बराबर लंबाई की chords centre पर बराबर कोण काटती हैं, और उसका विलोम (Theorems 2–3)

0:00एक wheel है, और उसके rim पर 2 points के बीच एक thread कसकर तनी हुई है। hub से 2 spokes निकलकर उसी thread के दोनों ends तक जाती हैं। देखो, hub ही circle का centre है, और rim के 2 points को जोड़ने वाली यह thread एक chord है। दोनों spokes radius हैं, इसलिए दोनों बराबर लंबी हैं। यहाँ thread और वो 2 spokes मिलकर एक triangle बना देती हैं।

0:26यह shape chord के साथ अपने आप आ जाता है — इसे अलग से बनाना नहीं पड़ता। अब wheel को घुमा दो। thread rim पर कहीं और पहुँच गई — तो क्या यह कोई दूसरी chord बन गई? देखने लायक़ सिर्फ़ 2 चीज़ें हैं — chord कितनी लंबी है, और centre पर वह कितना बड़ा angle बनाती है। बाक़ी सब सिर्फ़ position है। यही shape wheel पर 3 अलग जगहों पर रख देते हैं — ऊपर बाईं तरफ़, right में, और नीचे।

0:56पहली नज़र में लगता है कि बात यहीं ख़त्म हो गई। position बदल गई है, और कुछ नहीं। देखो, तीनों threads एक जैसी लंबी लगती हैं, और centre पर तीनों का angle एक जैसा लगता है। picture यही कहलवाना चाहती है। पर picture इतना ही करती है कि बता देती है किस जवाब की उम्मीद करनी है। उम्मीद करना और हक़ से कह देना, यह 2 अलग काम हैं। 3 cases की picture सिर्फ़ 3 cases है।

1:22हमें हर chord के लिए चाहिए, हर circle पर, हमेशा — इसलिए आगे एक argument देना पड़ेगा। और वह argument 2 बार देना पड़ेगा। एक बार जब लंबाई दी हो, और एक बार जब angle दिया हो। board पर किसी भी chord को लो। तुम्हें लग सकता है कि chord अकेली एक segment है, पर centre से उसके दोनों ends तक 2 radii अपने आप आ जाती हैं। देखो, दोनों centre से circle तक जाती हैं, इसलिए दोनों की लंबाई radius है।

1:53मतलब triangle isosceles है — chord चुनने से पहले ही। chord इस isosceles triangle की base है, और 2 radii उसकी बराबर arms. centre पर बना angle इन्हीं 2 arms के बीच है। एक sample circle की सारी 1378 chords पर यह जाँचा गया। इनमें से 0 ऐसी निकलीं जिनकी 2 sides radius के बराबर न हों। यहाँ इस triangle की 2 sides chord चुनने से पहले ही तय हैं — दोनों radius हैं।

2:22जो भी chord लो, ये 2 sides वही रहेंगी। तो बदल सकने लायक़ सिर्फ़ 2 चीज़ें बचीं — यहाँ तीसरी side, और arms के बीच का angle. और वही 2 चीज़ें हमारी chord और उसका central angle हैं। तो सवाल यह है — यहाँ इन 2 में से एक को तय कर लो, तो क्या दूसरा भी अपने आप तय हो जाता है? इस सवाल के 2 सिरे हैं। तीसरी side दे दी जाए तो angle तय — यह एक theorem है।

2:51angle दे दिया जाए तो तीसरी side तय — यह दूसरा। एक circle लो, centre C. देखो, उस पर 2 chords खींची हैं — एक A से B तक ऊपर, दूसरी D से E तक नीचे। और मान लो दोनों बराबर लंबी हैं। दावा यह है कि centre पर ये दोनों बराबर angle बनाती हैं, यहाँ भी और वहाँ भी। A C B वाला angle और D C E वाला angle, बराबर।

3:20इसे ठीक से लिख लो। जो दिया है वह एक लंबाई है, और जो निकालना है वह एक angle है। दोनों अलग तरह की चीज़ें हैं। यह फ़र्क़ आगे बहुत काम आएगा, क्योंकि जो दिया गया है वही तय करेगा कि proof में कौन सा tool चलेगा। चारों radii खींच लो — C से A, C से B, C से D, C से E तक। अब board पर 2 triangles हैं, और दोनों का एक corner C है।

3:48देखो, C से चारों points तक की लंबाई radius है। तो पहला जोड़ा sides का मिल गया, और दूसरा भी — बिना कुछ माँगे। और तीसरा जोड़ा वही है जो हमें दिया गया था — दोनों chords बराबर हैं। तो तीनों जोड़े sides के बराबर हो गए। 3 sides बराबर, 3 sides बराबर — यही SSS है। इसलिए ये 2 triangles congruent हैं। congruent triangles के matching parts बराबर होते हैं, और यहाँ हमें C वाला जोड़ा चाहिए।

4:19हर triangle में जो angle chord के सामने है, वही C पर वाला angle है — तो वही जोड़ा हमें चाहिए था। तो बराबर chords centre पर बराबर angle बनाती हैं। picture ने जो उम्मीद दी थी, अब वह कमाई हुई बात है। अब circle को हटा लो और सिर्फ़ 2 triangles रहने दो। जो बात यहाँ बची, वह circle के बिना भी पूरी है। board पर 2 isosceles triangles हैं।

4:46अगर उनकी बराबर arms भी आपस में बराबर हों और base भी बराबर हो, तो वे congruent हैं। sample circle पर लंबाई में मिलती chords के 3679 जोड़े बने। इनमें से 0 जोड़े ऐसे थे जिनके triangles congruent न हों। इससे साफ़ हो जाता है कि काम circle नहीं कर रहा था। काम 2 radii कर रही थीं, जो हर chord के साथ मुफ़्त में आती हैं। अब दोनों को उलट देते हैं।

5:14देखो, इस बार centre पर बने 2 angles बराबर दिए हैं, और साबित यह करना है कि chords बराबर हैं। यहाँ ऊपर पिछली बार लंबाई दी थी और angle निकालना था। इस बार angle दिया है और लंबाई निकालनी है। रंग आपस में बदल गए हैं। बहुत से students सोचते हैं कि जब सीधी बात सच है तो उलटी बात अपने आप सच होगी। ऐसा नहीं होता — converse एक अलग दावा है।

5:40तो क्या हर सच्चे statement का converse भी अपने आप सच होता है? इसका जवाब ना है। हर converse को अलग से कमाना पड़ता है, और आगे इसी topic में एक converse ऐसा आएगा जिसे बहुत मुश्किल रास्ते से साबित करना पड़ता है। देखो, centre पर खड़े हो जाओ और 2 arms बाहर फैला लो, एक तय opening पर। अब वहीं खड़े खड़े घूम जाओ। यहाँ दोनों हाथ circle पर ही चलते रहते हैं, क्योंकि arms की लंबाई radius है।

6:10और हाथों के बीच का फ़ासला वही का वही लगता है। यह picture भरोसा दिला देती है, पर proof नहीं है। और इसकी कमी बहुत साफ़ है। घुमाते वक़्त हम चुपके से मान लेते हैं कि दूसरी arm ठीक दूसरे point पर जाकर बैठेगी। पर वही तो साबित करना था। इसलिए converse का हिसाब अब भी बाक़ी है, और उसे congruence से चुकाना पड़ेगा। दोनों directions को साथ साथ रख दो।

6:37हर panel में 3 rows — क्या दिया है, कौन सा test चलेगा, और वह test क्या देकर जाता है। left में सीधी direction है, और उसमें दिया हुआ एक side है। 2 sides पहले से radius थीं, तो तीनों sides पता हैं — इसलिए SSS चल गया। right में उलटी direction है, और वहाँ जो दिया गया है वह एक angle है। sides के नाम पर सिर्फ़ 2 radii हैं, तीसरी side तो वही है जो निकालनी है।

7:04बहुत से students यहाँ वही SSS दोबारा लगाने चलते हैं। पर SSS चल ही नहीं सकता, क्योंकि जो चीज़ वह माँगता है वही हमारे पास नहीं है। यही सबसे साफ़ सबक़ है — कौन सा tool उठाना है, यह पसंद से नहीं, दिए गए facts से तय होता है। देखो, हर triangle में 2 sides radii हैं, जैसे पहले थीं। यह हमेशा मुफ़्त में मिलता है। और यहाँ जो angle दिया गया है वह ठीक उन्हीं 2 sides के बीच बैठा है — दोनों triangles में, एक ही जगह पर।

7:37side, angle, side — यही SAS है। तो ये 2 triangles congruent हैं। congruent triangles में matching parts बराबर होते हैं, और यहाँ तीसरी sides वही 2 chords हैं। इसलिए chords बराबर निकलीं। तो centre पर बराबर angle बनाने वाली chords बराबर लंबी होती हैं। इस तरह दूसरी direction भी कमा ली गई। तुम्हें लग सकता है कि 2 sides और 1 angle तो 2 sides और 1 angle ही है।

8:06देखो, 2 sides वही रखो, पर angle को उनके बीच से हटाकर किसी और corner पर रख लो। एक lattice के 2148 triangles पर यह जाँचा गया। जब angle बीच में था, ऐसे 0 मौक़े मिले जहाँ तीसरी side के 2 जवाब बन सकें। पर जब वही angle बीच से हट गया, तो 21 ऐसे bundles निकले जहाँ एक ही set of facts से 2 अलग जवाब बन जाते हैं।

8:30उनमें से एक यहाँ लिख देते हैं। 2 sides जिनके square 5 और 1 हैं, और angle बीच में नहीं — तो तीसरी side का square 2 भी हो सकता है और 8 भी। एक जैसे 3 facts, और 2 अलग triangles. इसीलिए SAS में बीच वाला शब्द सजावट नहीं है — वही पूरा test है। अब board पर एक circle की हर chord को एक एक करके देखते हैं — पूरी 1378.

8:58proof हो चुका है, पर गिनकर देख लेना अलग भरोसा देता है। हर एक की लंबाई और centre पर उसका angle, अलग अलग नापे गए। देखो, अलग अलग लंबाइयाँ 347 निकलीं। और लंबाई के साथ angle के जोड़े भी ठीक 347 ही निकले। दोनों गिनतियाँ बराबर होने का मतलब यही है कि कोई भी लंबाई 2 अलग angles के साथ कभी नहीं दिखी। फिर उन्हीं chords को angle के हिसाब से इकट्ठा किया गया।

9:26वही 347 groups बने, उनमें 3679 जोड़े, और अलग लंबाई वाले जोड़े 0। और एक ही angle को circle पर 53 अलग जगहों पर रखकर देखा गया। उससे कटी chord की लंबाई सिर्फ़ 1 तरह की निकली। यहाँ एक chord लेकर उसे sample के सारे 53 turns से गुज़ारा गया। हर बार वह circle पर कहीं और जा बैठी। देखो, लंबाई 53 में से 0 बार बदली। centre पर angle 53 में से 0 बार बदला।

10:00और ends 53 में से 0 बार circle से बाहर गए। और ये 53 सचमुच 53 अलग chords हैं, एक ही chord की 53 copies नहीं। यानी हिली भी, और बची भी। अब उसी chord को घुमाने के बजाय बग़ल में खिसका लो, 10 अलग तरीक़ों से। लंबाई 10 में से 10 बार बच गई। और centre पर angle 10 में से 0 बार बचा। इसीलिए wheel को घुमाने की इजाज़त है और खिसकाने की नहीं।

10:27घूमने में centre अपनी जगह रहता है, खिसकने में नहीं। तो match एक के बदले एक का है — यहाँ 347 लंबाइयाँ और 347 angles, आमने सामने। और यह match एक ही दिशा में चलता है। chord जैसे जैसे लंबी होती है, centre पर cosine गिरता जाता है — 346 में से 346 steps पर। तो एक सवाल — centre पर angle को double कर दें, तो क्या chord भी double हो जाएगी?

10:58देखो, एक chord लो जो radius जितनी लंबी है। centre पर उसका cosine ठीक 1 बटा 2 निकलता है, और इसी angle को 60 degrees कहते हैं। अब angle को double करके 120 degrees कर दो। उस chord का square radius के square का 3 गुना निकलता है। radius 10 पर वह square 300 है, और 18 का square इससे बड़ा है — तो chord 18 तक भी नहीं पहुँचती।

11:2420 तो बहुत दूर रह गया। theorems ने कभी proportional होने का दावा किया ही नहीं। उन्होंने सिर्फ़ इतना कहा कि एक से दूसरा तय हो जाता है। अब गिनती में करके देखते हैं। यहाँ radius 10 और chord 12 लो — centre पर cosine ठीक 7 बटा 25 निकलता है। देखो, यह एक fraction है, कोई दशमलव नहीं। मतलब लंबाई से angle निकालने में कहीं भी कुछ round नहीं करना पड़ा।

11:52अब यही सवाल उलटकर पूछते हैं। radius 12 लो और वही angle जिसका cosine 1 बटा 2 है — chord निकलती है 12, यानी radius जितनी। यह जवाब याद से नहीं लिखा गया। 1 से 24 तक हर पूरी संख्या आज़माई गई, और सिर्फ़ 12 ने वह cosine दिया। और एक आख़िरी बात। 6 लंबाई की एक ही chord को 9 अलग radius वाले circles पर रखा गया, और उसने 9 अलग angles बनाए।

12:20तो centre पर बना angle अकेली chord का नहीं है। वह chord का और इसी circle का है — दोनों theorems एक ही circle के अंदर रहते हैं। देखो, एक तय circle पर chord की लंबाई बताओ, तो centre पर उसका angle पहले से तय है। शुरू में शायद तुम्हें लगा था कि इसके लिए कुछ नापना पड़ेगा। और उसी circle पर angle बताओ, तो chord की लंबाई पहले से तय है।

12:45यहाँ theorems 2 हैं क्योंकि proofs अलग हैं — एक SSS से चलता है, दूसरा SAS से। पर बात 1 ही है, क्योंकि जानकारी एक ही है। और इसी से वह इजाज़त मिलती है जिसकी शुरू में ज़रूरत थी — chord को circle पर घुमाकर कहीं भी ले जाओ, वह वही chord रहती है। और यह सब उन 2 radii ने किया जो हर chord के साथ बिना बुलाए चली आती हैं।

13:09उन्हीं की वजह से हर बार सिर्फ़ 1 चीज़ खुली रह जाती है।