Cubes: आठ टुकड़ों में कटे एक cube से (a ± b)³

0:00board पर एक ही product लिखा है, a minus b का square, गुना a plus b। इसे 2 students ने 2 अलग तरीक़ों से खोला। और आज का पूरा topic यहीं से शुरू होता है। पहला तरीक़ा सीधा है। a minus b के square की जगह a squared minus 2 a b plus b squared रखो, और फिर a plus b से गुणा करो। जो निकलता है वह है a cubed minus a squared b minus a b squared plus b cubed।

0:32दूसरा तरीक़ा brackets को अलग तरह से जोड़ता है। a minus b को अलग रखकर बाक़ी 2 brackets पहले गुणा करो, तो a squared minus b squared मिलता है। फिर a minus b से गुणा करने पर वही 4 terms आते हैं। यह सवाल अक्सर ऐसे रखा जाता है कि सही कौन है। पर दोनों सही हैं, क्योंकि छोटा रास्ता सिर्फ़ brackets को फिर से जोड़ता है। किसी product के brackets बदलने से product नहीं बदलता।

0:59और यही इस पूरे topic का तरीक़ा है। नई identity कहीं बाहर से नहीं आती; वह पुरानी identity को एक बार और गुणा करने से बनती है। a plus b के cube का मतलब है a plus b को अपने आप से 3 बार गुणा करना। तुम्हें लगेगा कि तीनों brackets को एक-एक करके खोलना पड़ेगा। पर उनमें से 2 गुणा हम पहले ही कर चुके हैं, क्योंकि a plus b का square हमारे पास है, a squared plus 2 a b plus b squared।

1:28तो a plus b के cube को ऐसे लिखो कि काम बचे। a plus b, गुना, a squared plus 2 a b plus b squared। अब सिर्फ़ 1 गुणा बाक़ी है। देखो, left वाले bracket के हर term को दूसरे bracket के हर term से गुणा करना है। पहला term a है और दूसरा b, तो arrows की 2 rows बनती हैं। इस तरह जो निकलता है वह है a cubed plus 3 a squared b plus 3 a b squared plus b cubed।

1:59और सीधे a plus b को 3 बार गुणा करने पर भी बिल्कुल यही आता है। अब गिनकर देखो कि इस गुणा में कितने products लिखे जाते हैं। एक bracket में 2 terms हैं और दूसरे में 3। तो 2 गुना 3, यानी 6 products बनते हैं। पर आख़िर में terms 6 नहीं, सिर्फ़ 4 बचते हैं। क्योंकि 6 products सिर्फ़ 4 अलग powers पर गिरते हैं। 2 powers पर सिर्फ़ 1 product गिरता है और 2 powers पर 2 products।

2:29जिन 2 powers पर 2 products गिरते हैं, उन पर एक 1 आता है और एक 2। और 1 plus 2 बराबर 3 है, इसलिए बीच के दोनों coefficients 3 हो जाते हैं। तुम्हें लग सकता है कि यह 3 सिर्फ़ arithmetic का इत्तिफ़ाक़ है। square में बीच का coefficient 2 था और cube में 3 है। तो क्या इस 3 के पीछे कोई गिनने लायक़ वजह है? अब algebra छोड़कर एक solid बनाते हैं।

2:57एक cube लो जिसकी हर edge a plus b लंबी है। हर edge पर पहले a का हिस्सा है और उसके बाद b का। board पर तीनों दिखती edges पर a और b के निशान लगे हैं। इस cube का volume a plus b का cube है, क्योंकि volume edge का cube होता है। अब हर direction में एक बार काटना है, ठीक वहाँ जहाँ a ख़त्म होता है। यानी length में एक cut, breadth में एक cut, height में एक cut।

3:273 cuts लगाने से पहले अंदाज़ा लगाओ। पहली नज़र में लगता है कि 3 cuts से 3 या 4 टुकड़े ही बनेंगे। तो 3 cuts इस cube को कितने टुकड़ों में बाँटते हैं? देखो, पहला cut लगते ही cube 2 हिस्सों में बँट जाता है। दूसरा cut उन दोनों हिस्सों को काटता है, तो 4 हो जाते हैं। तीसरा cut इन चारों को काटता है, तो कुल 8 टुकड़े बनते हैं।

3:54मतलब हर cut टुकड़ों की गिनती को दोगुना कर देता है। इसलिए 2 गुना 2 गुना 2 बराबर 8 टुकड़े बनते हैं। और तीनों cuts कोने से बराबर दूरी पर लगे हैं। यही वजह है कि हर direction में 2 ही हिस्से बनते हैं, a वाला और b वाला। cut कहीं और भी लगाया जा सकता था, और तब भी 8 टुकड़े बनते। पर तब टुकड़ों की sides a और b नहीं होतीं, इसलिए सिर्फ़ गिनती से बात नहीं बनती।

4:24अब 8 टुकड़ों को अलग करके board पर फैलाओ। पहली नज़र में आठों टुकड़े अलग-अलग shapes के लगते हैं। पर इनमें से 2 टुकड़े cube हैं और बाक़ी 6 cuboid। एक cube वह है जिसकी तीनों sides a हैं, तो उसका volume a cubed है। दूसरा वह है जिसकी तीनों sides b हैं, यानी volume b cubed। ये दोनों बड़े cube के आमने-सामने वाले कोनों पर बैठे थे। देखो, बाक़ी 6 boxes 2 तरह के हैं।

4:533 boxes ऐसे हैं जिनकी 2 sides a हैं और 1 side b, तो हर एक का volume a squared b है। और 3 ऐसे जिनकी 1 side a है और 2 sides b, यानी volume a b squared। तो आठों टुकड़ों के volumes सिर्फ़ 4 तरह के हैं। a cubed एक बार, a squared b 3 बार, a b squared 3 बार और b cubed एक बार। अब असली सवाल यह है कि ये 3 और 3 कहाँ से आए।

5:25इसका जवाब गिनती है, याद करने वाली कोई बात नहीं। हर टुकड़ा 3 फ़ैसलों से तय होता है, हर direction के लिए एक। length में वह a वाला हिस्सा है या b वाला। फिर वही सवाल breadth के लिए, और फिर height के लिए। board पर इसे एक tree की तरह बनाओ। पहला फ़ैसला 2 branches बनाता है, दूसरा हर branch को फिर 2 में बाँटता है, और तीसरा भी।

5:50आख़िर में 8 leaves बचती हैं, और वही 8 टुकड़े हैं। हर leaf a और b का एक order है, जैसे a a b या a b b। और हर leaf का volume उसी order से बनता है, इसलिए leaves और टुकड़े एक-दूसरे से बँधे हैं। देखो, अब leaves को इस हिसाब से बाँटो कि उनमें b कितनी बार आया। एक leaf में b है ही नहीं, वह a a a है।

6:16और एक leaf में तीनों b हैं। बीच में 3 leaves ऐसी हैं जिनमें b सिर्फ़ एक बार आता है। तो 3 ही क्यों, 2 या 4 क्यों नहीं? क्योंकि उन तीनों में b अलग-अलग direction में है, कहीं length, कहीं breadth, कहीं height। इसलिए वे 3 हैं, न कम न ज़्यादा। नीचे वाले group में 3 leaves ऐसी हैं जिनमें b 2 बार आता है। उनमें भी हर एक में कोई अलग direction छूटा हुआ है।

6:43बहुत से students सोचते हैं कि 3 boxes इसलिए हैं कि cube के 3 face दिखते हैं। पर cube के 6 faces होते हैं, और दिखने से गिनती का कोई लेना-देना नहीं। 3 इसलिए हैं क्योंकि directions 3 हैं, और b किसी भी एक direction में जा सकता है। assembled drawing में इन 6 boxes में से 3 पीछे छिपे रहते हैं। इसीलिए टुकड़ों को अलग करके दिखाना ज़रूरी है, वरना गिनती अधूरी लगती है।

7:11देखो, अब हर group के volumes जोड़ो। जिन 3 टुकड़ों में b एक बार है, तीनों का volume एक ही है, a squared b। तो उनका जोड़ 3 a squared b हुआ। जिन 3 में b 2 बार है, हर एक का volume a b squared है, तो उनका जोड़ 3 a b squared। बाक़ी 2 टुकड़े a cubed और b cubed हैं। आठों volumes जोड़ने पर a cubed plus 3 a squared b plus 3 a b squared plus b cubed मिलता है।

7:42और यह वही है जो brackets गुणा करने पर निकला था। यानी solid और algebra एक ही जगह पहुँचते हैं, अलग-अलग रास्तों से। यह सिर्फ़ इस एक drawing की बात नहीं है। a और b की 25 अलग-अलग जोड़ियों पर यही जाँचा गया, और हर बार groups के जोड़ ठीक वही 4 terms देते हैं। अब यही गिनती square पर करके देखो। square में सिर्फ़ 2 directions हैं, इसलिए 2 फ़ैसले होते हैं और 4 टुकड़े।

8:10उनकी गिनती 1, 2, 1 निकलती है। cube में एक direction ज़्यादा है, इसलिए 8 टुकड़े बनते हैं और गिनती 1, 3, 3, 1। board पर square की गिनती में 3 कहीं नहीं है, और यही दोनों का पूरा फ़र्क़ है। तो अगला क़दम आसान लगता है। तुम्हें लगेगा कि चौथी power की गिनती 1, 4, 4, 1 होगी। क्या सचमुच ऐसा होता है? ऐसा नहीं होता। 4 directions में से 2 चुनने के जितने तरीक़े हैं, उतने ही बीच वाले टुकड़े होते हैं, और वे 6 हैं।

8:47इसलिए चौथी power की गिनती 1, 4, 6, 4, 1 है। यह अंदाज़ा कि बीच के सारे numbers n होंगे, पहली 8 powers के 44 terms में से सिर्फ़ 29 पर सही बैठता है। और सबसे पहले वह चौथी power पर ही टूटता है, जहाँ वह 4 कहता है और गिनती 6। अब a minus b का cube चाहिए। इसके लिए कोई नई identity बनाने की ज़रूरत नहीं है। board पर a minus b को a plus, minus b, लिखो, और पुरानी identity में b की जगह minus b रखो।

9:24पहला term a cubed है, उसमें b है ही नहीं, तो वह जैसा है वैसा रहता है। दूसरा term 3 a squared b था, अब वह 3 a squared गुना minus b है, यानी minus 3 a squared b। तीसरा term 3 a b squared था। अब वहाँ minus b का square आता है, और minus का square plus होता है, तो term plus 3 a b squared ही रहता है।

9:49आख़िरी term b cubed था, और minus b का cube minus b cubed होता है। तो पूरा जवाब a cubed minus 3 a squared b plus 3 a b squared minus b cubed बनता है। सीधे a minus b को 3 बार गुणा करने पर भी यही आता है। बहुत से students यहाँ यह सोचते हैं कि b की जगह minus रखने से चारों signs पलट जाएँगे। तो क्या सचमुच चारों पलटते हैं?

10:19ऐसा नहीं होता, सिर्फ़ 2 terms पलटते हैं। वजह हर term में b की power है। पहले term में b की power 0 है, दूसरे में 1, तीसरे में 2 और चौथे में 3। चारों powers अलग हैं, इसलिए चारों एक साथ पलट ही नहीं सकते। board पर minus को इन powers पर चढ़ाओ, तो plus, minus, plus, minus मिलता है। जिन terms में b की power even है वे वैसे ही रहते हैं, और जिनमें odd है वे पलट जाते हैं।

10:49इसीलिए 3 a b squared plus ही रहता है, minus नहीं होता। और यह सिर्फ़ cube का नियम नहीं है; पहली 8 powers के 44 terms में से हर एक इसी तरह चलता है। अब इसे उल्टा पढ़ते हैं। मान लो किसी cube का volume p cubed plus 6 p squared q plus 12 p q squared plus 8 q cubed है। उसकी edge क्या होगी? दोनों सिरों के terms देखो।

11:18p cubed का cube root p है और 8 q cubed का cube root 2 q, तो edge शायद p plus 2 q है। तुम्हें लग सकता है कि सिरे मिल जाना ही काफ़ी है। पर सिरे कभी अकेले फ़ैसला नहीं करते, बीच के terms करते हैं। 3 गुना p squared गुना 2 q बराबर 6 p squared q, और 3 गुना p गुना 2 q का square बराबर 12 p q squared।

11:43दोनों बीच वाले terms मिल गए, तो edge सचमुच p plus 2 q है। board पर यही जाँच हर बार करनी है, क्योंकि सिरे तो कई expressions में cube होते हैं। देखो, अब एक ऐसा expression लो जिसमें minus हैं। 8 n cubed minus 60 n squared m plus 150 n m squared minus 125 m cubed। signs plus, minus, plus, minus की तरह बदल रहे हैं, तो यह a minus b वाली शक्ल हो सकती है।

12:158 n cubed का cube root 2 n है और 125 m cubed का cube root 5 m। तो अंदाज़ा 2 n minus 5 m का है। board पर बीच वाले terms जाँचो। 3 गुना 2 n के square गुना 5 m बराबर 60 n squared m। और 3 गुना 2 n गुना 5 m के square बराबर 150 n m squared। दोनों मिल गए, तो यह expression 2 n minus 5 m का cube है।

12:47अगर बीच का कोई एक term सिर्फ़ 1 से भी हट जाए, तो यह cube नहीं रहता। इसलिए सिरों का cube होना अकेले कभी काफ़ी नहीं है। कभी terms सीधे order में लिखे ही नहीं होते। जैसे 27 u cubed minus 1 बटा 125 minus 27 u squared बटा 5 plus 9 u बटा 25। यहाँ powers घटते क्रम में नहीं हैं। तो पहला काम terms को फिर से जमाना है।

13:1627 u cubed, फिर minus 27 u squared बटा 5, फिर plus 9 u बटा 25, और आख़िर में minus 1 बटा 125। अब सिरे देखो। 27 u cubed का cube root 3 u है और 1 बटा 125 का cube root 1 बटा 5। बीच वाले terms जाँचने पर दोनों मिल जाते हैं, तो यह 3 u minus 1 बटा 5 का cube है। बहुत से students को लगता है कि fractions आते ही identity काम करना बंद कर देती है।

13:49पर identity बनाते वक़्त a और b के बारे में कुछ माना ही नहीं गया था। इसलिए x minus y बटा 3 का cube भी उसी तरह x cubed minus x squared y plus x y squared बटा 3 minus y cubed बटा 27 है। यह identity numbers पर भी उतनी ही काम की है। 199 का cube निकालना है, और सीधे गुणा करना लंबा काम है। 199 को 200 minus 1 लिखो, और वही identity लगाओ।

14:19देखो, पहला term 200 का cube है, और वह board पर सबसे ऊपर आता है। दूसरा 3 गुना 200 के square गुना 1 है, और वह minus में आता है। तीसरा 3 गुना 200 गुना 1 का square, यानी 600, और आख़िरी 1। इन चारों को जोड़ने पर 199 का cube मिल जाता है। इसी तरह 147 को 150 minus 3 लिखकर, और 127 को 130 minus 3 लिखकर, उनके cube निकलते हैं।

14:50अब minus 107 का cube लेते हैं। किसी negative number का cube उसी number के cube का minus होता है, तो पहले 107 का cube निकालो। 107 को 100 plus 7 लिखो, चारों हिस्से जोड़ो, और जवाब पर minus लगा लो। इसी तरह minus 299 के लिए 299 को 300 minus 1 लिखा जाता है। board पर 900 में से 900 three-digit numbers पास के 10 पर तोड़े जा सकते हैं।

15:20और बचा हुआ हिस्सा कभी 5 से बड़ा नहीं होता। आख़िर में देखो कि drawing कहाँ तक साथ देती है। solid तभी बन सकता है जब दोनों lengths 0 से बड़ी हों। grid की 81 जोड़ियों में से सिर्फ़ 16 ऐसी हैं। और उन 16 में से सिर्फ़ 6 में b, a से छोटा है। फिर भी cut सभी 16 पर चलता है, तो b का छोटा होना ज़रूरी नहीं।

15:45अब सोचो कि a minus b के cube में 2 terms minus में हैं। पर टुकड़ों के volumes सब 0 से बड़े होते हैं; उन 16 जोड़ियों के 128 volumes में से हर एक positive है। इसलिए volumes का कोई ढेर minus वाला term बना ही नहीं सकता। board पर वह पुरानी ग़लती भी दिखती है कि a plus b का cube a cubed plus b cubed होगा। 81 जोड़ियों में से सिर्फ़ 25 पर यह सच है, और वे वही हैं जहाँ a शून्य है, या b शून्य है, या दोनों एक-दूसरे को काट देते हैं।

16:18बाक़ी सब पर यह ग़लत है, क्योंकि बीच के 6 boxes कहीं नहीं गए। तो क्या यह सब drawing ने साबित किया? drawing कभी proof थी ही नहीं; proof वह गिनती थी। 3 directions, हर direction में a या b, और उसी से 1, 3, 3, 1 निकलता है। और algebra उन 65 जोड़ियों पर भी चलती है जिनके लिए कोई solid बन ही नहीं सकता। इसलिए तस्वीर एक मदद है, शर्त नहीं।