Cube roots, और लगातार फ़र्क़ क्या उजागर करते हैं

0:00हम जानते हैं कि 2 का cube 8 होता है, क्योंकि 2 गुणा 2 गुणा 2 करने पर 8 मिलता है। अब इसे उल्टी दिशा में चलाइए, अगर आपको सिर्फ़ 8 दिया जाए, तो किस संख्या का cube लिया गया था? उस संख्या को 8 का cube root कहते हैं, और वो 2 है। इसे लिखने का एक चिह्न है, root का निशान, जिसके कोने में एक छोटा सा 3 बैठा होता है।

0:25वो छोटा सा 3 बेकार नहीं है, वही बताता है कि यहाँ square नहीं, cube को उलटा जा रहा है। जैसे 27 का cube root 3 है, और 1000 का cube root 10 है। और किसी भी संख्या का cube लेकर उसका cube root निकालिए, तो वही संख्या वापस मिलती है जिससे आपने शुरू किया था। यहीं पहली जगह है जहाँ cubes, squares से बेहतर बर्ताव करते हैं। पहले squares लीजिए, 6 का square 36 होता है।

0:54पर minus 6 का square भी 36 ही होता है। यानी अलग अलग संख्याएँ हैं, पर जवाब एक ही है। यानी square करने ने दोनों को एक जगह दबा दिया, इसीलिए square root के निशान के साथ एक नियम तय करना पड़ता है कि उसका मतलब कौन सा है। अब इन्हीं दोनों संख्याओं का cube लीजिए। इस बार 6 का cube 216 है, और minus 6 का cube minus 216 है।

1:21जवाब अलग अलग हैं, क्योंकि cube करने से चिह्न बचा रहता है, minus गुणा minus गुणा minus फिर minus ही होता है। इसलिए 216 का cube root सिर्फ़ 6 है, और minus 216 का cube root सिर्फ़ minus 6 है। यहाँ कुछ भी दबता नहीं, और चुनने के लिए कोई नियम भी नहीं चाहिए। अब minus 50 से 50 तक की हर पूरी संख्या का cube लीजिए, तो 101 अलग अलग जवाब आते हैं।

1:46उन्हीं का square लीजिए, तो सिर्फ़ 51 अलग जवाब बचते हैं। यानी square करना चीज़ें खो देता है, cube करना कुछ नहीं खोता, और आगे की लगभग हर बात इसी एक वाक्य से निकलती है। तो किसी संख्या का cube root निकालें कैसे? पहले उस संख्या को primes में तोड़िए। जैसे 3375, जो 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 5 होता है। अब इन primes को 3 ढेरों में बाँटिए, और शर्त ये है कि तीनों ढेर बिल्कुल एक जैसे निकलें।

2:20हर ढेर में एक 3 और एक 5 जाता है। ढेर बराबर बन गए, इसलिए ये संख्या cube है, और अब देखिए कि आपके हाथ में क्या है। एक ढेर है 3 गुणा 5, जो 15 होता है। यहाँ root कोई ऐसी चीज़ नहीं जिसे बाद में अलग से निकालना पड़े, root वो ढेर ही है। और 15 का cube सच में 3375 है, तो ढेर ही जवाब था। अब 500 पर आज़माइए, जो 2 गुणा 2 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 5 होता है।

2:53यहाँ 5 तो 3 ढेरों में बँट जाते हैं, पर 2 नहीं बँटते, क्योंकि वो सिर्फ़ 2 बार हैं। इसलिए 500 cube नहीं है, और यही बात उसी परीक्षा ने बताई। इसी तरह 27000 के primes हर ढेर में 2 गुणा 3 गुणा 5 बनाते हैं, यानी उसका cube root 30 है। और 10648 के primes से हर ढेर 2 गुणा 11 बनता है, यानी उसका cube root 22 आता है।

3:21पर ढेरों में बाँटना काम क्यों करता है? देखिए कि cube करने से किसी संख्या के primes का क्या होता है। जैसे 12 लीजिए, जो 2 गुणा 2 गुणा 3 होता है। अब 12 का cube 1728 है, और उसमें 6 बार 2 आता है और 3 बार 3 आता है। पहले 2 सिर्फ़ 2 बार था, अब 6 बार है, और 3 एक बार था, अब 3 बार है।

3:48इसी तरह 4 में 2 बार 2 है और 64 में 6 बार, और 6 में एक 2 और एक 3 है, तो 216 में दोनों 3 बार आते हैं। और 15 में एक 3 और एक 5 है, जबकि 3375 में दोनों 3 बार आते हैं। हर prime ठीक 3 गुना बार आता है, क्योंकि cube उसी संख्या की 3 copies को आपस में गुणा करना ही है। इसलिए किसी cube में कोई prime ऐसी गिनती में नहीं आ सकता जो 3 का गुणज न हो।

4:19यही परीक्षा है, और उलटा चलकर हर prime की गिनती का एक तिहाई उठा लेना, यही cube root है। अब आप ख़ुद 64, 512 और 729 पर आज़माइए, और देखिए कि हर बार एक ढेर क्या देता है। अब एक ऐसी चीज़ देखिए जो बिना primes तोड़े काम आती है। हर अंक का, 0 से 9 तक, cube लीजिए, और सिर्फ़ जवाब का आख़िरी अंक देखिए। जैसे 2 का cube 8 है, तो 2 का आख़िरी अंक 8 बनता है।

4:51और 3 का cube 27 है, तो 3 से 7 बनता है। आगे 4 से 4, 5 से 5, 6 से 6, 7 से 3, 8 से 2, और 9 से 9 बनता है। और शुरू के 0 और 1 अपनी जगह पर ही रहते हैं। अब आख़िरी अंकों की सूची पढ़िए, उसमें 0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2 और 9 आते हैं। ये सारे 10 अंक हैं, और हर एक ठीक एक बार आया है।

5:25यानी 10 अंक अंदर गए, और 10 अलग अलग अंक बाहर आए। और ये कोई ऐसी जाँच नहीं जो आगे जाकर टूट जाए, अंक कुल 10 ही हैं, तो यही सूची पूरी बात है। और बड़ी संख्या के cube का आख़िरी अंक भी सिर्फ़ उसके आख़िरी अंक से तय होता है, जैसे 12 और 22 के cube भी 2 के cube की तरह 8 पर ख़त्म होते हैं। इस सूची को पकड़ने का एक और साफ़ तरीका है।

5:50देखिए, 2 से 8 बनता है, और 8 से वापस 2 बनता है। इसी तरह 3 से 7 बनता है, और 7 से वापस 3 बनता है। बाक़ी 6 अंक, यानी 0, 1, 4, 5, 6 और 9, अपनी जगह से हिलते ही नहीं। यानी पूरा नक्शा बस एक अदला बदली, दूसरी अदला बदली, और 6 अंक जो वहीं खड़े रहते हैं। इसका मतलब ये नक्शा ख़ुद को उलट देता है, इसे 2 बार चलाइए तो आप वहीं पहुँचते हैं जहाँ से चले थे।

6:22और ये सिर्फ़ याद रखने की तरकीब नहीं है, जो नक्शा ख़ुद को उलटता हो, वो 2 अंकों को एक जगह नहीं भेज सकता। अगर भेजता, तो वापस लौटते समय आप किस अंक पर जाते? पर squares ऐसा बिल्कुल नहीं कर पाते। अब अंकों के squares के आख़िरी अंक देखिए, वो 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 और 1 आते हैं। यानी 10 में से सिर्फ़ 6 अलग आख़िरी अंक बनते हैं।

6:53और उन 6 में से 4, यानी 1, 4, 6 और 9, हर एक 2 अलग अंकों से बनता है। तो मान लीजिए कोई square 6 पर ख़त्म होता है। उसका root 4 पर ख़त्म हो सकता है या 6 पर, और सामने कुछ नहीं बताता कि कौन सा। जैसे 16 और 36 दोनों squares 6 पर ख़त्म होते हैं, पर उनके roots 4 और 6 हैं। यहाँ तीर आपस में टकरा जाते हैं।

7:19हाँ, squares में भी 0 और 5 वाले अंत साफ़ बताते हैं, पर बाक़ी 4 अंत दुविधा छोड़ जाते हैं। पर cubes में कोई 2 तीर एक जगह नहीं गिरते, इसलिए cube का आख़िरी अंक उसके root का आख़िरी अंक सीधे बता देता है। अब ये लीजिए, 4913, और आपको बताया गया है कि ये एक cube है। क्या आप बिना primes तोड़े इसका cube root बता सकते हैं? ये 3 पर ख़त्म होता है, और सिर्फ़ 7 का cube 3 पर ख़त्म होता है, इसलिए root 7 पर ख़त्म होगा।

7:52अब आख़िरी 3 अंक ढक दीजिए, तो 4 बचता है। ये 4, 1 के cube और 2 के cube के बीच है, यानी 1 और 8 के बीच। इसलिए इसका दहाई का अंक 1 है। यानी 4913 का cube root 17 है। और ध्यान दीजिए कि अभी क्या हुआ, क्योंकि ये अंदाज़ा नहीं था। अकेले 7 पर ख़त्म होना, 100 से नीचे 10 संभावित roots छोड़ता है। अकेले दहाई का अंक 1 होना भी 10 संभावित roots छोड़ता है।

8:25दोनों को साथ रखिए, तो ठीक एक संख्या बचती है। आपने अंदाज़ा नहीं लगाया, वो कुछ और हो ही नहीं सकता था। पर आगे का हिस्सा दहाई का अंक क्यों तय करता है? अगर root 10 और 20 के बीच हो, तो उसका cube 1000 और 8000 के बीच होगा। यानी आख़िरी 3 अंक हटाने पर जो बचे, वो 1 और 8 के बीच होगा, और ये बात उलटी दिशा में भी सच है।

8:52जैसे 4913 में 4 बचा, जो 1 और 8 के बीच है, इसलिए उसका root 10 और 20 के बीच है। इसी तरह 20 से 30 वाले roots के cubes 8000 से 27000 तक जाते हैं। यानी आगे का हिस्सा बताता है कि root किस दहाई में है, और आख़िरी अंक बताता है कि उस दहाई की कौन सी संख्या। दोनों पकड़ अलग अलग हैं, इसलिए उनसे बचने वाली संख्या बस एक होती है।

9:21चलिए एक बार और, जल्दी से करते हैं। अगली संख्या 12167 है, और ये भी एक cube है। ये 7 पर ख़त्म होता है, इसलिए root 3 पर ख़त्म होगा। आख़िरी 3 अंक ढकिए, तो 12 बचता है, जो 8 और 27 के बीच है। इसलिए दहाई का अंक 2 है, और root 23 है। फिर 32768 लीजिए, जो 8 पर ख़त्म होता है, इसलिए root 2 पर ख़त्म होगा।

9:48यहाँ 32 बचता है, जो 27 और 64 के बीच है। तो दहाई का अंक 3 है, और root 32 है। और 1331 पर यही तरीका 11 देता है। यही नियम 27000 और 10648 पर भी वही 30 और 22 देता है जो ढेरों ने दिए थे। ये 4 किस्मत वाली संख्याओं की तरकीब नहीं है। ये 99 के cube तक हर cube का root पढ़ लेता है, और 99 का cube 970299 होता है।

10:21अब बिल्कुल अलग विषय पर चलते हैं। पहले squares को एक पंक्ति में लिखिए, यानी 1, 4, 9, 16, 25 और 36 को। अब हर पड़ोसी जोड़ी का अंतर लीजिए। ये 3, 5, 7, 9 और 11 आते हैं, यानी odd संख्याएँ। ये स्थिर नहीं हैं, तो इस नई पंक्ति पर फिर से यही कीजिए। अब 2, 2, 2 और 2 आते हैं। यानी अब पंक्ति पूरी तरह सपाट हो गई।

10:53इसे सपाट होने में 2 level लगे, और ये level याद रखने लायक है। अब ठीक यही मशीन cubes पर चलाइए। यानी 1, 8, 27, 64, 125 और 216 वाली पंक्ति पर। पहले अंतर 7, 19, 37, 61 और 91 आते हैं। ये सपाट होने के आसपास भी नहीं हैं। तो इनका फिर से अंतर लीजिए। अब 12, 18, 24 और 30 आते हैं। अभी भी सपाट नहीं, पर देखिए, अब ये हर बार एक तय कदम से, यानी 6 से, बढ़ रहे हैं।

11:33तो एक बार और अंतर लीजिए। अब 6, 6 और 6 आता है। यानी cubes तीसरे level पर सपाट हुए, squares से एक level और नीचे। लगभग हर कोई यहाँ 3 सोचता है, क्योंकि power 3 है, पर सपाट पंक्ति में 6 आता है। इन दोनों संख्याओं के पीछे एक कारण है। अंतर का हर दौर power को एक से घटा देता है, और रास्ते में power का एक गुणा दे जाता है।

12:00चलिए cubes से शुरू करते हैं। एक दौर के बाद squares पर बनी चीज़ बचती है, जिसके साथ 3 का गुणा जुड़ा है। अगले दौर के बाद साधारण गिनती वाली संख्याओं पर बनी चीज़ बचती है, और साथ में 2 का गुणा भी जुड़ जाता है। उसके अगले दौर में बदलने को कुछ बचता ही नहीं, तो पंक्ति सपाट है, 3 गुणा 2 गुणा 1 पर, यानी 6 पर। और squares ने यही 2 दौरों में किया, और 2 गुणा 1 पर रुके, इसीलिए उनकी सपाट पंक्ति में 2 थे।

12:30यानी level power को गिनता है, और सपाट संख्या power से 1 तक की हर संख्या का गुणा है। इसे चौथी power पर जाँचिए, यानी 1, 16, 81 और 256 वाली पंक्ति पर। यहाँ 4 level लगते हैं, और सपाट संख्या 24 आती है। जो ठीक 4 गुणा 3 गुणा 2 गुणा 1 है। और पाँचवीं power पर 5 level लगते हैं, और सपाट संख्या 120 आती है। अब एक आख़िरी सवाल लीजिए।

13:01कौन बड़ा है, 67 का square minus 66 का square, या 67 का cube minus 66 का cube? यहाँ square वाला पड़ोसी squares के बीच का अंतर है, तो वो एक odd संख्या है, यानी बस 66 और 67 का जोड़। यानी वो अंतर 133 आता है। और cube वाला cubes के नीचे की पहली पंक्ति का एक अंक है, वही पंक्ति जिसे सपाट होने में अभी 2 level और लगते।

13:30वो 3 गुणा 66 गुणा 67 जोड़ 1 के बराबर है। यानी वो अंतर 13267 आता है। यानी square का अंतर एक जोड़ है, और cube का अंतर एक गुणा है, वो भी 3 गुना। ये फ़र्क़ 99 गुना से भी ज़्यादा है, तुलना का सवाल ही नहीं उठता। और 43 वाले जोड़े में भी यही है, square का अंतर सिर्फ़ 85 है, पर cube वाला अंतर 5419 आता है।

13:58तो इन चारों में सबसे बड़ा 67 वाला cube का अंतर है। और यही इस पूरे विषय की बात है। यानी cube करना कुछ नहीं दबाता, न चिह्न, न आख़िरी अंक, इसलिए कुछ खोता नहीं और root सीधे पढ़ लिया जाता है। और cube में उसके root की 3 copies होती हैं, इसलिए primes 3 ढेरों में बँटते हैं, और अंतरों को सपाट होने में 3 level लगते हैं। एक ही 3, और वो दोनों जगह अपना काम करता है।