PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 1, A Square and A Cube
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1, 4, 9, 16, 25: एक square से अगले तक का अंतर 3, 5, 7, 9 है, यानी odd संख्याएँ, क्रम से। पर 4 बार जाँचा गया पैटर्न तथ्य नहीं होता।
मुख्य idea
किसी square को भुजा n − 1 से भुजा n तक बढ़ाने के लिए तुम नीचे एक row जोड़ते हो, बगल में ऊपर तक एक column, और वह अकेला कोने वाला cell जहाँ वे मिलते हैं — यानी (n − 1) + (n − 1) + 1 cells, जो 2n − 1 है, nवीं odd number। तो odd numbers किसी रहस्यमय तरीक़े से squares से नहीं जुड़ीं; वे सचमुच लगातार squares के बीच के फ़ासले हैं, और उन्हें 1 से जोड़ना एक बार में एक L-shaped किनारा लगाकर square को फिर से खड़ा करता है। बिना किसी अतिरिक्त मेहनत के उसी तस्वीर से दो काम की बातें निकलती हैं: अगला square इसी square में 2n + 1 जोड़ने पर मिलता है, और किसी संख्या में से odd numbers तब तक घटाना जब तक तुम ठीक 0 पर न पहुँचो — यह तय भी करता है कि वह square है या नहीं, और साथ-साथ उसका root भी गिन देता है।
आपको क्या आना चाहिए
- लगातार squares के बीच के फ़र्क़ निकालना और पहचानना कि वे क्रम से odd numbers हैं
- L-shaped किनारे से समझाना कि (n − 1)² से n² तक का फ़ासला 2n − 1 क्यों है
- बताना कि पहली n odd numbers का जोड़ n² होता है, और इसे सिर्फ़ कहने के बजाय सही ठहराना
- nवीं odd number को 2n − 1 लिखना और उससे किसी square को उससे पहले वाले square से निकालना
- 1, 3, 5, … घटाकर और नतीजा पढ़कर जाँचना कि दी गई संख्या square है या नहीं
- perfect square का root, किए गए घटावों की गिनती से पढ़ना
- बताना कि बिना शब्दों वाले तर्क को proof माने जाने से पहले क्या स्थापित करना बाक़ी रहता है
- दो लगातार squares के ठीक बीच में कितनी पूरी संख्याएँ आती हैं, इस पर तर्क करना
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| consecutive squares | ऐसे दो squares जिनकी भुजाओं में एक का फ़र्क़ हो | क्रमागत वर्ग | इसी chapter में छपा (Part I p.5) |
| odd number | वह पूरी संख्या जिसमें शेषफल 1 बचता है, जब उसे 2 से भाग दिया जाए | विषम संख्या | पहले से ज्ञात माना गया; Part I p.5 से केंद्र में |
| inverted L | square को बढ़ाने के लिए जोड़े गए dots के किनारे का chapter का नाम | उलटा L | इसी chapter में छपा (Part I p.6) |
| visual proof | ऐसा तर्क जो पूरी तरह एक तस्वीर उठाती है | दृश्य उपपत्ति | इसी chapter में छपा (Part I p.6) |
| nth odd number | स्थान n पर आने वाली odd number, जो 2n − 1 के बराबर है | n-वीं विषम संख्या | इसी chapter में छपा (Part I p.6) |
| successively subtracting | किसी संख्या में से बारी-बारी 1, 3, 5, … घटाना | क्रमिक रूप से घटाना | इसी chapter में छपा (Part I pp.6 और 8) |
| gnomon | L-shaped किनारे का शास्त्रीय नाम | — | इस पाठ का शब्द; chapter "inverted L" इस्तेमाल करता है और यह शब्द कभी नहीं |
| telescoping | ऐसा जोड़ जिसका हर पद एक फ़र्क़ है, इसलिए बीच के पद कट जाते हैं | — | इस पाठ का शब्द, छपा हुआ नहीं |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "Odd numbers वाला pattern एक संयोग है जिस पर किसी की नज़र पड़ गई।" L-shaped किनारा इसे अनिवार्य बना देता है। जो व्याख्या किनारे के बिना सूची दिखाती है, उसने pattern सिखाया है, कारण नहीं।
- **"nवीं odd number जोड़ने का मतलब 2n + 1 जोड़ना है।"** एक का फ़र्क़। nवीं odd number 2n − 1 है; 2n + 1 वह मात्रा है जो तुम्हें n² से (n + 1)² तक ले जाती है। दोनों इसी topic में आती हैं और students अक्सर इन्हें आपस में बदल देते हैं।
- "तस्वीर proof नहीं होती।" chapter इसका उलटा कहता है, और वह सही है — लेकिन सिर्फ़ तब जब तस्वीर आम क़दम दिखाए। एक बनाया हुआ उदाहरण सिर्फ़ उदाहरण है। किनारे को बिना label वाले आकार पर जुड़ते हुए दिखाओ।
- "अगर घटावों का सिलसिला zero पर नहीं पहुँचता, तो घटाते रहो।" जैसे ही कोई घटाव तुम्हें zero से नीचे ले जाए, सवाल तय हो जाता है और जवाब ना है।
- "घटावों की गिनती वही संख्या है जिससे तुमने शुरू किया।" वह square root है। 81 से नौ घटावों का मतलब 81 = 9² है, न कि 81 = 81.
- "16² और 17² के बीच 17 संख्याएँ हैं।" students n या n + 1 की तरफ़ हाथ बढ़ाते हैं। फ़ासला ख़ुद 2n + 1 है और ठीक बीच की गिनती उससे एक कम — यह अलग मात्रा है, और इन्हें अलग रखना ज़रूरी है।
- "लगातार squares के बीच का फ़ासला स्थिर रहता है।" यह बढ़ता है, हर बार ठीक 2 से, और यह वही कथन है जो "फ़र्क़ odd numbers हैं"।
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पूरा transcript1,746 शब्द
पहले कुछ square संख्याएँ देखिए, जो 1, 4, 9, 16 और 25 हैं। अब हर square में से उससे पिछला square घटाइए। जैसे 4 में से 1 घटाने पर 3 बचते हैं, और 9 में से 4 घटाने पर 5 बचते हैं। फिर 16 में से 9 घटाने पर 7 बचते हैं, और 25 में से 16 घटाने पर 9 बचते हैं। ये 3, 5, 7 और 9 कोई भी संख्याएँ नहीं हैं।
ये odd संख्याएँ हैं, जो क्रम से आ रही हैं, न कोई छूटी और न कोई दोहराई गई। और ये आगे भी आती रहती हैं, क्योंकि अगला अंतर 11 है, और फिर 13 आता है। यानी squares बराबर दूरी पर नहीं हैं। हर कदम पिछले कदम से 2 बड़ा होता है। एक square से अगले square तक का अंतर हमेशा एक odd संख्या होता है, और ये odd संख्याएँ क्रम से आती हैं।
पर जिस पैटर्न को आपने 4 बार जाँचा हो, वो अभी तथ्य नहीं है। वो एक ऐसा संयोग भी हो सकता है, जो अभी पकड़ा नहीं गया। और squares अनगिनत हैं, इसलिए कितना भी जाँच लें, सब तक कभी नहीं पहुँच सकते। तो सवाल ये नहीं कि ये पैटर्न आगे चलता है या नहीं। सवाल ये है कि इसे चलना ही क्यों पड़ता है? इसके लिए हिसाब छोड़कर देखते हैं, कि square संख्या असल में है क्या।
एक square संख्या सच में एक square है, तो चलिए उसे बनाकर देखते हैं। ये बिंदुओं का 5 गुणा 5 का जाल है, जिसमें कुल 25 बिंदु हैं। अब इसे 6 गुणा 6 बनाना है, तो इसमें क्या जोड़ना पड़ेगा? एक पूरा नया square जोड़ने की ज़रूरत नहीं है। वो 25 बिंदु तो पहले से वहीं हैं, और अपनी जगह से हिलते नहीं। नीचे एक नई पंक्ति जुड़ती है, और किनारे पर एक नया स्तंभ जुड़ता है।
ये एक उलटा L है, जो पहले वाले square के 2 किनारों पर लिपटा हुआ है। हर square अगले square में ठीक ऐसे ही एक L को अपने 2 किनारों पर लगाकर बदलता है। तो अंतरों वाला सवाल अब L का सवाल बन गया है। इस L में कितने बिंदु हैं? इसे 3 हिस्सों में गिनकर देखते हैं। जब 5 गुणा 5 से 6 गुणा 6 बनता है, तो नीचे एक नई पंक्ति आती है, जिसमें 5 बिंदु हैं।
किनारे पर एक नया स्तंभ आता है, और उसमें भी 5 बिंदु हैं। और एक बिंदु और है, ठीक कोने पर, जहाँ पंक्ति और स्तंभ आपस में मिलते हैं। वो कोने वाला बिंदु न पंक्ति में है, न स्तंभ में, और उसे भूल जाएँ तो जवाब odd से even हो जाता है। तो 5 और 5 मिलकर 10 होते हैं, और 10 में 1 जुड़कर 11 होते हैं। यानी 11 बिंदु, और 25 से 36 तक का अंतर भी ठीक 11 ही है।
यहाँ 2 बराबर किनारे हैं, इसलिए उनका जोड़ even होता है, और ऊपर से एक कोना जुड़ता है। और even में 1 जोड़ें तो odd आता है। ये अंतर कुछ और हो ही नहीं सकता। अब इन L को एक के ऊपर एक रखते जाइए। शुरुआत एक अकेले बिंदु से होती है, यानी 1 से। उसके साथ 3 बिंदुओं का L लगाइए, तो 2 गुणा 2 का square बनता है, यानी 1 और 3 मिलकर 4 होते हैं।
फिर 5 का L लगाइए, तो 3 गुणा 3 बनता है, और 1, 3 और 5 मिलकर 9 होते हैं। फिर 7 और लगाएँ तो 16 बनता है, 9 और लगाएँ तो 25, और 11 और लगाएँ तो 36 बनता है। हर square odd संख्याओं से बना है, क्रम से, 1 से शुरू होकर। पहली 6 odd संख्याओं को जोड़िए, तो 36 आता है, जो 6 गुणा 6 है। और पहली n odd संख्याओं को जोड़ें, तो n का square आता है।
ये लगभग नहीं, बल्कि बिल्कुल ठीक होता है, और हर n के लिए होता है। इसके लिए अक्सर एक तस्वीर दिखाई जाती है, और वो अच्छी तस्वीर है। पर ईमानदारी से देखिए, कि एक तस्वीर क्या कर सकती है? वो एक ही हालत दिखाती है, एक आकार का एक square, जो एक L से बढ़ता है। वो कितनी भी पक्की लगे, अभी प्रमाण नहीं है। उसे प्रमाण बनाती है ये बात, कि पूरी दलील में कुछ भी आकार पर टिका नहीं था।
चाहे square कितना भी बड़ा हो, नई पंक्ति नई भुजा से 1 छोटी होती है, स्तंभ भी, और कोना हमेशा ठीक एक ही होता है। हमने कहीं भी 5 या 6 का इस्तेमाल नहीं किया। वो संख्याएँ हटा दीजिए, फिर भी हर वाक्य सही रहता है। बिना शब्दों वाले प्रमाण को एक दिखने वाली हालत नहीं, बल्कि एक ऐसा कदम दिखाना होता है, जो हर आकार पर लागू हो। तो अब इसे तस्वीर के बिना कहकर देखते हैं।
गिनती में n वीं odd संख्या, 2 गुणा n में से 1 घटाकर मिलती है। पहली है 2 घटा 1, यानी 1, दूसरी है 4 घटा 1, यानी 3, और तीसरी 5 होती है। और यहीं ज़्यादातर लोग गलती करते हैं। याद रखिए, 2 गुणा n घटा 1, n वीं odd संख्या है। और 2 गुणा n में 1 जोड़ें, तो वो कदम मिलता है, जो n के square से अगले square तक ले जाता है।
इन दोनों में 2 का फ़र्क है, दोनों यहीं रहते हैं, और अक्सर आपस में बदल जाते हैं। इन्हें अलग रखने का तरीका ये है। भुजा n वाले square से आगे ले जाने वाले L में, n की पंक्ति, n का स्तंभ और एक कोना होता है, यानी 2 गुणा n में 1 जुड़ता है। वही 3 हिस्से हैं, बस नीचे वाला square बड़ा है। अब ये नियम सच में काम आता है।
मान लीजिए, 35 का square 1225 है, और आपको बिना गुणा किए 36 का square चाहिए। यहाँ 35 के square से अगला कदम 2 गुणा 35 में 1 जोड़कर मिलता है, जो 71 है। अब 1225 में 71 जोड़िए, तो 1296 आता है। यही 36 का square है, और इसमें कहीं भी गुणा नहीं हुआ। ये उल्टी तरफ़ से भी चलता है। जैसे 67 के square में से 66 का square घटाएँ, तो 2 गुणा 66 में 1 जोड़कर 133 मिलता है, और 43 और 42 के लिए 85 मिलता है।
अब एक सवाल आपके लिए। मान लीजिए 125 का square 15625 है, तो 126 का square इनमें से किस तरीके से मिलेगा? क्या 15625 में 126 जोड़ें, या 26 का square, या 253, या 251, या फिर 51 का square जोड़ें? सही कदम 2 गुणा 125 में 1 जोड़कर मिलता है, जो 251 है। और 253 वो विकल्प है जो लोगों को फँसाता है, और वो 2 से चूक जाता है।
अब तक सब कुछ आगे की दिशा में चला है। ये पीछे की दिशा में भी चलता है, और उससे एक test मिलता है। एक संख्या लीजिए, जैसे 25, और पूछिए कि क्या ये square है, बिना कुछ गुणा किए? पहले 1 घटाइए, तो 24 बचते हैं। फिर 3 घटाइए, तो 21 बचते हैं। फिर 5 घटाइए, तो 16 बचते हैं। फिर 7 घटाइए, तो 9 बचते हैं, और फिर 9 घटाइए, तो कुछ नहीं बचता।
ये ठीक 0 पर आकर रुका, इसलिए 25 एक square है। और ऐसा होना ही था। आपने square को उन्हीं L में खोल दिया, जिनसे वो बना था। अगर वो बिना कुछ बचे पूरे निकल आएँ, तो उसमें और कुछ था ही नहीं। अब यही test 38 पर आज़माकर देखिए। इसमें से 1 घटाने पर 37 बचते हैं, 3 घटाने पर 34, 5 घटाने पर 29, और 7 घटाने पर 22 बचते हैं।
फिर 9 घटाने पर 13 बचते हैं, और 11 घटाने पर 2 बचते हैं। अब 2 बचे हैं, और अगली odd संख्या 13 है। उसे घटाएँ, तो जवाब 0 से नीचे चला जाता है, और 0 से 11 नीचे पहुँच जाता है। आप 0 पर रुके बिना उससे आगे निकल गए। बात यहीं तय हो गई। घटाई जाने वाली संख्याएँ बढ़ती ही जाती हैं, इसलिए एक बार 0 से नीचे गए, तो नीचे ही रहेंगे।
यानी 38 एक square नहीं है। ध्यान दीजिए, इस test ने कभी भी आपसे कोई square याद रखने को नहीं कहा। अब 25 पर वापस जाइए, और गिनिए कि कितनी बार घटाया। हमने 1, 3, 5, 7 और 9 घटाए, यानी कुल 5 बार घटाया। और 25 ठीक 5 गुणा 5 है। ये भी संयोग नहीं है। ये square 5 L से बना था, इसलिए उसे खोलने में 5 कदम लगे।
पर ध्यान रखिए कि आप क्या गिन रहे हैं। ये कदमों की गिनती है, शुरू वाली संख्या नहीं। जैसे 81 एक square है, पर उसका test 9 कदम लेता है, 81 नहीं। ये दोनों बस तब बराबर होते हैं, जब संख्या 1 हो। इसीलिए ये गलती पहली मिसाल में पकड़ में नहीं आती। इन अंतरों से एक और बात सीधे निकलती है। बताइए, 9 और 16 के बीच कितनी पूरी संख्याएँ हैं, दोनों किनारों को छोड़कर?
वो हैं 10, 11, 12, 13, 14 और 15, यानी कुल 6 संख्याएँ बनती हैं। देखिए, 9 से 16 तक का अंतर 7 है, पर गिनती 6 है। उन 7 कदमों में से एक कदम ठीक 16 पर पड़ता है, और 16 तो किनारा है, बीच की संख्या नहीं। आम तौर पर, n के square और अगले square के बीच 2 गुणा n पूरी संख्याएँ होती हैं, और उनमें से कोई भी square नहीं होती।
गिनती हमेशा अंतर से 1 कम होती है। चलिए, अब इसे खुद आज़माकर देखिए। बताइए, 16 के square और 17 के square के बीच कितनी पूरी संख्याएँ हैं? इसका रास्ता भी वही पुराना है। अंतर 2 गुणा 16 में 1 जोड़कर मिलता है, और गिनती उससे 1 कम होती है। और यही सवाल 99 के square और 100 के square के बीच पूछिए, और जवाब खुद निकालिए। एक और काम, 49 पर घटाने वाला test चलाइए, और गिनिए कि कितने कदम लगते हैं।
वही गिनती बताएगी कि 49 किसका square है। आख़िर में, इन बढ़ते अंतरों से एक और बात का अंदाज़ा लगता है। अब 1000 तक की संख्याओं को ऐसे खंडों में बाँटिए, जिनमें 100 संख्याएँ हों। पहले खंड में कितने squares हैं? इसमें 1, 4, 9 से लेकर 100 तक, कुल 10 squares आते हैं। दूसरे खंड में 121, 144, 169 और 196 आते हैं, यानी बस 4 squares होते हैं।
और आख़िरी खंड में बस एक square है, 961, जो 31 गुणा 31 है। अगला square 1000 से आगे निकल जाता है। यानी squares आगे जाकर कम होते जाते हैं, और अब आप जानते हैं कि क्यों। उनके बीच की दूरी हर बार 2 बढ़ती है। हर बार बस एक और L जुड़ता है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- What makes a number a perfect squareकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
आगे फिर कहाँ आता है
- Square roots, and the prime-factor test for a perfect squareकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- Cubes built from runs of consecutive odd numbersकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- Cube roots, and what successive differences exposeकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- What a perfect square's last digits can and cannot beकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- Squares hiding inside triangular numbersकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube