लंबाई और centre से दूरी एक ही तथ्य हैं, दो बार (Theorems 6–8)

0:00एक circle है, centre O है, और उस पर A से B तक एक chord खिंची हुई है। इसके बारे में 2 चीज़ें नापी जा सकती हैं। पहली इसकी लंबाई — यह bar chord के ऊपर ही खिंचा है, A से B तक। दूसरी, centre से इसकी दूरी — centre से chord पर square गिरी हुई line, और यह दूसरा bar उसी line के ऊपर है। board पर ये 2 अलग अलग numbers की तरह लिखे हैं।

0:27सवाल यही है — क्या ये सचमुच 2 आज़ाद numbers हैं? इसका जवाब ना है — इस circle पर एक तय कर दीजिए, और दूसरा अपने आप तय हो जाता है। इसीलिए इस topic का हर नतीजा इसी एक बात से निकलता है। बहुत से students centre से chord की दूरी का मतलब लेते हैं — centre से chord के किसी एक end तक की दूरी। देखिए, O से A तक और O से B तक, दोनों radius हैं।

0:57board पर दोनों पर एक जैसा tick लगा है। सारे 1378 chords पर, हर एक के 2 ends — यानी 2756 नाप। उनमें अलग अलग values कितनी निकलीं? सिर्फ़ 1 ही value निकली। जो नाप हर chord पर एक ही निकलती है, वह chords को अलग कर ही नहीं सकती। इसलिए वह दूरी बेकार है। centre से दूरी का मतलब है perpendicular distance — centre से chord पर square गिरी हुई line की लंबाई।

1:26और कुछ नहीं। एक कागज़ की disc लीजिए, और एक बार अंदर की तरफ़ मोड़कर खोल दीजिए। देखिए, जो crease बनी, वह एक chord है। अब दोबारा इस तरह मोड़िए कि chord के दोनों ends एक दूसरे पर आ बैठें। अब कागज़ पर 2 creases हैं। दूसरी crease कहाँ से होकर जाएगी? यहाँ दूसरी crease पहली को square काटती है, और ठीक बीच में काटती है, क्योंकि मोड़ने पर एक end दूसरे पर बैठा था।

1:55और वह crease centre से होकर गुज़रती है। यह बात पिछले नतीजे से पहले ही हाथ में है। बहुत से students इसे एक नया नतीजा समझ लेते हैं। यह नया नहीं है। centre से chord पर square गिरी line chord को आधा काटती है — यह हम पहले ही साबित कर चुके हैं। अब उसी picture को साफ़ खींच लेते हैं — circle, chord, और centre से गिरी हुई square line।

2:20जहाँ वह line chord से मिलती है, उस point को foot कहते हैं। foot chord को 2 बराबर टुकड़ों में बाँट देता है। देखिए, दोनों टुकड़ों पर एक जैसा tick लगा है। centre से foot तक का जो टुकड़ा है, वही centre से chord की दूरी है। यहाँ यह bar उसी line के ऊपर खिंचा है, chord के ऊपर नहीं। अब O से chord के एक end तक radius खींच दीजिए।

2:44यह जोड़ किस काम आएगा? दूरी, chord का आधा, और radius — ये 3 मिलकर एक right angle वाला triangle बना देते हैं। इस triangle को याद रखिए, क्योंकि पूरा topic इसी एक triangle से निकलता है। यह कुछ देर में वापस आएगा। एक chord को एक पतली sheet पर trace कर लीजिए। अब sheet को घुमाकर उसी circle पर किसी और जगह रख दीजिए। लंबाई तो वही रही, जगह बदल गई।

3:12centre से दूरी बदलेगी क्या? यहाँ दोनों जगहों पर centre से दूरी नापिए — दोनों bars बराबर निकलते हैं। तीसरी जगह रखिए, फिर वही। देखिए, तीनों bars एक जैसे हैं। तो यहाँ से एक अंदाज़ा बनता है। क्या बराबर लंबाई वाले chords centre से हमेशा बराबर दूर होते हैं? यहीं पर बहुत से students रुक जाते हैं — जितनी बार आज़माया, सही निकला, तो बात साबित हो गई। tracing paper ने एक अच्छा काम किया — उसने बता दिया कि कहाँ देखना है।

3:45पर उसने साबित कुछ नहीं किया। एक मिसाल लीजिए। board पर एक rule है जो 0 से लेकर 39 तक, यानी पूरे 40 बार, सही निकलता है। और 40 पर? वहाँ वह 1681 पर आ गिरता है, जो 41 गुणा 41 है। यानी rule टूट गया। हमने ऊपर सिर्फ़ 3 chords आज़माकर देखे थे। 40 भी काफ़ी नहीं था, तो 3 क्या होगा। इसलिए अब इसे साबित करना पड़ेगा। दिया है — एक ही circle पर 2 chords, जिनकी लंबाई बराबर है।

4:21साबित करना है कि centre से उनकी दूरी भी बराबर है। देखिए, हर chord centre के साथ मिलकर एक triangle बना देता है। चारों radius खींच दीजिए और दोनों triangles को अलग करके रख लीजिए। पहले triangle की 2 sides radius हैं, दूसरे की भी 2 sides radius हैं, और तीसरी sides हमें बराबर दी हुई हैं। 3 sides के मुक़ाबले 3 sides — यानी SSS। दोनों triangles congruent हैं।

4:49अब यहाँ centre से दोनों chords पर height गिराइए। congruent triangles में corresponding heights बराबर होती हैं, इसलिए दोनों दूरियाँ बराबर हैं। sample में बराबर लंबाई वाले chords के 3679 जोड़े हैं। उनमें से कितने ऐसे निकले जिनके triangles congruent न हों? गिनती 0 पर ही रही। और कितनों में heights अलग निकलीं? वहाँ भी 0 ही निकला। बहुत से students यहीं रुक जाते हैं, कि एक proof तो हो गया।

5:20अब वही दिया हुआ लीजिए — बराबर लंबाई वाले 2 chords — पर रास्ता बदल दीजिए। पिछला नतीजा कहता है कि हर perpendicular अपने chord को आधा काटता है। तो board पर चारों आधे टुकड़े tick कर दीजिए। chords बराबर थे, इसलिए उनके आधे टुकड़े भी बराबर हैं। पर इससे दूरियाँ बराबर कैसे हुईं? एक आधा triangle अलग करके देखिए — foot पर right angle है, सबसे लंबी side radius है, और तीसरी side chord का आधा है।

5:49right angle, सबसे लंबी side और एक और side — इतने से तीसरी side तय हो जाती है। दोनों आधे triangles congruent हैं, तो दोनों दूरियाँ बराबर। बहुत से students को यहाँ एक ग़लती होती है। उन्हें लगता है कि ये 2 proofs असल में एक ही हैं, बस लिखने का तरीक़ा बदला है। क्या सच में ऐसा है? पहला argument सिर्फ़ 4 radius और दी हुई बराबरी से चलता है।

6:15उसमें midpoint का नाम तक नहीं आता। दूसरा argument शुरू ही नहीं हो सकता जब तक आधा काटने वाला नतीजा पहले से साबित न हो। वह उस पर टिका हुआ है। यही नतीजों के ऊपर नतीजे बनना है। दोनों एक ही जगह पहुँचते हैं, पर शुरू अलग अलग जगह से होते हैं। इसका फ़ायदा भी है। अगर किसी सवाल में आधा काटने वाली बात हाथ में न हो, तो पहला रास्ता ही खुला रहता है।

6:43अब दिया हुआ और साबित करना, दोनों उलट दीजिए। दिया है कि 2 chords centre से बराबर दूर हैं। साबित करना है कि उनकी लंबाई बराबर है। यह मुफ़्त नहीं मिलता। कोई बात सच हो, इससे उसका उल्टा सच नहीं हो जाता। इसे अलग से साबित करना पड़ता है। अब दोनों आधे triangles अलग कर लीजिए। यहाँ हर एक में foot पर right angle है, सबसे लंबी side radius है, और अब दूरी दी हुई है।

7:13इस बार तीसरी side, यानी chord का आधा, नतीजे में निकलता है। देखिए, आधे बराबर, तो पूरे chords भी बराबर। इस बार sample को दूरी के हिसाब से बाँटा गया, लंबाई के हिसाब से नहीं। बराबर दूरी वाले chords के 3679 जोड़े मिले। उनमें अलग आधे कितने निकले? गिनती 0 पर ही रही। और अलग लंबाई वाले कितने? वहाँ भी 0 ही निकला। एक circle लीजिए जिसका radius 5 है।

7:43अब उस पर अलग अलग लंबाई के chords खींचकर एक table भरते हैं। सबसे लंबा chord 10 का है। वह centre से कितनी दूर है? दूरी 0 है, क्योंकि वह centre से होकर ही गुज़रता है। 8 वाला chord 3 दूर है। 6 वाला 4 दूर है। लंबाई घट रही है और दूरी बढ़ रही है। और 4 वाला chord? उसकी दूरी कोई पूरी संख्या नहीं है। वह 4 और 5 के बीच में कहीं बैठती है, और board पर उसे 2 ticks के बीच दिखाया है।

8:14अब दोनों rows को साथ देखिए। एक घट रही है तो दूसरी बढ़ रही है, हर column पर। जवाब उसी triangle में रखा है जिसे हमने अलग रख छोड़ा था। पर पहले पूछिए — ऐसा होना ही क्यों है? देखिए, वही triangle वापस आ गया — दूरी, chord का आधा, और radius, और foot पर right angle। right angle वाले triangle में सबसे लंबी side का square बाक़ी 2 sides के squares का जोड़ होता है।

8:45यानी दूरी का square जोड़ आधे का square, बराबर radius का square। इसे नापकर जाँचा गया, न कि एक formula से दूसरा निकालकर। लंबाई chord के 2 ends से निकाली, दूरी centre के projection से। सारे 1378 chords पर चूक कितनी बार हुई? एक बार भी नहीं, गिनती 0 रही। अब असली बात। यहाँ एक ही circle पर radius बदलता नहीं। इसलिए बाईं तरफ़ के 2 terms का जोड़ हमेशा एक ही रहता है।

9:17बहुत से students इस एक line पर से गुज़र जाते हैं। जोड़ तय हो, तो एक term बढ़ेगा तो दूसरे को घटना ही पड़ेगा। table की दोनों rows उलटी क्यों चल रही थीं, वजह यही है। देखिए, sample को लंबाई के हिसाब से छाँटिए। अलग अलग लंबाइयाँ कितनी निकलीं? गिनती 347 पर रुकी। अब दूरी के हिसाब से छाँटिए। अलग अलग दूरियाँ कितनी निकलीं? वहाँ भी गिनती 347 ही है।

9:47और अब दोनों को साथ लेकर गिनिए — लंबाई और दूरी के अलग अलग जोड़े कितने? 1378 chords पर भी सिर्फ़ 347। यहाँ तीनों गिनतियाँ एक जैसी हैं। अगर ये सचमुच 2 आज़ाद numbers होते, तो जोड़ों की गिनती कहीं ज़्यादा होती। इसलिए यह कहना ग़लत है कि एक chord की लंबाई और दूरी, दोनों आज़ादी से चुनी जा सकती हैं। एक तय कीजिए, दूसरा हाथ से निकल जाता है।

10:16यह इस topic की सबसे आम ग़लती है। बहुत से students सोचते हैं कि chord जितना लंबा हो, centre से उतना ही दूर होगा। यहाँ एक circle पर 2 chords लीजिए, एक लंबा और एक छोटा, और दोनों पर centre से square line गिरा दीजिए। दोनों के लिए वही relation लिखिए। दोनों में सबसे लंबी side वही radius है, इसलिए दोनों तरफ़ का जोड़ एक जैसा है। लंबा chord है, तो उसका आधा भी बड़ा है।

10:43देखिए, आधे का square बड़ा हुआ, और जोड़ वही रहना है — तो दूरी का square छोटा होना ही पड़ेगा। sample के chords को जोड़ों में बाँटिए। 3679 जोड़े बराबर लंबाई वाले हैं, और 945074 जोड़े अलग अलग लंबाई वाले। उनमें कितनी बार लंबा chord ज़्यादा दूर निकला? एक बार भी नहीं, गिनती 0 रही। पिछले argument का आख़िरी step ग़ौर करने लायक़ है। बहुत से students इसे बिना रुके पढ़ जाते हैं।

11:16वहाँ हमने squares की तुलना की, और फिर उसी से lengths की तुलना पढ़ ली। यह हमेशा नहीं चलता। एक जोड़ा लीजिए जिसमें squares कहते हैं कि पहला बड़ा है, जबकि numbers ख़ुद कहते हैं कि पहला छोटा है। वह step यहाँ चलता है सिर्फ़ इसलिए कि दोनों lengths हैं, यानी दोनों positive हैं। 1 से 60 तक के सारे positive जोड़े आज़माए गए — 3600 जोड़े। कितनों में squares और numbers अलग बात कहते हैं?

11:44गिनती 0 पर ही रही। जहाँ भी कोई proof squares की तुलना से lengths की तुलना निकाले, यह एक line उसे लिखनी पड़ती है। अब पूरे परिवार को देखिए। दूरी 0 रखिए — chord centre से होकर गुज़रता है, यानी वह diameter है। sample में ऐसे chords 19 हैं, और 0 दूरी वाले chords भी ठीक 19। एक भी ऐसा नहीं जो एक शर्त पूरी करे और दूसरी नहीं। इसलिए diameter से लंबा कोई chord हो ही नहीं सकता।

12:15अब chord को बाहर की तरफ़ खिसकाइए। यहाँ दूरी बढ़ती है और लंबाई घटती जाती है। आख़िर में वह एक ही point पर सिमट जाता है। पर वह chord नहीं रहा — 0 लंबाई वाला chord chord नहीं होता। sample में radius तक पहुँचने वाली दूरियाँ कितनी निकलीं? गिनती 0 पर ही रही। और 0 लंबाई वाले chords कितने? वहाँ भी 0 ही। पूरा परिवार इन्हीं 2 सिरों के बीच रहता है।

12:43एक और आम ग़लती। बहुत से students सोचते हैं कि अगर एक chord दूसरे से 2 गुना दूर है, तो उसकी लंबाई आधी होगी। क्या सच में ऐसा है? radius 5 वाले circle पर नापिए। देखिए, 1 दूर वाले chord की लंबाई का square 96 है, और 2 दूर वाले का 84। यानी दोनों squares का अनुपात 8 और 7 का है। आधा भी नहीं, दोगुना भी नहीं — दोनों chords लगभग बराबर हैं।

13:10और कोई एक factor है ही नहीं। एक ही circle पर दूरी 9 अलग अलग तरीक़ों से दोगुनी कीजिए, तो 9 अलग अलग अनुपात निकलते हैं। और कभी कभी दूसरा chord होता ही नहीं। radius 5 पर 3 दूर वाला chord लीजिए। उसे दोगुना कीजिए तो 6 दूर चाहिए, जो radius से ही बाहर है। वजह relation में ही लिखी है। वहाँ दूरी और लंबाई सीधे नहीं जुड़े, उनके squares जुड़े हैं।

13:38पहला सवाल सीधा है। radius 13, दूरी 5 — chord कितना होगा? chord 24 का निकलता है। दूसरा सवाल उलटा है। chord 16 का है और वह 6 दूर खड़ा है — radius कितना होगा? radius 10 निकलता है। वही relation, बस दूसरी तरफ़ से पढ़ा। तीसरा सवाल थोड़ा अलग दिखता है। 2 parallel chords हैं, 10 और 24 के, और एक ही तरफ़ 7 दूर। तो radius कितना होगा?

14:08सिर्फ़ 13 चलता है, क्योंकि उनकी दूरियाँ 12 और 5 निकलती हैं। पर यहाँ शब्द पढ़ना ज़रूरी है। वही 2 chords अगर centre की उलटी तरफ़ हों, तो उनके बीच 7 नहीं, 17 का फ़ासला होगा। दूरियाँ वही 12 और 5 हैं, बस जुड़ती हैं, घटती नहीं। चौथा सवाल circle के अंदर से आता है। एक point लीजिए, 3 आगे और 1 ऊपर। उससे होकर जाने वाले chords में सबसे छोटा कौन सा है?

14:39वही जो centre से आई join पर square बैठता है, क्योंकि वही centre से सबसे दूर है। यह सिर्फ़ उस एक point पर नहीं। circle के अंदर की सारी पूरी संख्या वाली जगहें आज़माई गईं — centre छोड़कर 68। उनमें से कितनी पर सबसे छोटा chord square वाला नहीं निकला? एक भी जगह नहीं, गिनती 0 रही। चारों सवाल अलग दिखते हैं। चारों का जवाब वही एक relation है, हर बार अलग तरफ़ से पढ़ा हुआ।

15:07एक chord के पास 2 नाप नहीं हैं — एक ही नाप है, 2 तरह से कही हुई।