PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 1, A Square and A CubePrepShorts

Chapter 1 · A Square and A Cube

किसी संख्या को perfect cube क्या बनाता है, और तीन एक जैसे समूहों वाली जाँच

Cube numbers14 मिनट

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3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5. इन primes को 3 ढेरों में बाँटिए: हर ढेर में 3 और 5. तीनों ढेर एक जैसे हैं, और एक ढेर का गुणा, 15, ही वो edge है जिसका cube 3375 है।

मुख्य idea

किनारा n वाला cube, एक के ऊपर एक रखी n square मंज़िलें है, हर मंज़िल n by n unit cubes की — इसलिए n³ किसी ठोस को ठीक उसी तरह गिनता है जैसे n² किसी सपाट array को, और इसीलिए 1, 8, 27, 64 का नाम एक आकार पर पड़ा है। यही "एक बार में तीन" अंकगणित में भी दिखता है: क्योंकि किसी संख्या का prime factorisation अद्वितीय है, कोई संख्या ठीक तब cube होती है जब उसके primes तीन मिलते-जुलते ढेरों में बँट जाएँ, और हर ढेर किनारे की एक प्रति हो। squares को दो ढेर चाहिए थे; cubes को तीन चाहिए; बदली है तो सिर्फ़ ढेरों की गिनती। cubes के बारे में chapter जो कुछ भी देखता है — वे कितने इक्के-दुक्के हैं, उनके आख़िर के zeros कैसे बर्ताव करते हैं — वह सब इसी एक शर्त को अलग कोण से देखना है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दिए गए किनारे वाले cube में unit cubes को परतों के हिसाब से गिनना
  • बताना कि perfect cube क्या है और शुरुआती कुछ perfect cubes निकालना
  • notation n³ लिखना और पढ़ना
  • cubes की table पूरी करना और उसके patterns का वर्णन करना
  • fraction, decimal और negative number का cube निकालना
  • बताना कि कौन-से अंक perfect cube के आख़िर में आ सकते हैं, और squares से इसकी तुलना करना
  • perfect cube के आख़िर में कितने zeros आ सकते हैं, इस पर तर्क करना
  • किसी संख्या के prime factors को तीन मिलते-जुलते समूहों में बाँटकर उसके cube होने की जाँच करना, और एक समूह से किनारा पढ़ना
  • समझाना कि तीन मिलते-जुलते समूह ही सही शर्त क्यों है — यानी unique factorisation test को सही क्यों बनाता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
cubeऐसा ठोस जिसके सारे किनारे बराबर हों और right angles पर मिलेंघनइसी chapter में छपा (Part I p.11)
perfect cubeकिसी संख्या को तीन बार factor के रूप में लेकर मिली संख्यापूर्ण घनइसी chapter में छपा (Part I p.12)
unit cubeएक unit किनारे वाला cube, जिससे बड़ा cube भरा जाता हैइकाई घनइसी chapter में छपा (Part I p.12)
edge lengthcube के एक किनारे की लंबाईकोर की लंबाईइसी chapter में छपा (Part I p.12)
Cubic Numbers§1.2 के लिए chapter का छपा हुआ headingघन संख्याएँइसी chapter में छपा (Part I p.11)
tripletतीन बराबर prime factors का समूहत्रिकइसी chapter में छपा (Part I p.14)
prime factorisationprimes के गुणनफल के रूप में लिखी गई संख्याअभाज्य गुणनखंडनइसी chapter में छपा (Part I p.9)
layerएक के ऊपर एक रखे cube की एक square मंज़िलपरतइसी chapter में छपा (Part I p.12), चलते-चलते इस्तेमाल हुआ और कभी परिभाषित नहीं
unique factorisationयह कि किसी संख्या का prime factorisation उसका इकलौता factorisation हैअद्वितीय गुणनखंडनइस पाठ का शब्द; chapter इस तथ्य पर टिकता है पर इसे कभी कहता नहीं

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

व्याख्या के लिए टिप्पणी: पाठ्यक्रम की रूपरेखा इस module को "Cube numbers" कहती है, पर छपा हुआ §1.2 heading "Cubic Numbers" है। page की ओर इशारा करते समय छपा हुआ रूप ही कहो।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "भुजा 2 वाले cube में 6 unit cubes होते हैं।" छह faces की गिनती है। परत वाली तस्वीर सबसे तेज़ सुधार है: चार-चार की दो मंज़िलें।
  • "Cube करने का मतलब 3 से गुणा करना है।" घातांक यह गिनता है कि संख्या कितनी बार factor के रूप में इस्तेमाल हुई, यह नहीं कि उसे किससे गुणा किया गया। 3³ और 3 × 3 अलग हैं, और 3³ और 9 भी।
  • "Cubes पर भी squares वाली आख़िरी अंक की पाबंदी लागू होती है।" नहीं होती। हर अंक किसी न किसी cube का आख़िरी अंक होता है, और ठीक इसीलिए squares को ख़ारिज करने वाला units-digit test cubes के लिए बेकार है — और आगे चलकर, इसीलिए वह cube roots के लिए ज़्यादा ताक़तवर औज़ार बन जाता है। देखो Cube roots, and what successive differences expose.
  • "कोई cube ठीक दो zeros पर ख़त्म हो सकता है।" संख्या में 10 का factor cube में 1000 का factor बन जाता है, इसलिए आख़िर के zeros तीन-तीन करके आते हैं।
  • "Negative numbers का cube नहीं निकल सकता, जैसे उनका square root नहीं होता।" (−6)³ = −216. cube करना चिह्न बचाए रखता है; square करना उसे मिटा देता है। यह अकेला फ़र्क़ इस module में आगे आने वाली ज़्यादातर बातों को समझा देता है।
  • "Squares के लिए दो ढेर चले, तो cubes के लिए भी दो ढेर चलेंगे।" ढेरों की गिनती ही घातांक है। इसे एक बार साफ़-साफ़ कहो, और पूरा section जुड़ा रहता है।
  • "64 का square और cube दोनों होना संयोग है।" 64 में prime 2 छह बार है, और 6 दो समूहों में भी बराबर बँटता है और तीन में भी। जो संख्याएँ दोनों हैं, वे ठीक वही हैं जिनके primes छह के multiple बार आते हैं।
  • "Cubes लगभग squares जितने ही आम हैं।" 10 और 26 के बीच एक भी नहीं है, जैसा chapter सीधे कहता है। फ़ासले कहीं ज़्यादा तेज़ी से बढ़ते हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.3 Q2

पूरा transcript2,100 शब्द

संख्या बनने से पहले, cube एक आकार था। एक ठोस डिब्बा, जिसके हर edge की लंबाई बराबर होती है। ये सबसे छोटा cube है, जिसका हर edge 1 unit लंबा है। इसे unit cube कहते हैं, और आगे हम इसी से गिनेंगे। अब वो सवाल, जो इस आकार को हिसाब में बदल देता है। अगर इन unit cubes से एक बड़ा cube बनाएँ, तो कितने लगेंगे? शुरुआत करते हैं उस cube से, जिसका edge 2 है।

बहुत लोग झट से 6 कह देते हैं, पर 6 तो cube की सतहों की गिनती है, जो कभी नहीं बदलती। तो अंदाज़ा छोड़िए, और इसे बनाकर देखिए। पहले 2 गुणा 2 की एक परत बिछाइए, यानी 4 unit cubes। फिर उसके ऊपर 4 cubes की एक और परत रखिए। यानी 4 cubes वाली 2 परतें, कुल 8 unit cubes। तो जवाब 8 है, और अब 2 का cube ऐसी चीज़ है जिसे आप हाथ में पकड़ सकते हैं।

एक बार परतों में देखना आ गया, तो आगे सब आसान है। अगर edge 3 हो, तो हर परत 3 गुणा 3, यानी 9 cubes की होती है, और ऐसी 3 परतें हैं, तो कुल 27 cubes। अगर edge 4 हो, तो हर परत में 16 cubes हैं, और ऐसी 4 परतें हैं, यानी 64 cubes। और edge 5 हो, तो पूरे 125 cubes लगते हैं। अब ध्यान दीजिए, ये ठीक वैसा ही है जैसे हमने square गिना था, बस एक और दिशा जुड़ गई है।

किसी square में इतनी पंक्तियाँ होती हैं, और cube में इतनी परतें, जिनमें हर परत एक square है। यानी गुणा करने का काम आकार खुद कर रहा है। अब इन्हें एक सीधी पट्टी पर रखिए, और देखिए कि ये कहाँ नहीं हैं। पट्टी पर पहले 1 आता है, फिर 8, और फिर 27 आता है। यानी 30 तक बस यही cubes हैं, और कोई नहीं। और 10 से 26 तक एक भी cube नहीं है, यानी लगातार 17 संख्याएँ, और उनमें से कोई cube नहीं।

पर squares भी कम ही मिलते हैं, और cubes तो उनसे भी बहुत कम। जैसे 100 तक 10 squares हैं, और सिर्फ़ 4 cubes हैं। और 1000 तक 31 squares हैं, पर cubes बस 10 हैं। इसकी वजह अंतरों में है, squares के बीच के अंतर 3, 5, 7 और 9 हैं, जो हर बार 2 बढ़ते हैं। पर cubes के बीच के अंतर 7, 19, 37 और 61 हैं।

ये धीरे धीरे नहीं बढ़ते, ये दौड़ते हैं। अब इसे लिखने का तरीका देखिए। जैसे 3 का cube, जहाँ 3 के कंधे पर एक छोटा सा 3 बैठा है। इसका मतलब है कि 3 को 3 बार factor की तरह इस्तेमाल कीजिए, यानी 3 गुणा 3 गुणा 3, जो 27 है। पर 2 बातें इसका मतलब नहीं हैं, और दोनों में लोग फँसते हैं। ये 3 गुणा 3 नहीं है, क्योंकि 2 बार 3 लेने से 9 बनता है, और हमें 3 बार चाहिए था।

और ये संख्या को तिगुना करना नहीं है, 3 का तिगुना 9 है, पर 3 का cube 27 है। छोटी संख्या बस ये गिनती है, कि बड़ी संख्या कितनी बार इस्तेमाल हुई। अब cubes की एक तालिका बनाइए, 1 से 20 तक। पहले 5 cubes हम देख चुके हैं, 1, 8, 27, 64 और 125, अब आगे बढ़िए। आगे 6 का cube 216 है, 7 का 343, 8 का 512, 9 का 729, और 10 का 1000 है।

फिर 11 का cube 1331, 12 का 1728, 13 का 2197, 14 का 2744, और 15 का 3375 है। और 16 का cube 4096, 17 का 4913, 18 का 5832, 19 का 6859, और 20 का 8000 है। इस तालिका में एक पैटर्न देखिए, edge odd हो तो cube odd, और edge even हो तो cube even होता है। और 10 का cube 1000 है, इसलिए 1 अंक वाली संख्याओं के cubes ज़्यादा से ज़्यादा 3 अंकों के होते हैं।

ये हर उस चीज़ पर चलता है, जिसे आप गुणा कर सकते हैं। जैसे 4 बटा 6 का cube लीजिए, ऊपर का cube और नीचे का cube, तो 64 बटा 216 आता है। अब एक दशमलव संख्या लीजिए, 13.08 का cube। इसे पूरी संख्याओं में कीजिए, यानी 1308 का cube निकालिए, और दशमलव बाद में लगाइए। दशमलव के बाद 2 अंक थे, cube करने पर 6 हो जाते हैं, इसलिए दशमलव आख़िर से 6 अंक पहले लगेगा।

तो जवाब आता है 2237 दशमलव, और दशमलव के बाद अंक 8, 1, 0, 1, 1 और 2 आते हैं। और अब एक negative संख्या लीजिए, minus 6 का cube। पहले minus 6 गुणा minus 6 बराबर plus 36, और उसे फिर minus 6 से गुणा करें, तो minus 216 आता है। यहाँ रुककर देखिए, squaring sign को मिटा देती है, पर cube उसे बचाकर रखता है। यानी negative संख्या का cube होता है, और वो cube भी negative ही होता है।

अब एक चेतावनी, क्योंकि squares के बारे में जो सीखा था, वो यहाँ काम नहीं आता। किसी square का आख़िरी अंक, 10 में से सिर्फ़ 6 अंकों में से होता है, यानी 0, 1, 4, 5, 6 या 9 में से कोई एक। इसलिए 4 अंक देखते ही संख्या बाहर हो जाती है, जैसे 7 पर ख़त्म हो, तो square नहीं। अब यही बात cubes पर आज़माइए। देखिए, पहला cube 1 है जो 1 पर ख़त्म होता है, 8 अपने आप 8 पर, और 27 का आख़िरी अंक 7 है।

फिर 64 का आख़िरी अंक 4 है, और 125 का आख़िरी अंक 5 है। ऐसे ही आगे बढ़िए, तो हर अंक कहीं न कहीं आ जाता है। पूरे 10 के 10 अंक आते हैं, तो कोई ऐसा अंक नहीं जिसे देखकर cube को बाहर कर सकें। जो test मुफ़्त था और तुरंत फ़ैसला करता था, वो यहाँ किसी काम का नहीं। पर ध्यान से देखिए, इसमें एक बेहतर चीज़ छिपी है।

अब 0 से 9 तक हर अंक का cube लीजिए, और लिखिए कि वो किस अंक पर ख़त्म होता है। देखिए, 0 से 0 मिलता है, 1 से 1, 2 से 8, 3 से 7, और 4 से 4 मिलता है। फिर 5 से 5, 6 से 6, 7 से 3, 8 से 2, और 9 से 9 मिलता है। हर जवाब अलग है, कोई भी जवाब दोहराया नहीं गया।

इसलिए cube का आख़िरी अंक बता देता है कि संख्या का आख़िरी अंक क्या था, एक के बदले ठीक एक। पर squares ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि 2 और 8 दोनों का square 4 पर ख़त्म होता है, और 3 और 7 दोनों का 9 पर। जो अंक cubes को बाहर करने में बेकार था, वही अब उन्हें पहचानने में काम आता है। एक और बात, जो ये आकार तय करता है।

कोई संख्या लीजिए जो 0 पर ख़त्म होती है, उसमें 10 का एक factor है। उसका cube लें, तो 10 वाला factor 3 बार आता है, और 10 का cube 1000 है। यानी संख्या में 10 का factor, cube में 1000 का factor बन जाता है। जैसे 20 का cube 8000 है, जिसके आख़िर में ठीक 3 zeros हैं। इसलिए cube के आख़िर में zeros हमेशा 3 के झुंड में आते हैं।

यानी 0, 3, 6 या 9 zeros, पर कभी 1 नहीं, और कभी 2 नहीं। तो अगर कोई ऐसी संख्या दे, जो ठीक 2 zeros पर ख़त्म होती है, तो बाक़ी देखे बिना कह सकते हैं कि ये cube नहीं है। पर squares में zeros 2 के झुंड में आते हैं, और वो एक अलग सवाल का अलग जवाब है। अब असली test, और अगर आपने squares वाला देखा है, तो आप इसे पहले से जानते हैं।

जैसे 3375 लीजिए, और इसे primes में तोड़िए। ये 3, 3, 3, 5, 5 और 5 में टूटता है। अब इन्हें क्रम से लगाकर बाँटिए, पर इस बार 2 नहीं, बल्कि 3 ढेरों में। पहले ढेर में 3 और 5, दूसरे में 3 और 5, और तीसरे में भी 3 और 5 आते हैं। तीनों ढेर बिल्कुल एक जैसे हैं। अब एक ढेर को गुणा कीजिए, 3 गुणा 5 बराबर 15 होता है।

और 15 को 3 बार इस्तेमाल करें, यानी 15 गुणा 15 गुणा 15, तो 3375 वापस आता है। यही 6 primes दूसरी तरह भी पढ़ सकते हैं, 2 तिकड़ियों की तरह, यानी 3 का cube गुणा 5 का cube। आप चाहे जैसे पढ़ें, edge हमें बिना ढूँढे मिल जाता है। पर यहाँ 3 ढेर ही क्यों? क्योंकि अगर कोई संख्या किसी दूसरी संख्या को 3 बार गुणा करके बनी है, तो उस दूसरी संख्या का हर prime 3 बार आता है, हर copy से एक बार।

जैसे 6 के primes 2 और 3 हैं, और 6 के cube, यानी 216, में 2 और 3 दोनों पूरे 3 बार आते हैं। इसलिए हर prime इतनी बार आता है जो 3 से पूरा बँटता है, और यही चीज़ उन्हें 3 बराबर ढेरों में बाँटने देती है। ये उल्टी दिशा में भी चलता है, 3 एक जैसे ढेरों को आपस में गुणा करें, तो वही संख्या वापस मिलती है।

और इन सबके नीचे वही बात है जो पहले थी, हर संख्या के primes का बस एक ही set होता है। उसे किसी भी क्रम में तोड़िए, वही primes लौटते हैं, इसलिए तिकड़ियाँ किसी दूसरी तरह नहीं निकल सकतीं। तो अब पूरी बात एक वाक्य में। यानी square के लिए 2 ढेर, और cube के लिए 3 ढेर। ढेरों की गिनती ही कंधे पर बैठी वो छोटी संख्या है, और कुछ नहीं बदला।

और जब test फ़ेल होता है, तो वजह भी बताता है। जैसे 500 लीजिए, इसके primes 2, 2, 5, 5 और 5 हैं। इन्हें 3 ढेरों में बाँटिए, तो पहले में 2 और 5, दूसरे में 2 और 5, और तीसरे में अकेला 5 आता है। ढेर एक जैसे नहीं हैं, इसलिए 500 cube नहीं है। अब वजह देखिए, 5 तो 3 बार आता है, जो ठीक है, पर 2 बस 2 बार आता है।

यानी तिकड़ी पूरी होने में एक 2 कम है। तो हमें पता है कि इसे क्या चाहिए, इसे बस एक और 2 चाहिए। जैसे ही 500 को 2 से गुणा करें, 1000 बनता है, जो 10 का cube है। और ध्यान दीजिए, 500 square भी नहीं है, पर वहाँ वजह 5 है, जो odd बार आता है। एक और उदाहरण लीजिए, जैसे 1323 को तोड़िए। इसके primes 3, 3, 3, 7 और 7 हैं।

यहाँ 3 की तिकड़ी पहले से पूरी है, पर 7 की तिकड़ी में एक 7 कम है। तो इसे 7 से गुणा कीजिए, और 9261 मिलता है, जो 21 का cube है। और 7 से छोटी किसी संख्या से गुणा करके यहाँ cube नहीं बनता, इसलिए 7 सबसे छोटा जवाब है। इसका edge भी एक ढेर से मिलता है, हर ढेर में 3 और 7 हैं, जिनका गुणा 21 है।

ध्यान दीजिए, कमी हमेशा छोटे prime की नहीं होती, और हमेशा बड़े की भी नहीं। जैसे 500 में छोटा prime 2 कम था, और 1323 में बड़ा prime 7 कम था। कमी उसी prime की होती है, जिसकी गिनती 3 से पूरी नहीं बँटती। आख़िर में एक ऐसी संख्या, जो दोनों कहानियों में आती है। वो संख्या है 64, जिसे हम पहले देख चुके हैं। एक तरफ़ 8 गुणा 8 बराबर 64, तो ये square है, और दूसरी तरफ़ 4 गुणा 4 गुणा 4 बराबर 64, तो ये cube भी है।

तो क्या ये बस एक संयोग है? इसे तोड़िए, 64 में सिर्फ़ 2 है, और वो पूरे 6 बार आता है। और 6 बार आने वाले 2 को, 3 3 के 2 ढेरों में भी बाँट सकते हैं, और 2 2 के 3 ढेरों में भी। यही पूरी वजह है, square के लिए हर prime की गिनती 2 से बँटनी चाहिए, और cube के लिए 3 से। तो दोनों होने के लिए, हर गिनती 6 से बँटनी चाहिए।

अगली ऐसी संख्या 729 है, जिसमें 3 पूरे 6 बार आता है, ये 27 का square है, और 9 का cube। ऐसी हर संख्या किसी संख्या को 6 बार गुणा करके बनती है, और इसमें कुछ भी किस्मत वाला नहीं। अब कुछ सवाल, जिन्हें आप इसी दलील से ख़ुद सुलझा सकते हैं। क्या किसी 2 अंकों वाली संख्या का cube, 3 अंकों का हो सकता है? सबसे छोटी 2 अंकों वाली संख्या 10 है, और 10 का cube 1000 है, जिसमें 4 अंक हैं।

सबसे बड़ी 99 है, और 99 का cube 970299 है, जिसमें 6 अंक हैं। यानी 2 अंकों वाली संख्या का cube हमेशा 4 से 6 अंकों का होता है, न 3 का, न 7 का। और क्या किसी odd संख्या का cube even हो सकता है? नहीं, odd का cube हमेशा odd ही रहता है। तो याद रखिए, square के लिए 2 ढेर, cube के लिए 3 ढेर, primes गिनिए, और बाक़ी आकार बता देता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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