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Chapter 1 · A Square and A Cube

किसी संख्या को perfect square क्या बनाता है

Square numbers14 मिनट

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100 lockers, सब बंद। 100 लोग एक-एक करके गुज़रते हैं, और हर व्यक्ति अपनी गिनती के हर गुणज वाले locker को पलट देता है। आख़िर में कौन से lockers खुले रहते हैं?

मुख्य idea

Divisors जोड़ियों में आते हैं: कोई divisor बोलो और संख्या तुम्हें उसका co-divisor थमा देती है — वह संख्या जिससे गुणा करके तुम वापस मूल संख्या पर पहुँचते हो। जोड़ियाँ दो-दो करके आती हैं, इसलिए divisors की गिनती को even होना ही पड़ता है — जब तक कोई divisor ख़ुद अपना ही partner न हो, और ऐसा ठीक तब होता है जब संख्या उसी divisor को उसी से गुणा करने पर बनती है। रानी की पहेली में square नंबर वाले lockers खुले क्यों रह जाते हैं, इसकी पूरी वजह यही है, और "square number क्या है?" का यह जवाब n × n से बेहतर है। ज्यामितीय तस्वीर (unit squares का एक n-by-n array) और अंकगणितीय लक्षण (एक divisor जिसका अपने सिवा कोई partner नहीं) एक ही तथ्य हैं, जो दो बार दिखता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि किसी locker को जितनी बार toggle किया जाता है, वह गिनती ठीक उसके नंबर के factors की गिनती क्यों होती है
  • किसी दी गई संख्या के factors को partner factors की जोड़ियों में बाँटना, और वह संख्या पहचानना जिसका कोई अलग partner नहीं है
  • यह तर्क देना कि किसी natural number के factors की गिनती odd ठीक तब होती है जब वह square हो, और इससे पहले से बताना कि कौन-से lockers खुले रहेंगे
  • वे संख्याएँ पहचानना जिनके factors की गिनती ठीक दो है, और उन्हें primes कहना
  • square की भुजा की लंबाई को उसके area से जोड़ना, और उसी जुड़ाव से 1, 4, 9, 16, 25, 100 पढ़ना
  • n × n के लिए notation n² लिखना और पढ़ना
  • सिर्फ़ पूरी संख्या ही नहीं, fraction और decimal का भी square निकालना
  • chapter के अपने अर्थ में square number और perfect square में फ़र्क़ करना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
factorवह संख्या जो दी गई संख्या को पूरा-पूरा भाग देती हैगुणनखंडपहले से ज्ञात माना गया; Part I p.2 से इस्तेमाल
partner factorवह co-divisor जिससे किसी factor को गुणा करके संख्या वापस मिलती हैसहभागी गुणनखंडइसी chapter में छपा (Part I p.2)
square numberवह संख्या जो किसी संख्या को उसी से गुणा करने पर बनती हैवर्ग संख्याइसी chapter में छपा (Part I p.2)
squaresquare number के लिए chapter का छोटा रूपवर्गइसी chapter में छपा (Part I p.2)
perfect squareकिसी natural number का squareपूर्ण वर्गइसी chapter में छपा (Part I p.4)
sidelengthsquare की एक भुजा की लंबाईभुजा की लंबाईइसी chapter में छपा (Part I p.3)
areaकोई आकृति जितने unit squares ढकती है, उनकी गिनतीक्षेत्रफलपहले से ज्ञात माना गया; Part I p.3 पर table में
prime numberवह संख्या जिसके factors सिर्फ़ 1 और वह ख़ुद होंअभाज्य संख्यापहले से ज्ञात माना गया; Part I p.3 पर इस्तेमाल
n squaredn² को ज़ोर से कैसे पढ़ा जाता हैn का वर्गइसी chapter में छपा (Part I p.3)
self-paired factorवह factor जिसका partner वह ख़ुद हैस्व-युग्मित गुणनखंडइस पाठ का शब्द; chapter स्थिति का वर्णन करता है पर उसे कोई नाम नहीं देता
toggleखुले locker को बंद करना या बंद को खोलना— (chapter इसे अंग्रेज़ी में ही समझाता है)इसी chapter में छपा (Part I p.1)

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Square number वह है जो गुणा करने से मिलता है, और factors की odd गिनती एक अलग अजूबा है।" दोनों एक ही बात हैं। Square होना ही वह स्थिति है जब divisors की जोड़ी हर किसी को जोड़ी में नहीं बिठा पाती।
  • "हर संख्या के factors की गिनती even होती है।" 1, 4 और 9 chapter के तीन counterexamples हैं, अगल-बगल छपे हुए।
  • "36 के पास जोड़ी 6 × 6 है, इसलिए उसके factors की गिनती odd है — बात ख़त्म।" अभी नहीं। यह भी चाहिए कि 36 का कोई दूसरा factor self-paired न हो। chapter ठीक यही जाँच माँगता है, और जो व्याख्या इसे छोड़ देती है उसने proof ही छोड़ दिया।
  • **"व्यक्ति d locker n को तब-तब toggle करता है जब d, n से छोटा हो।"** सिर्फ़ तब, जब d, n को पूरा-पूरा भाग दे। व्यक्ति 7 locker 12 को कभी नहीं छूता।
  • "1 एक ख़ास मामला है जो नियम बिगाड़ देता है।" 1 = 1 × 1 पहला square है और सबसे साफ़ उदाहरण: उसका अकेला factor ख़ुद अपना partner है।
  • "सिर्फ़ पूरी संख्याओं का ही square निकल सकता है।" chapter उसी page पर 3/5 और 2.5 का square निकालता है जहाँ वह notation परिभाषित करता है।
  • "Square एक आकार है; square number एक संख्या है; साझा शब्द बस संयोग है।" chapter का अपना इतिहास वाला हिस्सा (Part I pp.15–16) दिखाता है कि यह शब्द शुरू से दोनों अर्थ उठाता आया है — देखो The oldest known tables of squares and cubes.
  • "जिन lockers को दो बार छुआ गया वे even नंबर वाले हैं।" दो बार छुआ जाना मतलब ठीक दो factors, और यही prime की परिभाषा है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript2,257 शब्द

एक लंबे गलियारे में 100 lockers एक कतार में लगे हैं, और उन पर 1 से 100 तक की गिनती लिखी है। शुरू में हर locker बंद है। अब 100 लोग एक-एक करके इस गलियारे से गुज़रेंगे। हर व्यक्ति की पीठ पर भी उसकी गिनती लिखी है, 1 से 100 तक। पहला व्यक्ति हर locker खोल देता है, और पूरा गलियारा खुला हो जाता है। दूसरा व्यक्ति सिर्फ़ 2, 4 और 6 जैसे lockers पर रुकता है, यानी हर दूसरे locker पर।

जो खुला मिले उसे बंद करता है, और जो बंद मिले उसे खोलता है। तीसरा व्यक्ति यही काम हर तीसरे locker पर करता है, जैसे 3, 6 और 9 पर। ऐसे ही सिलसिला व्यक्ति 100 तक चलता है, जो सिर्फ़ आख़िरी locker को छूकर चला जाता है। सब लोग गुज़र जाने के बाद कुछ lockers खुले रहेंगे और कुछ बंद। कौन से lockers खुले रहेंगे? आप चाहें तो पूरा गलियारा चलकर देख सकते हैं।

पर इस video के आख़िर तक हम बिना चले ही उन्हें पहचान लेंगे। बाक़ी सब lockers को भूल जाइए, और सिर्फ़ locker 6 पर नज़र रखिए। पहला व्यक्ति तो हर locker छूता है, इसलिए locker 6 को भी। दूसरा व्यक्ति भी छूता है, क्योंकि उसकी राह 2, 4 और 6 से होकर जाती है। तीसरा व्यक्ति भी, 3 के बाद सीधे 6 पर। व्यक्ति 4 पहले 4 पर रुकता है, फिर 8 पर, और 6 बीच में छूट जाता है।

और व्यक्ति 5 इसे भी छोड़कर आगे निकल जाता है। फिर व्यक्ति 6 इसे छूता है। उसके बाद कोई नहीं छूता, क्योंकि आगे वाला हर व्यक्ति 6 से आगे से ही शुरू करता है। तो locker 6 को कुल 4 लोगों ने छुआ। वो बंद से शुरू हुआ था, और हर छुअन उसे पलट देती है। बंद से खुला, फिर बंद, फिर खुला, और फिर बंद। यानी 4 बार पलटने के बाद वो ठीक वहीं पहुँच गया जहाँ से चला था, यानी बंद।

अब locker 9 को देखिए। इसे पहला व्यक्ति छूता है, फिर तीसरा, और फिर व्यक्ति 9। यानी ये 3 बार पलटा, बंद से खुला, फिर बंद, फिर खुला। ये खुला ही रह जाता है। ध्यान दीजिए कि फ़र्क़ किस बात से पड़ा। न इससे कि उसे किन लोगों ने छुआ, न इससे कि वो किस क्रम में आए, बल्कि सिर्फ़ इससे कि वो कितने थे। छूने वालों की गिनती odd हो, तो locker खुला रहता है, और even हो, तो बंद।

आगे से खुला locker सुनहरा दिखेगा, और बंद locker सलेटी रंग का। पहली नज़र में लगता है कि हर व्यक्ति की चाल याद रखनी पड़ेगी। पर हमें बस हर locker के लिए एक गिनती चाहिए। तो अब पूछिए, कोई व्यक्ति किसी locker को कब छूता है? व्यक्ति 3 रुकता है 3, 6, 9 और 12 पर, यानी 3 के पहाड़े पर। वो किसी locker को तभी छूता है, जब locker की गिनती 3 से पूरी बँट जाए।

यानी कोई व्यक्ति किसी locker को ठीक तभी छूता है, जब उसकी गिनती उस locker की गिनती का factor हो। तुम्हें लग सकता है कि छोटी गिनती वाला हर व्यक्ति बड़ी गिनती वाले locker तक पहुँच ही जाएगा। पर व्यक्ति 7 रुकता है 7, 14 और 21 पर, और 12 को छूता तक नहीं, क्योंकि 12 को 7 से बाँटने पर कुछ बच जाता है। अब locker 6 पर वापस चलिए।

उसे छूने वाले 1, 2, 3 और 6 थे, और यही 6 के सारे factors हैं, न एक कम, न एक ज़्यादा। इसलिए किसी locker को जितने लोग छूते हैं, उतने ही उसकी गिनती के factors होते हैं। ये बात सभी 100 lockers पर जाँची गई है, और एक पर भी नहीं टूटती। तो गलियारे का सवाल अब factors का सवाल बन गया है। किन संख्याओं के factors की गिनती odd होती है?

देखिए, factors कभी अकेले नहीं आते। जैसे, 36 को 3 से बाँटें तो कुछ नहीं बचता, और हाथ में 12 आता है। इसलिए 3 की तरह 12 से भी 36 पूरा बँट जाता है। क्योंकि 3 गुणा 12 बराबर 36 है, ये दोनों एक जोड़ी में आते हैं। यहाँ 12 को 3 का partner factor कहते हैं, और 3 को 12 का। मैं ऐसी हर जोड़ी को एक arc से जोड़ूँगा।

इस arc का मतलब हमेशा यही होगा कि ये दोनों गुणा होकर वही संख्या देते हैं। अब 6 लीजिए। इसमें 1 की जोड़ी 6 से बनती है, और 2 की जोड़ी 3 से, तो 2 arcs में 4 factors आ गए। अब 10 लीजिए। इसमें 1 की जोड़ी 10 से और 2 की जोड़ी 5 से बनती है, और फिर से 4 factors मिलते हैं। हर arc अपने साथ 2 factors लाता है, इसलिए गिनती हर बार 2 करके बढ़ती है और even ही रहनी चाहिए।

क्या ये हमेशा होगा? बहुत से students यही मान लेते हैं कि हर संख्या के factors even ही होते हैं। पर 3 छोटी संख्याएँ इस बात को तोड़ देती हैं। पहली है 1, जिसका अकेला factor 1 ही है, क्योंकि 1 गुणा 1 बराबर 1 है। फिर आती है 4, जहाँ 1 गुणा 4 है और 2 गुणा 2 है, और इसके factors हैं 1, 2 और 4। और फिर 9, जहाँ 1 गुणा 9 है और 3 गुणा 3, और factors हैं 1, 3 और 9।

यहाँ गिनती 1, 3 और 3 आती है, और तीनों की तीनों odd हैं। तो गड़बड़ कहाँ हुई? देखिए, 4 में 2 का partner खुद 2 है, इसलिए उसे जोड़ने के लिए कोई दूसरा factor बचता ही नहीं। ऐसा arc अपने ही ऊपर मुड़ जाता है, इसलिए मैं उसे एक loop की तरह बनाऊँगा। और 9 में वही loop 3 पर बनता है, और 1 में 1 पर। अब 36 जैसी एक बड़ी संख्या लेते हैं।

पहले 1 की जोड़ी 36 से बनती है, फिर 2 की जोड़ी 18 से। उसके बाद 3 की जोड़ी 12 से बनती है, और 4 की जोड़ी 9 से। और फिर बारी आती है 6 की। यहाँ 6 गुणा 6 बराबर 36 है, यानी 6 का partner खुद 6 है, और यहाँ एक loop बनता है। अब सबको गिनिए, 1, 2, 3, 4 और 6, फिर 9, 12, 18 और 36।

कुल 9 factors हैं, और 9 odd है। इसलिए locker 36 खुला रहना चाहिए, और गलियारे में वो सच में खुला ही मिलता है। यहाँ एक कदम छोड़ देना बहुत आसान है। शायद तुम कहो कि 36 में 6 गुणा 6 है, तो गिनती odd है, और बात ख़त्म। बात अभी ख़त्म नहीं हुई। पहले देखिए कि गिनती असल में बनती कैसे है, हर arc के 2 factors और हर loop का 1।

जैसे 36 में 4 arcs के 8 factors हुए, और 1 loop जोड़कर 9 हो गए। गिनती odd इसलिए आई, क्योंकि loops की गिनती odd थी। अगर 3 loops होते, तो 8 और 3 मिलकर 11 बनते, जो फिर भी odd है। पर अगर 2 loops होते, तो 8 और 2 मिलकर 10 बनते, यानी even, और locker बंद हो जाता। तो सिर्फ़ ये जानना काफ़ी नहीं कि 36 में एक loop है।

किसी संख्या में कितने loops हो सकते हैं? देखिए, loop वो factor है जो खुद से गुणा होकर वही संख्या दे। और factor जितना बड़ा होता है, खुद से गुणा करने पर जवाब भी उतना ही बड़ा होता जाता है, इसलिए ये बराबरी ज़्यादा से ज़्यादा एक ही factor पर हो सकती है। और 1 से 400 तक हर संख्या जाँची गई, तो किसी में भी 2 loops नहीं मिले, हर बार 0 या 1।

पूरी बात इसी एक वाक्य पर टिकी हुई है। अब सिर्फ़ 2 ही हालात बचते हैं। अगर कोई loop नहीं है, तो हर arc के 2 factors जुड़ते हैं, गिनती even आती है, और locker बंद रहता है। अगर 1 loop है, तो even में 1 जुड़ता है, गिनती odd आती है, और locker खुला रहता है। यानी locker ठीक तब खुला रहता है, जब उसकी गिनती किसी पूरी संख्या को खुद से गुणा करके बने।

ऐसी संख्याओं को square कहते हैं। तो 1 से 100 के बीच ये कौन से lockers हैं? वो हैं 1, 4, 9, 16 और 25। फिर आते हैं 36, 49, 64, 81 और 100। यानी 100 में से 10 lockers खुले हैं, और हमने एक भी कदम चले बिना उन्हें पहचान लिया। और जब गलियारा सच में चलाकर देखा गया, तो ठीक यही 10 lockers खुले मिले। तुम सोच सकते हो कि 1 पर आकर ये नियम ज़रूर टूटेगा।

पर 1 का अकेला factor 1 है, और 1 को 1 से बाँटें तो फिर 1 ही मिलता है। यानी 1 अपना partner खुद है। यहाँ कोई arc नहीं, बस एक loop है, और गिनती 1 आती है। और 1 odd है, इसलिए locker 1 खुला रहता है। और देखिए, 1 गुणा 1 का जवाब भी 1 ही है। इसलिए 1 कोई अटपटा अपवाद नहीं है, बल्कि इस नियम की सबसे साफ़ मिसाल है।

अब इसी गलियारे से एक और सवाल पूछते हैं। किन lockers को ठीक 2 लोगों ने छुआ? हर संख्या के factors में 1 और वो संख्या खुद तो होते ही हैं। तो ठीक 2 factors का मतलब है कि इनके बीच कोई factor नहीं। ऐसी संख्या को prime कहते हैं। पहले 5 ऐसे lockers हैं 2, 3, 5, 7 और 11। पूरे गलियारे में ऐसे 25 lockers निकलते हैं। और 1 के साथ क्या होता है?

उसके 2 factors होने के लिए 1 और वो खुद अलग-अलग चाहिए, पर यहाँ दोनों एक ही हैं। और 1 को सिर्फ़ एक बार छुआ गया, इसलिए वो अपने आप बाहर हो जाता है। हो सकता है कि तुम सोचो कि ये even lockers होंगे। पर 4 को 3 लोगों ने छुआ, 6 को 4 लोगों ने, और इन 25 में even सिर्फ़ 2 है। इन खुले lockers की संख्याओं का एक नाम है, square, और ये देखना ज़रूरी है कि ये नाम कहाँ से आया।

कुछ tiles लेकर उन्हें ऐसे बिछाइए कि हर भुजा बराबर हो, यानी एक square बने। हर भुजा पर 1 tile हो, तो कुल 1 tile लगती है। और हर भुजा पर 2 हों, तो कुल 4 tiles लगती हैं। भुजा पर 3 हों, तो 9 tiles लगती हैं, और 4 हों, तो 16 tiles लगती हैं। भुजा 5 की हो, तो 25 tiles लगती हैं, और भुजा 10 की हो, तो पूरी 100 tiles लगती हैं।

देखिए, tiles की ये गिनती, यानी हर square का area, ठीक वही है जो lockers खुले रहे थे। यहाँ square शब्द कोई मिसाल भर नहीं है। एक संख्या square इसलिए है, क्योंकि वो एक ऐसे square का area है जिसकी भुजा पूरी संख्या है। और वो भुजा ही वो factor है जिसका कोई partner नहीं था। जैसे 36 का loop 6 पर बना था, और 36 tiles का square भी 6 की भुजा पर ही बनता है।

हर बार n गुणा n लिखना थका देता है, इसलिए इसे n के ऊपर एक छोटा 2 लगाकर लिखते हैं, और पढ़ते हैं n squared। जैसे 5 squared का मतलब है 5 गुणा 5, जो 25 है। ऊपर वाला 2 ये बताता है कि कितने n आपस में गुणा हो रहे हैं। वो ऐसी संख्या नहीं है जिससे गुणा किया जाए। इसलिए squaring का मतलब दोगुना करना नहीं है। जैसे 2 दशमलव 5 का दोगुना 5 होता है।

पर 2 दशमलव 5 को खुद से गुणा करें, तो 6 दशमलव 2 5 मिलता है। और square सिर्फ़ पूरी संख्याओं का ही नहीं होता। जैसे 3 बटा 5 का square है 9 बटा 25, यानी ऊपर गुणा ऊपर, और नीचे गुणा नीचे। ध्यान दीजिए, ये जवाब 3 बटा 5 से छोटा निकला। जबकि 3 बटा 5 का दोगुना 6 बटा 5 है, जो बड़ा है। देखिए, 9 बटा 25 एक square है, क्योंकि वो 3 बटा 5 का square है।

पर उसे perfect square नहीं कहते। यानी perfect square वो है जो किसी natural number को खुद से गुणा करके बने, जैसे 1, 4, 9, 16 और 25। इसी तरह 6 दशमलव 2 5 एक square तो है, पर perfect square नहीं, क्योंकि 2 दशमलव 5 कोई natural number नहीं है। तो गलियारे में जो lockers खुले रहे, वो ठीक 1 से 100 तक के perfect squares हैं। ये 10 संख्याओं की एक सूची भर नहीं है।

ये एक नियम है, जो बताता है कि कोई भी लंबा गलियारा क्या करेगा, उसे बनाए बिना। चलिए, अब इसे खुद आज़माकर देखिए। अगर गलियारे में 1000 lockers हों और 1000 लोग चलें, तो कितने lockers खुले रहेंगे? चलने की ज़रूरत नहीं, बस squares गिनिए। देखिए, 31 गुणा 31 है 961, और 32 गुणा 32 है 1024, जो 1000 से आगे निकल जाता है। इसलिए 31 lockers खुले रहेंगे, और 1000 लोगों को सच में चलाकर देखने पर भी यही 31 मिलते हैं।

एक और सवाल सोचिए। अगर 100 तक की संख्याएँ लें, तो किनके ठीक 3 factors होते हैं? गिनती 3 odd है, तो संख्या square होनी चाहिए, जिसमें 1 arc और 1 loop हो। और loop वाला factor prime होना चाहिए, इसलिए जवाब हैं 4, 9, 25 और 49। जैसे 49 में 1 की जोड़ी 49 से बनती है, और 7 पर एक loop है। हमने गलियारे में एक भी कदम नहीं रखा।

पहले lockers का सवाल गिनती का सवाल बना, क्योंकि locker की किस्मत सिर्फ़ इस पर टिकी थी कि उसे कितनी बार छुआ गया। फिर गिनती जोड़ियों का सवाल बनी, क्योंकि factors अपने partners के साथ आते हैं। जोड़ियों में सिर्फ़ एक ही चीज़ बिगड़ सकती थी, एक ऐसा factor जिसका partner वो खुद हो। और वही factor एक square की भुजा निकला। खुले lockers, squares के area हैं, 1 से लेकर 100 तक।

हर कदम छोटा था, पर सबने मिलकर 100 अलग सवालों को एक ही सवाल बना दिया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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