दीर्घ और लघु चाप, और किसी चाप का केंद्रीय कोण circle पर अंतरित कोण का दोगुना क्यों है (Theorem 9)

0:00board पर एक circle है, और उस पर 2 points रखे हैं — A और B। A से B तक circle के ऊपर ऊपर चलिए, छोटे रास्ते से। चलते हुए circle का जो हिस्सा पीछे छूटता गया, वही एक arc है — points का एक लगातार टुकड़ा, बीच में कहीं टूटा हुआ नहीं। देखिए, अब वापस A पर जाकर दूसरी तरफ़ से चलते हैं। रास्ता लंबा है, पर पहुँचते वहीं B पर हैं, और यह भी उतना ही पूरा arc है जितना पहला।

0:29तो एक ही 2 points ने कितने arcs बनाए? 2 बनाए, 1 नहीं। इस video का काम यही है — इन 2 को अलग अलग पहचानना, और फिर दिखाना कि हर arc अपने साथ अपना एक number लेकर चलता है, जो उसे दूसरे से अलग कर देता है। इन 2 arcs को नाम कैसे दें? A B लिख देना सबसे आसान है, पर ये 2 letters दोनों रास्तों पर एक जैसे बैठते हैं।

0:55पहली नज़र में लगता है कि A B कह देना काफ़ी है, क्योंकि ends तो दोनों के वही हैं। काफ़ी इसलिए नहीं है क्योंकि नाम में सिर्फ़ ends आए हैं, और फ़र्क़ तो रास्ते का है। A B के बारे में कोई भी बात कहिए, और सुनने वाला पूछ सकता है कि किस वाले के बारे में। इसलिए बीच में से एक और point उठाइए — उसी रास्ते पर से जिसकी बात है।

1:17देखिए, यहाँ C छोटे वाले पर है और D लंबे वाले पर। ऊपर लिखा नाम अब 3 letters का है — A C B और A D B — और ये 2 अलग नाम हैं। sample पर ends के 231 जोड़े बनते हैं। इनमें कितनों पर दोनों arcs के अंदर एक ही points आए? एक भी नहीं, गिनती 0 रही — यानी हर जोड़ी पर नाम देने को सचमुच 2 अलग चीज़ें हैं।

1:44तुम्हें लगता है कि बड़े वाले को major कह देना काफ़ी है। यह तब तक चलता है जब तक दोनों देखने में अलग हों। ज़्यादातर तस्वीरों में होते भी हैं, और इसीलिए यह नियम सही लगने लगता है। अब ends को आमने सामने ले जाइए, circle के आर पार। देखिए, दोनों रास्ते बराबर हो गए। उन 231 जोड़ों में ऐसे कितने निकले, जहाँ दोनों arcs बराबर points रखते हैं? ऐसे 11 जोड़े मिले।

2:10इन 11 पर बड़ा वाला कोई नाम ही नहीं है, क्योंकि बड़ा कोई है ही नहीं। दोनों बराबर हैं, और नियम चुपचाप बैठ जाता है। यहाँ नाम की ज़रूरत सबसे ज़्यादा है और देखने से कुछ तय नहीं होता। तो नाप कुछ और होनी चाहिए। board पर centre से एक radius खींचिए, A तक। इसे एक घूमने वाली सुई की तरह सोचिए, जिसका एक सिरा centre पर टिका हुआ है।

2:36अब उसे circle के साथ साथ घुमाइए, उसी रास्ते से जिस arc की बात है, जब तक वह B पर न पहुँचे। जितना वह घूमा, वही इस arc का अपना number है। इसे central angle कहते हैं — arc के ends को centre से जोड़कर बना angle, पर उसी तरफ़ से नापा हुआ जिस तरफ़ से चले। दूसरे रास्ते से घुमाने पर यही number आएगा? नहीं, क्योंकि घूमना ही अलग है।

3:02देखिए, एक बार radius छोटा चक्कर काटता है और एक बार लंबा। ends वही हैं, और फिर भी 2 अलग numbers निकलते हैं। तो arc के पास कोई shape नहीं, एक swept angle है — और यही 2 arcs को अलग करता है। इसके बाद arc की हर बात इसी number से पूछी जाएगी। यह तय होते ही बहुत कुछ अपने आप तय हो जाता है, बिना कोई नई definition बनाए।

3:27board पर sample के ends के ordered जोड़े 462 बनते हैं। इनमें से 220 का sweep straight angle से आगे निकलता है, 22 ठीक straight angle तक जाता है, और 220 उससे कम रह जाते हैं। देखिए, board पर तीनों बार एक ही तरह के 2 ends हैं और फ़र्क़ सिर्फ़ चलने का है। एक जोड़ी के 2 arcs मिलकर पूरा चक्कर बनाते हैं, क्योंकि radius एक तरफ़ से जाकर दूसरी तरफ़ से लौटता है।

3:55तो दोनों straight angle से कम कैसे रह सकते हैं? रह ही नहीं सकते — ऐसे जोड़े 0 निकले। straight angle से आगे जाना, यही major होने का मतलब है, और यह देखने की नहीं, नापने की बात है। यहाँ एक पुरानी आदत रास्ता रोकती है, और वह पहले सीखी हुई किसी सही बात से ही आती है। बहुत से students को लगता है कि angle straight angle से बड़ा हो ही नहीं सकता।

4:212 rays के बीच की खाली जगह के लिए यह ठीक है। वहाँ रास्ता कोई नहीं है, बस जगह है, इसलिए straight angle से आगे कुछ बचता ही नहीं। sweep के लिए ठीक नहीं, क्योंकि sweep को याद रहता है कि वह किस तरफ़ से गया। अगर reflex को मना कर दें तो board से कितने arcs मिट जाएँगे? 220 — यानी हर वह arc जो लंबे रास्ते से बनता है।

4:43इसलिए reflex यहाँ कोई ख़ास case नहीं है। यहाँ यह major arc का आम हाल है। अब 2 तरीक़े हैं यह कहने के कि कौन सा arc major है। पहला — जिसका sweep ज़्यादा है। यह नाप से आता है, और इसमें तस्वीर को देखने की ज़रूरत नहीं पड़ती। दूसरा — जिसके अंदर circle के बाक़ी points ज़्यादा आते हैं। देखिए, हरे रास्ते पर dots भरे हुए हैं और नीले पर खाली।

5:11ये दोनों कभी अलग जवाब देते हैं? पूरे sample पर एक बार भी नहीं, गिनती 0 रही — sweep और गिनती दोनों एक ही arc की तरफ़ इशारा करते हैं। और दोनों arcs एक साथ major नहीं हो सकते, क्योंकि आधे से ज़्यादा points दोनों के अंदर नहीं आ सकते; ऐसे जोड़े भी 0 निकले। यहाँ देखने वाली बात यह है कि गिनती और sweep एक ही बात कह रहे हैं।

5:36एक arc angle सिर्फ़ centre पर नहीं बनाता। circle पर बैठा कोई भी दूसरा point भी उन्हीं 2 ends को देख रहा होता है। इसके 2 ends को centre से जोड़िए — एक angle मिला। अब वही 2 ends circle के किसी और point से जोड़िए — यहाँ दूसरा angle मिला। देखिए, ऊपर वाला gold में है और नीचे वाला blue में। पहली नज़र में इनमें कोई रिश्ता दिखता भी नहीं।

6:01एक centre पर बना है और दूसरा circle पर, और दोनों की जगह अलग है। दोनों एक ही arc से बने हैं, इसलिए सवाल बनता है — इनमें कोई तय रिश्ता है? अभी तक कुछ कहा नहीं गया। बस 2 angles हैं, 2 अलग जगहों पर बने हुए, और दोनों का सहारा वही एक arc है। बहस करने के बजाय इसे नापकर देखते हैं। एक arc तय कीजिए। अब circle पर 3 ऐसे points चुनिए जो उस arc पर न हों, और तीनों से angle नापिए।

6:32देखिए, तीनों बार वही एक number आता है, जबकि तीनों points अलग अलग जगह बैठे हैं और तीनों की sight lines अलग दिख रही हैं। यह 3 बार का इत्तिफ़ाक़ है या हर बार का? इस sample में ऐसे 440 arcs पढ़े गए। हर arc ने ठीक 1 number दिया। सबसे ज़्यादा पढ़े गए arc को 20 अलग अलग points से पढ़ा गया, और वहाँ भी 1 ही number आया।

6:57तो यह number भी arc का ही है, देखने वाले की जगह का नहीं। centre वाला number भी arc का था, और अब यह दूसरा भी। 3 बार एक ही जवाब आने पर लग सकता है कि बात पक्की हो गई। अब चौथा point उसी arc पर रख दीजिए जिसे पढ़ा जा रहा है। पहले तीनों उससे बाहर थे, यह अंदर है, और बस इतना ही बदला है। देखिए, number बदल गया।

7:22sample में 374 arcs ऐसे हैं जिन्हें दोनों तरह से पढ़ा जा सकता है। इनमें कितनों पर arc से बाहर के readings आपस में अलग निकले? एक भी नहीं, गिनती 0 रही। और arc पर बैठे point का reading सिर्फ़ 22 arcs पर बाहर वाले से मिला — वही 22 जिनके ends आमने सामने हैं, जहाँ हर point right angle पढ़ता है। इसलिए 3 बार सही निकलना एक इशारा है, सबूत नहीं।

7:50यहाँ चौथी तरह की कोशिश ने फ़र्क़ दिखाया, और किसी और सवाल में वैसी कोशिश कोई और शक्ल ले सकती है। आगे बढ़ने के लिए 2 बातें चाहिए, और तुम्हें लगेगा कि वे circles की ही होंगी। दोनों circles से बाहर की हैं। पहली — triangle की एक side को corner से आगे बढ़ा दीजिए; बाहर बना angle बाक़ी 2 angles के जोड़ के बराबर होता है। दोनों दूर वाले, यानी वे जो उस corner पर नहीं बैठे।

8:19देखिए, board पर दोनों दूर वाले angles एक ही रंग में हैं। दूसरी — जिस triangle की 2 sides बराबर हों, उसके 2 base angles भी बराबर होते हैं। यही वह जगह है जहाँ radius काम आएगा, क्योंकि centre से हर point तक की दूरी एक ही है। ये सिर्फ़ याद की हुई बातें हैं या नापी हुई? यहाँ एक square block के 2148 triangles पर दोनों जाँची गईं, और गड़बड़ी 0 निकली।

8:47बराबर sides वाली बात corner दर corner जाँची गई — 6444 मौक़े, उनमें 444 बार 2 sides बराबर मिलीं, और base angles में फ़र्क़ 0 बार। यह इसलिए ज़रूरी है क्योंकि आगे का पूरा argument इन्हीं 2 पर खड़ा है। अब इन 2 बातों को साथ लेकर वापस circle पर चलते हैं। देखने वाले point को centre से जोड़िए और उस line को आगे बढ़ाकर circle की दूसरी तरफ़ निकाल दीजिए।

9:17यह अकेली line पूरा argument खोल देती है। देखिए, उस line के दोनों तरफ़ एक एक triangle बन गया। हर triangle की 2 sides radius हैं, इसलिए हर एक के base angles बराबर हैं। यही isosceles वाली बात है, circle पर लागू की हुई। और हर triangle में बाहर बना angle उसके 2 बराबर angles का जोड़ है, मतलब उसका double। वह बाहर वाला angle centre पर ही बैठा है, इसीलिए वह sweep का हिस्सा है।

9:45तो centre पर बना पूरा angle किसका double हुआ? यहाँ दोनों हिस्से जुड़ते हैं — sweep के 2 टुकड़े और reading के 2 टुकड़े, एक एक करके। हर टुकड़ा अपने साथी का double है, इसलिए जोड़ भी जोड़ का double निकलता है। पर यह तस्वीर हमेशा ऐसी नहीं बनती। कभी वह बढ़ी हुई line arc के बाहर जाकर circle से मिलती है। देखिए, अब arc line के एक ही तरफ़ रह गया।

10:13तुम्हें लगेगा कि अब argument टूट जाएगा। क्या सचमुच टूटता है? argument टूटता नहीं है। दोनों triangles वैसे ही बने हैं और दोनों doubles वैसे ही चलते हैं, क्योंकि उनका सहारा radius था, arc की जगह नहीं। फ़र्क़ सिर्फ़ इतना है कि reading अब 2 टुकड़ों का जोड़ नहीं, उनका अंतर है — एक टुकड़ा दूसरे के अंदर आ गया। और sweep भी उन्हीं 2 doubles का अंतर है। अंतर का double doubles का अंतर ही होता है, इसलिए एक ही argument दोनों जगह चलता है।

10:43यहाँ board पर घटाव दिख रहा है, जोड़ नहीं — और नतीजा फिर भी वही। तो ये 2 cases आते कहाँ से हैं — major और minor से? major और minor से नहीं आते। ये इस बात से आते हैं कि centre से होकर गई line circle को दोबारा कहाँ काटती है। इसमें arc के बड़े या छोटे होने का कोई हाथ नहीं। देखिए, board पर 3 हालतें हैं — कटान arc के अंदर, कटान arc के बाहर, और कटान ठीक arc के end पर।

11:16गिनती में 2200 बार अंदर, 1980 बार बाहर, और 440 बार ठीक end पर। तीनों मिलकर 4620 — यानी सारे मौक़े। आख़िरी वाला अपने आप में एक case है, क्योंकि वहाँ एक triangle सिमटकर सीधी line बन जाता है। उस हालत में जोड़ने को एक ही टुकड़ा बचता है, और नतीजा फिर भी वही रहता है। और arc के अंदर गिरना ठीक वही बात है जो centre वाली line का दोनों नज़रों के बीच में होना — दोनों में फ़र्क़ 0 बार निकला।

11:48अब इसे एक तस्वीर पर नहीं, पूरी गिनती पर रखते हैं। हर arc, और उस arc से बाहर बैठा हर point — ऐसे 4620 मौक़े बनते हैं। इनमें कितनी बार centre वाला angle देखने वाले के angle का ठीक double नहीं निकला? एक बार भी नहीं, गिनती 0 रही। एक मौक़ा पूरा लिखकर देखिए — ends तय, देखने वाला point तय, और दोनों numbers अलग अलग रास्तों से निकाले गए।

12:17आधे sweep का number निकला 4 बटा 3, और देखने वाले point पर बने पूरे angle का number भी 4 बटा 3। एक ends से आया और दूसरा coordinates से — दोनों रास्ते एक दूसरे को देखते तक नहीं। दोनों का एक होना ही doubling है, क्योंकि एक आधे sweep से आया और दूसरा पूरे angle से। यहाँ कुछ गोल नहीं किया गया। दोनों numbers exact fractions हैं, इसलिए बराबरी भी exact है।

12:45degrees में एक बार देखिए, क्योंकि वहाँ यह बात हाथ से जाँची जा सकती है। centre पर 70 है, तो circle पर 35 पढ़ा जाता है। दोनों numbers छोटे हैं और कहीं कोई अटकाव नहीं। centre पर 290 है, तो circle पर 145। देखिए, 145 right angle से आगे है और straight angle से पीछे। तुम्हें लगेगा कि reflex का आधा भी reflex होगा। even degrees की पूरी list पर यह जाँचा गया — 179 numbers, जिनमें 89 sweeps straight angle से आगे हैं।

13:18और कितनी readings आगे निकलीं? एक भी नहीं, गिनती 0 रही। इसलिए centre पर reflex होना आम बात है, और arc से बाहर बैठे point पर reflex कभी नहीं होता। पूरा चक्कर आधा होकर straight angle बनता है, इसलिए किसी भी sweep का आधा उससे आगे जा ही नहीं सकता। एक जोड़ी ends पर 2 arcs हैं, तो 2 readings भी हैं। एक arc को उससे बाहर के point से पढ़िए, और दूसरे arc को उससे बाहर के point से।

13:48ध्यान रहे, हर बार देखने वाला point उस arc पर नहीं है जिसे पढ़ा जा रहा है। देखिए, ये 2 readings मिलकर एक straight angle बनाते हैं। कितने जोड़ों पर यह जाँचा गया? पूरे 14630 पर, और इनमें से कितनों पर यह नहीं बना? एक भी जोड़ी पर नहीं, गिनती 0 रही। degrees में वही जोड़ी — 35 और 145, जो मिलकर 180 बनाते हैं। centre पर ये 70 और 290 थे, और वे मिलकर पूरा चक्कर बनाते थे।

14:20और दूसरी जोड़ी — centre पर 100 पढ़ने पर circle पर 50, और दूसरे रास्ते पर centre 260 और circle 130। यहाँ 50 और 130 भी 180 ही बनाते हैं, इसलिए यह कोई अलग नियम नहीं है। अब पूरी बात एक ही वाक्य में रख देते हैं। किसी arc पर centre पर बना angle उस arc से बने हर दूसरे angle का double होता है, जब वह दूसरा angle circle के ऐसे point पर बना हो जो उस arc पर न हो।

14:50देखिए, इसमें major या minor कहीं नहीं आया। यह एक वाक्य में इसलिए आ सका क्योंकि वाक्य arc के बारे में है, 2 points के बारे में नहीं। 2 points के बारे में कहते तो हर बार बताना पड़ता कि कौन सा रास्ता। तुम्हें लग सकता है कि यह सिर्फ़ शब्दों का हेर फेर है। शब्दों का हेर फेर नहीं है। क्या होता अगर arc सिर्फ़ एक आकार होता? तो हर बार पूछना पड़ता कि कौन सा रास्ता।

15:16यहाँ नहीं पूछना पड़ता, क्योंकि रास्ता number में पहले से बैठा है।