PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 8, Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and ProgressionsPrepShorts

Chapter 8 · Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions

AP के points एक सीधी line पर बैठते हैं

Arithmetic progressions13 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

13 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 9 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

एक tile पैटर्न के पहले 5 stage 1, 5, 9, 13 और 17 tile लेते हैं। इस बार हम इससे हिसाब नहीं लगाते — हम इसे देखते हैं। दोनों को 2 row की एक table में रख दीजिए, और हर column एक pair बन जाता है। यही असली चाल है: एक जगह, और उसके ठीक बगल में उसकी क़ीमत। बस तय यह करना बाक़ी है कि कौन सी संख्या आगे जाएगी और कौन सी ऊपर — और यह फ़ैसला छोटी बात नहीं है।

मुख्य idea

arithmetic progression के points एक सीधी line पर इसलिए गिरते हैं कि तय common difference का मतलब ही सीधापन है: दाईं ओर एक step, और हर बार वही चढ़ाई। algebra यही बात कहती है — a + (n − 1)d को फिर से जमाने पर dn + (a − d) बनता है, यानी n में degree एक का rule, इसलिए plot की गई जोड़ियाँ संरेख हुए बिना रह ही नहीं सकतीं, और जो तीखापन वे दिखाती हैं वह ख़ुद d है। पर तस्वीर एक चेतावनी भी साथ लाती है जिसे algebra छिपा देती है: कोई sequence सिर्फ़ पूर्ण positions पर होता है, इसलिए आप जो देख रहे हैं वह अलग-अलग बिंदुओं की एक क़तार है। उनके बीच से खींची गई line पढ़ने में मदद भर है, sequence नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी बढ़ते pattern से stage-और-value वाली table बनाइए और उससे क्रमित युग्म पढ़िए
  • किसी AP से आने वाली जोड़ियाँ plot कीजिए और बताइए कि plot क्या दिखाता है
  • समझाइए कि तय common difference points को संरेख होने पर मजबूर क्यों कर देता है
  • a + (n − 1)d को dn + (a − d) के रूप में फिर से जमाइए और तस्वीर में हर गुणांक पहचानिए
  • किसी plot किए गए AP से common difference को उसके तीखेपन की तरह पढ़िए
  • बताइए कि position शून्य पर की value का क्या मतलब है, और वह पहला term क्यों नहीं है
  • समझाइए कि किसी sequence का graph points का समुच्चय क्यों है, लगातार खिंची हुई line क्यों नहीं
  • किसी plot के आकार को इस जाँच की तरह इस्तेमाल कीजिए कि sequence AP है या नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
linear patternएक ही सीधी line पर बैठे, plot किए गए points के समुच्चय के लिए chapter का वाक्यांशरैखिक प्रतिरूपFig. 8.4, p. 182 के caption में छपा है
ordered pairतय क्रम में लिखी दो values — पहले position, फिर termक्रमित युग्म§8.4.1, p. 182 में छपा है
x-axisपड़ी हुई axis, जिस पर यहाँ stage या position number हैx-अक्षFig. 8.4, p. 182 में axis के नाम की तरह छपा है
y-axisखड़ी axis, जिस पर यहाँ term की value हैy-अक्षFig. 8.4, p. 182 में axis के नाम की तरह छपा है
straight lineवह आकार जिस पर किसी AP के points गिरते हैंसरल रेखा§8.4.1, p. 182 में छपा है
slopeआर-पार एक step पर कितनी चढ़ाई; किसी AP के लिए यह d के बराबर हैढालयहाँ जोड़ा गया शब्द, इस chapter में छपा नहीं; यह शब्द इसी किताब में पहले, Chapter 2 में ज़रूर आता है
collinearएक ही सीधी line पर होनासंरेखयहाँ जोड़ा गया शब्द, इस chapter में छपा नहीं; Chapter 8 यह दावा सादे शब्दों में करता है
discrete graphऐसा graph जो सिर्फ़ अलग-अलग बिंदुओं पर होता हैविविक्त आलेखयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में यह कोई छपा हुआ नाम नहीं है

हिंदी column में standard स्कूली गणितीय शब्दावली दी गई है। इस किताब का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा, इसलिए इसे उस संस्करण की हूबहू शब्दावली नहीं, बल्कि प्रचलित प्रयोग मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • “इस उदाहरण में points संयोग से एक क़तार में आ गए।” वे और कुछ हो ही नहीं सकते थे। बराबर पड़े steps के साथ बराबर चढ़ाइयाँ — सीधी line की परिभाषा यही है; तय common difference ही वह तय चढ़ाई है।
  • “graph एक line है।” वह पाँच बिंदु हैं। line इसलिए खींची गई है कि pattern दिख जाए और तीखापन पढ़ा जा सके। (2.5, 7) पर कुछ नहीं रहता, चाहे खींची गई line उसमें से गुज़रती हो।
  • “line खड़ी axis को पहले term पर काटती है।” 4n − 3 के लिए वह −3 पर काटती है, और पहला term 1 है। काटने की जगह a − d है, यानी sequence शुरू होने से एक step पहले।
  • “ज़्यादा तीखा यानी बड़े terms।” तीखापन d बताता है, यानी हर step की चढ़ाई। कोई progression ऊँचे से शुरू होकर धीरे चढ़ सकता है, कोई नीचे से शुरू होकर तेज़, और दोनों lines एक-दूसरे को काट जाती हैं।
  • “सीधा plot साबित कर देता है कि sequence AP है।” वह उन्हीं positions के लिए साबित करता है जो आपने plot कीं। पाँच संरेख बिंदु मज़बूत सबूत हैं, प्रमाण नहीं; प्रमाण तो तय-अंतर वाली जाँच है।
  • “plot सीधा नहीं है तो कोई rule ही नहीं है।” 1, 4, 9, 16 मुड़ता है और उसका rule n² है। मुड़ना AP को ख़ारिज करता है, rule को नहीं।
  • “position खड़ी axis पर भी जा सकती है, फ़र्क़ नहीं पड़ता।” उन्हें आपस में बदल दीजिए और तीखापन 1/d हो जाता है, और इस section की हर पढ़त बदल जाती है। chapter की परिपाटी — position आर-पार, value ऊपर — पहला बिंदु plot होने से पहले कह देनी होगी।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,994 शब्द

यही tile वाला पैटर्न फिर से। पिछली बार हमने इससे हिसाब लगाया था। इस बार हम इससे हिसाब नहीं लगाएँगे। इस बार हम इसे सिर्फ़ देखेंगे। नीचे इसके पहले 5 stage हैं। इन्हें गिन लीजिए — 1 tile, फिर 5, फिर 9, फिर 13, फिर 17। अब इन 2 चीज़ों को साथ लिखें कैसे? इन्हें 2 row में लिखिए। ऊपर वाली row में stage की जगह, नीचे वाली में tile की गिनती।

यह table ही असली चाल है। इसने हर जगह के ठीक बगल में उसकी क़ीमत रख दी। इसीलिए तस्वीर बनाने के लिए यही चाहिए — एक जगह, और उसके साथ एक क़ीमत। इस table का हर column 2 संख्याओं का एक pair है। 1 के साथ 1। 2 के साथ 5। और 3 के साथ 9। फिर 4 के साथ 13। और 5 के साथ 17। पर 2 संख्याओं का pair अभी point नहीं बना।

कौन सी संख्या आगे की तरफ़ जाएगी, और कौन सी ऊपर की तरफ़? इसे पहले तय कर लीजिए, कुछ भी खींचने से पहले। जगह आगे की तरफ़ जाएगी, और क़ीमत ऊपर की तरफ़। यही इस पूरे video का तरीक़ा है। ऊपर जो भी नापा जाएगा, इसी तय किए हुए तरीक़े से नापा जाएगा। लग सकता है कि इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। पर फ़र्क़ पड़ता है। अगर आप इन्हें उलट देंगे तो इस video की हर पढ़त बदल जाएगी।

यह फ़ैसला है, छोटी बात नहीं। नीचे 2 axis खींचिए। आगे वाला axis जगह के लिए, और ऊपर वाला axis क़ीमत के लिए, क्योंकि तरीक़ा हम तय कर चुके हैं। अब एक-एक करके इन्हें लगाइए — 1 और 1, फिर 2 और 5, फिर 3 और 9। इसके बाद 4 और 13। और आख़िर में 5 और 17। नीचे पाँचों निशान लग गए। और आँख यह बात किसी भी दलील से पहले कह देती है।

ये पाँचों एक ही सीधी line पर बैठे हैं। पर सवाल यह है कि क्या यह सिर्फ़ इत्तेफ़ाक़ है? इस एक पैटर्न के साथ ऐसा हो गया, या हमेशा ऐसा ही होगा? पहली नज़र में यह जाँचने लायक़ बात भी नहीं लगती। पर एक point से अगले तक चलिए — आगे 1 कदम, और फिर ऊपर की तरफ़ कितना चढ़ना पड़ा? ऊपर 4। अब अगला कदम लीजिए — आगे 1, ऊपर 4।

फिर वही, और फिर वही। पूरी सीढ़ी के हर कदम पर वही चढ़ाई निकलती है। नीचे चारों कदम एक जैसे हैं। और सीधा होने का मतलब ठीक यही है। बराबर कदम, और हर कदम पर बराबर चढ़ाई। common difference का एक ही रहना ही वह बराबर चढ़ाई है। इसीलिए ये point एक line पर आने से बच ही नहीं सकते। यह इत्तेफ़ाक़ नहीं था। पर क्या दलील मान लेना काफ़ी है?

नहीं — नीचे हर pair के बीच की चढ़ाई नापिए — सिर्फ़ पड़ोसी point के बीच नहीं, हर pair के बीच। ऊपर 5 point के कुल 10 जोड़े बनते हैं। और दसों में यही चढ़ाई निकलती है — 4। एक भी ऐसा जोड़ा नहीं जो अलग कुछ कहे। तो जिस line पर ये बैठे हैं, उसकी slope 4 है, और वह ऊपर वाले axis को ऋणात्मक 3 पर काटती है।

ये दोनों संख्याएँ point में से नापी गई हैं, नियम में से नहीं ली गईं। आप सोच रहे होंगे कि तस्वीर और हिसाब 2 अलग बातें हैं। तो क्या हिसाब भी यही कहता है? ऊपर अपना पुराना नियम देखिए। bracket खोलिए। a जमा dn घटा d। अब इसे इकट्ठा कीजिए। dn जमा, a घटा d। यानी n के साथ एक गुणक, और उसके बाद एक constant। और यह n में degree 1 का नियम है।

degree 1 का मतलब ही सीधी line होता है। इसीलिए point का सीधे में आना तय था। tile वाले पैटर्न पर यह 4n घटा 3 बनता है। नीचे देखिए — इसका 4 वही slope है, और इसका ऋणात्मक 3 वही crossing। तस्वीर में जो नापा था, हिसाब वही दे रहा है। पहली नज़र में एक case काफ़ी लगता है। क्या सचमुच काफ़ी है? नहीं — इसीलिए नीचे इसे 42 अलग progression पर जाँचा गया, पहले पद और common difference दोनों ऋणात्मक भी, भिन्न भी, और शून्य भी।

हर एक पर 8 जगहें आज़माई गईं। यानी कुल 336 case। ऊपर देखिए — 336 के 336 पर दोनों रूप एक ही जवाब देते हैं। और चलकर पहुँचने वाला रास्ता भी इन्हीं 336 पर वही पद देता है। तीनों रास्ते एक ही जगह पहुँचते हैं। अब उल्टा कीजिए। क्या d को सीधे तस्वीर में देखा जा सकता है? नियम में से मत निकालिए — तस्वीर में से नाप लीजिए। line पर एक कदम खींचिए।

पहले आगे की तरफ़ 1, फिर सीधे ऊपर। जितना ऊपर चढ़े — बस यही slope है। और 42 के 42 plot पर जो slope नापी गई, वही उस progression का common difference निकला। तो इसे सीधे कह देना चाहिए कि slope ही common difference है। इसीलिए d को नापने के लिए नियम की ज़रूरत ही नहीं रहती। पर क्या तस्वीर को जगह 1 से ही शुरू होना चाहिए? नहीं — नीचे इस बार सिर्फ़ 3, 5 और 7 जगहें लगाइए — 9, 17 और 25 पर।

ऊपर इन 3 point में से जो line नापी जाती है, वह बिलकुल वही line है। न slope बदली, न crossing। अब इससे जगह 1 पूछिए। जवाब 1 आता है — वही पहला पद, जबकि जगह 1 पर कोई निशान लगाया ही नहीं गया था। और सिर्फ़ जगह 1 नहीं। पूरी शुरुआती सूची इसी से वापस निकल आती है, जिसका एक भी point खींचा नहीं गया था। इसका मतलब यह है कि तस्वीर पूरी सूची को पकड़े हुए है, चाहे उस पर कितने ही point लगे हों।

अब crossing की बात। पहली नज़र में लग सकता है कि line ऊपर वाले axis को पहले पद पर ही काटती होगी। आख़िर सूची तो वहीं से शुरू होती है, तो क्या crossing पहला पद ही है? पर ऐसा नहीं है। tile वाली line ऋणात्मक 3 पर काटती है, और पहला पद 1 है। ये 2 अलग संख्याएँ हैं। crossing असल में a घटा d है। यानी सूची शुरू होने से ठीक 1 चाल पहले वाली जगह।

इसीलिए वह पहले पद से एक common difference नीचे बैठती है। और यह सिर्फ़ इस एक पर नहीं। 42 के 42 progression पर crossing a घटा d ही निकलती है। हाँ, 42 में से 7 पर crossing सचमुच पहले पद के बराबर निकलती है। पर वे वही हैं जिनकी चाल कुछ है ही नहीं। आप सोच सकते हैं कि जगह 0 पर भी कोई पद होगा। अब नीचे वाली line से यही जगह पूछिए, और वह जवाब देती है — ऋणात्मक 3।

पर सूची में उस जगह पर क्या है? अब यही सवाल सूची से पूछिए। वहाँ कुछ है ही नहीं। पैटर्न में कोई stage 0 नहीं होता। यही असली फ़र्क़ है। खींची गई line हर जगह जवाब देती है। सूची सिर्फ़ गिनती वाली जगहों पर जवाब देती है। एक और जगह पूछिए — नीचे line से जगह 2 दशमलव 5 माँगिए। क्या वह मना करेगी? नहीं, वह कहती है 7। और यह कोई ग़लत जवाब नहीं है।

वह point सचमुच उसी line पर है। पर सूची से वही जगह माँगिए तो वह मना कर देती है। पैटर्न में ढाई वाला stage होता ही नहीं। और यह कोई इक्का-दुक्का बात नहीं। ऊपर देखिए — ऋणात्मक 5 से 0 के बीच line 6 जगहों पर पूरी संख्या लौटाती है। चौकोर ख़ानों वाले कागज़ पर ये छहों बिलकुल पद जैसे दिखते हैं। और सूची छहों को मना कर देती है।

इसीलिए किसी सूची का graph अलग-अलग dot का एक समूह है। बीच की line सिर्फ़ पढ़ने का सहारा है, सूची का हिस्सा नहीं। लग सकता है कि plot खींचे बिना उसके बारे में कुछ कहा ही नहीं जा सकता। तो खींचने से पहले बताइए — सूची 2, 5, 8, 11 का plot कैसा दिखेगा? इसका फ़ासला हर बार 3 है, तो slope 3 होगी और crossing ऋणात्मक 1। और नियम 3n घटा 1।

अब plot खींचिए — ठीक वही निकलता है। दूसरी सूची ऋणात्मक 5, ऋणात्मक 1, 3, 7। इसका फ़ासला 4, तो slope 4, crossing ऋणात्मक 9, और नियम 4n घटा 9। अब दोनों को एक साथ देखिए। नीचे वाली line ज़्यादा तेज़ चढ़ रही है। और फिर भी वह पूरे खींचे हुए हिस्से में ऊपर वाली से नीचे ही रहती है। इसीलिए यह सोच ग़लत है कि ज़्यादा तेज़ चढ़ने वाली सूची के पद बड़े होंगे।

slope बताती है कि हर कदम पर कितना चढ़ा, यह नहीं कि कहाँ पहुँचा। इसे और आगे ले चलते हैं। नीचे 2 progression हैं। एक 50 से शुरू होकर हर बार 1 चढ़ती है। और दूसरी 2 से शुरू होकर हर बार 5। दूसरी पहली से 5 गुना तेज़ चढ़ती है। और फिर भी जगह 5 पर वह बहुत पीछे है — 54 के मुक़ाबले 22। तो वे मिलती कहाँ हैं?

जगह 13 पर। और वहाँ दोनों की क़ीमत एक ही है — 62। उससे पहले की 12 जगहों पर धीरे चढ़ने वाली ही आगे है, बारहों की बारहों पर। और उसके बाद खींची गई 7 जगहों पर तेज़ चढ़ने वाली आगे है, सातों की सातों पर। इसीलिए सही बात यह है कि ज़्यादा slope का मतलब देर-सवेर बड़ा होना है। अभी बड़ा होना नहीं। अब शुरू वाले फ़ैसले पर लौटिए।

पहली नज़र में axis उलटने से कुछ बिगड़ता नहीं दिखता। नीचे उसे उलट कर देखिए। उलटने के बाद slope क्या निकलती है? 1 बटा 4। और यह common difference नहीं है। यानी उलटते ही तस्वीर की हर पढ़त बदल जाती है। इसीलिए वह फ़ैसला छोटी बात नहीं थी। एक और case देखिए। एक progression जो कभी हिलती ही नहीं, हर पद 7। इसका plot एक सपाट line है। और इसकी crossing इसका पहला पद ही है — 7।

क्योंकि a घटा d तब a ही होता है जब d कुछ है ही नहीं। यही वे 7 case थे। और इस सपाट plot को उलट दीजिए तो कोई slope बताई ही नहीं जा सकती। तस्वीर मना कर देती है। अब आख़िरी सवाल। अगर plot सीधा न निकलता, तो वह आपको क्या बता रहा होता? नीचे वर्ग संख्याएँ हैं — 1, 4, 9, 16, 25। इनके फ़ासले देखिए: 3, फिर 5, फिर 7, फिर 9।

एक ही संख्या नहीं। इसीलिए इनका plot मुड़ जाता है। और इनमें से कोई line निकाली ही नहीं जा सकती। तस्वीर मना कर देती है। पर यहाँ सावधान। मुड़ना यह नहीं कहता कि इनका कोई नियम नहीं। n गुणा n इन पाँचों को वापस दे देता है। मुड़ना सिर्फ़ arithmetic progression होने से मना करता है, नियम होने से नहीं। और दुगुनी होती सूची 3, 6, 12, 24, 48 तो और भी ज़्यादा मुड़ती है।

तो plot की शक्ल अपने आप में एक जाँच है। सीधा हो तो arithmetic progression हो सकती है, मुड़ा हो तो नहीं। आप सोच रहे होंगे कि सीधे में बैठे 5 point सबूत हैं। तो क्या वे सबूत हैं? अभी जो जाँच बनाई है, उसकी एक सीमा भी है, और उसे छुपाना नहीं चाहिए। यहाँ एक ऐसी सूची है जिसके पहले 5 point ठीक tile वाली line पर बैठते हैं।

वही 5 point, वही line। तस्वीर में कोई फ़र्क़ दिखता ही नहीं। अब इसका छठा पद देखिए। वह 141 है। और उसी जगह पर line कहती है 21। तो छठा point line से बाहर है। और छहों को एक साथ लीजिए तो इनमें से कोई line निकलती ही नहीं। इसीलिए सीधे में बैठे 5 dot सिर्फ़ उन्हीं जगहों के लिए गवाही देते हैं जहाँ निशान लगाया गया था। वे सबूत नहीं हैं।

सबूत वही पुरानी जाँच है — फ़ासला हर बार वही हो। तस्वीर उसे देखने का तरीक़ा है, उसकी जगह नहीं। तो आख़िर में यह तस्वीर हमें देती क्या है? नीचे चालीसवें पद तक चलकर पहुँचिए, तो 39 जोड़ लगते हैं। और ऊपर line से वही जगह पूछिए तो वह एक ही नज़र में बता देती है — 157। और चलकर पहुँचने पर भी वही 157 मिलता है। जवाब वही, मेहनत अलग।

और पूरी बात एक वाक्य में यही है। common difference का एक ही रहना एक ही चढ़ाई का होना है, और एक ही चढ़ाई का होना ही सीधा होना है। बाक़ी सब इसी से निकलता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab