एक ही वृत्तखंड में बराबर कोण: चाप अपने से परे हर point से एक जैसा ही दिखता है

0:00board पर एक circle है, उस पर A और B, और इन दोनों के बीच वाला एक arc चुन लिया गया है। centre पर इस arc का अपना angle किन चीज़ों से बनता है? एक radius एक end पर, दूसरा दूसरे end पर, और उस arc के साथ साथ घूमा हुआ sweep। और arc से बाहर बैठे किसी point से वही arc ठीक आधा angle बनाता है। यह बात तय हो चुकी है।

0:25अब इस point को circle पर सरकाइए। arc से बाहर ही रखिए, बाकी जहाँ मन करे वहाँ। देखिए, triangle की शक्ल पूरी तरह बदल जाती है। तुम्हें लगेगा कि angle भी बदलेगा, क्योंकि रोज़मर्रा में दूर की चीज़ पतली दिखती है और पास की चौड़ी। तो सवाल यही है — क्या तुम्हारे सरकने से number भी सरकता है? अंदाज़ा लगाने से पहले relation की दूसरी तरफ़ देखिए। centre वाला angle असल में बना किन चीज़ों से है?

0:56एक radius arc के एक end तक। एक radius दूसरे end तक। और पहली से दूसरी तक का sweep, उसी तरफ़ से जिस तरफ़ arc जाता है। अब इस list को दोबारा पढ़िए और देखिए कि इसमें क्या नहीं है। इसमें कोई देखने वाला point है ही नहीं। इसका मतलब यह है कि जैसे ही तुमने arc का नाम ले लिया, यह number तय हो गया। किसी के कहीं खड़े होने का इसमें कोई हिस्सा नहीं है।

1:23sample पर यह गिना गया — ends के 462 ordered जोड़े, और 0 ऐसा जिस पर दूसरा arc चुनने से बनावट बदल जाती हो। बदलती सिर्फ़ यह है कि sweep किस तरफ़ जा रहा है। तो पूरा argument एक line का है। जो number पहले से तय है, उसका आधा भी तय है। arc से बाहर बैठा हर point उसी एक तय number का आधा पढ़ता है, इसलिए सबका पढ़ा हुआ number एक ही निकलता है।

1:51क्या इतने में पूरा argument हो सकता है? बहुत से students को यह बहुत छोटा लगता है, जैसे कुछ छूट गया हो। पर छोटा होना यहाँ कमी नहीं है। मेहनत पहले हो चुकी थी, जब doubling साबित किया गया था। यह line सिर्फ़ उसका नतीजा उठाकर रख रही है। इस तरह की बात को invariance कहते हैं — कुछ बदलता रहे और एक चीज़ टस से मस न हो। यहाँ देखने वाली जगह बदलती है और reading नहीं बदलती।

2:21यहाँ arc से बाहर 3 points लिए गए हैं, और तीनों से दोनों ends तक lines खींची गई हैं। देखिए, तीनों triangles बिलकुल अलग दिख रहे हैं — कोई पतला, कोई चौड़ा, कोई टेढ़ा। फिर भी तीनों जगह बना angle एक ही है, और board पर तीनों पर एक जैसा निशान लगा है। sample पर ऐसे 440 arcs निकले जिन्हें बाहर से पढ़ा जा सकता था। इनमें से कितनों ने 2 अलग readings दीं?

2:48एक ने भी नहीं, गिनती 0 रही। हर arc ने ठीक 1 reading दी, और जिस arc को सबसे ज़्यादा बार पढ़ा गया उसे 20 अलग अलग points से पढ़ा गया। यह गिनती argument की जगह नहीं ले रही। argument ने पहले ही कह दिया था कि ऐसा ही निकलेगा, इसलिए गिनती बस उसे होते हुए दिखा रही है। यहाँ एक शर्त है जिसे अक्सर छोड़ दिया जाता है। बराबरी circle के हर point पर लागू नहीं होती।

3:15board पर जो points उसी arc पर बैठे हैं वे खोखले बने हैं, और जो उससे बाहर हैं वे भरे हुए। तो बराबरी इनमें से किस group के बारे में है? भरे हुए वालों के बारे में। इन्हीं points को तुम पार करते हो जब A से B तक दूसरे रास्ते से जाते हो। गिनती में ऐसे 4620 मौक़े निकले जिनमें तीसरा point arc से बाहर है, और 4620 जिनमें वह arc पर ही है।

3:44दोनों मिलकर 9240 बनते हैं, यानी सारे मौक़े। कोई point दोनों groups में नहीं है और कोई बाहर नहीं छूटा। कई students यहाँ एक कदम ज़्यादा चल जाते हैं और कहते हैं कि circle के हर point पर वही angle बनेगा। क्या सचमुच हर point पर? देखिए, इस point को end के उस पार सरका दीजिए। अब यह arc से बाहर नहीं, arc पर ही बैठा है। और इसका angle वही नहीं रहा।

4:14दोनों निशान एक दूसरे से जोड़कर रखिए — मिलकर एक straight angle बनाते हैं। इसे गिना भी गया। arc पर बैठी जो readings बाहर वाली से मिलीं, वे 220 थीं, और उनमें से 0 ऐसी जिनके ends आमने सामने न हों। वजह साफ़ है। जब ends आमने सामने हों तो दोनों तरफ़ right angle बनता है, और right angle का supplement खुद right angle ही होता है। 440 मौक़े ऐसे थे जिनके arc से बाहर कोई point था ही नहीं, तो उनसे तुलना हो ही नहीं सकती थी।

4:44उन्हें चुपचाप छोड़ा नहीं, गिनकर अलग रखा गया। बाकी सब पर supplement बनने में 0 चूक हुई। यहाँ एक ही chord है और उसके दोनों तरफ़ एक एक point बैठा है। पहले arc का sweep centre पर 70 degrees है, तो उससे बाहर बैठा हर point 35 degrees पढ़ता है। अब दूसरे arc का नाम लीजिए। board पर उसका sweep centre पर 290 degrees है, और उससे बाहर वाले points 145 degrees पढ़ते हैं।

5:15तो इनमें से सही कौन सा है? पहली नज़र में यह गड़बड़ लगती है, क्योंकि दोनों numbers एक ही chord पर बने हैं। पर 35 और 145 मिलकर 180 बनाते हैं, यानी एक straight angle। दोनों सही हैं, क्योंकि दोनों अलग सवालों के जवाब हैं। अकेला chord कोई angle तय नहीं करता — arc करता है। एक और जोड़ी देख लीजिए। centre पर 100 degrees हो तो एक तरफ़ 50 पढ़ा जाता है और दूसरी तरफ़ 130, और ये भी मिलकर 180 ही बनाते हैं।

5:48एक chord खींचिए और देखिए कि disc के 2 हिस्से बन गए। board पर दोनों हिस्से अलग रंग में भरे हैं। जब 2 points एक ही हिस्से में हों तो कहा जाता है कि वे एक ही segment में हैं। क्या segment का मतलब arc है? बहुत से students यही समझ लेते हैं। यह phrase हिस्से का नाम है, curve का नहीं। फ़र्क़ इसलिए पड़ता है क्योंकि यहाँ 2 देखने वाली जगहों की तुलना हो रही है, 2 curves की नहीं।

6:15और यही वही शर्त है जो अभी लगाई गई थी। एक ही हिस्से में होना और एक ही arc से बाहर होना, एक ही बात के 2 तरीक़े हैं। शुरुआत में जो 3 points नापे गए थे, वे यहाँ वापस आ गए हैं। board पर उनकी lines अब भी dashed हैं। centre पर sweep 100 degrees था, और तीनों points पर 50 degrees पढ़ा गया। तो तब और अब में फ़र्क़ क्या है?

6:40तब यह चौंकाने वाली बात थी जिसे लिखकर रख लिया गया था। अब यह नतीजा है, क्योंकि तीनों points उसी एक तय number का आधा पढ़ रहे थे। यह फ़र्क़ बोलकर कहना ज़रूरी है। पहले एक observation था, अब एक वजह है, और यही दोनों के बीच का पूरा फ़ासला है। यहाँ एक आदत है जो पकड़ लेनी चाहिए। लग सकता है कि नाप लेने से बात तय हो गई।

7:05तो क्या 3 readings काफ़ी होती हैं? 3 readings काफ़ी नहीं होतीं। उनसे तुम्हें यक़ीन होता है, बात सच इससे नहीं होती। और board पर जो 440 arcs गिने गए, वे भी सबूत नहीं हैं। वे भी evidence ही हैं, बस बहुत ज़्यादा। वजह वही एक line है। गिनती का काम इतना ही है कि वह line पढ़ने के बाद गिनती का नतीजा चौंकाता नहीं। अब देखने वाले को circle से हटाकर chord के ठीक बीच के ऊपर खड़ा कीजिए।

7:38फिर धीरे धीरे नीचे आइए। board पर ऐसी 5 जगहें बनी हैं, हर अगली पिछली से पास। पास आने से क्या बदलता है? हर जगह से chord पहले से चौड़ा दिखता है, और गिनती में 0 जोड़ी ऐसी निकली जो इस क्रम को तोड़ती हो। पहली नज़र में लगा था कि रोज़मर्रा वाली बात यहाँ भी ग़लत है। ग़लत वह नहीं थी, बस जगह ग़लत थी — वह circle से हटकर खड़े points के बारे में सही है।

8:05पर जैसे ही तुम circle पर चढ़ते हो, यह निर्भरता बंद हो जाती है, क्योंकि वहाँ reading एक तय number का आधा है। यही अंतर circle को अलग कर देता है। वही points लेकर उन्हें एक ellipse पर और एक square पर बिठा दीजिए। board पर तीनों shapes साथ साथ बनी हैं। देखिए, circle पर तीनों निशान एक जैसे हैं और बाकी दोनों shapes पर साफ़ अलग अलग। पर क्या इतना देख लेना काफ़ी है?

8:34गिनती में सिर्फ़ वही जोड़े लिए गए जिनके बाहर 1 से ज़्यादा point है, क्योंकि 1 ही point हो तो किसी भी shape पर एक ही reading आएगी। ऐसे 418 जोड़े निकले। circle पर 418 के 418 ने एक ही reading दी। ellipse पर सिर्फ़ 2 ने और square पर 18 ने। ये बचे हुए इसलिए बचे क्योंकि उनके पास तुलना करने को सिर्फ़ 2 या 3 points थे, और वहाँ symmetry से कुछ readings इत्तिफ़ाक़न मिल जाती हैं।

9:02तो शर्त कड़ी कर दीजिए और कम से कम 8 points माँगिए। ऐसे 286 जोड़े हैं, और circle पर 286 के 286 ने एक ही reading दी जबकि बाकी दोनों shapes पर गिनती 0 रही। सबसे बुरी हालत में ellipse पर एक ही जोड़ी ने 19 अलग readings दीं और square पर 17। इसलिए यह गुण circle का अपना है, हर बंद आकार का नहीं। एक chord लीजिए और उसके ऊपर एक point, नीचे एक point रखिए, दोनों उसे एक ही angle पर देखते हुए।

9:34तो क्या chord और ऊपर वाले point से होकर जाने वाला circle नीचे वाले को भी उठा लेगा? इसे whole numbers में बना लेते हैं। ends बीच से एक एक कदम दूर, और दोनों देखने वाले points बीच से 2 कदम ऊपर और 2 कदम नीचे। दोनों जगह से बना angle एक ही है, और उसका exact हिसाब 9 बटा 25 निकलता है — ऊपर से भी, नीचे से भी।

9:59अब chord और ऊपर वाले point से होकर circle खींचिए। देखिए, नीचे वाला point उस पर है ही नहीं। छूटी हुई शर्त यही है कि दोनों points chord की एक ही तरफ़ हों। यह शर्त सजावट नहीं है, यही पूरा काम कर रही है। उसी circle पर chord के ऊपर एक और point लीजिए। वह वही angle पढ़ता है, क्योंकि अब वह एक ही तरफ़ है। उस counterexample को दोबारा देखिए।

10:26नीचे वाला point उस circle से बाहर है, और सवाल यह है कि वह कब ठीक उसी circle का centre बन जाएगा। यह कब हो सकता है? दूर वाले arc का point एक straight angle में से centre वाले angle का आधा घटाकर पढ़ता है, और सवाल यह है कि वह centre वाले angle के बराबर कब होगा। पूरे degrees में यह सवाल पूछा गया तो सिर्फ़ 120 degrees निकला, और कुछ नहीं।

10:52तुम्हें लगेगा कि यह 90 पर होता होगा। पर 90 पर straight angle में से आधा घटाकर 135 मिलता है, 90 नहीं, तो वह चलता ही नहीं। उस angle का exact हिसाब भी लिख लीजिए — उसका cosine ऋण आधा है, कोई गोल किया हुआ number नहीं। और जिस ऊँचाई पर यह होता है, उसका square एक बटा 3 है। वहीं centre ठीक नीचे वाले point पर आ बैठता है।

11:17जो दिखाया गया वह एक वाक्य में यही है — एक arc, एक angle, उससे बाहर बैठे हर point से। अब इसे उल्टा पढ़िए। देखिए, शुरुआत ही 2 बराबर angles से हो रही है और दोनों points एक ही तरफ़ हैं। तो इससे क्या शक होता है? यही कि ये चारों points एक ही circle पर होंगे। board पर वह circle dashed बनाया गया है, क्योंकि अभी यह सिर्फ़ शक है।

11:44इसे अभी नतीजा मत कहिए। अभी अभी देखा गया कि एक ही तरफ़ वाली शर्त कितना काम कर रही है, इसलिए उसके बिना यह बात टिकती नहीं। तो अगला काम यही है — इस शक को argument में बदलना। और उसकी शुरुआत आज की उसी एक line से होगी, जिसमें तय number का आधा भी तय रहता है।