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Chapter 2 · Introduction to Linear Polynomials

linear growth और linear decay

Linear patterns and linear models12 मिनट

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linear growth और linear decay 2 अलग topics नहीं हैं। वे एक ही rule के 2 signs हैं, और जो sign दिशा तय करता है वह coefficient पर बैठा है, शुरुआती amount पर नहीं।

मुख्य idea

growth और decay दो topics नहीं हैं। वे एक ही rule के दो signs हैं, और chapter के दोनों examples इसी को दिखाने के लिए बने हैं: C(d) = 100 + 60d और h(t) = 3 – 0.5t का ढाँचा एक ही है — पहले एक शुरुआती amount, फिर एक coefficient जो input से गुणा होता है — और उनके बीच अकेला structural फ़र्क़ वह sign है जो coefficient पर बैठा है। उनके शुरुआती amounts भी अलग हैं, 100 बनाम 3, और units भी; जो अलग नहीं है वह ढाँचा है, और growth को decay में बदलने वाला अकेला sign है। ध्यान असल में decay के आगे लगे शब्द linear का हक़ है — जो राशि हर महीने आधी होती जाए वह भी घटती है, और उसका इससे कोई मेल नहीं। linear decay हर interval पर वही absolute amount हटाता है, और इससे एक नतीजा मजबूरन निकलता है, जिसमें chapter का अपना exercise set सीधे जा घुसता है: linear ढंग से घटती हुई राशि को किसी हिसाब लगाने लायक़ पल पर शून्य पर पहुँचना ही है, और उस पल के बाद rule ऐसे numbers बनाता रहता है जो situation दे ही नहीं सकती।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी दिए हुए linear rule के लिए, बताए हुए inputs की range पर values की table बनाना
  • किसी table या rule से यह तय करना कि राशि linear ढंग से बढ़ रही है या घट रही है
  • coefficient को हर interval पर मिलने या खोने वाली मात्रा के रूप में पहचानना, और constant को उस value के रूप में जो प्रक्रिया शुरू होने से पहले है
  • किसी बताई हुई situation का rule उसकी शुरुआती value और हर interval के बदलाव से लिखना, सही sign के साथ
  • जिस interval पर rate बताई गई है उसका नाम लेना, और यह समझाना कि उसके बिना rate का कोई मतलब नहीं
  • rule को शून्य के बराबर रखकर हल करते हुए यह निकालना कि linear ढंग से घटती राशि कब 0 पर पहुँचती है
  • linear decay और उस गिरावट में फ़र्क़ करना जो fixed नहीं बल्कि proportional है
  • एक variable वाले function के लिए chapter की bracket notation पढ़ना और इस्तेमाल करना

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में definitionहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
linear growthvalues की वह लड़ी जो हर interval पर एक fixed amount पाती हैरैखिक वृद्धिpp. 24 और 25 पर छपा
linear decayvalues की वह लड़ी जो हर interval पर एक fixed amount खोती हैरैखिक क्षयp. 25 पर छपा
linear functiondegree 1 का वह rule जो हर input को एक output देता हैरैखिक फलनpp. 21 और 24 पर छपा
linear expressiondegree 1 का expression, यहाँ किसी बदलती राशि का model बनाने के लिएरैखिक व्यंजकpp. 23 और 24 पर छपा
linear patternvalues की वह लड़ी जिसमें लगातार entries के बीच fixed gap होरैखिक पैटर्नpp. 20, 23 और 25 पर छपा
intervalinput में वह fixed step जिस पर बदलाव बताया जाता है — एक kilometre, एक महीना, एक साल, एक दिनअंतरालp. 25 पर definitions में छपा
depreciateसमय के साथ value खोना, वही शब्द जो chapter phone के लिए इस्तेमाल करता हैमूल्यह्रास होनाp. 25 पर Exercise Set 2.4 में छपा
initial valueप्रक्रिया शुरू होने से पहले मौजूद amount, rule का constant termप्रारंभिक मान§2.4 में जगह-जगह बताया गया पर नाम नहीं दिया; "initial population" p. 25 पर आता है
proportional declinefixed amount के बजाय fixed fraction से गिरना, यहाँ सिर्फ़ उलट मिसाल के तौर परअनुपाती ह्रासयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
exhaustion pointवह input जिस पर घटती हुई राशि शून्य पर पहुँच जाती हैसमापन बिंदुयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा, हालाँकि Exercise Set 2.4 का item 4 यही value पूछता है

standard हिंदी शब्दावली; मैंने कक्षा 9 के लिए Ganita Manjari का हिंदी edition नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "decay का मतलब है percentage से घटना।" इस chapter में इसका मतलब है हर interval पर वही absolute amount खोना। हर साल ₹800 खोने वाले phone को हर साल दसवाँ हिस्सा खोने वाले phone के बगल में दिखाओ; दूसरे step से आगे उनके gaps अलग हो जाते हैं।
  • "अकेली rate ही बदलाव बता देती है।" "60 से बढ़ता है" तब तक कोई दावा नहीं है जब तक interval का नाम न लिया जाए। हर kilometre पर, हर महीने, हर साल, हर दिन — chapter §2.4 में चारों जानबूझकर इस्तेमाल करता है।
  • "constant term growth का हिस्सा है।" वह तो पहले से मौजूद amount है, कुछ भी होने से पहले। input को शून्य रखने पर वह अलग हो जाता है, और Example 9 की table में वह पहली entry है।
  • "growth के लिए positive constant चाहिए और decay के लिए negative।" जो sign growth और decay का फ़ैसला करता है वह coefficient पर बैठा है, constant पर नहीं। tank में constant 3 है और coefficient –0.5।
  • "घटता हुआ model हमेशा चलता रहता है।" 3 – 0.5t सात महीनों के बाद से negative ऊँचाई लौटाता है। rule ठीक है; situation उससे मेल खाना बंद कर देती है। शून्य निकालो और उस पर निशान लगाओ।
  • "tank वाले example का step 0.5 इसलिए है क्योंकि coefficient 0.5 है।" वे यहाँ सिर्फ़ इसलिए मिलते हैं क्योंकि input एक महीने के step से चलता है। §2.2 वाले square पर लौटकर देखो, जहाँ 4 के coefficient और 0.5 के step ने 2 का step बनाया था।
  • "1 से शुरू होने वाली table शुरुआती value दिखाती है।" item 4 की table day 1 से शुरू होती है और ₹585 दिखाती है, ₹600 का recharge नहीं। शुरुआती value rule में से पढ़नी पड़ती है।
  • "C(d) का मतलब है C गुणा d।" वह तो distance d पर cost वाले rule की value है। chapter में यह पहली जगह है जहाँ brackets इस तरह इस्तेमाल हुए हैं, और इसे मान लेने के बजाय नाम देना बेहतर है।
  • "population linear ढंग से बढ़ती है।" item 3 सिर्फ़ migration गिनता है, और वह भी सिर्फ़ एक बताई हुई मान्यता के तहत। यह कह दो।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 2.4 Q1, Exercise Set 2.4 Q2, Exercise Set 2.4 Q3, Exercise Set 2.4 Q4, End-of-Chapter Exercises Q5, End-of-Chapter Exercises Q8

पूरा transcript1,843 शब्द

यहाँ 2 situations हैं, जो पहली नज़र में एक-दूसरे से कोई रिश्ता नहीं रखतीं। एक ride है, जिसका cost चलने से पहले ही 100 है, और उसके बाद हर kilometre पर 60 और जुड़ता जाता है। और एक tank है, जो गर्मी की शुरुआत में 3 metre गहरा भरा है, और हर महीने आधा metre गहराई खोता जाता है। यानी एक ऊपर चढ़ता है, और दूसरा नीचे उतरता है। अब दोनों को rule की तरह लिखो।

पहला बनता है 100 plus 60d, और दूसरा बनता है 3 minus 0.5t। दोनों में पहले एक शुरुआती amount है, और उसके बाद एक coefficient, जो input से गुणा होता है। यानी यह एक ही ढाँचा है, जो 2 बार आया है, और आगे का पूरा topic इसी बात पर टिका हुआ है। पहले cost वाले rule को बिना किसी table के पढ़ो। उसमें d को zero रखो, तो cost बचता है सिर्फ़ 100।

इसका मतलब यह 100 चलने से पहले ही लग जाता है। और जो 60 है, वह ठीक 1 kilometre की क़ीमत है। और इसे धीमे तरीक़े से भी जाँच लो। पहले opening charge लगाओ, और फिर हर पूरे kilometre पर 60 जोड़ते जाओ। यह तरीक़ा 100 plus 60d से हर बार मेल खाता है, और यह 40 अलग-अलग inputs पर जाँचा गया है। तो यह rule कोई अंदाज़ा नहीं है, वह इसी जोड़ने का छोटा रूप है।

अब उसी rule से एक table बनाओ। जब distance 0 से 5 तक चलती है, तो costs निकलते हैं 100, 160, 220, 280, 340 और 400। इन numbers को मत देखो, इनके बीच की जगह को देखो। यहाँ हर gap 60 का है, और यही वह जगह है जहाँ coefficient data में दिखाई देता है। अब इसी table को 10 kilometre तक ले जाओ। आगे के entries बनते हैं 460, 520, 580, 640 और 700।

और यहाँ भी दसों gaps 60 के ही रहते हैं। यानी table लंबा होने से rule बदलता नहीं है, वह सिर्फ़ और साफ़ दिखने लगता है। अब एक ऐसी notation पर आओ, जो इस topic में पहली बार आती है। जब cost के rule को C कहा जाए और उसके brackets के अंदर d रख दिया जाए, तो उसका मतलब C गुणा d नहीं होता। उसका मतलब है, d distance पर उस rule की value।

यानी bracket के बाहर rule का नाम लिखा होता है, और bracket के अंदर उसका input। इसी से पढ़ना आसान हो जाता है। अगर brackets में 15 रखा जाए, तो उसका मतलब है 15 kilometre का cost। और brackets में zero रखने का मतलब है, चलने से पहले का cost, यानी वही 100। तो brackets यहाँ गुणा नहीं कर रहे, वे बता रहे हैं कि rule को कौन सा input खिलाया गया है।

अब वही ढाँचा लो और सिर्फ़ sign बदल दो। यहाँ tank वाला rule है 3 minus 0.5t। इसमें महीने 0 से 4 तक चलते हैं, और गहराई निकलती है 3, 2.5, 2, 1.5 और 1 metre। और यहाँ हर gap है minus आधा। और इसे भी धीमे तरीक़े से जाँचो। शुरुआत 3 metre से करो, और फिर हर महीने आधा metre घटाते जाओ। यह 3 minus 0.5t से हर बार मेल खाता है, और यह भी 40 inputs पर जाँचा गया है।

और पाँचवें महीने पर गहराई बचती है आधा metre। अब दोनों rules को आमने-सामने रखो, part के ऊपर part। इनमें सिर्फ़ 3 चीज़ें अलग हैं। पहली, constants अलग हैं, 100 और 3। दूसरी, coefficients के size अलग हैं, 60 और आधा। और तीसरी, signs अलग हैं, एक positive और एक negative। और इन तीनों में से सिर्फ़ 1 फ़र्क़ चढ़ाई को उतार में बदलता है, और वह sign है। जब input को zero रखा जाए, तो दोनों में constant अलग होकर सामने आ जाता है, यानी 100 और 3।

यहाँ constants का अलग होना दोनों की दिशा नहीं बदलता, और coefficients के size का अलग होना भी नहीं। दिशा सिर्फ़ sign तय करता है। अब tank वाली table में एक जाल छिपा है। वहाँ गहराई आधा metre गिरती है, और coefficient भी आधा है, तो लगता है कि ये दोनों एक ही बात हैं। पर ये सिर्फ़ इसलिए मेल खा रहे हैं क्योंकि महीना 1-1 करके बढ़ रहा है।

अब महीने को 2 के step से बढ़ाओ, तो tank पूरा 1 metre गिरता है। और 3 के step से बढ़ाओ, तो वह 1.5 metre गिरता है। यानी बदलाव coefficient नहीं है, बदलाव coefficient गुणा तुम्हारा चुना हुआ step है। इसीलिए 3 kilometre चलने पर cost 60 नहीं, 180 बढ़ता है। अब 2 परिभाषाएँ सामने रखो। जो linear pattern हर बराबर interval पर उतना ही amount कमाता है, उसे linear growth कहते हैं।

और जो हर बराबर interval पर उतना ही amount खोता है, उसे linear decay कहते हैं। और अब एक सवाल पूछो। अगर बराबर interval वाली शर्त हटा दी जाए, तो क्या कोई ऐसी चीज़ भी अंदर आ जाएगी जो बिल्कुल linear नहीं है? और ऐसी चीज़ सचमुच मिलती है। किसी number का square लो, और inputs 1, 5 और 7 पर देखो। तब squares निकलते हैं 1, 25 और 49, और दोनों बढ़तें ठीक 24 की हैं, बिल्कुल बराबर।

पर inputs बराबर नहीं चले, वे पहले 4 के step से बढ़े और फिर 2 के। और 30 से नीचे ऐसी 6 runs मिलती हैं, जिनमें यह सबसे छोटी है। और बराबर steps पर squaring यह कभी नहीं करता। यहाँ 17 अलग-अलग शुरुआती points पर, और 1, 2 और 3 के steps पर देखा गया, और एक भी run ऐसी नहीं निकली जिसकी बढ़तें बराबर हों। इसलिए वह वाक्यांश परिभाषा को कमज़ोर नहीं करता, वह उसे बचाता है।

अब एक आम ग़लतफ़हमी को सीधे तोड़ो। लोग सोचते हैं कि growth के लिए शुरुआती amount positive चाहिए, और decay के लिए negative। इसे जाँचने के लिए 6 शुरुआती amounts और 6 coefficients से 36 rules बनाए गए। और हर एक बार दिशा coefficient के sign के साथ चली। और उन 36 में से 6 rules ऐसे हैं जो zero से नीचे शुरू होकर भी ऊपर चढ़ते हैं। और 9 ऐसे हैं जो zero से ऊपर शुरू होकर भी नीचे गिरते हैं।

हमारा tank उन्हीं 9 में से एक है, क्योंकि उसका शुरुआती amount 3 है और फिर भी वह गिरता है। और जिस rule में coefficient है ही नहीं, वह न चढ़ता है न गिरता है, वह बस खड़ा रहता है। अब एक ऐसी गिरावट देखो जो linear नहीं है। एक तरफ़ 10000 है, जो हर साल 800 खोता है। और दूसरी तरफ़ 10000 है, जो हर साल अपनी value का दसवाँ हिस्सा खोता है।

पहला देता है 10000, 9200, 8400 और 7600। और दूसरा देता है 10000, 9000, 8100 और 7290। दोनों गिर रहे हैं, पर बराबर gaps सिर्फ़ पहले वाले के हैं। दूसरे में gaps सिकुड़ते जाते हैं, पहले 1000, फिर 900, और फिर 810। और दोनों पहले ही step पर अलग हो जाते हैं, बाद में नहीं, क्योंकि 10000 का दसवाँ हिस्सा 1000 होता है, जो 800 से ज़्यादा है। इसलिए दसवें हिस्से वाला 5 साल तक नीचे रहता है।

और छठे साल में वही ऊपर निकल आता है, क्योंकि उनमें से एक धीमा पड़ता जा रहा है और दूसरा नहीं। वहाँ flat वाला 5200 पर खड़ा है, और दूसरा उससे ऊपर। और सबसे बड़ा फ़र्क़ आख़िर में दिखता है। यहाँ flat गिरावट 12.5 साल पर zero छू लेती है, और वह पूरे सालों में नहीं आता। पर दसवें हिस्से वाला 200 साल बाद भी zero से ऊपर है, और 1000 साल बाद भी।

यानी किसी नियत जगह पर ख़त्म हो जाना linear decay की पहचान है, हर गिरावट की नहीं। अब वह सवाल पूछो जो tank ख़ुद बुला रहा है। अगर हर महीने आधा metre जा रहा है, तो कौन से महीने पर tank का पानी ख़त्म हो जाएगा? इसे हल करने के लिए 3 minus 0.5t को zero के बराबर रखो। इससे 0.5t बनता है 3, और t निकलता है 6। और rule वहाँ सहमत भी है, क्योंकि छठे महीने पर वह गहराई zero ही लौटाता है।

अब उससे 1 महीना और आगे बढ़ो। सातवें महीने पर वही rule minus आधा लौटाता है। और आठवें महीने पर वह minus 1 metre लौटाता है। और कोई tank minus 1 metre गहरा नहीं होता। पर rule टूटा नहीं है, और यही सबसे दिलचस्प बात है। उसके gaps zero के बाद भी वही minus आधा बने रहते हैं, वह कहीं लड़खड़ाता नहीं। और जिन महीनों पर वह ऐसी गहराई देता है जो सच में हो सकती है, वे 0 से 6 तक हैं, और वे कुल 7 हैं।

तो जो चीज़ 6 महीने पर ख़त्म होती है, वह rule नहीं है। वहाँ rule और situation के बीच की सहमति ख़त्म होती है। और यह बात rule ख़ुद तुम्हें कभी नहीं बताएगा, यह सवाल हर बार तुम्हें ही बाहर से पूछना पड़ेगा। अब एक और जगह देखो जहाँ शुरुआती amount छिप जाता है। कोई recharge 600 का है, और हर दिन उसमें से 15 कम होते हैं, यानी rule बना 600 minus 15x।

अब उसकी table पहले दिन से शुरू करो, तो पहला entry बनता है 585। और यह 585 recharge नहीं है। असली recharge तो 600 है, और वह सिर्फ़ तब दिखता है जब x को zero रखा जाए। उधर cost वाली table का पहला entry उसका opening charge 100 था, और tank वाली table का पहला entry उसकी शुरुआती गहराई 3 थी। तो यह बात इस पर टिकी है कि गिनती कहाँ से शुरू हुई, rules पर नहीं।

अब rules को उल्टी तरफ़ भी चलाओ। अगर 15 kilometre का cost चाहिए, तो 60 गुणा 15 में 100 जोड़ो, और वह बनता है 1000। और अगर cost 700 दिया हो, तो पहले उसमें से opening वाला 100 हटाओ, और बचे हुए को 60 में बाँटो, जिससे मिलते हैं 10 kilometre। और उल्टा जवाब सीधा चलाकर जाँचा जा सकता है, क्योंकि 10 kilometre का cost 700 ही है। अब 4 situations को उनके शब्दों से सीधे rule में बदलो।

एक plant जो 1.75 feet ऊँचा है और हर महीने आधा foot बढ़ता है, उसका rule बनता है 1.75 plus 0.5t, और 7 महीने बाद वह 5.25 feet का हो जाता है। एक phone जो 10000 का है और हर साल 800 खोता है, उसका rule बनता है 10000 minus 800t, और 3 साल बाद उसकी value 7600 है। और उसका zero 12.5 साल पर आता है, जो 8 साल की table के बाहर पड़ता है।

एक गाँव जिसमें 750 लोग हैं और हर साल 50 और आते हैं, उसका rule बनता है 750 plus 50t, और 6 साल बाद वहाँ 1050 लोग होंगे। और वही recharge वाला rule 600 minus 15x दिन 40 पर ख़त्म हो जाता है। पर गाँव वाला rule सिर्फ़ आने वालों को गिनता है, और असली आबादी में जन्म, मृत्यु और जाने वाले भी होते हैं, इसलिए वह एक शर्त के साथ बना हुआ model है।

तो growth और decay 2 अलग topics नहीं हैं, वे एक ही rule के 2 signs हैं। इसलिए किसी भी ऐसे rule से 3 चीज़ें पूछो। पहली, कुछ भी होने से पहले वहाँ क्या मौजूद है। दूसरी, हर interval पर कितना बदलता है, और वह interval है क्या। और तीसरी, यह rule अपनी situation का बयान कहाँ तक करता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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