PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 1, A Square and A Cube
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1 और 3 मिलकर 4, 3 और 6 मिलकर 9, 6 और 10 मिलकर 16: पड़ोसी त्रिभुजीय संख्याएँ हर बार एक square बनाती हैं। पर क्यों?
मुख्य idea
Triangular number dots की rows 1, 2, 3, …, n की एक सीढ़ी है। ऐसी दो सीढ़ियाँ लो जिनके आकार ठीक पड़ोसी हों, छोटी वाली को आधा घुमाओ ताकि वह वहाँ उतरे जहाँ दूसरी चढ़ती है, और वह बड़ी वाली के खाँचे में ऐसे बैठ जाती है कि न कुछ बचता है न कुछ कम पड़ता है — दोनों मिलकर एक n-by-n square भर देती हैं। तो "दो लगातार triangular numbers का जोड़ square होता है" किसी सूची में दिख गया कोई अंकों का अजूबा नहीं है; यह वह है जो तुम्हें तब दिखता है जब उन्हीं rows को एक बार ऊपर जाते और एक बार नीचे आते हुए पढ़ा जाए। chapter तीन उदाहरण छापता है और student को एक ख़ाली box थमा देता है; यह क्यों हमेशा होता रहेगा, इसका तर्क व्याख्या जोड़ती है।
आपको क्या आना चाहिए
- triangular numbers को dots की सीढ़ियों के रूप में पहचानना और आगे बढ़ाना
- बताना कि हर triangular number अपने से पहले वाले से कैसे मिलता है
- दो लगातार triangular numbers जोड़ना और पहचानना कि कुल एक square है
- ख़ाली box में अगला पद बनाकर chapter के छपे pattern को आगे बढ़ाना
- rows की जोड़ियाँ बनाकर समझाना कि दो लगातार triangular numbers हमेशा एक square क्यों भरते हैं
- बताना कि एक ही triangular number की दो प्रतियाँ square क्यों नहीं देतीं
- किसी दिए गए square को दो लगातार triangular numbers में बाँटना, यानी संबंध को उलटी दिशा में चलाना
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| triangular number | rows 1, 2, 3, … वाली सीढ़ी के dots की गिनती | त्रिभुजीय संख्या | इसी chapter में छपा (Part I p.7) |
| square number | वह संख्या जो किसी संख्या को उसी से गुणा करने पर बनती है | वर्ग संख्या | इसी chapter में छपा (Part I p.2) |
| consecutive | क्रम में एक-दूसरे के ठीक बगल में, बीच में कुछ नहीं | क्रमागत | इसी chapter में छपा (Part I p.5) |
| dot pattern | ऐसी आकृति जिसमें किसी संख्या को dots की बनावट के रूप में दिखाया जाता है | बिंदु आकृति | Part I p.7 पर वर्णन है पर नाम नहीं; यह वाक्यांश इस पाठ का है |
| staircase | triangular number की सीढ़ीदार रूपरेखा के लिए इस पाठ का शब्द | सीढ़ी | इस पाठ का शब्द; chapter आकार बनाता है पर उसे कोई नाम नहीं देता |
| notch | वह सीढ़ीदार ख़ाली जगह जो एक सीढ़ी दूसरी के भरने के लिए छोड़ती है | — | इस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "Triangular numbers रटने के लिए एक और सूची हैं।" वे एक बनावट हैं: हर एक पिछला वाला और एक row है। अगर student इन्हें फिर से बना सकता है तो उसे सूची की कभी ज़रूरत नहीं।
- "दो उदाहरण चल गए, तो नियम सही है।" chapter तीन दिखाता है और एक ख़ाली box पर रुक जाता है। तीन उदाहरण किसी तर्क की तलाश करने की वजह हैं, उसकी जगह लेने वाली चीज़ नहीं।
- "दो triangles मिलकर square बनाते हैं, तो एक ही आकार के दो भी चलेंगे।" वे rectangle बनाते हैं। संबंध के लिए लगातार triangular numbers चाहिए, और विफल मामला दिखाना इस बात को बिठाने का सबसे तेज़ तरीक़ा है।
- "इसे साबित करने के लिए triangular numbers का formula चाहिए।" नहीं चाहिए, और chapter कभी कोई formula नहीं छापता। rows की जोड़ियाँ बिना algebra के बात तय कर देती हैं।
- "Square दो बराबर आधों में बँटता है, इसलिए दोनों triangles बराबर हैं।" उनमें ठीक एक row का फ़र्क़ है। यही चीज़ उन्हें फ़िट बनाती है।
- "तस्वीर में सीढ़ीदार line एक diagonal है।" वह एक सीढ़ी है। सीधा diagonal dots को आधा काट देगा और गिनती नहीं बैठेगी।
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पूरा transcript1,503 शब्द
बिंदुओं से बनी ये एक आकृति देखिए। सबसे ऊपर की पंक्ति में 1 बिंदु है, उसके नीचे 2 बिंदु हैं, और उसके नीचे 3 बिंदु हैं। ऐसे ही आगे बढ़ते जाइए, तो एक सीढ़ी बन जाती है, और उसके बिंदुओं की गिनती को त्रिभुजीय संख्या कहते हैं। एक पंक्ति में 1 बिंदु होता है, 2 पंक्तियों में 3, 3 पंक्तियों में 6, 4 पंक्तियों में 10, और 5 पंक्तियों में 15 बिंदु होते हैं।
ये रटने वाली सूची नहीं है, बल्कि इसकी हर संख्या बनाकर मिलती है। और अभी एक बात पर ध्यान दीजिए, कि 4 पंक्तियों वाली सीढ़ी में 10 बिंदु होते हैं। पंक्तियाँ और बिंदु अलग अलग गिनतियाँ हैं, और इन्हें अलग रखना आगे बहुत काम आएगा। एक सीढ़ी से अगली सीढ़ी तक कैसे पहुँचते हैं? सबसे नीचे एक नई पंक्ति जोड़िए, जो ऊपर वाली पंक्ति से एक बिंदु लंबी हो। जैसे 6 में 3 पंक्तियाँ हैं, और नीचे 4 बिंदुओं की पंक्ति जोड़ें, तो 10 बनता है।
फिर 10 में 4 पंक्तियाँ हैं, और 5 बिंदुओं की पंक्ति जोड़ें, तो 15 बनता है। और 15 में 6 बिंदुओं की पंक्ति जोड़ें, तो 21 बनता है। बस यही पूरा नियम है, और इसके लिए कोई सूची याद रखने की ज़रूरत नहीं। आपको बस पिछली सीढ़ी और एक नई पंक्ति चाहिए, और आप कितना भी आगे जा सकते हैं। अब इनमें से सीढ़ियों की एक जोड़ी लेकर उन्हें जोड़िए।
पहले 1 और 3 जोड़िए, तो 4 आता है, फिर 3 और 6 जोड़िए, तो 9 आता है। और 6 और 10 को जोड़िए, तो 16 आता है। ये 4, 9 और 16 सब squares हैं, क्योंकि ये 2 गुणा 2, 3 गुणा 3 और 4 गुणा 4 के बराबर हैं। अब ध्यान से देखिए कि किन जोड़ियों ने ऐसा किया। सूची में 1 और 3 पड़ोसी हैं, 3 और 6 पड़ोसी हैं, और 6 और 10 की जोड़ी भी पड़ोसी है।
हर बार जोड़ी पड़ोसियों की है, और ये रुककर सोचने की बात है। सीढ़ियों को जोड़ने से square क्यों बने, इसकी कोई साफ़ वजह नहीं दिखती। पर ये बस 3 उदाहरण हैं, और 3 उदाहरण कोई दलील नहीं होते। वो दलील ढूँढने की वजह हैं, पर दलील की जगह नहीं ले सकते। पहले देखते हैं कि ये पैटर्न आगे क्या कहता है। इसके बाद अगले पड़ोसी 10 और 15 हैं, जो ख़ाली खाने में आएँगे।
इन्हें जोड़ें तो 25 आता है, जो 5 गुणा 5 का square है। ये भी चल गया, पर अब हमारे पास बस एक और उदाहरण है, और सवाल वहीं का वहीं है। असल सवाल ये है कि पड़ोसी सीढ़ियाँ मिलकर square भरती ही क्यों हैं? इसका जवाब कोई हिसाब नहीं, बल्कि एक तस्वीर है। यहाँ 10 वाली सीढ़ी लीजिए, जिसमें 4 पंक्तियाँ हैं, और 6 वाली सीढ़ी, जिसमें 3 पंक्तियाँ हैं।
बड़ी सीढ़ी को, यानी 10 वाली को, उसकी जगह पर रहने दीजिए। अब 6 वाली सीढ़ी को आधा घुमाइए, ताकि जहाँ पहली सीढ़ी ऊपर चढ़ती है, वहाँ ये नीचे उतरे। पहले इसकी पंक्तियाँ 1, 2 और 3 थीं, और घुमाने पर ये 3, 2 और 1 हो जाती हैं। अब इसे खिसकाकर पहली सीढ़ी से सटा दीजिए। ये ठीक उसके खाँचे में बैठ जाती है, न कुछ बचता है और न कुछ कम पड़ता है।
और दोनों के बीच का जोड़ देखिए, ये सीधा diagonal नहीं, बल्कि सीढ़ीदार है। अगर 4 गुणा 4 के बिंदुओं को सीधे diagonal से काटें, तो एक तरफ़ 6, दूसरी तरफ़ 6, और diagonal पर ही 4 बिंदु अटक जाते हैं। सीढ़ीदार जोड़ उन 4 बिंदुओं को एक तरफ़ दे देता है, और 6 को 10 बना देता है। अब इसे पंक्ति दर पंक्ति पढ़कर देखिए। पहली सीढ़ी की पंक्तियाँ 1, 2, 3 और 4 हैं, और घुमाई हुई सीढ़ी की पंक्तियाँ 3, 2 और 1 हैं।
सबसे ऊपर 1 और 3 बिंदु हैं, यानी कुल 4 बिंदु होते हैं। उसके नीचे 2 और 2 हैं, यानी फिर से 4, और फिर 3 और 1, यानी फिर से 4 बिंदु। जुड़ी हुई हर पंक्ति में ठीक 4 बिंदु हैं, लगभग नहीं, बल्कि बिल्कुल ठीक। ये संयोग नहीं है, क्योंकि नीचे जाते हुए एक सीढ़ी हर पंक्ति में एक बिंदु बढ़ाती है, और दूसरी एक बिंदु घटाती है।
इसलिए इनका जोड़ अपनी जगह से हिल ही नहीं सकता। अब एक पंक्ति बची है, जिसके साथ कोई जोड़ीदार नहीं है। ये बड़ी सीढ़ी की सबसे नीचे वाली पंक्ति है, जिसमें 4 बिंदु हैं। इसे किसी की ज़रूरत नहीं, क्योंकि ये पहले से 4 बिंदु चौड़ी है। ये कोई बचा हुआ टुकड़ा नहीं है। इसके बिना बस 3 पंक्तियाँ होतीं, यानी 12 बिंदु, और 12 square नहीं है। तो कुल 4 पंक्तियाँ हैं, और हर पंक्ति में 4 बिंदु हैं।
यानी 4 गुणा 4, जो 16 है, और 6 और 10 का जोड़ भी यही 16 है। ये हमने उन्हें जोड़कर नहीं निकाला, बल्कि उनसे बने square को गिनकर निकाला। अब इस तस्वीर से सारी संख्याएँ हटा देते हैं। एक सीढ़ी में n पंक्तियाँ हैं, और उसके पास घुमाई हुई सीढ़ी में n घटा 1 पंक्तियाँ हैं। बड़ी सीढ़ी की 1 बिंदु वाली पंक्ति, छोटी सीढ़ी की n घटा 1 वाली पंक्ति से मिलती है, और जोड़ n होता है।
फिर 2 बिंदु वाली पंक्ति, n घटा 2 वाली पंक्ति से मिलती है, और जोड़ फिर से n होता है। यही बात नीचे तक चलती है, और वजह भी वही पुरानी है। बड़ी सीढ़ी की सबसे लंबी पंक्ति में n बिंदु हैं, और उसे किसी जोड़ीदार की ज़रूरत नहीं। तो कुल n पंक्तियाँ हैं, हर एक में n बिंदु, यानी n गुणा n बिंदु। और ध्यान दीजिए, हमने कहीं कोई सूत्र इस्तेमाल नहीं किया, बस पंक्तियाँ गिनीं।
अब वो गलती देखिए, जिसकी तरफ़ ये तस्वीर ललचाती है। अगर सीढ़ियों की जोड़ी से square बनता है, तो क्या एक जैसी सीढ़ियों की जोड़ी से भी बनेगा? आज़माकर देखिए, 10 वाली सीढ़ी की 2 प्रतियाँ लीजिए, जिनमें 4 पंक्तियाँ हैं। एक को घुमाइए, और दोनों को आपस में सटा दीजिए। सबसे ऊपर 1 और 4, यानी 5 बिंदु, फिर 2 और 3, यानी फिर से 5 बिंदु। फिर 3 और 2, और फिर 4 और 1, यानी हर बार 5 बिंदु।
यानी 5 बिंदुओं वाली 4 पंक्तियाँ, कुल 20 बिंदु। ये एक आयत है, square नहीं, और 20 square संख्या नहीं है। हर पंक्ति एक बिंदु ज़्यादा लंबी निकली, और कोई भी आकार लें, हमेशा ऐसा ही होगा। इसीलिए दोनों सीढ़ियों का पड़ोसी होना ज़रूरी है। अब शुरुआत वाली बात पर लौटते हैं, क्योंकि ठीक यहीं लोग फँसते हैं। जिस सीढ़ी में 4 पंक्तियाँ हैं, उसमें 10 बिंदु होते हैं, 4 नहीं।
यहाँ 4 पंक्तियों की गिनती है, और 10 बिंदुओं की गिनती है। जब पड़ोसी सीढ़ियाँ square भरती हैं, तो square की भुजा बड़ी सीढ़ी की पंक्तियों की गिनती होती है, बिंदुओं की नहीं। जैसे 6 और 10 ने 4 गुणा 4 का square भरा, और वो 4 बड़ी सीढ़ी की 4 पंक्तियों से आया। एक तरफ़ पंक्तियाँ हैं, दूसरी तरफ़ बिंदु, और इन्हें मिला दिया तो हर वाक्य गलत हो जाता है।
ये बात उल्टी दिशा में भी चलती है। कोई square दीजिए, और हम उसे खोलकर देखते हैं। जैसे 100 लीजिए, जो 10 गुणा 10 का square है। तो बड़ी सीढ़ी में 10 पंक्तियाँ होंगी, और छोटी सीढ़ी में 9 पंक्तियाँ। इनमें 10 पंक्तियों से 55 बिंदु बनते हैं, और 9 पंक्तियों से 45 बिंदु। और 45 और 55 मिलकर पूरे 100 होते हैं। एक और उदाहरण देखिए, 49 लीजिए, जो 7 गुणा 7 है।
तो 7 और 6 पंक्तियाँ, यानी 28 और 21 बिंदु, और 28 और 21 मिलकर 49 होते हैं। हर square के लिए पड़ोसी सीढ़ियों की ठीक एक ही जोड़ी होती है, जो उसे भरती है। आख़िर में एक वाक्य, जिसे बहुत सावधानी से बोलना है। पड़ोसी त्रिभुजीय संख्याएँ हमेशा square देती हैं, ये हमने साबित किया, और ये सच है। पर इसका मतलब ये नहीं कि सिर्फ़ पड़ोसी ही ऐसा करती हैं।
अब 1 और 15 की जोड़ी को देखिए। यहाँ 1 की सीढ़ी में 1 पंक्ति है, और 15 की सीढ़ी में 5 पंक्तियाँ हैं, यानी ये 4 कदम दूर हैं, पड़ोसी बिल्कुल नहीं। फिर भी 1 और 15 मिलकर 16 होते हैं, जो square है, और ये वही 16 है जो हमने 6 और 10 से बनाया था। तो याद रखने वाली बात ये है कि पड़ोसी हमेशा काम करते हैं।
ये नहीं कि बाक़ी कोई कभी काम नहीं करता। ये अलग अलग दावे हैं, और इनमें से एक ही सच है। तो पूरी बात एक साँस में सुनिए। हर सीढ़ी अपनी पंक्तियों से बनी है। पड़ोसी सीढ़ियों में से एक को आधा घुमाइए, तो पंक्तियाँ जोड़ियों में मिलती हैं, और हर जोड़ी में बराबर बिंदु होते हैं। और पंक्तियाँ उतनी ही हैं, जितनी square की भुजा है। यही पूरी दलील है, और इसमें कहीं कोई सूत्र नहीं था।
अब अगली तस्वीर खुद बनाइए, जिसमें 15 और 21 वाली सीढ़ियाँ हों। यानी 5 पंक्तियाँ और 6 पंक्तियाँ, जो मिलकर 6 गुणा 6 का square बनाती हैं, यानी 36 बिंदु। और 36 पर दोबारा नज़र डालिए, क्योंकि ये square भी है, और खुद एक त्रिभुजीय संख्या भी। इसकी सीढ़ी बनाएँ, तो उसमें 8 पंक्तियाँ होती हैं।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- What makes a number a perfect squareकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
आगे फिर कहाँ आता है
- Cubes built from runs of consecutive odd numbersकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Why the first n odd numbers add up to n²कक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- Square roots, and the prime-factor test for a perfect squareकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube