PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 1, A Square and A CubePrepShorts

Chapter 1 · A Square and A Cube

किसी perfect square के आख़िरी अंक क्या हो सकते हैं और क्या नहीं

Square numbers13 मिनट

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किसी square का आख़िरी अंक 2, 3, 7 या 8 कभी नहीं होता, चाहे वो कितना भी बड़ा हो। पर 6 पर ख़त्म होना कुछ साबित नहीं करता: 16 और 36 squares हैं, 26 नहीं।

मुख्य idea

जब तुम गुणा करते हो, तो जवाब का आख़िरी अंक सिर्फ़ और सिर्फ़ उन संख्याओं के आख़िरी अंकों पर निर्भर करता है जिन्हें तुमने गुणा किया। इसलिए n² का आख़िरी अंक पूरी तरह n के आख़िरी अंक से तय होता है — और सभी दस संभव आख़िरी अंकों को आज़माने पर सिर्फ़ छह जवाब निकलते हैं। यही असमानता, दस inputs का सिमटकर छह outputs पर आ जाना, वह वजह है जिससे units-digit test सिर्फ़ एक दिशा में काम करता है: 2, 3, 7 या 8 पर ख़त्म होना पक्के तौर पर बता देता है कि संख्या square नहीं है, जबकि छह मान्य endings में से कोई भी कुछ साबित नहीं करता, क्योंकि जो squares नहीं हैं वे भी उन्हीं endings पर पहुँचते हैं। यही closure वाला तर्क आख़िर के zeros के एक block पर लगाओ, तो chapter का दूसरा नियम मुफ़्त में मिल जाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • पहले तीस natural numbers के squares निकालना और उनकी table बनाना
  • बताना कि perfect square के units place में कौन-से अंक आ सकते हैं और कौन-से नहीं
  • समझाना कि n² का units digit, n के units digit से क्यों तय होता है
  • units digit से किसी संभावित square को ख़ारिज करना, और समझाना कि वही अंक उसे पक्का कभी क्यों नहीं कर सकता
  • वे अंक बताना जिनके squares 1 पर ख़त्म होते हैं, और वे जिनके squares 6 पर
  • पहले से बताना कि जो संख्या तय गिनती के zeros पर ख़त्म होती है, उसका square कितने zeros पर ख़त्म होगा, और दुगुना होने को सही ठहराना
  • बताना कि किसी संख्या की parity उसके square की parity को कैसे तय करती है
  • चार संभावित संख्याएँ दी हों, तो छाँटना कि digit test किन्हें तय कर देता है और किन्हें खुला छोड़ देता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
units placeलिखी हुई पूरी संख्या में सबसे दाईं जगहइकाई का स्थानइसी chapter में छपा (Part I p.4)
units digitunits place में खड़ा अंकइकाई का अंकइसी chapter में छपा (Part I p.4)
perfect squareकिसी natural number का squareपूर्ण वर्गइसी chapter में छपा (Part I p.4)
parityसंख्या even है या oddसम-विषमताइसी chapter में छपा (Part I p.5)
conjectureऐसा pattern जिसका दावा किया गया हो पर तर्क अभी न दिया गया होअनुमान / प्रकल्पनाइसी chapter में छपा (Part I p.4)
Math Talkchapter के हाशिये का badge, उस prompt के लिए जिस पर बोलकर चर्चा करनी है— (badge अंग्रेज़ी में छपा है)इसी chapter में छपा (Part I p.4, दो बार)
necessary but not sufficientऐसी शर्त जिस पर हर square खरा उतरता है और कुछ non-squares भीआवश्यक परंतु पर्याप्त नहींइस पाठ का शब्द; chapter इस विचार पर दो paragraphs में तर्क करता है पर इसे नाम नहीं देता
closure of the last digitयह कि गुणनफल का आख़िरी अंक उसके factors के आख़िरी अंकों से तय होता है—इस पाठ का शब्द; छपा हुआ शब्द नहीं

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "यह 6 पर ख़त्म होती है, इसलिए square है।" 26 chapter का अपना खंडन है, और वह इसे pattern के ठीक बाद छापता है ताकि student पहले ग़लत निष्कर्ष न निकाल ले।
  • "यह 2 पर ख़त्म होती है, लेकिन संख्या काफ़ी बड़ी हो तो शायद फिर भी square हो।" कभी नहीं। square का units digit तय होता है, सिर्फ़ संभावित नहीं।
  • "तीस squares भरना बेकार की मेहनत है।" पूरा section जिस data पर तर्क करता है, वह यही table है। उसे भरते हुए और फिर उस पर तर्क करते हुए दिखाओ।
  • "6 पर ख़त्म होने वाला square सिर्फ़ 6 से बनता है।" 4 और 6 दोनों से बनता है। दो inputs का एक output साझा करना ही वह वजह है जिससे test उलटा नहीं हो सकता — section को इसी पर खड़ा करो, सूची पर नहीं।
  • "Square एक अकेले zero पर ख़त्म हो सकता है।" अगर 10, n को भाग देता है तो 100, n² को भाग देता है, इसलिए zeros दो-दो करके आते हैं।
  • "Square के zeros दुगुने होते हैं, तो 3 zeros से 5 बनेंगे।" 6 बनेंगे। आख़िर के zeros की गिनती दुगुनी होती है, किसी तय मात्रा से नहीं बढ़ती।
  • "Squares हमेशा odd होते हैं" या "हमेशा even।" Squares उस संख्या की parity पाते हैं जिसका square लिया गया; दोनों होते हैं, table में नीचे बारी-बारी से।
  • "Digit वाला नियम squares के बारे में एक तथ्य है।" यह इस बारे में तथ्य है कि गुणा आख़िरी अंकों के साथ कैसे पेश आता है। Squares बस वह मामला है जिसमें दोनों factors बराबर हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.1 Q1, Figure it Out · 1.1 Q2

पूरा transcript2,005 शब्द

पूरी संख्याओं का एक-एक करके square लीजिए, और जो जवाब आए उसे लिखते जाइए। शुरुआत 1, 4, 9, 16, 25 और 36 से होती है। फिर 49, 64, 81 और 100 आते हैं। और 100 के बाद जवाब तेज़ी से बड़े होने लगते हैं, जैसे 121 और 144 आते हैं। ऐसी 30 पंक्तियाँ लिखना बेकार का काम लग सकता है। पर ये बेकार नहीं है। ये data है, और इसके दाएँ किनारे पर कुछ छिपा हुआ है।

हर जवाब का सिर्फ़ आख़िरी अंक देखिए, और बाक़ी सब ढक दीजिए। पहले 10 squares के आख़िरी अंक ऐसे चलते हैं: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, और फिर 0 आता है। कुछ अंक बार-बार आते हैं, और कुछ पूरी 30 पंक्तियों में एक बार भी नहीं आते। आख़िर ऐसा क्यों होता है? कोई table पढ़ने से पहले ये पूछिए कि किसी गुणा का आख़िरी अंक आख़िर आता कहाँ से है?

मान लीजिए हम 37 को 84 से गुणा करते हैं। जवाब 3108 आता है, और उसका आख़िरी अंक 8 है। अब सिर्फ़ आख़िरी अंकों का गुणा कीजिए, यानी 7 गुणा 4, तो 28 आता है। इसका आख़िरी अंक भी 8 ही है। ये कोई संयोग नहीं है, और इसका इन 2 संख्याओं से कोई लेना-देना भी नहीं है। अब 37 को 30 और 7 में, और 84 को 80 और 4 में तोड़िए, और हर टुकड़े को हर टुकड़े से गुणा कीजिए।

इससे 4 टुकड़े बनते हैं, 2400, 120, 560 और 28, और ये जुड़कर फिर से 3108 बनाते हैं। इनमें से 3 टुकड़ों में 30 या 80 शामिल है, इसलिए तीनों 10 के गुणज हैं। और 10 का कोई भी गुणज 0 पर ख़त्म होता है, इसलिए वो इकाई के स्थान में कुछ नहीं डाल सकता, चाहे कितना भी बड़ा हो। सिर्फ़ चौथा टुकड़ा, यानी 7 गुणा 4, इकाई के स्थान तक पहुँच पाता है।

तो नियम ये है, और ये गुणा का नियम है, squares का नहीं। किसी गुणा का आख़िरी अंक सिर्फ़ उन 2 संख्याओं के आख़िरी अंकों से तय होता है, जिनका गुणा किया गया। दोनों संख्याओं का बाक़ी कोई भी हिस्सा उसे छू तक नहीं सकता। और square करना बस वो हालत है, जिसमें दोनों संख्याएँ एक ही हों। इसलिए n के square का आख़िरी अंक सिर्फ़ n के आख़िरी अंक से तय होता है, n की किसी और बात से नहीं।

तो हमें 30 या 1000 संख्याओं के square लेने की कोई ज़रूरत नहीं है। किसी भी संख्या का आख़िरी अंक 10 अंकों में से कोई एक ही हो सकता है। बस 10 हालात जाँचने हैं, और बात हमेशा के लिए तय हो जाएगी। शुरुआत 0 से करते हैं, और 0 का square 0 ही है। फिर 1 का square 1 है, 2 का square 4 है, और 3 का square 9 है।

अब 4 का square 16 है, जो 6 पर ख़त्म होता है। और 5 का square 25 है, जो 5 पर ख़त्म होता है। फिर 6 का square 36 है, यानी यहाँ फिर से 6 आता है। आगे 7 का square 49 है, तो फिर से 9 आता है, और 8 का square 64 है, तो फिर से 4 आता है। और आख़िर में 9 का square 81 है, जो 1 पर ख़त्म होता है।

सभी 10 हालात पूरे हो गए, अब जवाबों को गिनिए। आख़िरी अंक आए 0, 1, 4, 5, 6 और 9, बस इतने ही। अंदर 10 अंक गए, पर बाहर सिर्फ़ 6 ही आए। ये सिमटना सिर्फ़ देखने की नहीं, समझने की बात है। आख़िर 10 से 6 कैसे बने? पहले 1 और 9 को देखिए। यहाँ 1 का square 1 पर ख़त्म होता है, और 9 का square 81 भी 1 पर ही ख़त्म होता है।

अब 2 और 8 लीजिए, जिनके squares 4 और 64 हैं। फिर 3 और 7 के squares 9 और 49 हैं, और 4 और 6 के squares 16 और 36 बनते हैं। हर बार एक अंक, और 10 में से वो अंक घटाने पर जो बचता है, दोनों एक ही आख़िरी अंक पर पहुँचते हैं। इसलिए अंक जोड़ियों में बँट जाते हैं, और हर जोड़ी 2 की जगह एक ही आख़िरी अंक देती है।

ऐसी 4 जोड़ियाँ हैं, 1 और 9, 2 और 8, 3 और 7, और 4 और 6, और हर जोड़ी का जोड़ 10 होता है। पर 2 अंकों को कोई साथी नहीं मिलता। जैसे 5 की जोड़ी 5 से ही बनेगी, और 0 की जोड़ी 0 से ही बनती है। ये दोनों अकेले खड़े रहते हैं, क्योंकि 5 का square 25 है और 0 का square 0 है। यानी 4 जोड़ियाँ और 2 अकेले अंक मिलकर कुल 6 समूह बनाते हैं, और 6 समूह मतलब 6 आख़िरी अंक होते हैं।

यही वो जगह है, जहाँ से 6 आता है। अब इसी बात को उल्टा करके देखिए। जब 6 अंक आ सकते हैं, तो बाक़ी 4 कभी नहीं आ सकते, यानी 2, 3, 7 और 8 कभी नहीं आते। कोई भी perfect square, चाहे वो कितना भी बड़ा हो, इनमें से किसी अंक पर ख़त्म नहीं होता। न कोई बड़ा, न कोई चालाक, और न कोई ऐसा जिसे अभी तक किसी ने जाँचा ही न हो।

वो 10 हालात ही पूरी कहानी थे, और उनमें से एक ने भी 2 नहीं दिया। इसलिए किसी संख्या को देखते ही आप उसे ख़ारिज कर सकते हैं। जैसे 432 का आख़िरी अंक 2 है, तो वो square नहीं है। और 78973 का आख़िरी अंक 3 है, और 1008 का 8, तो ये दोनों भी square नहीं हैं। आपने कोई गणना नहीं की, फिर भी आप पूरी तरह पक्के हैं।

अब वो हिस्सा, जो अक्सर उल्टा याद रह जाता है। देखिए, 16 का आख़िरी अंक 6 है और वो square है, और 36 का आख़िरी अंक भी 6 है और वो भी square है। पर 26 का आख़िरी अंक भी 6 है, और वो square नहीं है। क्योंकि 5 गुणा 5 से 25 बनता है और 6 गुणा 6 से 36, और 26 इन दोनों के बीच में फँसा है।

तो आख़िरी अंक 6 होने से कुछ पता नहीं चलता, और ये सिर्फ़ 6 की बात नहीं है। देखिए, 10 का आख़िरी अंक 0 है, 11 का 1, 14 का 4, 15 का 5, और 19 का 9, और इनमें से कोई भी square नहीं है। हर इजाज़त वाले आख़िरी अंक पर ऐसी संख्याएँ मिलती हैं, जो square नहीं हैं। ये test संख्याओं को सिर्फ़ बाहर निकालता है, किसी को अंदर आने नहीं देता।

तो इसे उसी काम के लिए इस्तेमाल कीजिए, जो ये सच में करता है। इन 4 संख्याओं को देखिए, 2032, 2048, 1027 और 1089, और सोचिए कि इनमें से कौन सी संख्याएँ perfect square नहीं हैं? पहली संख्या 2 पर ख़त्म होती है, तो वो बाहर हो गई। दूसरी 8 पर ख़त्म होती है, और तीसरी 7 पर, तो ये दोनों भी बाहर हो गईं। यानी 3 संख्याएँ एक नज़र में तय हो गईं, बिना कोई गणना किए।

चौथी संख्या 9 पर ख़त्म होती है, और 9 की इजाज़त है। यहीं ये test रुक जाता है, और सवाल वापस आपको सौंप देता है। इजाज़त होने का मतलब square होना नहीं है। जाँचकर देखिए, तो 33 गुणा 33 से ठीक 1089 बनता है। वो square था, पर आख़िरी अंक ने ये कभी नहीं बताया। ये जोड़ियाँ अपने आप में भी बड़े काम की हैं। किन संख्याओं के squares 1 पर ख़त्म होते हैं?

हमारे 10 हालात बताते हैं कि ऐसा सिर्फ़ 2 अंक करते हैं, 1 और 9, और कोई नहीं। इसलिए ये परिवार 1, 9, 11, 19, 21 और 29 से शुरू होता है, और आगे भी चलता रहता है। ये न हर दूसरी संख्या है, और न ही किसी तय कदम से आगे बढ़ता है। ये 10 के हर गुणज के दोनों तरफ़ जोड़ियों में बैठते हैं, जैसे 20 के दोनों तरफ़ 19 और 21, और 30 के दोनों तरफ़ 29 और 31 हैं।

यहाँ वही जोड़ी वाली बात साफ़ झलकती है। अब 6 पर ख़त्म होने वाले squares देखिए, यहाँ भी वही ढाँचा है। यहाँ भी ऐसा सिर्फ़ 2 अंक करते हैं, 4 और 6, और कोई नहीं। जैसे 4 का square 16 है, 6 का 36, 14 का 196, और 16 का square 256 है। जिनका square लिया गया, उन्हें देखिए, 4, 6, 14 और 16, यानी फिर से 4, 6, 4, 6 का सिलसिला चलता है।

अब एक सवाल, 38, 34, 46, 56, 74 और 82 में से किनके squares 6 पर ख़त्म होंगे? बस आख़िरी अंक पढ़िए, जो 8, 4, 6, 6, 4 और 2 हैं। इनमें 4 और 6 परिवार में हैं, पर 8 और 2 नहीं। तो 6 में से 4 संख्याएँ सही निकलीं, और हमने किसी का square लिया ही नहीं। और ध्यान दीजिए, जो 2 संख्याएँ छूट गईं, वो दोनों 4 पर पहुँचीं, यानी 8 और 2, 2 अलग अंक, और आख़िरी अंक एक ही।

आख़िर में लगे zeros का अपना अलग नियम है। देखिए, 10 का square 100 है, यानी एक zero से 2 zeros बन गए। इसी तरह 20 का square 400 और 40 का square 1600 है, तो हर बार 1 zero अंदर गया और 2 बाहर आए। अब 100 का square 10000 है, 200 का 40000, और 300 का square 90000 है। यहाँ हर बार 2 zeros से 4 zeros बने।

इसकी वजह बहुत छोटी सी है। अगर संख्या 10 से पूरी बँटती है, तो उसका square 100 से बँटता है, क्योंकि गुणा की दोनों संख्याओं से एक-एक 10 आता है। इसलिए zeros की गिनती दोगुनी हो जाती है। तो ठीक 3 zeros से ठीक 6 zeros बनते हैं, 5 नहीं। अब 1000 को सरसरी नज़र से देखें, तो लग सकता है कि उसके आख़िर में 2 zeros हैं। पर उसमें ठीक 3 zeros हैं, और उसके square में ठीक 6 zeros होते हैं।

दोगुना होने से एक बात अपने आप निकलती है, कि किसी square के आख़िर में zeros की गिनती कभी odd नहीं हो सकती। एक आख़िरी नियम, और ये सबसे छोटा है। किसी odd संख्या को odd संख्या से गुणा करें, तो जवाब odd आता है। और even संख्या को किसी से भी गुणा करें, तो जवाब even आता है। और एक square तो बस एक संख्या को उसी से गुणा करना है, इसलिए उसे यही गुण विरासत में मिलता है।

इसलिए odd संख्याओं के squares odd होते हैं, और even संख्याओं के squares even होते हैं। पूरी table में नीचे चलिए, तो ये बिना रुके बदलता जाता है, 1 odd, 4 even, 9 odd, 16 even। यानी squares न ज़्यादातर odd होते हैं, और न ज़्यादातर even। वो ठीक उतने ही odd या even होते हैं, जितनी वो संख्या जिसका square लिया गया। चलिए, अब इसे खुद आज़माकर देखिए। बताइए, 64, 108, 292 और 36 में से किनके squares 4 पर ख़त्म होते हैं?

आख़िरी अंक पढ़िए, 4, 8, 2 और 6, तो इनके squares 6, 4, 4 और 6 पर ख़त्म होंगे। यानी यहाँ जवाब 2 हैं, 108 और 292, और इन्हें 2 अलग अंक, 8 और 2, एक ही आख़िरी अंक तक ले जाते हैं। एक और सवाल, अगर किसी संख्या के आख़िर में ठीक 5 zeros हों, तो उसके square के आख़िर में कितने zeros होंगे? गिनती दोगुनी होती है, इसलिए ठीक 10 zeros होंगे, 2 जोड़कर 7 नहीं।

असल में इनमें से कुछ भी squares के बारे में नहीं था। ये गुणा के बारे में था, कि जवाब के इकाई के स्थान तक सिर्फ़ इकाई के अंक ही पहुँचते हैं, क्योंकि बाक़ी सब 10 के गुणज हैं। और squares बस वो हालत हैं जिसमें दोनों संख्याएँ बराबर हों, इसीलिए 10 अंक जाँचना ही पूरी खोज थी। वो 10 संभावनाएँ 6 पर सिमट गईं, क्योंकि वो जोड़ियों में बँट गईं, और 2 अकेले रह गए।

इसी से ये test एक-तरफ़ा बनता है, क्योंकि जब 2 अलग अंक एक ही आख़िरी अंक पर पहुँचें, तो आख़िरी अंक ये नहीं बता सकता कि आप किस अंक से चले थे। जो test बाहर निकालता है, वो अंदर लाने वाले test का कोई कमज़ोर रूप नहीं है। वो एक अलग तरह की चीज़ है, और आपके हाथ में कौन सा test है, ये जानना ही उसे ठीक से इस्तेमाल करने का सबसे बड़ा हिस्सा है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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