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Chapter 1 · A Square and A Cube

squares और cubes की सबसे पुरानी ज्ञात tables

Where these ideas came from, and a puzzle9 मिनट

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सबसे पुरानी मिली squares की सूचियाँ मिट्टी में दबाकर लिखी गई थीं। 60 पंक्तियों की एक सूची 120 सवालों के जवाब देती है, क्योंकि किन्हीं 2 भुजाओं से एक ही क्षेत्रफल नहीं बनता।

मुख्य idea

square करने और root निकालने के शब्द यह दर्ज करते हैं कि ये क्रियाएँ किस काम के लिए थीं। संस्कृत में एक ही शब्द, varga, square आकृति और दूसरी घात दोनों का नाम था, क्योंकि घात से पहली मुलाक़ात area के रूप में हुई थी; और जो क्रिया उलटी दिशा में चलती है उसे mula नाम मिला, यानी पौधे की जड़, क्योंकि भुजा वह है जिसमें से area उगता है। लगभग 1700 BCE की Babylonian मिट्टी की सूचियाँ यही बात दूसरे सिरे से कहती हैं: squares और cubes निकाले नहीं जाते थे बल्कि tables में लिखे जाते थे, क्योंकि माँग ज़मीन नापने और इमारतें खड़ी करने से आती थी। तो इतिहास का यह आधा page सबूत है, सजावट नहीं — शब्दावली और पट्टिकाएँ मिलकर बताती हैं कि ये विचार ज़मीन की नाप-जोख और निर्माण के रास्ते आए, और नामों से उनकी उँगलियों के निशान कभी नहीं मिटे।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि squares और cubes की सबसे पुरानी ज्ञात सूचियाँ कब और कहाँ बनीं, और किस चीज़ पर लिखी गईं
  • समझाना कि जब कोई कुशल तरीक़ा न हो तब table काम की क्यों है, और table की क़ीमत क्या है
  • वह व्यावहारिक काम बताना जिसमें chapter के अनुसार वे tables काम आती थीं
  • square घात, cube घात और चौथी घात के संस्कृत शब्द देना, और बताना कि गणित के बाहर हर एक का क्या अर्थ भी था
  • समझाना कि एक ही शब्द आकृति और घात दोनों के लिए क्यों चला
  • root वाले शब्द को mula से Arabic और Latin होते हुए आज के इस्तेमाल तक ढूँढ़ना
  • chapter के उद्धृत दोनों कथनों को उनकी तारीख़ों के साथ Aryabhata और Brahmagupta से जोड़ना
  • यह तर्क देना कि किसी शब्द का आम अर्थ किसी विचार के उद्गम के बारे में सबूत है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
vargasquare आकृति, उसके area, और दूसरी घात के लिए संस्कृत शब्दवर्गइसी chapter में छपा (Part I p.16)
ghanaठोस cube, और तीसरी घात के लिए संस्कृत शब्दघनइसी chapter में छपा (Part I p.16)
varga-vargaचौथी घात के लिए संस्कृत शब्दवर्ग-वर्गइसी chapter में छपा (Part I p.16)
mulaपौधे की जड़, और आधार, कारण या उद्गम के लिए संस्कृत शब्दमूलइसी chapter में छपा (Part I p.16)
varga-mulasquare root के लिए संस्कृत शब्दवर्गमूलइसी chapter में छपा (Part I p.16)
ghana-mulacube root के लिए संस्कृत शब्दघनमूलइसी chapter में छपा (Part I p.16)
padaपैर, आधार, कारण, उद्गम के लिए संस्कृत शब्द — root के लिए इस्तेमाल हुआ एक और शब्दपदइसी chapter में छपा (Part I p.16)
krtisquare के लिए Brahmagupta का इस्तेमाल किया संस्कृत शब्दकृतिइसी chapter में छपा (Part I p.16)
jidhrपौधे की जड़ के लिए Arabic शब्द, जिसे इस क्रिया के लिए अपनाया गयाजिध्रइसी chapter में छपा (Part I p.16)
radixपौधे की जड़ के लिए Latin शब्द, उसी तरह अपनाया गयारेडिक्सइसी chapter में छपा (Part I p.16)
clay tabletपकी या सुखाई मिट्टी की वह पट्टी जिसमें Babylonian सूचियाँ दबाकर बनाई गईंमिट्टी की पट्टिकाइसी chapter में छपा (Part I p.15, clay tablets के रूप में)
lookup tableऐसी सूची जिससे जवाब निकालने के बजाय पढ़ लिया जाता हैसारणीइस पाठ का शब्द; chapter इस्तेमाल का वर्णन करता है पर इसे नाम नहीं देता

chapter में संस्कृत शब्द रोमन अक्षरों और italics में छपे हैं, Devanagari में नहीं — छपे हुए pages पर जाँचा गया। तीसरे column के Devanagari रूप यहाँ दी गई standard वर्तनी हैं; उन्हें page पर छपे रूप की तरह पेश मत करना। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "उनके पास tables थीं, तो उनके पास हमारे तरीक़े भी थे।" table वह चीज़ है जो तुम किसी तरीक़े की जगह बनाते हो। इसीलिए chapter का अगला वाक्य व्यावहारिक समस्याओं के नाम लेता है: किसी को जवाब तब चाहिए थे जब किसी के पास algorithm नहीं था।
  • "'Root' एक रूपक है जो यूरोपीय गणितज्ञों ने गढ़ा।" radix भारत में पहले से पुराने चलन का अनुवाद है; chapter यह कड़ी साफ़-साफ़ दिखाता है, और आज का शब्द Latin कपड़ों में एक भारतीय विचार उठाए है।
  • **"varga का मतलब बस आकार है।"** यह आकृति और घात दोनों को एक साथ उठाता है, और Aryabhata का कथन ठीक यही स्थापित करने के लिए उद्धृत है।
  • "तीसरी से ऊपर की घातों के नाम algebra से पहले नहीं थे।" varga-varga चौथी का नाम है। चौथी घात का नाम होना बताता है कि लोग symbolic notation से बहुत पहले क्रियाओं को जोड़कर इस्तेमाल कर रहे थे।
  • "इतिहास वाला हिस्सा सजावट है जिसे काटा जा सकता है।" शब्द ही सबूत हैं। उन्हें काट दो, तो इस दावे के पीछे कुछ नहीं बचता कि ये विचार ज़मीन नापने से आए।
  • "1700 BCE वह समय है जब squares का आविष्कार हुआ।" यह सबसे पुरानी बची हुई सूची है। उससे पहले का जो कुछ था वह नहीं बचा, और यह अलग कथन है।
  • "Aryabhata square करने की परिभाषा दे रहे हैं।" वे दर्ज कर रहे हैं कि एक शब्द दो चीज़ों को ढकता है।
  • "संस्कृत शब्द उन्हीं चीज़ों के बस पुराने नाम हैं।" mula का कारण और उद्गम वाला अर्थ असली काम कर रहा है: भुजा को वह माना गया है जिससे area आता है, और उलटी क्रिया ठीक यही संबंध व्यक्त करती है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,480 शब्द

बहुत पहले, किसी ने बैठकर squares की एक पूरी सूची लिखी। यहाँ squaring का कोई नियम नहीं लिखा, बस एक सूची है। अब तक मिली सबसे पुरानी ऐसी सूचियाँ गीली मिट्टी में दबाकर लिखी गई थीं, और मिट्टी सूख गई, इसीलिए आज कुछ बचा है। उनमें squares और cubes हैं, पंक्ति के बाद पंक्ति। दिलचस्प सवाल ये नहीं कि कोई संख्या का square निकाल सकता था, सवाल ये है कि सब लिखकर क्यों रखा?

मान लीजिए आप 1 से 60 तक के squares लिख लेते हैं। बस 60 पंक्तियाँ, और कुछ नहीं। किसी पंक्ति को बाएँ से पढ़िए, तो 47 से 2209 मिलता है। और ये सूची बनाने के लिए गुणा करना भी ज़रूरी नहीं, हर अगला square पिछले square में अगली odd संख्या जोड़कर मिल जाता है। जैसे 2209 में 95 जोड़िए, तो 2304 आता है, और वही 48 का square है। अब उसी पंक्ति को दाएँ से पढ़िए।

आपके पास एक खेत है जिसका क्षेत्रफल 2209 है, तो उसकी भुजा कितनी लंबी है? कुछ भी हिसाब नहीं करना, बस दाएँ वाले स्तंभ में उँगली चलाइए जब तक वो संख्या न मिले। जवाब उसी के बगल में बैठा है, यानी 47, और यही उस खेत की भुजा है। एक और खेत लीजिए जिसका क्षेत्रफल 900 है, तो उँगली 900 पर रुकती है और बगल में 30 बैठा मिलता है।

एक सूची, 60 पंक्तियाँ, और वो 120 सवालों के जवाब देती है, 60 एक तरफ़ से और 60 दूसरी तरफ़ से। वो दूसरी दिशा वाला पढ़ना मुफ़्त नहीं है, देखिए ये काम क्यों करता है। उल्टा पढ़ना तभी चलता है जब किन्हीं 2 भुजाओं से एक ही क्षेत्रफल न बने। अगर 2 पंक्तियों में दाईं तरफ़ एक ही संख्या होती, तो वो मिल जाती, पर पता नहीं चलता कि कौन सी पंक्ति।

पर ऐसा होता नहीं, 60 पंक्तियाँ हैं, 60 अलग क्षेत्रफल हैं, और हर एक पिछले से बड़ा है। और ये कुछ पंक्तियों की बात नहीं, 60 पंक्तियों से 1770 जोड़े बनते हैं, और किसी भी जोड़े में दोनों क्षेत्रफल बराबर नहीं। क्योंकि भुजा एक लंबाई है, और लंबाई हमेशा धनात्मक होती है। हाँ, square करना 6 और minus 6 को एक ही 36 पर ले आता है, पर minus 6 किसी खेत की भुजा नहीं, इसलिए ये उलझन सूची तक पहुँचती ही नहीं।

अब इसकी कीमत देखिए, क्योंकि हर सूची की एक कीमत होती है। सूची कहीं न कहीं रुक जाती है। सूची की आख़िरी पंक्ति 60 की है, जिसका square 3600 होता है। अगला square, यानी 3721, उस सूची में है ही नहीं। नियम कभी नहीं रुकता, वो उस संख्या को भी सँभाल लेता है जिसे उसने पहले कभी नहीं देखा। पर अगर अभी तक कोई नियम नहीं है, और जवाब आज ही चाहिए, तो आप सूची लिखते हैं।

यानी सारणी वो चीज़ है जो किसी तरीके की जगह बनाई जाती है। हर नई पंक्ति लिखने में थोड़ी सी मेहनत लगती है, और बदले में 2 जवाब मिलते हैं। और ये जाल बहुत पतला है, 1 से 3600 तक की संख्याओं में से सिर्फ़ 60 उस सूची में हैं। और छेद बढ़ते जाते हैं, 1 और 2 के squares के बीच सिर्फ़ 2 संख्याएँ छूटती हैं, पर 59 और 60 के squares के बीच 118 संख्याएँ ऐसी हैं जो सूची में नहीं।

तो ये सूची किसे चाहिए थी? उन लोगों को जो ज़मीन नापते थे, और जो इमारतें खड़ी करते थे। किसी खेत का क्षेत्रफल होता है, उससे बहुत पहले कि किसी के पास उसे निकालने का तरीका हो। ज़मीन बाँटनी हो या नींव डालनी हो, तो ये सवाल कि कौन सी भुजा ये क्षेत्रफल देगी, रोज़ का काम है। ये सवाल बहुत पहले से उठता है, उससे पहले कि कोई उसका जवाब निकालने का तरीका लिखे।

और यहाँ रुकने लायक बात ये है कि शब्द आज भी ये बात याद रखते हैं। संस्कृत में square के लिए शब्द है वर्ग। यानी बराबर भुजाओं वाली वो आकृति, जिसे आप काग़ज़ पर बना सकते हैं। और वर्ग ही दूसरी power का भी नाम है। आज भी जब आप किसी कमरे का क्षेत्रफल बताते हैं, तो कहते हैं इतने वर्ग मीटर, यानी वही पुराना शब्द। एक ही शब्द, दोनों काम करता है, और हिंदी में आज भी square को वर्ग ही कहते हैं।

ये लापरवाही नहीं है, ये एक जीवाश्म जैसा निशान है। दूसरी power पहले एक क्षेत्रफल की तरह मिली थी, बनाए गए square के अंदर की ज़मीन की तरह, इसलिए उसे अपना अलग नाम नहीं मिला, उसने आकृति का नाम रख लिया। ठोस आकृति के साथ भी ठीक यही हुआ। घन यानी cube, वो ठोस टुकड़ा जिसकी तीनों धारें बराबर हों। और घन ही तीसरी power का भी नाम है। और पानी की टंकी का आयतन घन मीटर में बताया जाता है, यानी वही ठोस वाला घन।

कोई संख्या तीनों बार गुणनखंड की तरह ली जाए, ये पहले एक आयतन की तरह सामने आया, बाद में एक क्रिया की तरह। यानी 2 powers के नाम ऐसी चीज़ों पर रखे गए जिन्हें आप हाथ में पकड़ सकते हैं। अब चौथी power, उसका नाम है वर्ग वर्ग, यानी square का square। ये कोई चुना हुआ नाम नहीं है, ये सीधा हिसाब है। किसी संख्या का square लीजिए, फिर उस जवाब का square लीजिए।

जैसे 2 का square 4, और 4 का square 16 है, और 16 ही 2 की चौथी power है। इसी तरह 3 का square 9, 9 का square 81 है, जो 3 की चौथी power है। और 5 का square 25, फिर 25 का square 625 है, जो 5 की चौथी power है। यानी 2 बार square करना हर बार चौथी power ही देता है। इसलिए ये नाम असल में नाम नहीं, पूरे निर्देश हैं।

अगर चौथी power squares से बन जाती है, तो तीसरी power को अपना अलग शब्द क्यों चाहिए था? क्योंकि वहाँ तक squares से पहुँचा ही नहीं जा सकता। किसी संख्या का बार बार square करते जाइए, तो powers 2, 4, 8 और 16 बनती हैं, हर बार पिछली की दुगुनी। इस सूची में 3 कभी नहीं आता, और आ भी नहीं सकता। चौथी power इसलिए बनती है क्योंकि 4 बराबर 2 गुणा 2 है, और छठी भी बन जाती, क्योंकि 6 बराबर 2 गुणा 3 है।

पर 3 को 1 से बड़े 2 पूरे गुणनखंडों में तोड़ा ही नहीं जा सकता। उसी तरह 9 बराबर 3 गुणा 3 है, इसलिए नौवीं power, घन का घन है। यानी 3 तक पहुँचने का कोई रास्ता नहीं, न बार बार square करके, न किसी power की power लेकर। असल में 20 से नीचे जो powers किसी और power की power नहीं बन सकतीं, वो हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19, यानी primes।

इसलिए घन को अपना अलग शब्द मिलना ही था, किसी की पसंद से नहीं, हिसाब ने कोई और रास्ता छोड़ा ही नहीं। बहुत पहले एक गणितज्ञ ने उस पहले शब्द के बारे में कुछ लिखा। उन्होंने दर्ज किया कि बराबर भुजाओं वाली आकृति को, उसका क्षेत्रफल बताने वाली संख्या को, और किसी राशि को ख़ुद से गुणा करने को, इन सबको वर्ग कहते हैं। इसे परिभाषा की तरह नहीं, गवाही की तरह पढ़िए।

वो कोई नया मतलब नहीं बाँट रहे थे। वो ये लिख रहे थे कि एक ही शब्द पहले से ये सब काम करता था, और लोग उसे ऐसे ही बोलते थे। यही सबूत है कि power आकृति से निकली, उल्टा नहीं। अब वो क्रिया जो उल्टी दिशा में चलती है, और आपको भुजा वापस देती है। संस्कृत में इसका शब्द है मूल, यानी पौधे की जड़। इसका मतलब आधार, कारण और उद्गम भी होता है।

अगर क्षेत्रफल वो है जिसमें square बढ़कर बनता है, तो भुजा वो है जिससे वो उगा। इसीलिए square root को वर्गमूल और cube root को घनमूल कहते हैं, और हिंदी आज भी यही शब्द बोलती है। पहले किसी चीज़ का नाम आता है, उसे उलटने के काम का नाम बाद में। और जितने पुराने सबूत मिलते हैं, उनमें powers के शब्द, root के शब्द से पहले दिखते हैं। फिर ये विचार आगे गया, अरबी ने इसके लिए जिध्र शब्द लिया, जो वहाँ पौधे की जड़ का शब्द है।

और लैटिन ने रेडिक्स लिया, जिसका मतलब भी पौधे की जड़ है। और आज आप किसी संख्या पर जो root का चिह्न बनाते हैं, उसके पीछे यही शब्द बैठा है। बाद में एक और गणितज्ञ ने इसी क्रिया के लिए एक और शब्द इस्तेमाल किया। वो शब्द था पद, जिसका मतलब पैर है, और आधार, कारण और उद्गम भी। उनके शब्दों में, किसी square का पद वो राशि है जिसका वो square है।

यानी उस खेत वाली सूची में 2209 का पद 47 है। पैर, जड़ और उद्गम, इन शब्दों को साथ रखकर देखिए। एक ही क्रिया के अलग अलग शब्द, और हर एक इस बारे में है कि कोई चीज़ कहाँ से आई। वो सूचियाँ मिट्टी में इसलिए दबाई गईं क्योंकि कोई ज़मीन नाप रहा था, और शब्दों ने ये निशान कभी नहीं खोए। ऐसी बात को हिसाब से नहीं निकाला जा सकता, उसे बस नामों से पढ़ा जा सकता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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