PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 1, A Square and A Cube
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324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3. इन primes को ताश की तरह 2 ढेरों में बाँटिए: 2, 3, 3 और 2, 3, 3. ढेर एक जैसे हैं, और एक ढेर का गुणा, 18, ही 324 का square root है। बिना कुछ ढूँढे।
मुख्य idea
कोई संख्या square है या नहीं, यह उसके prime factorisation का सवाल है, और इसका जवाब दिया जा सकता है क्योंकि वह factorisation अद्वितीय है। अगर कोई संख्या m × m है, तो m के पास जो भी prime है वह दो बार आया है, इसलिए हर prime even बार आता है; उन primes को दो मिलते-जुलते ढेरों में बाँट दो, और एक ढेर को गुणा करने पर जो मिलता है वह ही m है। chapter की तीनों जाँचें तुम्हें root थमा देती हैं — सूची 24² = 576 पर रुकती है, और odd numbers नौवें क़दम पर ख़त्म होती हैं, जो 81 का root है। उन्हें जो अलग करता है वह है लागत और पहुँच: पहली दो ऐसी खोजें हैं जो लगभग उतनी लंबी चलती हैं जितना बड़ा root है, इसीलिए chapter 729 को थकाऊ कहता है, जबकि factorisation कुछ खोजता ही नहीं और एक ऐसे सवाल का जवाब देता है जो बाक़ी दोनों पूछ भी नहीं सकतीं — वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जिससे गुणा करके जोड़ियाँ पूरी हो जाएँ। और जब जवाब ना हो, तब भी अनुमान संख्या को दो जाने-पहचाने squares के बीच बाँध देता है — Akhil को अपना रूमाल काटने के लिए बस इतना ही चाहिए।
आपको क्या आना चाहिए
- square के area से उसकी sidelength वापस निकालना
- square root की परिभाषा बताना और किसी perfect square के दोनों integer roots पहचानना
- radical symbol पढ़ना और लिखना, और सिर्फ़ positive root रखने वाली chapter की परिपाटी बताना
- prime factorisation से तय करना कि दी गई संख्या perfect square है या नहीं, और उसी हल से उसका root निकालना
- समझाना कि primes की जोड़ियाँ निर्णायक क्यों हैं — यानी test को सही बनाने वाली चीज़ unique factorisation क्यों है
- chapter की दी हुई तीनों जाँचों की तुलना करना और बताना कि हर एक क्या करती है और कितनी महँगी है
- जो संख्या perfect square नहीं है उसके square root का अनुमान, उसे जाने-पहचाने squares के बीच बाँधकर लगाना
- units digit और बीच वाले square से दायरे को सँकरा करना
- अनुमानित root को काटने या फ़िट करने की किसी व्यावहारिक समस्या पर लगाना
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| square root | वह संख्या जिसका square दी गई संख्या है | वर्गमूल | इसी chapter में छपा (Part I p.8) |
| radical symbol | किसी संख्या के आगे लिखा चिह्न √, जिसका मतलब उसका square root है | मूल चिह्न | चिह्न के लिए इस पाठ का शब्द; chapter ख़ुद चिह्न छापता है और उसे symbol कहता है (Part I p.8) |
| integer square roots | perfect square के दो पूर्ण-संख्या roots, एक-एक हर चिह्न का | पूर्णांक वर्गमूल | इसी chapter में छपा (Part I p.8) |
| prime factorisation | primes के गुणनफल के रूप में लिखी गई संख्या | अभाज्य गुणनखंडन | इसी chapter में छपा (Part I p.9) |
| perfect square | किसी natural number का square | पूर्ण वर्ग | इसी chapter में छपा (Part I p.4) |
| estimate | root को ठीक-ठीक निकाले बिना उसके काफ़ी पास का value ढूँढ़ना | आकलन | इसी chapter में छपा (Part I p.9) |
| unique factorisation | यह कि किसी संख्या का prime factorisation उसका इकलौता factorisation है | अद्वितीय गुणनखंडन | इस पाठ का शब्द; chapter इस तथ्य पर टिकता है पर इसे कभी कहता नहीं |
| even exponent | factorisation में even बार आने वाला prime | सम घातांक | इस पाठ का शब्द; यह chapter exponents से नहीं, जोड़ियों और समूहों से तर्क करता है |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "√64 का एक ही value है।" perfect square के दो integer roots होते हैं। chapter घोषित परिपाटी से positive वाला रखता है, और जिस student ने यह घोषणा नहीं सुनी वह बाद में −8 से उलझेगा।
- "Radical symbol का मतलब परिभाषा से ही positive root है।" इस chapter में यह Part I p.8 पर कहा गया काम-चलाऊ समझौता है, और उसी page पर कुछ lines पहले chapter √64 = ±8 लिखता है।
- "यह 6 पर ख़त्म होती है, इसलिए square है और इसका root 6 पर ख़त्म होता है।" एक में दो ग़लतियाँ: ending कभी squareness पक्की नहीं करती, और संख्या square हो तब भी root 4 पर या 6 पर ख़त्म हो सकता है।
- "Prime factorisation जाँचने का बस तीसरा तरीक़ा है।" तीनों root देती हैं, इसलिए वह उन्हें अलग नहीं करता। factorisation वह है जिसे खोजना नहीं पड़ता — बाक़ी दो में लगभग उतने क़दम लगते हैं जितना बड़ा root है, इसीलिए chapter घटाव से 729 को थकाऊ कहता है — और यही अकेली है जो यह भी बताती है कि सबसे छोटा कौन-सा गुणक जोड़ियाँ पूरी करेगा, और item 6 ठीक यही पूछता है। यह तुलना साफ़-साफ़ करो; sections 5 to 9 की बात यही है।
- "बिना जोड़ी वाला prime हटाया जा सकता है।" Item 6 ग़ायब factor से गुणा करने को कहता है। prime निकालने से संख्या बदल जाती है; उसका साथी जोड़ना ही जोड़ियाँ पूरी करता है।
- "156 इसलिए विफल है कि 13 बड़ा है।" यह इसलिए विफल है कि 13 एक बार आता है। आकार का इससे कोई लेना-देना नहीं।
- "45² = 40² + 5²." बीच वाला पद 2 × 40 × 5 ठीक वही है जो chapter खोलकर लिखता है, और यही वह पद है जिसे students छोड़ देते हैं।
- "अगर कोई संख्या perfect square नहीं है, तो उसका root बेकार है।" Akhil की समस्या का जवाब पूरी तरह एक दायरे से मिलता है, उसमें कहीं कोई ठीक-ठीक root नहीं है।
- "अनुमान लगाने का मतलब तुक्का मारना है।" chapter के पाँचों क़दमों में से हर एक बताए गए अंतराल को सँकरा करता है। अंतराल को सिकुड़ते हुए दिखाओ।
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पूरा transcript2,270 शब्द
यहाँ एक square बना है, और इसका area 49 है। ध्यान दीजिए, ये इसकी भुजा नहीं है, ये इसका area है। तो इसकी भुजा कितनी लंबी है? इसकी भुजा 7 है, क्योंकि 7 गुणा 7 बराबर 49 होता है। और 7 अकेली पूरी संख्या है जिसका square 49 बनता है, इसलिए भुजा पक्की है। असल में square root का मतलब बस इतना ही है, कि squaring को उल्टी दिशा में चलाइए।
यानी squaring एक भुजा लेकर आपको area देती है, और square root area लेकर आपको वापस भुजा देता है। इसलिए root कोई अजीब सी क्रिया नहीं है, बल्कि एक लंबाई है। पर यहाँ एक पेच है, जो तुरंत सामने आ जाता है। देखिए, 8 गुणा 8 बराबर 64 होता है। पर minus 8 को minus 8 से गुणा करें, तो जवाब फिर से 64 आता है, क्योंकि negative गुणा negative हमेशा positive होता है।
तो 64 के 2 roots हैं, एक 8 और दूसरा minus 8, और दोनों ही सही हैं। हर square संख्या के साथ यही होता है, उसके 2 roots होते हैं, एक positive और एक negative। सिर्फ़ 0 ऐसा है, जिसका बस एक ही root है, क्योंकि 0 का कोई negative नहीं होता। और square root के लिए एक निशान होता है, और अब से हम उस निशान का मतलब positive वाला root ही लेंगे।
ये हमारा फ़ैसला है, कोई खोज नहीं, और minus 8 कहीं ग़ायब नहीं हुआ, बस हम उसे लिखते नहीं। अब 2 संख्याएँ देखिए, 576 और 327, और पूछिए कि क्या ये squares हैं। इनमें से एक का फ़ैसला बिना किसी मेहनत के हो जाता है। किसी भी square का आख़िरी अंक, 10 अंकों में से सिर्फ़ 6 में से एक हो सकता है। ये अंक 0, 1, 4, 5, 6 और 9 हैं, बाक़ी कोई नहीं।
अब 327 को देखिए, ये 7 पर ख़त्म होता है, और कोई square 7 पर ख़त्म नहीं होता, तो ये square नहीं है। और 576 का आख़िरी अंक 6 है, जो इस सूची में है। पर सूची में होने का मतलब हाँ नहीं होता। जैसे 156 को देखिए, ये भी 6 पर ख़त्म होता है, पर ये square नहीं है। अगर 2 से 3000 तक की संख्याएँ लें, तो 1799 संख्याएँ इस test को पास करती हैं, पर squares उनमें से सिर्फ़ 53 हैं।
यानी आख़िरी अंक किसी संख्या को बाहर तो कर सकता है, पर अंदर कभी नहीं ला सकता। तो 576 का फ़ैसला कैसे करें? सबसे सीधा तरीका ये है, कि squares लिखते जाइए, जब तक 576 तक न पहुँच जाएँ। शुरू करते हैं, 20 का square 400 है, 21 का square 441 है, और 22 का square 484 है। फिर 23 का square 529 है, जो अभी भी कम है। और 24 का square ठीक 576 है।
ये मिल गया, तो 576 का square root 24 है। तरीका चल गया, पर देखिए कि इसमें कितनी मेहनत लगी, शुरुआत से गिनें तो पूरे 24 कदम। और संख्या जितनी बड़ी होगी, ये रास्ता उतना ही लंबा होता जाएगा। एक दूसरा तरीका भी है, और वो ज़्यादा सुंदर है। अब 81 लीजिए, और उसमें से odd संख्याएँ एक एक करके, क्रम से घटाइए। पहले 81 में से 1 घटाइए, तो 80 बचता है, फिर 3 घटाइए तो 77, और 5 घटाइए तो 72 बचता है।
फिर 7 घटाइए तो 65, 9 घटाइए तो 56, और 11 घटाइए तो 45 बचता है। फिर 13 घटाइए तो 32, 15 घटाइए तो 17, और आख़िर में 17 घटाइए, तो कुछ नहीं बचता। हम ठीक 0 पर पहुँचे, इसलिए 81 एक square है। अब गिनिए कि कितनी बार घटाया, पूरे 9 बार, और 9 ही इसका root है। ये बहुत प्यारा तरीका है, पर सौदा वही है, क्योंकि 729 के लिए इसमें 27 कदम लगते हैं।
तो हमारे पास 2 तरीके हैं, और दोनों की बनावट एक जैसी है। दोनों चलकर जवाब तक पहुँचते हैं, और रास्ता ठीक root जितना लंबा होता है। किसी 3 अंकों वाली संख्या के लिए ये कुछ भी नहीं है। पर 6 अंकों वाले किसी भी square के लिए कम से कम 317 कदम लगते हैं, और आप बहुत देर तक गिनते रहेंगे। तो ये पूछना छोड़िए, कि संख्या किसके पास है।
बल्कि ये पूछिए, कि संख्या किन चीज़ों से बनी है। और इसका जवाब उसके primes में छिपा है। हर पूरी संख्या को primes में तोड़ा जा सकता है। जैसे 324 को तोड़िए, तो ये 2, 2, 3, 3, 3 और 3 में टूटता है। ये कुल 6 primes हैं, अब इन्हें ताश के पत्तों की तरह 2 ढेरों में बाँटिए, एक एक करके, बारी बारी से। पहला 2 बाएँ, अगला 2 दाएँ, फिर 3 बाएँ, 3 दाएँ, 3 बाएँ और आख़िरी 3 दाएँ।
अब दोनों ढेर देखिए, एक में 2, 3, 3 है, और दूसरे में भी 2, 3, 3 है। दोनों ढेर बिल्कुल एक जैसे हैं, कहीं कोई फ़र्क नहीं। अब एक ढेर को गुणा कीजिए, 2 गुणा 3 बराबर 6, और 6 गुणा 3 बराबर 18 होता है। और 18 गुणा 18 बराबर 324 होता है, यानी हम वापस वहीं पहुँच गए। यानी root सीधे ढेर से निकल आया, हमें उसे ढूँढने जाना ही नहीं पड़ा।
अब यही काम 576 के साथ कीजिए, जिसका root हमने पहले चलकर ढूँढा था। इसके primes 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3 और 3 हैं, यानी कुल 8 primes। इन्हें बारी बारी से बाँटिए, तो हर ढेर में 2, 2, 2 और 3 आते हैं। एक ढेर को गुणा कीजिए, 2 गुणा 2 गुणा 2 बराबर 8, और 8 गुणा 3 बराबर 24 होता है। ये वही 24 है, जिस तक सूची वाला तरीका 24 कदम चलकर पहुँचा था।
और दोनों ढेरों को गुणा करें, यानी 24 गुणा 24, तो पूरा 576 वापस आता है। यानी दोनों ढेर मिलकर पूरी संख्या हैं, और हर ढेर अकेला उसका root है। एक ज़रूरी बात, बाँटने से पहले primes को छोटे से बड़े क्रम में लगा लीजिए, वरना 2, 3, 2, 3 को सीधे बाँटने पर एक ढेर में 2, 2 और दूसरे में 3, 3 आ जाते हैं। क्रम से लगाने पर एक जैसे primes साथ साथ बैठते हैं, और ढेर 2, 3 और 2, 3 निकलते हैं।
तो ये काम क्यों करता है? ये नहीं कि यहाँ क्यों चला, बल्कि ये कि इसे चलना ही क्यों पड़ता है। मान लीजिए कोई संख्या, किसी दूसरी संख्या को उसी से गुणा करके बनी है। तो वो दूसरी संख्या जिन primes से बनी है, वो हर prime हमारी संख्या में 2 बार आता है, एक बार हर copy से। जैसे 18 में primes 2, 3, 3 हैं, और 324 में हर prime की गिनती ठीक दोगुनी है।
इसलिए हर prime even बार आता है, और यही बात उन्हें एक जैसे 2 ढेरों में बाँटने देती है। ये उल्टी दिशा में भी चलता है, अगर हर prime even बार आए, तो ढेर एक जैसे ही निकलेंगे, और एक ढेर गुणा दूसरा ढेर वापस वही संख्या देता है। यानी ढेर तभी एक जैसे निकलते हैं, जब संख्या square हो, और square हो तो हमेशा निकलते हैं। पर इन सबके नीचे एक चीज़ टिकी है, जिसके पास से हम आसानी से निकल जाते हैं।
हर संख्या के primes का बस एक ही set होता है, सिर्फ़ एक। उसे किसी भी तरह तोड़िए, किसी भी क्रम में, हर बार वही primes हाथ आते हैं। जैसे 36 को पहले 2 और 18 में तोड़िए, या पहले 6 और 6 में, दोनों रास्तों से 2, 2, 3 और 3 ही मिलते हैं। यही चीज़ इसे एक पक्का test बनाती है, कोई किस्मत वाला संयोग नहीं। अगर किसी संख्या के primes के 2 अलग अलग sets होते, तो वो एक set में जोड़ियों वाला test पास करती, और दूसरे में फ़ेल।
तब जवाब इस पर टिका होता, कि आपने संख्या को किस तरह तोड़ा। पर ऐसा कभी नहीं होता, इसलिए फ़ैसला ढेर ही करते हैं। अब एक ऐसी संख्या देखिए, जो इस test में फ़ेल होती है। ये 156 है, और इसके primes 2, 2, 3 और 13 हैं। इन्हें बाँटिए, तो बाएँ ढेर में 2 और 3 आते हैं, और दाएँ ढेर में 2 और 13 आते हैं। ढेर अलग अलग हैं, इसलिए 156 square नहीं है।
अब देखिए कि कौन से primes अकेले रह गए, सिर्फ़ 13 नहीं, बल्कि 3 का भी कोई जोड़ीदार नहीं है। ये दोनों primes बस एक एक बार आते हैं। ये कहने का मन करता है कि 156 इसलिए फ़ेल हुआ, क्योंकि 13 बड़ा है, पर ऐसा नहीं है। अगर 13 को 13 से गुणा करें, तो 169 बनता है, और वो एक पूरा square है। और 12 के primes 2, 2 और 3 हैं, और वो सिर्फ़ 3 की वजह से फ़ेल होता है।
यानी prime का आकार कुछ तय नहीं करता, फ़ैसला सिर्फ़ ये करता है कि कौन सा prime odd बार आया। अब वो सवाल, जो चलने वाले तरीके पूछ ही नहीं सकते। ये 9408 है, ये square नहीं है, और दोनों चलने वाले तरीके देर सबेर यही बताएँगे। वो बस इतना बताएँगे कि 96 का square 9216 पीछे रह गया, और 97 का square 9409 आगे निकल गया, यानी जवाब है नहीं।
पर इसे तोड़िए, तो इसमें 6 बार 2, 1 बार 3, और 2 बार 7 मिलते हैं। इसमें 2 की जोड़ियाँ बन जाती हैं, 7 की जोड़ी बन जाती है, पर 3 अकेला रह जाता है। तो हमें ठीक पता है कि क्या कमी है, इसे एक और 3 चाहिए। इसे 3 से गुणा कीजिए, तो 28224 बनता है, जो square है, और उसका root 168 है। और 3 से छोटी किसी संख्या से गुणा करके यहाँ square नहीं बनता, इसलिए 3 सबसे छोटा जवाब है।
ध्यान रहे, यहाँ गुणा करना है, हटाना नहीं। अगर 3 को हटा दें, यानी 3 से भाग दें, तो 3136 मिलता है, वो square तो है, पर एक दूसरी संख्या है, जो किसी ने माँगी ही नहीं थी। अब एक बड़ी संख्या का root, बिना लंबी गिनती के, दोनों तरफ़ से घेरकर पकड़ते हैं। संख्या है 1936, और हम इसका root ढूँढेंगे। देखिए, 40 का square 1600 है, और 50 का square 2500 है।
तो root कहीं 40 और 50 के बीच में है। इसका आख़िरी अंक 6 है, और किसी square का आख़िरी अंक 6 तभी होता है, जब उसके root का आख़िरी अंक 4 या 6 हो। तो root या तो 44 है, या फिर 46 है। अब बीच वाली संख्या आज़माइए, यानी 45 का square। यहाँ सावधान रहिए, ये 1600 और 25 का जोड़ नहीं है। असल में 45 का square बनता है 1600, और 25, और साथ में 40 गुणा 5 के 2 हिस्से, यानी 400 और।
बीच वाला हिस्सा भूल जाएँ तो 1625 आता, जो ठीक 400 कम है। कुल 2025 होता है, जो 1936 से आगे निकल गया, तो root 45 से छोटा है, और 46 बाहर हो गया। बचा 44, और 44 का square ठीक 1936 है। और जब root बिल्कुल हो ही नहीं, तब यही घेरा अपने आप में जवाब है। जैसे 250 लीजिए, जहाँ 15 का square 225 है, और 16 का square 256 है।
तो इसका root 15 और 16 के बीच है, और 16 के काफ़ी पास, क्योंकि 250 ऊपर वाले से बस 6 कम है, और नीचे वाले से 25 ज़्यादा। और ये square नहीं है, इसलिए यही घेरा पूरा जवाब है। अब देखिए कि ये घेरा किस काम आता है। मान लीजिए कपड़े का एक square टुकड़ा है, जिसका area 125 है, और उसमें से 15 गुणा 15 का square काटना है।
अब 125, 11 के square यानी 121, और 12 के square यानी 144, के बीच में पड़ता है। तो सबसे बड़ा पूरा square जो इसमें से कट सकता है, उसकी भुजा 11 है, 15 नहीं। क्योंकि 15 गुणा 15 के लिए 225 चाहिए, जो 125 से कहीं ज़्यादा है। सवाल का पूरा जवाब मिल गया, और कहीं भी कोई ठीक ठीक root नहीं आया। आख़िर में एक और तस्वीर देखिए।
ये नमूनों का एक panel है, जिसमें 9 नमूने आड़े और 9 खड़े हैं। हर नमूना छोटे छोटे squares का एक block है, जो 5 गुणा 5 का है। तो कुल कितने छोटे squares हैं? यहाँ 81 नमूने हैं, और हर नमूने में 25 squares। यानी कुल 2025 छोटे squares हैं। ये संख्या हम पहले देख चुके हैं, ये 45 का square है, जो घेरा बनाते हुए सामने आई थी।
और इसे square होना ही था, क्योंकि 81 square है, 25 square है, और square गुणा square हमेशा square होता है। पर कुल को primes में तोड़ दीजिए, तो ये सब देखने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। इसके primes 3, 3, 3, 3, 5 और 5 हैं। इन्हें बाँटिए, तो एक ढेर में 3, 3, 5 आते हैं, और दूसरे में भी 3, 3, 5 आते हैं। एक ढेर को गुणा कीजिए, 3 गुणा 3 गुणा 5 बराबर 45 होता है।
यानी एक जैसे 2 ढेर, और root अपने आप बाहर आ गया। अब सारे तरीकों को एक साथ रखकर देखिए। आख़िरी अंक वाला test बस बाहर कर सकता है, अंदर कभी नहीं ला सकता। सूची बनाना और odd संख्याएँ घटाना, दोनों चलकर पहुँचते हैं, और रास्ता root जितना लंबा होता है। हाँ, primes ढूँढना भी मेहनत का काम है, ये बात हम छिपाएँगे नहीं। पर primes की सूची छोटी होती है, जैसे 576 में बस 8 primes हैं, जबकि उसका root 24 है।
और सिर्फ़ primes ही बताते हैं कि क्या कमी है, जो बाक़ी तरीके कभी नहीं बता सकते। याद रखिए, हर prime even बार आए, तभी संख्या square है, और एक ढेर को गुणा करने पर root मिलता है। अब आप आज़माइए, वो सबसे छोटा square कौन सा है, जिसे 4, 9 और 10, सब पूरा पूरा बाँटते हैं? जवाब है 900, यानी 30 का square, जहाँ primes में एक और 5 जोड़कर जोड़ी पूरी होती है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- What makes a number a perfect squareकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- What a perfect square's last digits can and cannot beकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- Why the first n odd numbers add up to n²कक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
आगे फिर कहाँ आता है
- What makes a number a perfect cube, and the three-identical-groups testकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- Cube roots, and what successive differences exposeकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- The oldest known tables of squares and cubesकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Squares hiding inside triangular numbersकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube