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Chapter 3 · The World of Numbers

ऋण और धन: negative numbers subtraction को closed कर देते हैं

Zero, and the integers it made possible12 मिनट

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counting numbers के अंदर subtraction 1600 में से 820 बार मना कर देता है, और 0 को अंदर लेने के बाद भी वह गिनती 820 ही रहती है। इसलिए 0 के आगे जाना कोई ईजाद नहीं, इकलौता बचा हुआ रास्ता है।

मुख्य idea

Negative numbers इसलिए नहीं लाए गए कि वे अजीब लगें; वे इसलिए लाए गए क्योंकि subtraction एक टूटा हुआ operation था। अगर 5 को 5 में से निकालना एक जायज़ सवाल है जिसका answer zero है, तो 5 को 3 में से निकालना भी उतना ही जायज़ सवाल है, और उसका जवाब देने का इकलौता रास्ता है zero के आगे चलते जाना। Brahmagupta का योगदान यह था कि उन्होंने इस आगे बढ़ने को वह मतलब दिया जिसे कोई व्यापारी पहले से पहचानता था: ऋण एक ऐसी quantity है जिसका उल्टा आपके पास है। इसलिए यह extension सबसे छोटा वही है जो subtraction को ठीक करता है, और ऋण वाली reading दिखाती है कि यह मनमाना नहीं है — यह उन हालतों को नाम देता है जो गणित में आने से पहले बही-खातों में मौजूद थीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताइए कि natural numbers, और whole numbers तक, हर subtraction के सवाल का answer क्यों नहीं दे पाते
  • बताइए कि integers क्या हैं, और chapter उन्हें बनाने के लिए कौन-सी तीन चीज़ें मिलाता है
  • integers का symbol दीजिए और यह भी बताइए कि वह अक्षर कहाँ से आया है
  • Brahmagupta की दो नाम वाली हालतों को positive और negative numbers से मिलाइए
  • positive और negative integers और zero को number line पर रखिए, जहाँ zero सिरा नहीं बल्कि सरहद है
  • एक ही sign वाले integers को जोड़ने के, और दोनों तरह के numbers में से zero घटाने के, छपे हुए rules लगाइए
  • वित्तीय घटनाओं की एक तरतीब को एक ही integer expression में बदलिए और उसकी value निकालिए
  • एक ऋण की मदद से बताइए कि कोई negative रक़म हटाने का असर वही क्यों है जो कोई positive रक़म जोड़ने का है
  • तापमान के बदलाव वाला signed-quantity शब्द-सवाल हल कीजिए

जानने लायक़ शब्द

Termएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ छपा
Integerswhole numbers, zero और whole numbers के negatives, तीनों मिलाकरपूर्णांक§3.3, p. 45 पर bold में छपा, symbol ℤ के साथ
Negative Numbersवे numbers जो positives से zero के दूसरी तरफ़ मिलते हैंऋणात्मक संख्याएँ§3.3, p. 45 पर bold में छपा
Fortunes (Dhana)positive quantities के लिए Brahmagupta का नाम, जो धन-दौलत या assets के लिए हैधन§3.3, p. 45 पर bold में छपा, संस्कृत शब्द italics में
Debts (Ṛiṇa)negative quantities के लिए Brahmagupta का नाम, जो देनदारी के लिए हैऋण§3.3, p. 45 पर bold में छपा, संस्कृत शब्द italics में
Zahlennumbers के लिए German शब्द, integers के symbol का स्रोत— (German, given in the book)§3.3, p. 45 पर italics में छपा
set of integerspositives, negatives और zero को मिलाकर बना संग्रहपूर्णांकों का समुच्चय§3.3, p. 45 पर छपा
closed under subtractionवह गुण कि set के किन्हीं दो members को घटाने पर जवाब उसी set के अंदर उतरता हैव्यवकलन के अंतर्गत संवृतExercise Set 3.1, p. 43 पर छपा
number lineवह line जिस पर हर number की एक जगह है, positives zero के दाईं तरफ़ और negatives बाईंसंख्या रेखा§3.3 और §3.4.1 में जगह-जगह छपा, यहाँ पहली बार p. 45 पर
śhūnyazero, जिसे chapter की figure में दोनों हालतों की सरहद पर निशान लगाया गया हैशून्यFig. 3.2, p. 45 पर italics में छपा, और §3.2 में
repair of an operationयहाँ जोड़ा गया जुमला, किसी number system को इस तरह बढ़ाने के लिए कि operation हमेशा कोई answer लौटाए—यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter यह extension करता तो है, पर उसे कोई नाम नहीं देता

हिन्दी column में मानक हिन्दी गणितीय शब्दावली दी गई है, और उन दो संस्कृत शब्दों के देवनागरी रूप जिन्हें chapter ख़ुद रोमन में लिखता है। मैंने Ganita Manjari का कोई हिन्दी संस्करण नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Negative numbers कुछ नहीं से भी कम numbers हैं, जो नामुमकिन है।" वे किसी चुने हुए origin के दूसरी तरफ़ के numbers हैं। −11 °C का तापमान और ₹100 का ऋण, दोनों बिल्कुल तय चीज़ें हैं; minus एक दिशा दर्ज करता है, कोई नामुमकिनी नहीं।
  • "−5, −4 से छोटा है क्योंकि 5, 4 से बड़ा है।" line पर की जगह यह तय कर देती है: −5 और बाईं तरफ़ बैठा है, इसलिए वही छोटा है। Fig. 3.2 इसका सबूत है।
  • "natural numbers में बस कुछ answers छूट गए थे जो हमें बाद में मिल गए।" naturals के अंदर 3 − 5 का कोई answer है ही नहीं। वह answer न मौजूद था, न खोजे जाने का इंतज़ार कर रहा था; set को बढ़ाया गया ताकि वह हो सके।
  • "दो negatives जोड़ने पर किसी तरह आपको zero की तरफ़ आना चाहिए।" Rule 2 कहता है कि ऐसा नहीं होता, और ऋण वाली समझ बताती है क्यों: और उधार लेने से आपकी देनदारी कम नहीं होती।
  • "negatives की शुरुआत zero से होती है।" chapter की तरतीब में zero न ऋण है न धन; Fig. 3.2 उसे उस बिंदु की तरह निशान लगाती है जहाँ से दोनों arrows चलते हैं। zero को पहला negative मानना उसी संतुलन को तोड़ देता है जिसे दिखाने के लिए figure खींची गई है।
  • "व्यापारी की तीन में से दो घटनाएँ नुक़सान की हैं, इसलिए वह गहरे क़र्ज़ में ही ख़त्म होगा।" वह सिर्फ़ ₹100 नीचे रहता है। Signed arithmetic बहुमत का वोट नहीं मानता, और यह exercise इसी को पकड़ने के लिए बना है।
  • "किसी negative को घटाना एक rule है जिसे याद कर लेना होता है।" यह एक ज़िम्मेदारी का हटना है। जिन students के पास ऋण वाली तस्वीर है, वे sign कभी ग़लत याद नहीं करते।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 3.2 Q1, Exercise Set 3.2 Q2, Exercise Set 3.2 Q4

पूरा transcript1,857 शब्द

5 में से 5 निकालो, तो answer मिलता है, 0। अब 3 में से 5 निकालो। सवाल बिल्कुल उसी तरह लिखा है, लेकिन answer का खाना खाली रह जाता है। 5 में से 3 निकालना ठीक चलता है और 2 देता है। यानी subtraction हर जगह टूटा हुआ नहीं है। वह ठीक उन्हीं pairs पर टूटता है जहाँ दूसरा number छोटा नहीं है। एक नाकाम सवाल तो बस एक किस्सा है।

इसलिए 1 से 40 तक के counting numbers लीजिए, और उनमें से एक को दूसरे में से घटाकर हर मुमकिन subtraction करके देखिए। कुल 1600 subtractions बनते हैं। उनमें से 820 का कोई answer नहीं निकलता। यह आधे से भी ज़्यादा है, यानी यह किनारे का कोई अजीब case नहीं है। पिछले topic में 0 को अपने आप में एक पूरा number मान लिया गया था। तो वही काम फिर से कीजिए, इस बार 0 को भी अंदर आने देकर।

क्या इतने भर से subtraction ठीक हो जाता है? अब 1681 subtractions बनते हैं। और जिनका answer नहीं निकलता, उनकी गिनती फिर भी 820 ही रहती है। पहले जितनी थी, ठीक उतनी ही। अंदर से चीज़ें ज़रूर हिलीं। 0 अपने साथ 81 नए pairs लेकर आया, और उसने 40 पुराने refusals ठीक भी किए। उन 40 में से हर एक वही case था जहाँ किसी quantity में से वही quantity निकाली जा रही थी।

लेकिन उसके अपने नए pairs ने 40 ताज़ा refusals भी जोड़ दिए, इसलिए कुल गिनती वहीं की वहीं रह गई। सच्चा फ़ैसला यही है, कि 0 एक असली repair था, और अधूरा repair था। तो अब बचा क्या। 3 में से 5 निकालने का मतलब है, 3 से 5 कदम नीचे उतरना, और उनमें से 3 कदम आपको 0 तक ले आते हैं। चौथे कदम को कहीं न कहीं उतरना ही है।

0 के आगे निकलने के सिवा कोई जगह बची नहीं है, इसलिए यह आगे बढ़ना किसी की पसंद या रुचि का मामला नहीं है। 0 के आगे निकल जाना सुनने में एक ईजाद जैसा लगता है। और अगर यह ईजाद है, तो किसी ने इसे चुना होगा, और कोई इसके बदले कुछ और भी चुन सकता था। तो क्या यह सचमुच चुना गया था? इसलिए जान-बूझकर कुछ मत बनाइए। board पर सिर्फ़ 1, 2 और 3 रखिए, और कोई difference तभी जोड़िए जब उसके दोनों हिस्से पहले से मौजूद हों।

पूरे काम को minus 25 से 25 की एक window के अंदर रखिए, ताकि बनना कहीं जाकर रुके। 2 में से 3 निकालिए, तो minus 1 आना ही पड़ता है। फिर minus 1 और 2 मिलकर minus 3 को खींच लाते हैं। जब तक कुछ नया आना बंद न हो, इसे चलने दीजिए, और जो वापस आता है वह उस window के पूरे 51 numbers हैं, इससे एक भी ज़्यादा नहीं।

ऐसा builder जो हमेशा सब कुछ लौटा देता हो, वह किसी बात का सबूत नहीं होता। इसलिए इसे 2 और 4 से शुरू कीजिए, और नियम बिल्कुल वही रखिए। इस बार जो वापस आता है वह सिर्फ़ उस window के even numbers हैं। यह उसका एक अधूरा हिस्सा है। यानी पहला जवाब 1, 2, 3 वाले seed के बारे में एक खोज थी, builder की कोई आदत नहीं। अब इसे छोटा करके देखिए।

वही 51 वापस लीजिए, उनमें से एक member उठा लीजिए, और पूछिए कि जो बचा है वह अब भी subtraction के अंदर बंद है या नहीं। 7 को उठा लीजिए, तो 9 में से 2 निकालने पर answer के उतरने की जगह ही नहीं बचती। 51 में से हर एक को इसी तरह आज़माया गया, और जिन्हें हटाया जा सकता था उनकी गिनती 0 है। यानी यह वही सबसे छोटा set है जो subtraction को ठीक करता है, और इसे किसी ने चुना नहीं।

गणित को इन दोनों तरफ़ों के नाम चाहिए थे। उसे नाम गढ़ने नहीं पड़े, क्योंकि किसी भी बही-खाते में पहले से 2 columns थे और उनके 2 नाम भी। जो पास है वह धन, और जो देना है वह ऋण। और 0 इन दोनों में से किसी column में नहीं है। न वह सबसे पहली उधारी है, न सबसे छोटी जमा। वह तो वही लकीर है जहाँ से दोनों columns शुरू होते हैं।

window के हर धन को लीजिए और उसका उल्टा बना दीजिए। जो मिलता है वह ठीक-ठीक ऋण वाले numbers हैं, किसी तरफ़ कुछ बचता नहीं। यानी दोनों तरफ़ बराबर हैं, और हर तरफ़ दूसरी तरफ़ को 0 पर मोड़कर बनी है। देखने में ऐसा लगता है कि minus 5 बड़ा है और minus 4 छोटा, क्योंकि 5 खुद 4 से बड़ा है। लेकिन line पर यह सवाल खुला ही नहीं है।

minus 5 और बाईं तरफ़ बैठा है, इसलिए वही छोटा है। मिले-जुले कुछ numbers line पर गिराइए और बाएँ से दाएँ पढ़ लीजिए। छोटे से बड़े की तरफ़ वे इस तरह आते हैं, minus 5, minus 4, minus 1, 0, 3, 7। अब सिर्फ़ size देखकर, sign भूलकर लगाइए, तो जवाब बदल जाता है। तो यह नया set 3 चीज़ों से बना है, positives, उनके उल्टे, और 0। तीनों मिलकर integers कहलाते हैं, यानी पूर्णांक, और इनका symbol एक Z है, जो German शब्द Zahlen से आया है, जिसका मतलब सिर्फ़ numbers होता है।

एक धन में दूसरा धन जोड़िए, तो आपके पास धन ही रहता है। 5 और 4 मिलकर 9 बनते हैं। एक example कोई rule नहीं होता। इसलिए window के धन का हर pair लीजिए, यानी पूरे 1600। जिनका जोड़ धन नहीं निकला, उनकी गिनती 0 है। एक ऋण में दूसरा ऋण जोड़िए, तो आपके ऊपर ऋण ही रहता है। minus 5 और minus 4 मिलकर minus 9 बनते हैं। 5 का उधार लीजिए, फिर 4 का और उधार लीजिए, तो आप पर 9 चढ़ जाता है।

वही scan अब ऋण के हर pair पर। 1600 pairs जाँचे गए। जिनका जोड़ ऋण नहीं निकला, उनकी गिनती 0 है। अब तक के 2 scans 0 लेकर लौटे हैं। जो detector कभी बजा ही नहीं, उसके बारे में यह साबित नहीं हुआ कि वह detector है। इसलिए उसी को ऐसा pool दीजिए जिसमें दोनों signs हों, जहाँ उसे कुछ न कुछ मिलना ही चाहिए। वह 49 pairs जाँचता है और उनमें से 28 पकड़ता है।

अब उन 28 को scanner के बिना, दूसरे तरीक़े से गिनिए, तो वही 28 वापस आते हैं। यानी ऊपर के दोनों 0 सचमुच नाप थे। यहाँ एक ऐसा ख़याल है जिसे गंभीरता से लेना चाहिए। एक minus को दूसरे minus के साथ कट जाना चाहिए। तो क्या 2 ऋण मिलकर आपको 0 की तरफ़ वापस ले आते हैं? ऋण के पूरे 1600 pairs लीजिए और पूछिए कि उनमें से कितने अपने बड़े हिस्से से 0 के ज़्यादा क़रीब ख़त्म होते हैं।

इनकी गिनती 0 निकलती है। एक भी ऐसा pair नहीं मिलता। अब वही जाँच 1600 मिले-जुले pairs पर चलाइए, यानी एक ऋण और एक धन। वह उनमें से हर एक को रख लेती है। तो यह ख़याल गढ़ा हुआ नहीं है। यह सच है, बस इसे ग़लत case के नीचे रख दिया गया था। इसे बताने के बजाय चलकर देखिए। 0 से शुरू कीजिए, 5 का कदम बाईं तरफ़ रखिए, minus 5 पर उतरिए।

फिर 4 का एक कदम और बाईं तरफ़, और आप minus 9 पर हैं। चलना एक तस्वीर है और जोड़ लिखी हुई notation, और असूल के तौर पर ये दोनों अलग हो सकते थे। window के पूरे 6561 pairs पर, इनके अलग होने की गिनती 0 है। तीसरा rule सबसे ख़ामोश है। कुछ मत निकालिए, तो कुछ हिलता भी नहीं, यानी 7 में से कुछ नहीं निकालने पर 7 बचता है, और minus 6 में से कुछ नहीं निकालने पर minus 6।

यह rule दोनों तरह के numbers के लिए कहा गया है, क्योंकि यह एक के लिए सही और दूसरे के लिए ग़लत भी हो सकता था। 0 की दोनों तरफ़ के 81 numbers जाँचे गए, और जो हिला उनकी गिनती 0 है। किसी ऊँचे ठंडे रेगिस्तान में दोपहर का reading 4 degrees है, और आधी रात तक वह 15 गिर जाता है। उसके साथ नीचे उतरिए। रास्ते में कुल 16 readings आते हैं, जिनमें 0 भी शामिल है, और वह minus 11 पर जाकर रुकता है।

वह धन में शुरू होता है और ऋण में ख़त्म। और यह बात इसी गिरावट के बारे में है, हर गिरावट के बारे में नहीं। उसी reading को सिर्फ़ 3 गिराइए, तो वह 0 तक पहुँचता ही नहीं। एक व्यापारी का हफ़्ता, तरतीब से। उसने 850 उधार लिए, अगले दिन 1200 कमाए, और उससे अगले हफ़्ते 450 गँवा दिए। 3 घटनाएँ, 3 signs, और उन्हें सँभालने के लिए एक ही line।

लिखकर यह ऐसे बनता है, minus 850, जोड़ 1200, जोड़ minus 450। बाएँ से दाएँ चलाइए तो यह minus 100 पर आता है। और उन्हीं 3 घटनाओं की हर तरतीब यही total देती है, यानी जवाब उस हफ़्ते का है, उस क्रम का नहीं जिसमें आपने उसे लिख डाला। 3 में से 2 घटनाएँ नुक़सान की थीं, और फिर भी सबसे बड़ा अकेला आँकड़ा मुनाफ़े का था। तो क्या 3 में से 2 में हार जाना उस हफ़्ते का sign तय कर देता है?

मान लेने के बजाय ढूँढिए। minus 60 से 60 तक के numbers में ठीक 2 नुक़सान वाले 658800 triples बनते हैं। उनमें से कुछ फ़ायदे में ख़त्म होते हैं, और खोज को सबसे पहले जो मिलता है वह है minus 58, minus 1, और 60। यानी किसी total का sign उन signs की गिनती से तय नहीं होता जो उसमें गए थे। यह हफ़्ता minus 100 पर इसलिए आया क्योंकि हिसाब यही कहता है, किसी और वजह से नहीं।

यहाँ 3 entries वाला एक बही-खाता है, 20, minus 5, और minus 5। यह जुड़कर 10 बनता है। अब उनमें से एक ऋण रद्द कीजिए। sign पलटना नहीं, बल्कि उस entry पर लकीर खींचिए और उसे पन्ने से उठा लीजिए। बही-खाता एक entry छोटा हो जाता है। उसमें 20 और minus 5 बचते हैं, और वह जुड़कर 15 बनता है। 10 इसलिए 15 हुआ क्योंकि एक ज़िम्मेदारी पन्ने से चली गई।

और 10 में से minus 5 निकालना शुरू से यही माँग रहा था। window के पूरे 6561 pairs पर, किसी ऋण को निकालना और उसके बराबर का धन जोड़ना, इनके अलग होने की गिनती 0 है। कुछ भी नहीं में से 14 का ऋण निकालिए, तो 14 बचता है। और यह शक्ल पूरे रास्ते बनी रहती है। ऋण हटाइए तो net ऊपर जाता है, धन हटाइए तो नीचे आता है, और पूरी window में ऐसी entries की गिनती ठीक 1 है जिनके जाने से कुछ नहीं बदलता।

पहले आधे हिस्से को 2 गिनतियों ने सँभाला। वे 820 refusals, जिन्हें 0 को अंदर लेने के बाद भी वहीं का वहीं रहना पड़ा। और सिर्फ़ 3 numbers के seed से खिंचकर आए 51 members, जिनमें से हटाए जा सकने वालों की गिनती 0 थी। और बाक़ी हिस्से को एक गिनती ने। ऋण के 1600 pairs में ऐसे pairs की गिनती 0 थी जो अपने बड़े हिस्से से 0 के ज़्यादा क़रीब ख़त्म हुए हों।

जबकि 1600 मिले-जुले pairs में हर एक ने यही किया। तो यहाँ कुछ भी चुना नहीं गया। यह वही सबसे छोटा set था जिसे subtraction क़बूल करता, और उसे एक-एक member करके जाँचा गया। और उसकी दोनों तरफ़ों के नाम गणित में आने से बहुत पहले किसी बही-खाते में बैठे हुए थे।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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