उपप्रमेय: diameter पर बना कोण समकोण होता है, point चाहे कहीं भी लीजिए

0:00board पर एक circle है और उसके centre से होकर जाती हुई एक line, जो circle को A और B पर काटती है। ऐसी chord को diameter कहते हैं। अब circle पर कहीं और एक तीसरा point लीजिए और उसे दोनों सिरों से जोड़ दीजिए। देखिए, एक triangle बन गया जिसकी एक side पूरी diameter है। उस तीसरे point पर बना angle कितना है? देखिए, वह ठीक right angle है, यानी 90 degrees।

0:28अब उसी point को circle पर कहीं और ले जाइए, फिर कहीं और। हर बार वही 90 मिलता है। पहली नज़र में लगेगा कि इतनी साफ़ बात के पीछे कोई लंबा argument होगा। तो सवाल यह है कि इस नतीजे की क़ीमत कितनी है? ऐसे नतीजे का एक नाम है। वह नाम क्या है? उसे corollary कहते हैं। देखिए, board पर उसकी पूरी बात लिखी है। corollary वह नतीजा है जो पहले से साबित की हुई किसी बात से सीधे, तुरंत निकल आता है।

1:02बहुत से students इसे छोटा theorem समझ लेते हैं। यह size के बारे में शब्द है ही नहीं। नीचे लिखी 2 lines देखिए। यह शब्द बताता है कि नतीजा आया कहाँ से, न कि वह कितना बड़ा है, इसलिए एक corollary बहुत काम का भी हो सकता है। कौन सा नतीजा किस से मुफ़्त में निकल आता है, यह जानना ख़ुद mathematics का हिस्सा है। diameter के दोनों सिरे लीजिए और एक तरफ़ वाला arc चुन लीजिए।

1:31board पर वही नीला हिस्सा है। centre पर एक radius को एक सिरे पर रखिए और उसी arc के साथ साथ घुमाते हुए दूसरे सिरे तक ले जाइए। वह कितना घूमा? diameter की दोनों radii ठीक उलटी दिशाओं में जाती हैं, इसलिए यह घुमाव पूरा 180 degrees का होता है। यहाँ कुछ students सोच सकते हैं कि दोनों radii एक ही line पर हैं तो angle 0 हुआ। नहीं, वे एक ही line पर हैं पर उलटी तरफ़, और वही 180 है।

2:02sample circle पर ऐसे 11 diameters हैं। तीनों तरह से जाँचा गया और तीनों बार 11 के 11 सही निकले। यानी centre वाला number तय हो चुका है, और तीसरा point अभी रखा भी नहीं गया। पिछला नतीजा यह था कि arc से बाहर बैठे point पर बना angle, centre वाले angle का ठीक आधा होता है। यहाँ centre वाला angle 180 है। तो उसका आधा कीजिए। देखिए, 180 का आधा 90 है।

2:32बस, यही पूरा नतीजा है। दूसरा step कहाँ है? दूसरा step है ही नहीं। मेहनत तब हो चुकी थी जब आधे वाला नतीजा साबित किया गया था। इसी को corollary कहते हैं। एक line का हिसाब, और नतीजा हाथ में। यहाँ एक ग़लती बहुत होती है। कई students right angle को centre पर रख देते हैं। centre पर जो बना है वह 180 है, यानी straight angle। देखिए, वह पूरी line भर फैला हुआ है।

3:02और circle पर बैठे point पर जो बना है वह 90 है। दोनों अलग जगह हैं और दोनों अलग numbers हैं। दूसरा पहले का आधा है, इसलिए दोनों को एक जगह रखना ग़लत है। इन 2 में से आधा किसका होता है? centre वाला आधा होता है और circle वाला उसका नतीजा है। figure हमेशा ऊपर वाले point के साथ बनाई जाती है, इसलिए बहुत से students उसे शर्त समझ लेते हैं।

3:30देखिए, वही point circle पर 5 अलग जगहों पर रखा गया है। हर बार triangle की शक्ल बदली, पर क्या angle भी बदला? नहीं, वह वहीं का वहीं रहा। देखना काफ़ी नहीं, इसलिए गिना गया। एक diameter और circle पर कोई तीसरा point, ऐसे 220 मौक़े बनते हैं। इन 220 में से 220 पर right angle मिला। एक भी छूटा नहीं। इससे तेज़ बात यह है कि हर diameter को उसके बाकी 20 points से पढ़ा गया और हर बार सिर्फ़ 1 reading निकली।

4:02और सारे 220 मिलाकर भी reading 1 ही रही। ऊपर वाला point सिर्फ़ drawing की आदत है, शर्त नहीं। अब वही काम एक ऐसी chord पर कीजिए जो centre से होकर नहीं जाती। board पर centre साफ़ दिख रहा है और chord उससे हटकर है। उसके पार से 3 points पर पढ़िए। तीनों marks देखने में ही 90 से अलग हैं। तो कितनी ऐसी chords 90 दे पाती हैं? ऐसे 4400 मौक़े जाँचे गए और उनमें से 0 पर right angle मिला।

4:33देखिए, खाली bar वही 0 दिखा रहा है। इसलिए diameter कोई एक उदाहरण नहीं है। यह अकेली ऐसी chord है जिस पर यह होता है। आधे वाले नतीजे की एक शर्त है कि जिस arc की बात हो रही है, देखने वाला point उससे बाहर हो। board पर दोनों arcs अलग रंगों में हैं। अब मान लीजिए किसी ने ग़लत arc का नाम ले लिया, यानी वही arc जिस पर उसका point बैठा है।

5:00पहली नज़र में यह बड़ी ग़लती लगती है। इस ग़लती की क़ीमत यहाँ क्या पड़ती है? diameter पर दोनों arcs आधे circle हैं, इसलिए दोनों तरफ़ की reading एक ही निकलती है। 110 मौक़े named arc पर हैं और 110 उससे बाहर, और दोनों groups मिलाकर reading सिर्फ़ 1 है। साधारण chord पर यही जाँच 4400 मौक़ों पर की गई और दोनों तरफ़ की readings 0 बार मिलीं। तो number बच जाता है पर argument नहीं बचता।

5:28और जो ग़लती दिखती ही नहीं वह सबसे ख़तरनाक होती है। अब एक पुराना सवाल दोबारा उठाइए। तीनों corners से बराबर दूरी पर कौन सा point है? इसे मान लेने के बजाय हल किया गया। देखिए, सभी 220 मौक़ों में वह ठीक diameter के बीच वाले point पर गिरा। साधारण chord पर वही हिसाब किया गया और वह उस chord के बीच वाले point पर 0 बार गिरा। एक ठोस उदाहरण लीजिए।

5:578 और 6 की sides वाला right triangle रखिए, तो वह point 4 आगे और 3 ऊपर निकलता है। तीनों corners से उसकी दूरी का square 25 है, यानी दूरी 5। और 36 और 64 मिलकर 100 बनाते हैं, जो सबसे लंबी side का square है। मतलब right triangle के circumcentre सबसे लंबी side के बीच में बैठता है और उसकी दूरी उस side की आधी होती है। वही figure दोबारा लीजिए और centre को ऊपर वाले corner से जोड़ दीजिए।

6:29पहली नज़र में यह बिलकुल अलग रास्ता लगेगा। board पर वह dashed line है। diameter के दोनों आधे हिस्से और यह नई line, तीनों radius हैं, इसलिए तीनों बराबर हैं। देखिए, तीनों पर एक जैसा निशान है। इसलिए 2 isosceles triangles बन गए। और ऊपर वाला angle? वह ठीक 2 हिस्सों में बँट गया। यह बँटवारा तभी चलेगा जब centre वाली line ऊपर वाले angle के अंदर से गुज़रे। 220 में से 220 बार ऐसा ही हुआ।

7:01triangle के तीनों angles मिलकर 180 बनाते हैं। नीचे के 2 angles और ऊपर के 2 टुकड़े जोड़िए तो नीचे वाले दोनों का दुगुना 180 हो जाता है। तो नीचे वाले दोनों angles मिलकर 90 बनाते हैं। exact रूप में उनके tangents का गुणा 1 होता है, और 220 में से 220 बार 1 ही निकला। अब इसे उल्टा पढ़िए। board पर 10 units लंबी एक segment है और उसका बीच वाला point निशान लगा हुआ है।

7:32जो point इसे 90 पर देखता है वह कहाँ कहाँ हो सकता है? वह उसी circle पर होगा जिसका diameter यही segment है। देखिए, board पर कई ऐसे points निशान लगे हुए हैं। ऐसे 110 points निकाले गए। तीनों 110 पर right angle मिला, तीनों 110 बीच वाले point से ठीक 5 दूर निकले, और तीनों 110 पर दोनों दूरियों के squares मिलकर 100 बने। इनमें 2 points ऐसे हैं जिनकी दोनों दूरियाँ पूरे numbers हैं, 6 और 8।

8:0536 और 64 मिलकर 100 बनाते हैं। मतलब right angle ख़ुद बता देता है कि तुम किस circle पर हो। circle पर 4 points लीजिए जिनमें से 2 एक diameter के सिरे हों। board पर वही figure है। सवाल में diameter दिखते ही बहुत से students सीधे 90 लिख देते हैं। पर क्या यहाँ हर angle 90 है? देखिए, जो 2 angles diameter पर खड़े हैं वे सचमुच right angles हैं।

8:35ऐसे 2090 figures जाँचे गए और 2090 में दोनों 90 निकले। पर जो जोड़ा आम तौर पर पूछा जाता है वह इस diameter पर खड़ा ही नहीं है। वह दूसरी chord पर खड़ा है, जो board पर नीली है। वह जोड़ा 1430 बार बराबर निकला, और वही 1430 वे हैं जिनमें दोनों देखने वाले points उस chord की एक ही तरफ़ हैं। 0 बार इधर का उधर हुआ। इसलिए 90 लिखने से पहले देखिए कि angle किस chord पर खड़ा है।

9:06circle पर कोई 4 points लीजिए और क्रम से जोड़ दीजिए। ऐसे 7315 तरीक़े बनते हैं। इनमें से कौन से 4 points rectangle बनाते हैं? जवाब यह है कि तभी, जब वे 4 points 2 diameters के सिरे हों। ऐसे 55 तरीक़े हैं, और 2 diameters चुनने के भी ठीक 55 तरीक़े हैं। देखिए, हर rectangle के दोनों diagonals centre से होकर जाते हैं। ऐसे 110 diagonals हैं और 110 के 110 centre से गुज़रते हैं।

9:39circle के अंदर बना parallelogram rectangle ही होगा, और कुछ हो ही नहीं सकता। ऐसे 55 parallelograms मिले, उनमें 0 ऐसे थे जो rectangle नहीं थे, और उनके 220 corners में 220 पर 90 निकला। यहाँ पहली नज़र में लगेगा कि हर diameter के हिसाब से 11 squares होंगे। गिनने पर सिर्फ़ 4 निकले, क्योंकि square के लिए दोनों diameters को आपस में right angle पर होना पड़ता है। पूरी बात एक line की थी।

10:09centre पर 180, उसका आधा 90। उस एक line से आख़िर मिला क्या? देखिए, circle के हर point पर एक right angle, और right triangle का circumcentre भी। फिर उल्टा पढ़ने पर यह test मिला कि कोई point किस circle पर है, और आख़िर में rectangle के diagonals का centre से गुज़रना भी। शायद तुम सोचो कि मुफ़्त में मिली चीज़ छोटी होती है। यहाँ उल्टा है। इसे corollary इसलिए कहा जाता है कि यह छोटा है, ऐसा नहीं।

10:38इसलिए कहा जाता है कि इसकी क़ीमत पहले ही चुकाई जा चुकी थी।