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Chapter 3 · The World of Numbers

शून्यता से शून्य तक: कुछ न होने को ऐसा number बनाना जिससे हिसाब किया जा सके

Zero, and the integers it made possible11 मिनट

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एक निशान जो सिर्फ़ यह बताता है कि यह column खाली है, लिखने का काम पूरा कर देता है और हिसाब का काम बिलकुल नहीं। शून्य दोनों करता है, और यही पूरा फ़र्क़ है। पन्ने पर खिंचा बिंदु किसी का हिसाब नहीं बदलता; बदलाव उस परिभाषा से आता है कि शून्य वह है जो मात्रा को उसी मात्रा में से निकालने पर बचता है — और उसके तीनों नियम उसी में से निकलते हैं, बग़ल में रखे नहीं जाते।

मुख्य idea

placeholder और number एक ही चीज़ नहीं हैं, और इन दोनों को अलग करते हैं — नियम। Babylonian और Mayan लिपिकों के पास ख़ाली column के लिए एक निशान था और ऐसी कोई मात्रा कभी नहीं जिसे वे जोड़ या गुणा कर सकें; Brahmagupta ने 628 CE में जो किया वह यह था कि उन्होंने शून्य को परिभाषित किया — जो किसी मात्रा में से वही मात्रा निकालने पर बचता है — और फिर उसका अंकगणित तय किया। यह क्रम मायने रखता है, क्योंकि एक बार शून्य a − a के रूप में परिभाषित हो जाए तो तीनों नियम बाद में चिपकाई गई परिपाटियाँ नहीं रह जाते, वे मजबूरन निकल आते हैं: अगर 0 यानी a − a है तो b + 0 को b होना ही पड़ेगा। शून्य उस दिन number बना जिस दिन उसके नतीजे हुए, उस दिन नहीं जिस दिन उसे symbol मिला।

आपको क्या आना चाहिए

  • positional placeholder और number में फ़र्क़ करना, और बताना कि Babylonians तथा Mayans के पास इनमें से क्या था
  • Brahmagupta की शून्य की परिभाषा, और वह कृति बताना जिसके लिए वह लिखी गई है
  • śhūnya के अंकगणित के तीनों छपे हुए नियम बताना, और हर एक का एक उदाहरण देना
  • जोड़ वाले नियम को रटने के बजाय परिभाषा से निकालकर दिखाना
  • समझाना कि अकेला symbol अंकगणित को क्यों नहीं बदलता, एक अस्पष्ट numeral को उदाहरण बनाकर
  • chapter जिस दार्शनिक śhūnyatā का ज़िक्र करता है उसे बताना, और उन ग्रंथों तथा व्यक्तियों के नाम लेना जिनसे वह उसे जोड़ता है
  • Bakhśhālī Manuscript के bindu को ख़ाली जगह से एक निशान तक के भौतिक क़दम के रूप में पहचानना
  • chapter के दर्शन-से-गणित वाले क्रम में Āryabhaṭa और Brahmagupta को रखना
  • बताना कि छपे हुए नियम किसे नहीं ढकते, और भाग उनमें से इतने साफ़ तौर पर ग़ायब क्यों है

जानने लायक़ शब्द

Termएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
śhūnyaशून्य; वह number जो किसी भी मात्रा में जोड़े जाने पर उसे अपरिवर्तित छोड़ देता हैशून्य§3.2.1, p. 44 पर italics में छपा, और फिर §3.2.2 में
Śhūnyatāख़ालीपन या कुछ न होना, एक दार्शनिक अवस्था के रूप में — वही स्रोत जिससे chapter शून्य को जोड़ता हैशून्यता§3.2.1, p. 43 पर bold में छपा, और उसके बाद italics में
placeholderवह निशान जो दिखाता है कि column ख़ाली है, पर ख़ुद अपने आप में कोई मात्रा नहीं होतास्थानपूरक चिह्न§3.2, p. 43 पर छपा, Babylonian और Mayan पद्धतियों के बारे में
Brahmaguptaवह गणितज्ञ जिसे chapter शून्य को संक्रियात्मक number में बदलने का श्रेय देता हैब्रह्मगुप्त§3.2.2, p. 44 पर bold में छपा
BrāhmasphuṭasiddhāntaBrahmagupta की 628 CE की कृति, जिसमें शून्य परिभाषित है और उसके नियम रखे गए हैंब्राह्मस्फुटसिद्धांत§3.2.2, p. 44 पर italics में छपा
Bakhśhālī Manuscriptवह हस्तलिपि जिसमें शून्य के लिए एक गाढ़ा बिंदु इस्तेमाल हुआ हैबख्शाली हस्तलिपि§3.2.2, p. 44 पर bold में छपा
binduउस हस्तलिपि में शून्य के लिए इस्तेमाल हुआ बिंदुबिंदु§3.2.2, p. 44 पर italics में छपा
vṛttisमन की वे हलचलें जिन्हें ध्यान शांत करना चाहता हैवृत्तियाँ§3.2.1, p. 44 पर italics में छपा
Yoga SutrasPatanjali की कृति, जिसे chapter लगभग 3rd century BCE में रखता हैयोगसूत्र§3.2.1, p. 44 पर छपा
Upanishadsवह ग्रंथ-समूह जिसमें chapter śhūnyatā का सबसे पुराना प्रयोग रखता हैउपनिषद्§3.2.1, p. 43 पर italics में छपा
Hindu Number Systemआज चलन में मौजूद अंक पद्धति के लिए chapter का अपना नामहिंदू अंक पद्धति§3.2.2, p. 44 पर छपा
operational numberऐसी मात्रा जिसके साथ अंकगणित के नियम जुड़े हों, न कि निरा symbolसंक्रियात्मक संख्या§3.2.2, p. 44 पर छपा, इस बारे में कि Brahmagupta के हाथों शून्य क्या बन गया

हिंदी column उन Sanskrit शब्दों का लिप्यंतरण देता है जिन्हें chapter ख़ुद italics में या Devanagari के क़रीब के romanisation में रखता है, और बाक़ी जगह मानक हिंदी शब्दावली देता है। मैंने Ganita Manjari का कोई हिंदी संस्करण नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "शून्य तब बना जब किसी ने 0 का symbol खींचा।" §3.2.2 का पूरा तर्क यही है कि symbol पहले आया और नियम आने तक उसने कुछ नहीं बदला। निशान notation है; number notation के साथ नतीजे भी है।
  • "शून्य का मतलब कुछ नहीं है, तो वह असल में number है ही नहीं।" वह वह number है जो किसी मात्रा में से वही मात्रा निकालने का नतीजा बताता है — एक निश्चित संक्रिया का एक निश्चित परिणाम, कोई अनुपस्थिति नहीं।
  • "Babylonians के पास शून्य था।" उनके पास एक placeholder था। chapter यहाँ सावधान है: वे उसे ऐसी चीज़ नहीं मानते थे जिसमें जोड़ा, जिससे घटाया या जिससे गुणा किया जा सके।
  • "a × 0 = 0 तो ज़ाहिर है।" यह ऐसा नियम है जिसे कहना पड़ता है, और यही वह नियम है जो आगे चलकर शून्य से भाग को असंभव बना देता है। जो छात्र इसे मामूली मानते हैं वे q ≠ 0 को §3.4 में नहीं समझा पाते — ये दोनों एक ही बात हैं।
  • "śhūnyatā शून्य के लिए बस एक काव्यात्मक शब्द है।" chapter में वह ध्यान में खोजी जाने वाली एक अवस्था है, अपने आप में मूल्यवान। दावा सांस्कृतिक है: जो परंपरा ख़ालीपन को एक उपलब्धि मानती है उसे कुछ न होने को विषय बनाने में कोई कठिनाई नहीं होती।
  • "Brahmagupta ने शून्य से भाग देने के नियम भी दिए।" p. 44 वाले box में नहीं। कोई चौथा bullet न जोड़ें।
  • "दार्शनिक कहानी सजावट है और गणित ही असली सामग्री है।" chapter का कारण-दावा यह है कि वैचारिक ढाँचा पहले आया। यही §3.2.1 का तर्क है, और उसे काट देने पर §3.2.2 अपनी प्रेरणा खो देता है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,771 शब्द

जो numeral ruled columns में लिखा है, उसे एक-एक place करके पढ़ो। जिसमें 2, फिर कुछ नहीं, फिर 5 है, वह 205 है। और जिसमें सिर्फ़ 2 और 5 हैं, वह 25 है। अब ruling मिटाओ और खाली place में कुछ भी मत लिखो। दोनों numerals सिमटकर पन्ने पर एक ही निशान छोड़ जाते हैं। पन्ने पर देखकर बताया ही नहीं जा सकता कि कौन सा कौन है। उस खाली place में कोई भी निशान रखो, और दोनों फिर अलग हो जाते हैं।

निशान वाली शक्ल फिर से अपने आप को ही पढ़ाती है। जिस numeral में कोई खाली place है ही नहीं, वह निशान के साथ और बिना निशान के, दोनों तरह एक जैसा रहता है। यानी वह निशान ठीक एक ही जगह काम करता है, और कहीं नहीं। बेबीलोन और माया के लिपिकों के पास ठीक यही चीज़ थी। एक ऐसा निशान जो बताता है कि यह column खाली है। इससे ज़्यादा उसका दावा कभी था भी नहीं, और यही बात आगे सब कुछ तय करती है।

पिछले दोनों numerals इसके हवाले करो, तो यह उन्हें अलग-अलग रखता है। लिखने वाले काम में यह पूरा पास हो जाता है, और इसी वजह से इसे अकसर शून्य समझ लिया जाता है। अब इस निशान से कहो कि किसी जोड़ में शामिल हो जाए। न इसमें कुछ जोड़ा जा सकता है, न इससे गुणा किया जा सकता है, और यह कोई कमी नहीं, इसकी पूरी बनावट है। यह एक निशान है, और निशान हिसाब नहीं करते।

अब वही 2 जाँचें शून्य पर चलाओ। यह numerals को भी अलग रखता है, और किसी जोड़ में जाकर दूसरी तरफ़ से निकल भी आता है। दोनों काम, दोनों पास। एक जाँच में एक पास होता है और दूसरा दोनों में, और इनके बीच इसके सिवा कुछ भी नहीं है। यह placeholder सिर्फ़ लिखावट है। शून्य लिखावट है, और उसके साथ नतीजे भी हैं। और वह दूसरी जाँच असल में 2 जाँचें हैं।

ऐसा निशान जिसमें जोड़ा तो जा सकता है पर जिससे गुणा नहीं, वह भी fail होता है। और ऐसा निशान जिससे गुणा हो सकता है पर जिसमें जोड़ा नहीं जा सकता, वह भी। तो अब वह सवाल, जिस पर आगे का सब कुछ टिका है। एक निशान खींच देना और एक number खड़ा कर देना, क्या ये एक ही बात हैं? क्या शून्य उस दिन बना, जिस दिन किसी ने पहली बार वह symbol खींचा?

जिस विचार से इसे जोड़ा जाता है, वह किसी पंक्ति का खाली स्थान नहीं है। वह ख़ालीपन है, जिसे पाने लायक़ अवस्था माना गया। यह उपनिषद् में और बौद्ध लेखन में मिलता है, ईसा-पूर्व 7वीं सदी से भी काफ़ी पहले से। पतंजलि के योगसूत्र, जिन्हें ईसा-पूर्व तीसरी सदी के आसपास रखा जाता है, मन की हलचल को शांत करने की बात करते हैं। और कहते हैं कि उन्हें शांत करने से मन, शरीर और इंद्रियों पर नियंत्रण आता है।

यह गणित के आसपास की सजावट नहीं है, और इसे काट देने पर आगे का हिस्सा बेवजह लगने लगता है। जिस परंपरा में ख़ालीपन पाने लायक़ चीज़ है, उसे कुछ न होने को एक विषय मान लेने में कोई दिक़्क़त नहीं होती। और कोई चीज़ पहले विषय बनती है, तभी जाकर कोई उसे परिभाषा और नियम देता है। वहाँ से यह विचार फैलता है। यह वास्तुकला तक पहुँचता है, फिर साहित्य तक, फिर भाषाविज्ञान तक, और फिर गणित तक।

कुल 4 क्षेत्र, और उनमें गणित सबसे आख़िर में आता है। गणित वाली शाखा आगे बढ़कर 2 नामों तक जाती है, और क्रम से जाती है। पहले आर्यभट, और उनके बाद ब्रह्मगुप्त। बख्शाली हस्तलिपि, जिसे ईसवी सन् की शुरुआती सदियों में रखा जाता है, शून्य को एक गाढ़े बिंदु से लिखती है। यही वह क़दम है जहाँ खाली जगह से निकलकर पन्ने पर सचमुच का निशान बनता है। ध्यान दो कि यह timeline पट्टियों की शक्ल में खींची गई है।

तारीख़ें अंदाज़न हैं, और बिंदु तथा नियमों को जिस क्रम में रखा जाता है वह दलील का क्रम है, कोई सिद्ध कैलेंडर-क्रम नहीं। पहले symbol, फिर नियम, बात इसी तरह बनती है। अब पूछो कि उस बिंदु के खिंचने के अगले दिन ऐसा क्या हिसाब हो सकता था, जो एक दिन पहले नहीं हो सकता था। जवाब है, कुछ भी नहीं। अकेला symbol हिसाब को जस का तस छोड़ देता है।

सन् 628 ईसवी में ब्रह्मगुप्त ने इसे लिख दिया, ऐसे ग्रंथ में जिसका विषय खगोल और गणना है। शून्य वह है जो तब बचता है, जब कोई मात्रा उसी मात्रा में से निकाल ली जाए। इसे चलाकर देखो, और किसी एक मात्रा पर नहीं। मान लो 5 में से 5 निकालो तो 0 बचता है, 17 में से 17 निकालो तो 0 बचता है, और 1000 में से 1000 निकालो तो भी 0 बचता है।

तीनों बार वही चीज़ लौटती है। बात यह नहीं है कि इनमें से हर एक 0 है। बात यह है कि ये वही एक 0 हैं। जिन 500 मात्राओं पर यह चलाया गया, उन सब पर यह बचत ठीक 1 ही value लेती है। यही वह चीज़ है जो इस परिभाषा को सूची नहीं, ढाँचा बनाती है। यह हर मात्रा पर एक साथ सच है, इसलिए जिसे यह नाम देती है वह एक ही number है, हर मात्रा के लिए अलग शून्य नहीं।

यहीं एक आम आपत्ति भी टूट जाती है। शून्य किसी मात्रा की ग़ैरहाज़िरी नहीं है, जिसे मात्रा की जगह लिख दिया गया हो। यह एक तय मात्रा पर एक तय operation का दर्ज किया हुआ नतीजा है, और इस board का हर दूसरा number भी ठीक यही है। एक जाँच और, क्योंकि बाहर से देखने पर हमेशा 0 लौटाने वाली परिभाषा भी ऐसी ही दिखती। वही operation 2 अलग-अलग मात्राओं पर पूछो, तो वह कभी वह value नहीं लौटाता।

यानी वह शून्य operation में से निकलता है। फिर आते हैं नियम, और वे कुल 3 हैं। शून्य जोड़ने से number जैसा था वैसा ही रहता है। शून्य घटाने से भी वैसा ही रहता है। और तीसरा नियम यह है कि किसी भी number को शून्य से गुणा करो तो शून्य मिलता है। इन 3 में यही अकेला है जो number को वैसा नहीं छोड़ता। इनमें से हर एक को 121 numbers पर चलाया गया, ऋण 60 से लेकर 60 तक।

और उस पूरे दायरे में इनमें से किसी का भी कोई अपवाद कहीं नहीं मिलता। हर नियम का एक-एक उदाहरण ले लो, ताकि ये सिर्फ़ पंक्तियाँ न रह जाएँ। जैसे 19 में 0 जोड़ो तो 19 ही रहता है। और 19 में से 0 घटाओ तो भी 19 रहता है। और 19 को 0 से गुणा करो तो 0 मिलता है। शुरू का 19 जवाब में कहीं बचा ही नहीं, जबकि ऊपर के दोनों उदाहरणों में वह साफ़ बचा हुआ था।

अब देखो कि वहाँ क्या नहीं है। नियम 3 हैं, और उनमें से एक भी भाग के बारे में नहीं है। यही अनुपस्थिति आगे चलकर असली बात निकलती है। और इससे उन 3 पंक्तियों पर एक जायज़ सवाल खड़ा होता है। ये लिखी तो ऐसे हैं जैसे कोई फ़ैसला सुनाया गया हो। क्या ये किसी के चुने हुए तरीक़े हैं, जिन्हें और तरह से भी चुना जा सकता था? पहला नियम लो, और उसे मान मत लो।

शून्य है a में से a, इसलिए b जोड़ शून्य असल में b जोड़ a घटा a है। इसे फिर से जमाओ, b जोड़ a, उसमें से a, और बचता है b। इसमें परिभाषा और जोड़ को फिर से जमाने के अलावा कुछ नहीं लगा। यह नियम परिभाषा का नतीजा है, उसके बग़ल में जोड़ी गई कोई अलग शर्त नहीं। उस श्रृंखला को rewrites की कड़ी की तरह जाँचा गया, जिसमें हर कड़ी अपनी value साथ रखती है, और यह 1600 मामलों पर चला।

जो क़दम value को न बचाए, वह मेल न खाती value बनकर सामने आता, और ऐसे 0 निकले। अब यही सवाल उलटी तरफ़ से पूछो। मान लो b जोड़ शून्य असल में b जोड़ कोई अचल राशि हो। पूरे 41 उम्मीदवार सामने रखो, ऋण 20 से 20 तक हर पूर्ण number, और हर एक को परिभाषा के सामने चलाओ। हर उम्मीदवार को 3600 जोड़ियों पर चलाया गया। उन 41 उम्मीदवारों में से ठीक 1 बचता है, और वह शून्य है।

यानी यह नियम कई चलने वाले विकल्पों में से एक नहीं है। इसमें fail होने का एक ऐसा तरीक़ा है जो पास होने जैसा दिखता है। ऐसा नियम सामने रखो जो b के 30 से नीचे रहने तक शून्य देता है और उससे ऊपर 1 देता है। छोटे numbers पर नज़र डालने वाला इसे सही ही कहेगा। जाँच इसे ख़ारिज कर देती है, और किस तरह ख़ारिज करती है, यह मायने रखता है।

यह उन जोड़ियों में से 1860 पर fail होता है, पूरी 3600 पर नहीं। जिस हिस्से पर आपने देखा, उस पर सही होना सही होना नहीं है। इन 3 नियमों में तीसरा वही लगता है जिसे लिखने की ज़रूरत ही नहीं थी। मामला इसका उल्टा है। पहले 2 कहते हैं कि operation number को छेड़ता नहीं, जो हल्की बात है, और तीसरा कहता है कि यह operation हर number को मिटा देता है।

उस operation पर लौटो जो ग़ायब है। मनाही मत दोहराओ, जवाब ढूँढो। पूछो कि शून्य को किससे गुणा करें कि कोई ऐसा लक्ष्य मिले जो शून्य नहीं है। ऐसे 50 लक्ष्यों पर यह खोज 0 उम्मीदवार लौटाती है। कोई कठिन जवाब नहीं, कोई अटपटा जवाब नहीं, और ऐसा भी नहीं कि जवाब बहुत बड़ा हो। लौटाने को जवाब है ही नहीं। अब लक्ष्य शून्य करो और वही खोज चलाओ। हर उम्मीदवार चल जाता है, पूरे 401 जो आज़माए गए।

समस्या पूरी तरह पलट जाती है, क्योंकि अब कमी जवाब की नहीं, जवाब चुनने की वजह की है। तो यह 2 अलग-अलग तरीक़ों से fail होता है। एक हाल में चुनने को कुछ है ही नहीं। दूसरे हाल में चुनने के लिए कोई फ़र्क़ ही नहीं है। और ये दोनों सीधे उसी नियम से निकलते हैं कि शून्य से गुणा करने पर शून्य मिलता है। इसीलिए उस सूची में चौथी पंक्ति नहीं है, और इसीलिए शून्य से भाग का हिसाब यहाँ नहीं, बाद में चुकता होता है।

तो उस सवाल पर लौटो। पन्ने पर वह बिंदु सचमुच था, और उसने इस बारे में कुछ नहीं बदला कि कौन क्या हिसाब कर सकता है। बदलाव उस परिभाषा से आया जिसके नियम उसी में से निकलते हैं, बग़ल में रखे नहीं जाते। निशान लिखावट है। एक number लिखावट है और उसके साथ नतीजे भी, और शून्य उस दिन number बना जिस दिन उसे नतीजे मिले। जिस operation को ये नियम नहीं छूते, वह अब भी खुला है।

वह वहाँ चुकता होता है जहाँ भिन्न आती हैं, इस शर्त की शक्ल में कि भिन्न का निचला हिस्सा कभी शून्य न हो। और अब वह शर्त मनमानी नहीं लगेगी, क्योंकि उसकी वजह यहीं रखी जा चुकी है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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