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Chapter 5 · I’m Up and Down, and Round and Round

circle से बाहर कोण बदल जाता है: अंदर और बाहर के points की तुलना (Fig. 5.25)

Angles standing on an arc14 मिनट

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एक chord के एक ही arc पर खड़े सारे points उसे एक ही angle पर देखते हैं। पर वह agreement chord की property है या circle की? इसे नापकर देखा गया: एक chord, एक circle, और उसके नीचे 589 साधारण grid points, जिनमें 93 circle के अंदर हैं, 3 ठीक circle पर और 493 बाहर, और 0 ऐसे जिनका कोई angle ही न बने।

मुख्य idea

पिछले topic में स्थापित हुई स्थिरता circle की है, chord की नहीं। Fig. 5.25 इसी को साबित करने के लिए एक नियंत्रित प्रयोग की तरह खड़ी की गई है: एक chord, एक circle, और देखने की सात जगहें — कुछ अंदर, कुछ circle पर और कुछ बाहर बिखरी हुईं — और सिर्फ़ circle पर लिए गए पठन ही आपस में मिलते हैं। यही नकारात्मक नतीजा बराबर कोण वाले गुण को काम की कसौटी बना देता है — अगर तल का हर point वही कोण देता, तो बराबर कोण आपको यह कुछ भी नहीं बताते कि कोई point कहाँ है, और पूरा §5.8 ढह जाता। chapter की figure सिर्फ़ इतना कहती है कि circle से बाहर के पठन अलग होते हैं; किस ओर अलग होते हैं, यह दो pages बाद एक बहिष्कोण से तय होता है, और वहाँ इसलिए तय होता है क्योंकि ज़रूरत वहीं पड़ती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताइए कि बराबर कोण वाला गुण सिर्फ़ circle के points के लिए सही है, और कहिए कि अगर वह हर जगह सही होता तो उससे क्या निकलता
  • Fig. 5.25 के नामित points को अंदर, circle पर और बाहर में छाँटिए, और बताइए कि कौन सा समूह एक ही पठन देता है
  • बहिष्कोण के सहारे समझाइए कि अंदर वाला point circle पर बैठे point से बड़ा कोण क्यों देता है और बाहर वाला छोटा
  • कहिए कि chapter में वह दिशा कहाँ स्थापित होती है, और यह कि Fig. 5.25 के साथ वाला अपना अनुच्छेद उसे नहीं देता
  • कोई chord, circle पर लिया गया एक पठन, और किसी अनजान point पर नापा गया कोण दिया हो तो तय कीजिए कि वह point circle के अंदर है, उस पर है या बाहर
  • समझाइए कि यही नकारात्मक नतीजा §5.8 वाली एकवृत्तीयता की कसौटी को जानकारी देने लायक़ बनाता है
  • "कोण अलग होता है" और "कोण एक बताई हुई दिशा में अलग होता है" में फ़र्क़ कीजिए, और कहिए कि chapter कहाँ किसका दावा करता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
chordऐसा segment जिसके दोनों सिरे circle पर होंजीवा§5.1, p. 93 पर bold में छपा है; Fig. 5.25 का caption chord का नाम लेता है, p. 110
angle subtendedवह कोण जो कोई chord या चाप किसी नामित point पर बनाती हैअंतरित कोण§5.7, p. 106 पर bold में छपा है
arccircle की एक जुड़ी हुई दौड़, जो अपने दोनों सिरों से तय होती हैचाप§5.7, p. 106 पर bold में छपा है
exterior angleवह कोण जो किसी त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाने पर बाहर बनता हैबहिष्कोण§5.7.1, p. 108 में छपा है, और §5.8, p. 112 में इस्तेमाल हुआ है
exterior angle theoremयह कि बहिष्कोण दोनों दूरस्थ अंतःकोणों के जोड़ के बराबर होता हैबहिष्कोण प्रमेय§5.7.1, p. 108 में छपा है
same segmentकिसी chord के एक ही ओर देखने की दो जगहों के लिए chapter का वाक्यांशएक ही वृत्तखंड§5.8, p. 112 में छपा है
concyclicएक ही circle पर बैठा हुआएकवृत्तीय§5.8, p. 111 पर bold में छपा है
inside / outside the circleवे दो क्षेत्र जिनमें circle तल को बाँट देता हैवृत्त के अंदर / बाहर§5.7.1, p. 110 में छपा है, और §5.8, pp. 111–112 में बार-बार
viewing pointउस point के लिए व्याख्या का वाक्यांश जिस पर कोण लिया जाता है—व्याख्या की अपनी शब्दावली; chapter ऐसे points अंकित करता है और उन्हें सिर्फ़ अक्षर से पुकारता है
locating testनापे हुए कोण से यह तय करने को व्याख्या का दिया हुआ नाम कि point किस क्षेत्र में है—व्याख्या का अपना शब्द; chapter यह तर्क Theorem 10 के प्रमाण के अंदर चलाता है और उसे कभी कसौटी की तरह पेश नहीं करता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "तय chord हर जगह से एक जैसी दिखती है।" नहीं दिखती; इसी topic का विषय यही है। दिखने वाले आकार के बारे में रोज़मर्रा का अंतर्ज्ञान वही कहता है जिसके उल्टा students यहाँ अक्सर मान लेते हैं — या तो वे circle से बाहर बदलाव की उम्मीद करते हैं और स्थिरता चौंकाती है, या वे हर जगह स्थिरता की उम्मीद करते हैं और बदलाव चौंकाता है। Fig. 5.25 दोनों ही सूरतों में फ़ैसला कर देती है।
  • "chapter कहता है कि अंदर वाला बड़ा कोण देता है।" p. 110 पर वह सिर्फ़ इतना कहता है कि पठन अलग होते हैं। दिशा p. 112 से आती है। जो व्याख्या उस दिशा को Fig. 5.25 वाले अनुच्छेद के नाम कर देती है वह किताब के मुँह में अपने शब्द डाल रही है।
  • "सारे अंदरूनी points एक value देते हैं और सारे बाहरी दूसरी।" नहीं — हर क्षेत्र के अंदर भी values point-दर-point बदलती हैं। chapter एक-एक के बजाय तीन अंदरूनी और दो बाहरी points का नाम इसीलिए लेता है।
  • "circle पर, पर दूसरे चाप वाले points भी 'circle पर' ही गिने जाते हैं, इसलिए वे मिलते हैं।" वे संपूरक value देते हैं। बराबरी chord के एक ही ओर के लिए है।
  • "अगर कोण अलग है तो point कहीं भी हो सकता है।" ओर तय हो तो कोण क्षेत्र को कील ठोक देता है: circle पर लिए पठन से बड़ा यानी अंदर, छोटा यानी बाहर। यह एक फ़ैसला करने की विधि है, और Theorem 10 यही चलाता है।
  • "यह असली section से पहले की एक हाशिए की बात है।" यह तो भार उठाने वाला प्रेक्षण है। इसके बिना §5.8 की कसौटी खोखली होती, क्योंकि जिस कसौटी पर हर point खरा उतर जाए वह किसी में फ़र्क़ नहीं करती।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript2,202 शब्द

board पर एक circle है, उसके ऊपरी हिस्से में A से B तक एक chord खिंची है, और नीचे एक point खड़ा है जो उस chord को देख रहा है। उस point पर जो angle बनता है, उसी को हम यहाँ reading कहेंगे। पिछली बार यह साबित हुआ था कि इस chord के एक ही arc पर जितने भी points हों, सब उसे एक ही angle पर देखते हैं। reading बदलती ही नहीं।

तो सवाल यह है कि वह agreement किसकी property है — chord की, या उस circle की जिसमें से chord काटी गई है? पहली नज़र में लगेगा कि chord ही सब कुछ तय कर रही है। आख़िर angle तो उसी chord के दोनों सिरों की तरफ़ देखकर बनता है, तो reading भी chord की property होनी चाहिए। यह सवाल सजावट नहीं है। अगर plane का हर point इस chord को एक ही angle पर देखता, तो किसी point का angle नाप लेने से उसके बारे में कुछ भी पता नहीं चलता।

जो आगे का पूरा test है, वह इसी बात पर टिका है कि reading सब जगह एक जैसी नहीं है। इसे तय करने का एक ही साफ़ तरीक़ा है — नापकर देख लेना। एक circle लीजिए और उसमें एक chord, और अब chord के नीचे की तरफ़ खड़े होने की हर जगह देखिए। chord के नीचे एक grid बिछा दीजिए — 589 points, बराबर दूरी पर रखे हुए। इनमें से कोई भी इसलिए नहीं चुना गया कि उसका जवाब अच्छा आता है।

इनमें 93 points circle के अंदर गिरते हैं, 3 ठीक circle पर, और 493 बाहर। और तीनों तरह के points मौजूद हैं, यह ख़ुद देख लेना ज़रूरी था, वरना experiment अधूरा रह जाता। इनमें से कितने ऐसे हैं जिनका कोई angle बनता ही नहीं, यानी जो chord के साथ एक ही line में आ जाते हैं? ऐसा एक भी नहीं — 0। तो पूरे 589 की reading ली जा सकती है।

अब सबकी reading ले लीजिए, एक साथ। और फिर पूछिए कि तीनों regions ने अलग अलग क्या किया। पहले circle के अंदर वाले points लीजिए। यहाँ 3 खड़े किए हैं, तीनों की sight lines खींच दी हैं, और तीनों के angles mark कर दिए हैं। अंदर के 93 points में से कितने arc की reading से बड़ा angle देखते हैं? 93 — यानी सारे के सारे। उल्टी तरफ़ जाने वाले points: 0।

यहाँ असली दावा 93 नहीं है, 0 है। एक भी exception मिल जाता तो यह नियम नहीं, बस एक आदत होती। लेकिन इन 93 points की readings आपस में मिलती नहीं हैं। इनके बीच 49 अलग अलग values निकलती हैं। तो अंदर होना किसी एक reading का नाम नहीं है। अंदर होना एक direction का नाम है — बड़ा, किसकी तुलना में, यह अलग बात है। अब वे points लीजिए जो ठीक circle पर गिरे।

देखिए, grid में ऐसे 3 निकले, और तीनों वही angle पढ़ते हैं जो arc की reading है। और वह value आई कहाँ से? centre पर chord जो angle बनाती है, reading उसका आधा है। यह हिसाब पहले लगा लिया गया था। शायद तुम्हें यह फ़र्क़ छोटा लगे। यहाँ पहले हिसाब से value निकाली गई थी, उसके बाद circle पर खड़े points देखे गए। जो पहले से बताई गई बात बाद में मिलती है, वह सीधे नाप लेने से कहीं ज़्यादा भरोसे की होती है।

grid पर सिर्फ़ 3 points circle पर गिरे, तो arc को अलग से भी छानकर देखा गया — उस पर 62 points लिए गए। इन 62 के बीच कितनी अलग readings मिलीं? सिर्फ़ 1। यानी तीनों regions में सिर्फ़ यही एक है जहाँ points आपस में सहमत हैं। अब circle से बाहर निकल जाइए। यहाँ बाहर के 2 points खड़े किए हैं, दोनों की sight lines और दोनों के angles।

बाहर के 493 points में से कितने arc की reading से छोटा angle देखते हैं? 493, सारे। और उल्टी तरफ़ जाने वाले: फिर से 0। और अंदर की तरह यहाँ भी आपस में कोई agreement नहीं है — इन 493 के बीच 244 अलग values हैं। तो तस्वीर पूरी हो गई। अंदर बड़ा, circle पर ठीक वही, बाहर छोटा। और agreement सिर्फ़ बीच वाले में है। और इसी से पहला सवाल हल हो जाता है।

chord तो तीनों regions में वही है, फिर भी readings बदल रही हैं। यानी वह agreement chord की property नहीं, circle की property है। अब एक बात पर ठहरना ज़रूरी है, क्योंकि यहीं सबसे ज़्यादा गड़बड़ होती है। ऊपर जो कहा गया, उसमें असल में कितने दावे छिपे हैं? गिनने पर वहाँ 2 निकलते हैं। पहला दावा यह है कि circle से हटते ही reading बदल जाती है। यह experiment ने दिखा दिया — अंदर के 93 और बाहर के 493, दोनों में एक भी point arc की reading पर नहीं आया।

दूसरा दावा यह है कि किस तरफ़ बदलती है — अंदर बड़ी और बाहर छोटी। यह अलग बात है, और इसका अलग argument चाहिए। शायद तुम्हें लगे कि तस्वीर देख लेने से यह तय हो जाएगा, पर होता नहीं। board पर जो point बना है, वह एक point है, और उससे यह पता नहीं चलता कि बाक़ी सब भी उसी तरफ़ जाएँगे। तो सवाल यह है कि बाहर वाला point छोटा ही क्यों पढ़ेगा?

बाहर वाला एक point लीजिए और उसकी एक sight line पर चलिए। यह line circle को जहाँ काटती है, वहाँ निशान लगा दीजिए। देखिए, chord का एक सिरा, यह crossing point, और बाहर वाला point — इन तीनों से एक छोटा triangle बन जाता है। crossing पर जो angle बनता है, वह इस triangle का exterior angle है। और exterior angle हमेशा उन 2 remote interior angles के जोड़ के बराबर होता है जो उसके सामने पड़ते हैं।

और 2 positive चीज़ों का जोड़ उन दोनों में से किसी एक से बड़ा होता है। इसलिए crossing की reading बाहर वाले point की reading से बड़ी है। बस यही पूरी वजह है कि बाहर छोटा पढ़ा जाता है। यह बात एक triangle पर मान लेना काफ़ी नहीं था, इसलिए इसे 1276 triangles पर जाँचा गया। कितनी बार exterior angle उन 2 remote angles के जोड़ से अलग निकला? 0 बार।

और जो नतीजा निकाला, वह भी अलग से जाँचा गया। बाहर के points से जितनी sight lines circle को काटती हैं, ऐसी 30 निकलीं। इनमें कितनी बार crossing की reading बाहर वाले point से बड़ी रही? 30 में से 30 बार। अब एक और तरीक़े से देखिए। chord के एक सिरे से चलिए, arc के किसी point से होकर गुज़रिए, और बाहर निकलते चले जाइए। हर क़दम पर reading लेते जाइए और उसे नीचे इस scale पर रखते जाइए।

शायद तुम्हें लगे कि वह कहीं बीच में वापस ऊपर चढ़ जाएगी। देखिए, वह लगातार नीचे ही गिर रही है। ऐसी 62 walks चलाई गईं। circle तक पहुँचने से पहले वाली 434 positions arc से बड़ा पढ़ती हैं, ठीक circle पर वाली 62 उसे बिलकुल वही पढ़ती हैं, और उसके आगे वाली 992 उससे छोटा। और सबसे ज़रूरी गिनती यह है कि कितनी बार किसी walk की reading वापस ऊपर चढ़ी?

0 बार। हर walk पर 24 अलग readings मिलीं, और वे सब लगातार नीचे ही जाती रहीं। और जो चीज़ कभी वापस नहीं मुड़ती, वह किसी एक value को ठीक एक बार पार करती है। इसीलिए circle पर पहुँचने की जगह भी एक ही है, उससे ज़्यादा नहीं। यहाँ एक और सवाल उठता है। अंदर की readings आपस में नहीं मिलतीं, यह ठीक है — लेकिन कुछ points तो आपस में मिलते ही हैं।

वे क्यों मिलते हैं? grid में ऐसी readings गिनी गईं जिन्हें एक से ज़्यादा points पढ़ते हैं। देखिए, ऐसी 277 निकलीं। और हर एक के लिए chord के उन्हीं 2 सिरों से होकर एक arc खींची जा सकती है जिस पर वे सारे points आ जाते हैं। ऐसी कितनी readings थीं जिनके points किसी एक arc पर नहीं आए? 277 में से 0। यानी जो चीज़ reading तय करती है, वह arc है।

हर reading अपनी एक arc चुन लेती है, और हमारा circle बस वह arc है जिसकी reading हम शुरू से नाप रहे थे। अब यही बात पूरे degrees में देखिए, ताकि सिर्फ़ direction नहीं, मात्रा भी दिखे। मान लीजिए chord की दूर वाली arc 100 degrees काटती है। तो circle पर खड़े point की reading उसका आधा, यानी 50 degrees। अब अंदर आ जाइए। अंदर आते ही आपकी दोनों sight lines एक दूसरी arc भी काटने लगती हैं, और मान लीजिए वह 36 degrees की है।

तो reading हो जाती है 68 degrees। यानी 50 में 36 का आधा, 18, जुड़ गया। अब बाहर निकल जाइए। वही sight lines अब 32 degrees की arc काटती हैं, और reading रह जाती है 34 degrees — 50 में से 32 का आधा, यानी 16 घट गया। पहली नज़र में अंदर और बाहर के नियम अलग अलग लगते हैं, पर हैं नहीं। यहाँ अंदर से दूसरी arc का आधा जुड़ता है और बाहर से उतना ही घटता है।

और यह exterior angle वाली बात ही है, बस degrees में लिखी हुई। और यह किसी ख़ास आकार पर नहीं टिका। दूसरी arc जितनी भी बड़ी या छोटी हो, कितनी बार अंदर की reading arc से कम पड़ी? 0 बार। और कितनी बार बाहर की reading arc वाली के बराबर पहुँच गई? फिर से 0 बार। फिर दोनों नियम असली figures पर भी जाँचे गए — अंदर मिलने वाली 560 crossings पर जोड़ने वाला, और बाहर मिलने वाली 276 जगहों पर घटाने वाला।

दोनों में कुल कितनी बार नियम टूटा? 0 बार। अब इसे उल्टा चलाइए। आपको chord दी हुई है, और यह भी बता दिया गया है कि circle पर खड़े point की reading 50 degrees है। अब किसी point का नापा हुआ angle आपके हाथ में आता है। reading 61 आई? तो वह point circle के अंदर है। 50 आई? तो वह ठीक circle पर है। और 41 आई? तो वह बाहर है।

और देखिए, इसके लिए कहीं नापने जाने की ज़रूरत नहीं पड़ी — सिर्फ़ angle देखकर बता दिया गया। यही procedure grid के सारे 589 points पर चलाया गया — सिर्फ़ angle देखकर, जगह देखे बिना। इनमें से कितने सही region में रखे गए? 589 में से 589। और ध्यान दीजिए कि यह test चलता ही इसलिए है क्योंकि readings सब जगह एक जैसी नहीं हैं। जिस बात को हमने ऊपर एक नुक़सान की तरह पाया था, यहाँ वही पूरे test की जान बन गई।

अब एक ख़ास अंदर वाला point देख लीजिए — centre। यहाँ भी हम circle के अंदर ही हैं, तो नियम के हिसाब से इसे भी arc से बड़ा पढ़ना चाहिए। और यह पढ़ता भी है — ठीक arc की reading का दुगुना, क्योंकि circle पर खड़े point की reading centre वाले angle की आधी होती है। तो centre बड़ा पढ़ता है, जैसा होना चाहिए था। और यहीं से एक ग़लत क़दम उठ जाता है।

शायद तुम सोचो कि अगर centre सबसे ख़ास अंदर वाला point है, तो सबसे बड़ी reading भी उसी की होगी। grid के अंदर वाले points में से कितने centre से भी बड़ा पढ़ते हैं? 21। और देखिए, ये सब chord के ज़्यादा पास खड़े हैं। और chord की तरफ़ जितना और पास जाइए, reading उतनी और बढ़ती जाती है। इसलिए सबसे बड़ी reading जैसी कोई चीज़ है ही नहीं। अंदर होना एक direction है, कोई अधिकतम नहीं।

आख़िरी बात उस शर्त की, जिसे अक्सर औपचारिकता समझकर छोड़ दिया जाता है — कि दोनों points chord के एक ही तरफ़ होने चाहिए। chord के ऊपर एक point रखिए और नीचे उसकी ठीक mirror image। symmetry की वजह से दोनों की reading बिलकुल बराबर होगी। अगर बराबर reading ही काफ़ी होती, तो ये दोनों और chord के दोनों सिरे — चारों एक ही circle पर होने चाहिए। तो गिनकर देखा गया।

ऊपर वाले point की अलग अलग 60 ऊँचाइयाँ लेकर जाँचा गया। इनमें से कितनी बार चारों सचमुच एक circle पर आए? सिर्फ़ 1 बार। और वह अकेला case कौन सा है? वही जहाँ दोनों points chord को right angle पर देखते हैं। यानी यह संयोग नहीं है, इसकी अपनी वजह है। एक और बचाव लोग निकालते हैं — कि नीचे वाला point उसी circle का centre बन जाएगा। उसके लिए ऊँचाई का वर्ग 3 से गुणा करने पर 1 आना चाहिए, और ऐसी कोई साफ़ ऊँचाई है ही नहीं।

जाँची गई ऊँचाइयों में ऐसी 0 निकलीं। तो वह शर्त औपचारिकता नहीं है। उसे हटा दीजिए और test सही नहीं रह जाता, बस ग़लत हो जाता है। तो समेट लीजिए। एक chord, और खड़े होने की 3 तरह की जगहें। देखिए, अंदर से बड़ा, circle पर ठीक वही, और बाहर से छोटा। और यह कि किस तरफ़ बदलेगी, वह तस्वीर से नहीं आया। वह exterior angle से आया — 2 remote angles का जोड़, इसलिए दोनों से बड़ा।

यह सुनकर लग सकता है कि हमने कुछ खोया — कि जो property पहले हर जगह की लगती थी, वह सिर्फ़ circle की निकली। लेकिन उल्टा सोचिए। अगर plane का हर point इस chord को एक ही angle पर देखता, तो किसी का angle नापकर क्या पता चलता? कुछ भी नहीं। जो test ऊपर बनाया गया, वह चलता ही इसलिए है क्योंकि circle से हटते ही reading बदल जाती है।

इसीलिए यह नतीजा कमज़ोर नहीं है, यही सबसे ज़्यादा वज़न उठाता है। और उस वज़न की शक्ल यही है — सिर्फ़ angle देखकर, 589 में से 589 points सही जगह रख दिए गए।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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