किसी observation को definition में बदलना: circle एक locus की तरह

0:00पानी पर गिरती raindrop से फैलते हुए rings, कटे हुए log के stem पर बने rings, और एक sunflower का सिर। इन तीनों को देखकर हम एक ही शब्द कहते हैं — round. इन सब में एक बात common है। हर एक में एक middle है, और rim का हर point उस middle से एक ही distance पर है। यह बात Grade 7 में देखी जा चुकी है, और यहाँ इसी से शुरुआत होगी।

0:25पर round पहचानना और round से argue करना, 2 अलग बातें हैं। पहचानना आँख का काम है। argue करने के लिए ऐसी चीज़ चाहिए जिसे किसी एक point पर जाँचा जा सके। पहली नज़र में यह फ़र्क़ बहुत छोटा लगता है। पर आगे की हर चीज़ इसी फ़र्क़ पर टिकी है। उस observation को एक सवाल में बदल देते हैं, जो किसी भी एक point पर अलग से पूछा जा सके।

0:50सवाल यह है — क्या यह point middle से ठीक 5 दूर है? जवाब सिर्फ़ हाँ या ना है, और वह इस point के अलावा किसी चीज़ पर depend नहीं करता। एक square patch लेते हैं, जिसमें दोनों coordinates minus 8 से 8 तक के whole numbers हैं। middle को origin पर रखते हैं। अब वही सवाल हर point पर, एक-एक करके। test 12 points रख लेता है, और बाक़ी सब छोड़ देता है।

1:15यह गिनती किसी drawing से नहीं आई। यह उसी एक सवाल का जवाब है, हर point पर अलग से। और हर एक सच में 5 दूर है। distance का square हर बार 25 आता है, whole numbers में — कोई rounded number कहीं नहीं। इनमें से 4 axes पर बैठे हैं। और बाक़ी 8 वे हैं जो 3, 4 और 5 से बनते हैं। अब तक arrow एक तरफ़ चल रहा था।

1:42यह circle है, इसलिए इसके points एक ही distance पर हैं। यह description है — circle के बारे में एक सच्ची बात। अब arrow को उल्टा कर देते हैं। जो point वह सवाल pass करता है, वही circle पर है, और जो नहीं करता, वह नहीं है। बहुत से students को लगता है कि definition सिर्फ़ एक description है, बस ज़्यादा सावधानी से लिखी हुई। यह उससे अलग चीज़ है — यह घुसने की शर्त है।

2:08इसके बाद drawing सही दिखने से कुछ तय नहीं होता। आगे की हर बात इसी एक condition से निकालनी पड़ेगी, और किसी चीज़ से नहीं। इसी वजह से आगे के arguments चलते हैं। इस condition को 2 चीज़ें दी जाती हैं: एक fixed point, और एक fixed distance. पहले को centre कहते हैं, दूसरे को radius. इन 2 शब्दों का जन्म यहीं होता है — definition से पहले इनका कोई मतलब नहीं था।

2:33जो सारे points किसी एक condition को पूरा करते हैं, उन सबको मिलाकर locus कहते हैं। तो circle उस condition का locus है। और शब्दों का क्रम मायने रखता है — पहले condition, फिर set. condition में सिर्फ़ 1 शब्द बदलते हैं। exactly की जगह at most. वही machine अब 81 points रख लेता है, 12 की जगह। यानी 69 points और, और पुराने 12 उन्हीं के अंदर बैठे हैं।

3:03यहाँ circle का मतलब सिर्फ़ rim है। अंदर का हिस्सा circle का हिस्सा नहीं है। बहुत से students अंदर के हिस्से को भी circle मान लेते हैं। उसके बाद inside, on और outside वाली कोई भी argument पढ़ी ही नहीं जा सकती, क्योंकि उनके लिए वे तीनों एक ही चीज़ हैं। अब test को 3 points पर चलाते हैं। ये middle से 3, 5 और 8 दूर हैं। इनके distances के squares हैं 9, 25 और 64.

3:34condition जिस number से मिलान करती है, वह 25 है। condition इनमें से ठीक 1 को मानती है। और यही उसका पूरा काम है — मान लेना नहीं, बाक़ी को मना कर देना। पहली नज़र में दोनों refusals एक जैसी लगती हैं। पर जिन 2 को मना किया गया, उन्हें अलग-अलग वजह से मना किया गया। एक 5 से नज़दीक है, और दूसरा 5 से दूर। इसीलिए board उन्हें 2 अलग colours देता है।

4:00circle पर न होना असल में 2 अलग हालतें हैं, 1 नहीं, और आगे यही फ़र्क़ काम आएगा। इस circle का हर point middle से whole number दूर है। यह बात सच है, और इसे उन्हीं 12 points पर जाँचा गया है। पर इसे definition की तरह चलाओ तो यह 49 points रख लेता है। उनमें से 37 circle पर हैं ही नहीं। सच होना काफ़ी नहीं है। definition का असली काम मना करना है, और यह वाली किसी को मना नहीं करती।

4:31फ़र्क़ इतना ही है कि एक condition distance का नाम लेती है, और दूसरी सिर्फ़ इतना कहती है कि कोई distance है। नाम लेने से 12 बचते हैं, न लेने से 49. definition को 2 चीज़ें दी गई थीं। अब जाँचते हैं कि दोनों सच में काम कर रही हैं या उनमें से एक सजावट है। distance वही रखो, और middle को 3 आगे खिसकाओ। तुम्हें लग सकता है कि दोनों circles अब पूरी तरह अलग हो गए।

4:59ऐसा नहीं है। वे ठीक 2 जगह मिलते हैं। और मिलने की जगह देखकर नहीं, निकालकर बताई गई है। एक circle की equation में से दूसरी घटाओ तो x निकल आता है — 3 बटा 2 — और उसी से y का square, 91 बटा 4. वही point पहले circle पर भी है और दूसरे पर भी। दोनों जगह sum 25 आता है, यानी वही distance का square. एक asymmetric जोड़ी पर भी वही तरीक़ा चलाया गया है — distances 5 और 6, middles 7 दूर।

5:31वहाँ वह 25 और 36 पर उतरता है, जो अकेला 1 circle कभी नहीं दे सकता था। पर y का square कोई whole square नहीं है। इसलिए grid को इन दोनों में कोई भी common point दिखता ही नहीं, जबकि circles सच में मिलते हैं। picture देखकर तय करना और condition चलाकर तय करना, एक बात नहीं है। middles को 10 दूर करो तो वे ठीक 1 जगह छूते हैं।

5:55और 12 दूर करो तो कुछ भी साझा नहीं बचता। तो fixed point बदलना locus बदल देता है — वह चीज़ सजावट नहीं थी। अब दूसरी चीज़। middle वही रखो, और distance 5 की जगह 6 करो। दोनों में एक भी common point नहीं है। एक ही middle वाले 2 circles, अलग distances के साथ, कभी नहीं मिलते। और 6, 7 और 8 — हर एक के locus में 4 points आते हैं, 12 नहीं।

6:23तो 12 इस grid की कोई property नहीं थी। वह उस एक distance की देन थी, और distance बदलते ही चली जाती है। definition में एक clause है जिसे बहुत से students क़ानूनी formality समझकर छोड़ देते हैं। वह clause है — plane के points. उस clause को हटाओ और वही sentence space में पढ़ो। condition का एक शब्द भी नहीं बदला। machine अब 12 की जगह 30 points रख लेता है।

6:51circle के 12 उन्हीं में हैं, उस जगह जहाँ तीसरा coordinate 0 है। यानी plane वाला clause हटाते ही 18 ऐसे points अंदर आ जाते हैं जिन्हें circle मना करता है। वह clause boilerplate नहीं था। वह काम कर रहा था, और उसके बिना यही condition एक sphere बना देती है। middle का dot भी वैसा ही दिखता है जैसा rim के dots। इसलिए कई students middle को भी circle का हिस्सा मान लेते हैं।

7:19पर test उस पर भी चलाया जा सकता है। middle की अपनी distance अपने आप से 0 है, और 0, 5 नहीं है। इसलिए middle अपने ही circle पर नहीं है। यह सिर्फ़ 5 की बात नहीं है। 1 से 8 तक हर distance के लिए यही जवाब आता है। सिर्फ़ 1 case में जवाब उलट जाता है — जब distance 0 हो। और उस case में पूरा locus सिकुड़कर सिर्फ़ middle रह जाता है, कुल 1 point.

7:45इसीलिए definition को distance 0 वाला case बाहर रखना पड़ता है। और इसीलिए इस video के boards पर middle का dot rim के dots से अलग बनाया गया है। definition के बाद 3 शब्दों की जगह बनती है। middle से rim तक का segment radius है। जिसके दोनों ends rim पर हों, वह chord है, और जो chord middle से होकर जाए, वह diameter. उन्हीं 12 rim points से 66 chords बनते हैं।

8:13यह गिनती हर जोड़े को लेकर की गई है, किसी formula से नहीं। उनमें से 6 middle से होकर जाते हैं। कई students diameter और chord को 2 अलग चीज़ें समझते हैं। पर वे 6 chords भी हैं, क्योंकि उनके दोनों ends rim पर हैं। हर diameter एक chord है। और बाक़ी 60 ऐसे chords हैं जो diameter नहीं हैं, इसलिए उल्टा सच नहीं है। 1 rim point पर कुछ भी नहीं खींचा गया है।

8:39वह point circle पर उतना ही है जितना बाक़ी, क्योंकि definition किसी चीज़ के खिंचे होने की माँग नहीं करती। उन 66 chords की lengths 10 अलग-अलग निकलती हैं। यानी बहुत से chords आपस में बराबर लंबे हैं। क्या कोई chord diameter से लंबा हो सकता है? सबसे लंबी length का square 100 है, यानी सबसे लंबा chord 10 है। और 10 उसी distance का दुगुना है जो condition में लिखा था।

9:09उस length वाले chords ठीक वही 6 हैं जो middle से होकर जाते हैं। यह इस circle के हर chord पर जाँचा गया है, कुछ चुने हुए chords पर नहीं। किसी chord के 2 ends तक middle से 2 arms खींचो। बीच में जो angle बनता है, उसे उस chord का middle पर बना angle कहते हैं। उसे 3 letters से नाम दिया जाता है, जिनमें बीच वाला letter middle का होता है।

9:34दोनों arms radii हैं, इसलिए इस angle का cosine हर बार एक exact fraction आता है। कोई rounded number कहीं नहीं आता, और इसीलिए इसे हर chord पर जाँचा जा सका। पहली नज़र में लगता है कि angle इस बात पर भी depend करेगा कि chord circle पर कहाँ बैठा है। पर वह सिर्फ़ chord की length से तय होता है, और यह सब 66 chords पर जाँचा गया है।

9:58इसका मतलब यह है कि बराबर length वाले chords बराबर angle बनाते हैं। 10 अलग lengths, और हर length के लिए ठीक 1 cosine. और diameter वही chord है जिसका angle straight है — cosine minus 1. सिर्फ़ वही, किसी और length का नहीं। एक chord के 2 ends तक जाने वाले 2 arms बराबर लंबे होते हैं। picture symmetric दिखता है, इसलिए नहीं। दोनों arms का माप वही एक fixed distance है, क्योंकि दोनों ends condition pass करते हैं।

10:31यानी यह बात drawing से नहीं, definition से आ रही है। grid के अंदर या rim पर पड़े हर जोड़े को गिना गया — कुल 3240 जोड़े। उनमें से जिनके 2 arms बराबर हैं, वे ठीक 248 हैं। तो यह किसी भी 2 points की बात नहीं है, सिर्फ़ बराबर distance वालों की। rim वाले 66 chords उन्हीं 248 में हैं, उनका एक छोटा-सा हिस्सा। और उन सब 248 पर 2 base angles भी बराबर निकलते हैं।

11:00आगे chords और arcs के बारे में जो भी साबित होगा, वह इसी एक step पर टिकेगा। अब एक point को middle से बाहर की ओर चलाते हैं, rim के पार तक। चलते-चलते उसकी distance बढ़ती जाती है, और वह fixed distance वहीं का वहीं रहता है। side ठीक 1 बार बदलती है — inside से outside. तुम्हें लग सकता है कि 2000 बार नापना काफ़ी है। पर 2000 बार नापो तो वह rim पर एक बार भी नहीं पड़ता।

11:29क्योंकि जिस instant पर condition पूरी होती है, वह रास्ते का 5 बटा 12 है। और 2000 steps उसे बाँटते नहीं, इसलिए हर step उसके आगे या पीछे गिरता है। उसी walk को 12 के हिसाब से गिनो, यानी 2400 steps में, तो वह मिल जाता है। अब side 2 बार बदलती है और ठीक 1 step condition पूरी करता है। जो walk अंदर ही रह जाता है, वह condition को कभी नहीं छूता और side कभी नहीं बदलता।

11:56और rim के एक point से ठीक सामने वाले तक चलो तो condition शुरू में भी पूरी है और आख़िर में भी, बीच में कहीं नहीं। sampling किसी चीज़ का सबूत नहीं है। जो test exact numbers पर चलता है, वही भरोसे के लायक़ है, और यही वजह है कि इस video की हर गिनती whole numbers या exact fractions पर की गई है। उन 12 rim points में से हर तीसरे को 1 unit खिसका देते हैं।

12:24आँख से देखने पर ring अब भी लगभग round दिखता है। पर test चलाओ तो सिर्फ़ 8 points बचते हैं। और बचते ठीक वही 8 हैं जिन्हें हिलाया ही नहीं गया था। यानी लगभग round होना circle होना नहीं है। raindrop के rings और log के rings circle जैसे हैं; circle उनका idealisation है। इसका मतलब यह भी है कि नापने में आई ग़लती किसी theorem को ग़लत नहीं करती।

12:49आख़िर में एक सवाल, जिसका जवाब यह video नहीं देगा। एक गोल कागज़ की sheet का middle सिर्फ़ folding से कैसे निकालोगे? शायद तुम सोच रहे हो कि इसे बस try करके देख लेंगे। पर जो भी तरीक़ा हो, उसे इसी एक condition से argue करना पड़ेगा — कि middle से हर rim point की distance वही एक है। अब हमारे पास एक ऐसी definition है जिसे किसी एक point पर चलाया जा सकता है, और आगे की हर बात इसी से निकलेगी।