चक्रीय चतुर्भुज: आमने-सामने के कोण जुड़कर 180° बनते हैं, और उसका विलोम (Theorems 11–12)

0:00एक circle लीजिए और उस पर 4 points। उन्हें क्रम से जोड़ दीजिए। देखिए, जो figure बनी उसके चारों corners एक ही circle पर हैं। इसे कहते क्या हैं? ऐसी figure को cyclic 4-gon कहते हैं, यानी चक्रीय चतुर्भुज। और जो points एक ही circle पर बैठते हैं, वे concyclic कहलाते हैं। आगे जो भी जाँचा जाएगा, वह इसी circle पर रखे गए 12 exact points पर जाँचा गया है।

0:27नीचे देखिए: उनमें से 4 चुनने के तरीक़े 495 निकलते हैं। इन 12 points के बीच pairs 66 बनते हैं, और उनमें से 4 pairs ऐसे हैं जो circle का diameter बनाते हैं। ये 4 आगे अलग व्यवहार करेंगे। सवाल यह है: जब चारों corners एक ही circle पर हों, तो उनके angles आपस में क्या रिश्ता रखते हैं? दावा यह है। cyclic 4-gon में कौन से 2 corners मिलकर 180 degrees बनाते हैं?

0:59वे जो किसी side से जुड़े नहीं हैं — सम्मुख corners। यह 495 के 495 4-gons पर जाँचा गया, और दोनों pairs पर जाँचा गया। नीचे दोनों counts रखे हैं। दोनों pairs हर बार 180 बने, और एक भी angle ऐसा नहीं निकला जिसकी reading ही न बन पाती हो। पहली नज़र में सबसे आम ग़लती यह होती है कि पड़ोसी corners उठा लिए जाते हैं, वे जो एक ही side के दोनों सिरों पर हैं।

1:26यह parallelogram से आई हुई आदत है। गिनकर देखिए तो 495 में से सिर्फ़ 18 ऐसे हैं जहाँ पड़ोसी corners भी 180 बनाते हैं, और वे ठीक वही हैं जिनकी 2 sides आपस में parallel हैं, क्योंकि तभी पड़ोसी angles भी supplementary बनते हैं। यानी सम्मुख pairing हर एक में चलती है और पड़ोसी pairing सिर्फ़ एक ख़ास हालत में। दोनों को एक जैसा मान लेना पूरी बात को उलट देता है।

1:54एक pair सम्मुख corners लीजिए। देखिए, ये 2 points circle को 2 arcs में काट देते हैं। एक arc इधर से जाता है, दूसरा उधर से। अब बचे हुए 2 corners में से हर एक इन्हीं 2 arcs में से किसी एक पर बैठा है। तो कौन सा corner कौन सा arc पढ़ेगा? यहीं वह बात है जिस पर पूरा argument टिका है: हर corner उस arc को पढ़ता है जिस पर वह ख़ुद नहीं बैठा।

2:20यह pairing उलटी कर दी जाए तो argument वहीं टूट जाता है। पहली नज़र में यह step छोटा दिखता है, और इसे बिना सोचे पार कर जाना आसान है। दूसरा corner दूसरे arc पर बैठा है, तो वह पहले arc को पढ़ता है। दोनों corners मिलकर दोनों arcs को एक-एक बार पढ़ लेते हैं। और यह ध्यान रखिए कि ये दोनों arcs मिलकर पूरी circle हैं। इसी बात को आगे इस्तेमाल किया जाएगा।

2:47पिछली बात याद कीजिए। circle पर बैठा कोई corner जिस arc को पढ़ता है, वह reading centre पर उसी arc की reading की ठीक आधी होती है। तो पहला corner पहले arc की centre-reading का आधा है, और दूसरा corner दूसरे arc की centre-reading का आधा। ऊपर दोनों बातें साथ-साथ लिखी हैं। जाँच कैसे की गई? इसे 990 बार जाँचा गया, यानी 495 में से हर 4-gon के दोनों सम्मुख corners पर।

3:16और जाँच अलग रास्ते से की गई: corner की reading arc की अपनी reading से भिड़ाई गई, न कि उसी formula से जो नतीजा देता है। 990 के 990 में दोनों readings एक जैसी निकलीं, और असहमति एक बार भी नहीं हुई। 50 मामलों में arc ठीक straight angle निकलता है, और वहाँ tangent जैसा कोई number होता ही नहीं। उन्हें reading देने के बजाय मना कर दिया गया। centre पर एक radius को एक arc के सिरे से दूसरे सिरे तक घुमाइए।

3:46छोटा रास्ता लीजिए तो जो angle बनता है, वह साधारण angle है। अब उसी radius को दूसरी तरफ़ घुमाइए, उस arc के साथ-साथ। रास्ते में straight angle का निशान पार हो जाता है, और reading 180 से आगे निकल जाती है। यह reflex angle है। यहाँ मन में आता है कि centre का angle 180 से बड़ा कैसे हो सकता है। तो क्या यह कोई ग़लती है? ग़लती नहीं है — अगर लम्बे रास्ते की reading लेने की छूट न हो, तो दोनों टुकड़े मिलकर पूरी circle बनते ही नहीं।

4:18गिनती यह कहती है। 495 में से 445 में दोनों में से ठीक एक reading reflex होती है। बचे 50 वे हैं जहाँ वह सम्मुख pair ख़ुद diameter है। वहाँ दोनों readings ठीक straight angle होती हैं। और 2 हालतें एक बार भी नहीं आईं: दोनों reflex, शून्य बार; दोनों 180 से छोटी, शून्य बार। यही वह चीज़ है जो दोनों टुकड़ों को बन्द करती है। अब एक सवाल जो अपने आप उठता है।

4:49दोनों corners में से किसे लम्बे रास्ते वाली reading पढ़नी पड़ती है? पहली नज़र में यही लगता है कि छोटा corner लम्बा arc पढ़ता होगा। यह उत्तर ग़लत है, और गिनती ने इसे पकड़ा। सही उत्तर यह है: लम्बी reading उसी corner के हिस्से आती है जिसका अपना angle obtuse है। देखिए, reflex angle का आधा हमेशा right angle से बड़ा होता है, इसलिए कोई acute corner उसे पढ़ ही नहीं सकता।

5:18445 non-diameter मामलों में उस corner को लम्बी reading 92 बार पढ़नी पड़ी। और उसी corner का अपना angle obtuse भी ठीक 92 बार निकला। दोनों बातें 445 के 445 में एक साथ चलीं, और असहमति शून्य बार हुई। और नीचे 50 diameter मामलों में वह corner ठीक right angle निकला, न acute न obtuse — 50 के 50 में। इसीलिए उन्हें अलग गिना गया। अब दोनों centre-readings को एक के बाद एक centre पर रख दीजिए।

5:52देखिए, छोटी वाली और लम्बी वाली मिलकर पूरा चक्कर बन्द कर देती हैं। और पूरा चक्कर कितना होता है? 360 degrees. यह किसी theorem की ज़रूरत नहीं रखता, यही एक पूरे चक्कर की परिभाषा है। और दोनों corners अपने-अपने arc के आधे थे। तो दोनों corners मिलकर उन 2 readings के जोड़ के आधे हैं। 360 का आधा 180 है। नीचे यही लिखा है, और बस यही पूरा proof है।

6:21इसलिए यह 180 कहीं से टपका हुआ number नहीं है। यह पूरा चक्कर, आधा किया हुआ है — और इससे ज़्यादा रहस्यमय कुछ नहीं। अब वही argument दूसरे pair पर चलाइए। वे 2 corners circle को दूसरी जगह से काटते हैं, 2 अलग arcs बनते हैं, और बाक़ी सब हूबहू दोहरा जाता है। उस pair पर 495 में से 454 मामलों में arcs straight नहीं थे, और 41 में वह pair ख़ुद diameter निकला।

6:50numbers अलग हैं, argument वही है। यहाँ एक जाल है जिसमें गिरना बहुत आसान है, और पहली नज़र में वह जाल जैसा दिखता भी नहीं। चारों angles जोड़िए, 360 आ गया, तो क्या 4-gon cyclic है? नहीं — कोई भी 4-gon लीजिए, cyclic हो या न हो। एक diagonal खींच दीजिए, 2 triangles बन जाते हैं, हर triangle 180 देता है, और जोड़ 360 आ जाता है। यानी 360 हर बार आता है, इसलिए वह कुछ बताता ही नहीं।

7:23पर इस काट में एक शर्त छिपी है जो कोई नहीं बोलता: diagonal को उस corner के अन्दर पड़ना चाहिए जिसे वह काट रहा है। उन्हीं 4 points को क्रम बदल कर जोड़िए ताकि sides एक-दूसरे को काटें, और diagonal बाहर निकल जाता है। गिनकर देखिए तो क्रम उलटने के बाद 990 corners में से एक भी ऐसा नहीं बचा जहाँ diagonal अन्दर पड़ता हो, जबकि दोनों triangles तब भी 180 देते रहे।

7:49यानी जो टूटा वह काट थी, arithmetic नहीं। और 4 ऐसे values लीजिए जो जुड़कर 360 बनते हैं पर pairs पर 170 और 190 देते हैं। जोड़ ठीक है, 4-gon cyclic नहीं हो सकता। इसलिए जाँच जोड़ की नहीं, pairs की करनी है। अब 4 values लीजिए जो क्रम से रखे गए हैं: 80, 110, 100 और 70. क्या ये किसी cyclic 4-gon के हो सकते हैं? पहले जोड़ देखिए: 80 और 110 और 100 और 70, कुल 360.

8:27पर अभी-अभी देखा कि यह किसी भी 4-gon में आता है, इसलिए इससे कुछ नहीं मिला। अब pairs लीजिए। नीचे सम्मुख pair पहला: 80 और 100, जोड़ 180. दूसरा: 110 और 70, जोड़ भी 180. दोनों pairs ठीक हैं, इसलिए ये 4 values बन सकते हैं। और एक बात जो अक्सर मान ली जाती है उसे लिखकर देख लीजिए। अगर चारों मिलकर 360 हैं और एक pair 180 है, तो बचा हुआ pair भी 180 ही होगा।

9:00यह एक line में निकल आता है, इसे मानना नहीं पड़ता। एक अलग सामान पर भी यही जाँचा गया: 495 साधारण 4-gons में से 23 concyclic निकले, ठीक 23 में कोई एक सम्मुख pair 180 बना, और ठीक 23 में दोनों pairs बने। तीनों बार वही 23. एक pair वाला और दोनों pairs वाला अलग-अलग मामला कभी नहीं निकला — शून्य बार। अब उलटी बात। जो अभी साबित हुआ उसमें cyclic होना दिया हुआ था और 180 निकला।

9:34विलोम में 180 दिया हुआ है और cyclic होना निकालना है। ऊपर दोनों एक के नीचे एक लिखे हैं। पहली नज़र में लगता है कि theorem साबित होते ही विलोम अपने आप आ जाता है। क्या यह सचमुच ऐसा है? नहीं, अपने आप नहीं आता — कथन और उसका विलोम 2 अलग दावे हैं, और एक का सच होना दूसरे का सच होना नहीं बनाता। तरीक़ा वही है जो पहले चला था।

10:004 में से 3 corners लीजिए, उनसे होकर एक circle बनाइए, और चौथे को trial पर छोड़ दीजिए। यह circle एक ही है, और यही पूरी छूट है। अगर कई circles सम्भव होतीं, तो 'इस circle पर नहीं है' कहने से कोई विरोध पैदा ही न होता। इसे गिनकर देखा गया, और गिनती नीचे है। एक grid से 18424 triples बने। इनमें 824 ऐसे हैं जिनके तीनों points एक ही line पर हैं, और उन सबको centre देने से मना कर दिया गया।

10:31बाक़ी 17600 में से हर एक को एक ऐसा point मिला जो तीनों से बराबर दूरी पर है। मान लीजिए चौथा corner circle के बाहर है। देखिए, वह circle से साफ़ हटकर खड़ा है, और अब इसे मारना है। circle पर बैठे एक corner से उस बाहरी corner तक एक segment खींचिए। यह segment circle के अन्दर से होकर निकलता है, और एक जगह उसे छोड़ता है। वहाँ जो crossing बनती है, उसी को पकड़िए।

11:00अब crossing और बाक़ी 3 corners — चारों circle पर हैं। तो उन पर कौन सा theorem लागू होता है? वही जो अभी साबित हुआ, इसलिए उनका सम्मुख pair 180 बनता है। और दिया हुआ यह है कि उसी pair का दूसरा सिरा भी 180 बनाता है। दोनों बातें मिलकर कहती हैं कि crossing की reading और trial वाले corner की reading बराबर हों। पर crossing उस segment को trial वाले corner से सख़्ती से चौड़ा पढ़ता है।

11:30बराबर हो ही नहीं सकतीं। इसे एक पूरे मैदान पर चलाया गया। उस तरफ़ के 14259 exact candidates लिए गए। इनमें 7625 circle के बाहर हैं, और उनमें से 5776 ऐसे हैं जहाँ segment circle में घुसता है, यानी crossing दोनों corners के बीच गिरती है। बचे 1849 वे हैं जहाँ segment पहले ही कदम पर circle छोड़ देता है, और वे इसी branch में नहीं आते। जिन 5776 में argument चलता है, उनमें एक भी नाकाम नहीं हुआ — शून्य।

12:07अब दूसरी सम्भावना: चौथा corner circle के अन्दर। यह case अक्सर 'इसी तरह' कहकर छोड़ दिया जाता है, और पहली नज़र में लगता भी यही है कि कुछ नया नहीं होगा। छोड़िए मत, क्योंकि उसमें roles बदल जाते हैं। वही line खींचिए। देखिए, अब चूँकि corner अन्दर है, line उसे पार करके आगे जाकर circle से मिलती है। crossing दोनों corners के बीच नहीं, trial वाले corner के आगे पड़ती है।

12:34और चौड़ाई का क्या हुआ? इसी वजह से वह उलट जाती है। अब trial वाला corner ही वह है जो segment को सख़्ती से चौड़ा पढ़ता है, और crossing छोटा पढ़ता है। असम्भव बात वही की वही है। गिनती यहाँ और भी साफ़ है। उसी मैदान में 6606 candidates circle के अन्दर हैं, और 6606 के 6606 में crossing trial वाले corner के आगे ही पड़ी। एक भी अपवाद नहीं।

13:01यह अन्तर बोलने लायक़ है। बाहर वाले case में कौन सा सिरा चुना जाए यह एक चुनाव था, और ग़लत सिरा चुनने पर crossing मिलती ही नहीं। अन्दर वाले case में कोई चुनाव नहीं करना पड़ता। और failures दोनों तरफ़ शून्य रहीं। दोनों branches को अलग करने वाली चीज़ एक ही है: crossing कहाँ गिरती है। दोनों corners के बीच, या trial वाले corner के आगे। और ये ठीक वही numbers हैं।

13:29नीचे दोनों जोड़े रखे हैं। जितने candidates बाहर से घुसते हैं, उतनों में crossing बीच में गिरती है — 5776. जितने अन्दर हैं, उतनों में आगे गिरती है — 6606. जगह और case एक ही बात हैं। और सीमा पर? अगर candidate ख़ुद circle पर है, तो crossing वही point है और दोनों readings बराबर हैं। बराबर का मतलब है कि कोई सख़्ती से चौड़ा नहीं है। मैदान में 17 candidates ठीक circle पर बैठे हैं।

14:0117 के 17 में दोनों readings बराबर निकलीं, और उनमें से एक को भी सख़्ती से चौड़ा नहीं गिना गया — शून्य। पहली नज़र में यह छोटी बात लगती है, पर है नहीं। जो points बचने चाहिए वे इसलिए बचते हैं कि असमानता सख़्त है, इसलिए नहीं कि उन्हें जाँच से बाहर रख दिया गया। और एक हालत और: candidate उसी line पर हो जिस पर segment है। वहाँ कोई angle बनता ही नहीं।

14:26ऐसे 43 candidates मिले, और 43 के 43 को reading देने से मना कर दिया गया। किसी को number नहीं मिला। अब argument छोड़कर सीधे जाँच कीजिए। उस तरफ़ के हर एक candidate पर वही शर्त लगाइए: क्या यह segment को उस reading के supplementary पढ़ता है जो सामने वाला corner पढ़ता है? 14259 candidates आज़माए गए, और नीचे नतीजा है। सिर्फ़ 17 बचे। और वे 17 कहाँ हैं? 17 के 17 ठीक circle पर।

14:57circle से बाहर या अन्दर से एक भी नहीं बचा — शून्य। यहाँ ध्यान दीजिए कि इस जाँच में circle कहीं खींची नहीं गई। शर्त हर point पर लगाई गई और जो बच गए, वे अपने आप एक circle बना देते हैं, इसलिए यही elimination का असली चेहरा है। cyclic 4-gon की एक side को एक corner से आगे बढ़ा दीजिए। देखिए, जो angle बाहर बनता है वह उस corner का exterior angle है।

15:252 lines में निकल आता है। exterior angle और उसी corner का अन्दरूनी angle एक सीधी line बनाते हैं, तो उनका जोड़ 180. और वही अन्दरूनी angle अपने सम्मुख angle के साथ भी 180 बनाता है। दोनों में से एक ही चीज़ घटाइए। तो बचा क्या? यही कि exterior angle अपने सम्मुख corner के अन्दरूनी angle के बराबर है। नीचे वही एक line में लिखा है। पहली नज़र में लगता है कि वह पड़ोसी corner के बराबर होगा।

15:55पड़ोसी तो उसका supplement है। बराबर वह सम्मुख corner के है। 495 के 495 पर जाँचा गया। हर एक में exterior angle सम्मुख angle के बराबर निकला, और नाकामी शून्य बार। एक parallelogram circle पर रखिए। देखिए, parallelogram में सम्मुख angles बराबर होते हैं, और अब theorem कहता है कि वे supplementary भी हैं। 2 angles बराबर हों और जोड़कर 180 बनें, तो हर एक 90 होगा। इसलिए circle पर बैठा parallelogram rectangle ही हो सकता है, और कुछ नहीं।

16:30एक grid पर 22656 parallelograms बने। उनमें से 2560 concyclic निकले, और right-angled भी ठीक 2560 — वही set। एक भी ऐसा नहीं मिला जो एक हो और दूसरा न हो। अब एक और चीज़। एक cyclic 4-gon की sides 5, 5, 12 और 12 हैं। इसका क्षेत्रफल कितना होगा? जिन 2 corners पर 5 और 12 मिलते हैं, वे आपस में बराबर हैं। और cyclic होने की वजह से वे सम्मुख भी हैं, इसलिए supplementary भी।

17:05बराबर और supplementary का मतलब 90-90। तो यह 2 right triangles है जिनकी भुजाएँ 5 और 12 हैं। हर एक का क्षेत्रफल 30, कुल 60. और लम्बा diagonal 13 निकलता है। नीचे वही लिखा है, और वह इस circle का diameter है — क्योंकि उसके दोनों तरफ़ right angle बैठा है। और अगर उन्हीं 4 sides को 5, 12, 5, 12 के क्रम में पढ़ें तो यह rectangle बन जाता है।

17:33क्षेत्रफल फिर भी 60, diagonal फिर भी 13. जवाब पढ़ने के तरीक़े पर नहीं टिका। अब वही नतीजा दूसरे रास्ते से। centre से चारों corners तक radii खींच दीजिए। देखिए, चारों बराबर हैं, और 4-gon 4 triangles में बँट जाता है। हर triangle की 2 sides radii हैं, इसलिए हर triangle isosceles है और उसके 2 base angles बराबर हैं। ऐसे 4 जोड़े बनते हैं। और यहाँ सावधानी की जगह है।

18:04हर corner पर 2 base angles मिलते हैं, और पहली नज़र में लगता है कि वे एक ही triangle के हैं। हैं नहीं — वे अलग-अलग triangles से आते हैं, और एक ही triangle के 2 मान लेना उन्हें बराबर बना देगा, जो ग़लत है। तो आठों base angles मिलकर कितने हुए? चारों triangles मिलकर 720 देते हैं, और centre पर चारों angles मिलकर 360. घटाइए तो 360 बचता है।

18:30हर जोड़ा बराबर है, इसलिए 4 अलग letters मिलकर 180. अब कोई भी सम्मुख pair लीजिए। उसके दोनों corners मिलकर ठीक वही 4 letters उठाते हैं, हर एक एक बार। यानी 180 — बिना किसी arc के, बिना किसी reflex reading के। यह रास्ता सिर्फ़ तब चलता है जब centre 4-gon के अन्दर हो। 495 में से 221 ऐसे हैं। और उन 221 के 221 में चारों जोड़े बराबर निकले, चारों corners सही बँटे, चारों letters acute निकले और चारों मिलकर 180 बने।

19:09एक आख़िरी सवाल। दिया हुआ cyclic 4-gon देखकर, बिना circle खींचे, बताइए कि centre 4-gon के अन्दर गिरेगा या बाहर? एक कसौटी रखी जा सकती है। हर side को उसके सामने वाले corner से देखिए। अगर चारों बार वह angle acute है, तो centre अन्दर है। वजह एक line में। कोई side अगर right या obtuse angle बनाती है, तो वह circle में से आधा या उससे बड़ा टुकड़ा काट लेती है, और centre उस side के दूसरी तरफ़ चला जाता है।

19:41नीचे 495 पर दोनों बातें अलग-अलग गिनी गईं। centre 221 में अन्दर निकला, और कसौटी ठीक 221 में पास हुई। एक भी मामला ऐसा नहीं मिला जहाँ दोनों अलग हों — शून्य। यह कसौटी कहीं पढ़ी हुई नहीं है, यहीं रखी गई है। इसलिए इसे मान लेने के बजाय जाँचा गया, और यह टिकी। सबसे आसान पहले। देखिए, एक cyclic 4-gon के एक corner पर 100 लिखा है और सामने वाले corner पर एक अनजान value।

20:14सम्मुख pair 180 बनाता है, तो वह 80 है। बस एक घटाव। अब 2 पड़ोसी corners दिए हैं: 75 और 110. हर एक का सम्मुख corner उसका supplement है, तो बाक़ी 2 corners 105 और 70 हैं। और चारों जोड़कर 360 — जो हर 4-gon में होना ही चाहिए, इसलिए यह जाँच नहीं, बस एक तसल्ली है। अब एक जहाँ values सीधे नहीं दिए। सम्मुख corners पर लिखा है 2x जोड़ 10, और 3x घटा 20.

20:47तो x क्या है? दोनों सम्मुख हैं, तो जोड़ 180. जोड़ने पर 5x घटा 10 बराबर 180. यानी 5x बराबर 190, और x बराबर 38. अब x वापस रखिए। पहली नज़र में लगता है कि काम ख़त्म हो गया। पहला corner 86 निकलता है और दूसरा 94, और इन्हें जोड़कर देख लीजिए: 180. यही आख़िरी जाँच है जो पूरे हल को पकड़ लेती है। यह आदत बना लीजिए। x निकालकर छोड़ मत दीजिए, उसे वापस रखकर देखिए कि जो शर्त लगाई थी वह सचमुच पूरी हुई या नहीं।

21:28अब पूरी बात एक जगह, नीचे एक-एक line में। एक सम्मुख pair circle को 2 arcs में काटता है, बाक़ी दोनों corners एक-एक arc पढ़ते हैं, दोनों arcs मिलकर एक पूरा चक्कर हैं, और आधा किया हुआ चक्कर 180 है। और जो step सबसे आसानी से छूट जाता है वही सबसे ज़रूरी है — ऊपर दूसरी line में वही रखा है: दोनों में से एक reading लम्बे रास्ते की लेनी पड़ती है।

21:53वह छूट न हो तो दोनों टुकड़े circle को बन्द ही नहीं करते। जोड़ 360 होना कोई जाँच है? नहीं, वह हर 4-gon में होता है। जाँच pairs पर होती है। और विलोम वह है जो इस नतीजे को इस्तेमाल लायक़ बनाता है। theorem बताता है कि cyclic 4-gon क्या करता है; विलोम बताता है कि यह देखकर कैसे तय करें कि 4-gon cyclic है या नहीं — circle खींचे बिना।

22:20और वह विलोम सिर्फ़ इसलिए खड़ा है कि circle से हटने के दोनों तरीक़ों को अलग-अलग मारा गया — बाहर वाला और अन्दर वाला। दूसरा वाला वही है जिसे 'इसी तरह' कहकर छोड़ दिया जाता है, और जिसमें roles उलट जाते हैं। इसलिए आख़िर में यह याद रखिए कि 180 अपने आप में कोई बात नहीं है। वह एक पूरा चक्कर है, आधा किया हुआ — और आधा इसलिए किया जा सका क्योंकि circle पर बैठा corner centre की reading का आधा पढ़ता है।