं हैं, और इस expression में और कुछ भी अनजान नहीं है।

और यही गिनती आगे का पूरा रास्ता तय कर देती है, क्योंकि 2 अनजान numbers को पकड़ने के लिए उनके बारे में 2 अलग-अलग बातें चाहिए। अब पहली observation को rule में डालो। यहाँ x की जगह 10 रखो और y की जगह 350, तो मिलता है 350 बराबर 10a plus b। यह a और b के बारे में सिर्फ़ 1 equation है। पर यह अकेली equation न a का नाम लेती है और न b का।

वह सिर्फ़ इतना बताती है कि दोनों मिलकर क्या करें। तो असली सवाल यह बनता है कि इस 1 equation के बाद कितने rules अब भी खड़े हुए हैं। इसे कहने के बजाय गिनकर देखो। यहाँ 64881 सम्भावित rules की एक lattice बनाई गई, जिसमें rate और fee आधे-आधे step से चलते हैं, और देखा गया कि उनमें से कितने पहली bill को मानते हैं। ऐसे rules निकले 71। उन 71 में से 3 ही बात समझाने के लिए काफ़ी हैं।

पहला, rate 20 और fee 150। दूसरा, rate 35 और कोई fee नहीं। और तीसरा, कोई rate नहीं और fee 350। तीनों 10 GB पर 350 ही देते हैं, और तीनों सचमुच अलग rules हैं। और यहीं सबसे स्वाभाविक शॉर्टकट टूटता है। अगर 350 में 10 का भाग दिया जाए तो rate निकलता है 35, जो इन्हीं 3 में से दूसरा है। और ऐसा करने का मतलब यह है कि fixed fee को चुपचाप zero मान लिया गया।

अब उन तीनों को 20 GB पर चलाओ। पहला देता है 550, दूसरा देता है 700, और तीसरा देता है 350। यानी 1 observation price list को 1 तक नहीं लाती, वह उसे सिर्फ़ एक family तक लाती है। और भाग वाला रास्ता यहीं पकड़ा जाता है। वह 20 GB पर 700 बताता है, जबकि असली bill 550 थी, यानी 150 की ग़लती। और 150 ठीक वही fixed fee है जिसे उस भाग ने zero मान लिया था।

अब दूसरी observation को भी अंदर डालो। अब x की जगह 20 और y की जगह 550 रखने पर मिलता है 550 बराबर 20a plus b। अब 2 unknowns हैं और 2 equations भी हैं। और उसी lattice पर अब सिर्फ़ 1 rule बचता है, जो दोनों bills को मानता है। जो family पहले 71 rules की थी, वह दूसरी observation आते ही सिमटकर 1 रह जाती है। यही वजह है कि 2 observations सही संख्या हैं, न कम और न ज़्यादा।

और यह कोई तरकीब नहीं है, यह सिर्फ़ गिनती है। अब इसे हाथ से हल करो। पहली equation लो और उसमें b को अलग करो, तो b बनता है 350 minus 10a। अब उसी b को दूसरी equation में रखो। तब दूसरी equation बनती है 550 बराबर 20a plus 350 minus 10a। अब a वाले हिस्से जुड़कर 10a बन जाते हैं, तो 550 बराबर 10a plus 350। इससे 10a निकलता है 200, और a निकलता है 20।

अब a को वापस ले जाओ। यानी b बराबर 350 minus 10a में a की जगह 20 रखो। यह बनता है 350 minus 200, यानी 150। तो पूरा relationship बनता है y बराबर 20x plus 150। और यह पहली बार है जब इस पूरे सवाल में दोनों numbers का नाम लिया गया है। अब उस सवाल पर आओ जो इस पूरे topic का असली सवाल है। ये जो 20 और 150 निकले हैं, वे किस चीज़ के numbers हैं?

यहाँ 20 का मतलब है हर 1 GB का charge। और जो 150 है, वह fixed monthly fee है, जो data इस्तेमाल होने से पहले ही लग जाती है। यानी x को zero रखो तो bill बचती है 150। यानी ये किसी पहेली के जवाब नहीं हैं, यही वह price list है जो तुम्हें कभी दिखाई नहीं गई थी। अब वही काम 1 line में। दूसरी equation में से पहली को घटाओ, तो b अपने आप चला जाता है, क्योंकि दोनों equations में ठीक 1-1 b है।

बचता है 200 बराबर 10a, यानी a सीधे 20। और जो 200 बटा 10 है, उसे ध्यान से देखो। ऊपर 550 और 350 का फ़र्क़ है, यानी bill का बदलाव। और नीचे 20 और 10 का फ़र्क़ है, यानी data का बदलाव। यानी यह एक बदलाव को दूसरे बदलाव से भाग देना है। और यह कोई नया विचार नहीं है। यहाँ y का बदलाव बटा x का बदलाव हमेशा coefficient ही निकलता है, और यह 12636 जोड़ियों पर जाँचा गया, बिना 1 भी असहमति के।

यह उसी constant gap का दूसरा नाम है। पहले वाले topic का tile pattern अगर x और y से लिखा जाए तो बनता है y बराबर 2x minus 1, जो देता है 1, 3, 5 और 7। उसका gap है 2, और उसका coefficient भी 2 है। यह एक ही number है, जो 2 बार सामने आया है। अब दोनों bills को वापस rule में डालकर जाँचो। यहाँ 20 गुणा 10 plus 150 है 350।

और 20 गुणा 20 plus 150 है 550। दोनों मिल गईं। और दोनों को डालना ज़रूरी है। वह rate 35 वाला rule भी पहली bill पर पास हो जाता है, और दूसरी पर गिर जाता है। जिस rule को उन्हीं में से 1 observation पर जाँचा गया हो, उसे असल में जाँचा ही नहीं गया। और यह सब किस काम आया, यह अब दिखता है। मान लो data 15 GB है, तो यह rule bill बताता है 450, और 15 उन दोनों numbers में से कोई नहीं है जो नापे गए थे।

दोनों bills सिर्फ़ अपने-अपने input के बारे में बोलती थीं, जबकि rule हर input के बारे में बोलता है। और a तथा b निकालने की मेहनत सिर्फ़ इसीलिए है कि वे सवाल हल हो सकें जो किसी ने नापे ही नहीं। अब देखो कि यह तरीक़ा कब नहीं चलता। दोनों observations को अलग-अलग x पर होना चाहिए। अगर 10 GB पर 350 की 2 readings ली जाएँ, तो वही equation 2 बार मिलती है।

और lattice पर वे 71 rules ज्यों के त्यों खड़े रह जाते हैं। और अगर 10 GB पर 2 readings आपस में लड़ जाएँ, जैसे 350 और 400, तो कुछ भी नहीं बचता। दोनों रास्ते जवाब देने से इनकार कर देते हैं, और यह arithmetic का गिरना नहीं है। यह उन 2 observations की कमी है, जिनमें जानकारी कभी 2 हिस्सों की थी ही नहीं। दूसरी नाकामी और भी ख़तरनाक है, क्योंकि यहाँ arithmetic कभी इनकार नहीं करती।

एक ऐसी machine लो जो अपने input का square लौटाती है। यानी input 10 पर वह देती है 100, और input 20 पर वह देती है 400। अब इन्हीं 2 readings को उसी तरीक़े को थमाओ, और वह बिना किसी शिकायत के एक rule लौटा देता है, 30x minus 200। और यह rule देखने में पूरी तरह ठीक लगता है। पर 201 inputs पर जाँचो तो यह rule उस machine से ठीक 2 जगह मिलता है, और वे वही 2 हैं जो नापी गई थीं।

और input 15 पर यह rule कहता है 250, जबकि machine कहती है 225। यानी numbers निकल आना कोई सबूत नहीं है। जो observation rule बनाने में शामिल ही नहीं थी, सिर्फ़ वही बता सकती है कि situation linear थी भी या नहीं। अब 3 और situations को उनके शब्दों से सीधे rule में बदलो। एक platform, जिसकी bill 10 modules पर 400 और 14 modules पर 500 थी, देता है rate 25 और fixed fee 150।

एक court, जिसकी bill 10 hours पर 800 और 15 hours पर 1100 थी, देता है rate 60 और fee 200। और ध्यान रहे कि इनमें से कोई भी 10 के step से नहीं चलता। पहले वाले में 4 का फ़र्क़ है और दूसरे में 5 का। जिसने सिर्फ़ ऊपर वाली bill देखी हो, वह 10 के फ़र्क़ की ओर हाथ बढ़ाएगा, और वहीं फिसलेगा। और अब वह situation जो सबसे ज़्यादा लोगों को पकड़ती है।

यहाँ Celsius को a गुणा Fahrenheit plus b की तरह लिखो। बर्फ़ 0 Celsius और 32 Fahrenheit पर पिघलती है, और पानी 100 Celsius और 212 Fahrenheit पर उबलता है। इन 2 जोड़ियों से a निकलता है 5 बटा 9, और b निकलता है minus 160 बटा 9। जो 9 बटा 5 तुम्हें याद है, वह इसी बात को उल्टा लिखने पर मिलता है, और ये दोनों coefficients गुणा करने पर 1 देते हैं।

और यहाँ b का negative होना कोई ग़लती नहीं है। जब Fahrenheit 0 हो, तब यह rule minus 160 बटा 9 लौटाता है, जो zero से नीचे है, और मौसम के बारे में यह बात सच है। तो आख़िर में 4 बातें याद रखो। पहली, जिस form को fit कर रहे हो उसके unknowns गिनो, और फिर अपनी observations गिनो। दूसरी, उन observations को अलग-अलग inputs पर रखो। तीसरी, आख़िर में दोनों को वापस rule में डालकर जाँचो।

और चौथी, 1 observation बचाकर रखो, क्योंकि सिर्फ़ वही बता सकती है कि situation linear थी भी या नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

The book

Open in a new tab