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Chapter 4 · Exploring Algebraic Identities

tiles हट जाने के बाद middle term को बाँटना

Factorising quadratics16 मिनट

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16 min.

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tiles वाली तस्वीर हटा दी जाती है और सवाल यह है कि क्या वे 2 शर्तें भी उसके साथ चली जाती हैं। नहीं जातीं, क्योंकि वे कभी तस्वीर की बात थीं ही नहीं। x squared plus 7 x plus 12 को x squared plus, a plus b, गुना x, plus a b के नीचे रखो और माँग यह रखो कि ये 2 एक ही expression हों — x वाला coefficient मिलाओ, constant मिलाओ, और मिलाने को तीसरी कोई चीज़ बची ही नहीं।

मुख्य idea

tiles हटा दीजिए और दोनों शर्तें बची रहती हैं, क्योंकि वे कभी tiles के बारे में थीं ही नहीं। expression को x² + (a + b)x + ab के बग़ल में रखिए और माँगिए कि दोनों एक ही expression हों: x-coefficient का मिलान a + b देता है, constant का मिलान ab देता है, और मिलाने को और कुछ है ही नहीं। इससे factorising एक सीमित खोज बन जाती है — constant के factor pairs की list बनाइए, उनके जोड़ जाँचिए — और यही method को उस एक चीज़ से आज़ाद भी कर देता है जो tiles नहीं कर सकती थीं, यानी ऋणात्मक संख्याएँ सँभालना। Example 12 वही पल है जहाँ तस्वीर पीछे छूट जाती है: a और b दोनों ऋणात्मक निकलते हैं, और भौतिक tiles की कोई तरतीब इसे दिखा ही नहीं सकती थी।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो quadratic expressions के coefficients की तुलना कीजिए और a तथा b पर लगने वाली जोड़ और गुणनफल वाली शर्तें निकालिए
  • constant term के factor pairs की list बनाइए और वह जोड़ा चुनिए जिसका जोड़ x-coefficient से मेल खाता है
  • समझाइए कि जिस जोड़े का गुणनफल सही पर जोड़ ग़लत है उसे ख़ारिज क्यों करना ही पड़ता है
  • ऐसे quadratic को factorise कीजिए जिसका x-coefficient ऋणात्मक और constant धनात्मक हो, और बताइए कि split के दोनों हिस्से ऋणात्मक क्यों हैं
  • कोई अंकगणित करने से पहले ही, constant और x-coefficient के चिह्नों से दोनों हिस्सों के चिह्न बता दीजिए
  • अधूरी दी हुई identity पूरी कीजिए, उसे भी जिसका leading coefficient 1 नहीं है
  • middle term बाँटिए और उससे बने चारों terms को grouping करके factorise कीजिए
  • दो numbers का गुणनफल सीधे गुणा किए बिना, किसी identity से निकालिए
  • शब्दों में दी हुई क्षेत्रफल की समस्या को quadratic equation में बदलिए, उसे factorise कीजिए, और स्वीकार्य हल चुनिए
  • किसी हल को हटाने को इस आधार पर सही ठहराइए कि अक्षर किस चीज़ के लिए खड़ा है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
coefficientचर की किसी घात का संख्यात्मक गुणकगुणांकइसी chapter में छपा है (§4.6, p. 81)
constant termexpression का वह पद जिसमें कोई चर नहीं होताअचर पदइसी chapter में छपा है (§4.6, p. 81)
quadratic expressionवह expression जिसमें चर की सबसे बड़ी घात दो होद्विघात व्यंजकइसी chapter में छपा है (Chapter summary, p. 90)
factorवह expression जो किसी दूसरे को पूरा-पूरा विभाजित कर देता हैगुणनखंडइसी chapter में छपा है (§4.3, p. 72)
splittingx term को ऐसे दो हिस्सों में बाँटना जिनका जोड़ वही होविभाजनइसी chapter में छपा है (§4.5, p. 79; §4.6, p. 80)
factorisationकिसी expression को गुणनफल की तरह दोबारा लिखनागुणनखंडनइसी chapter में छपा है (§4.3 का heading, p. 72)
breadthछोटी विमा, Example 18 में लंबाई से चार मीटर कमचौड़ाईइसी chapter में छपा है (§4.8, p. 88)
reciprocalवह number जिससे गुणा करने पर 1 मिलता हैव्युत्क्रमइसी chapter में छपा है (End-of-Chapter Q8, p. 90)
hastaलंबाई की एक ऐतिहासिक भारतीय इकाई, End-of-Chapter Q9 में इस्तेमाल हुईहस्तइसी chapter में छपा है (End-of-Chapter Q9, p. 90)
factor pairवे दो numbers जिनका गुणनफल constant term होता हैगुणनखंड युग्मयहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter कहता है कि 30 के factors देखिए और जोड़ा बनाने को कोई नाम नहीं देता
groupingsplit के बाद चारों terms को जोड़ों में रखना ताकि एक common bracket उभर आएपदों का समूहनइस chapter में यह यहाँ जोड़ा गया शब्द है, जो Example 18 में यह काम बिना नाम लिए कर देता है; यह शब्द इस किताब में और जगह छपा है
admissible solutionवह root जो अक्षर के अनुमत अर्थ में बचा रह जाता हैस्वीकार्य हलयहाँ जोड़ी गई भाषा, इस chapter में छपी हुई नहीं

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा, इसलिए इसे उस संस्करण की हूबहू शब्दावली नहीं, बल्कि आम मानक शब्दावली मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "a + b = 7 और ab = 12 याद कर लेने वाले दो नियम हैं।" वे एक ही मिलान हैं, दो बार किया हुआ: एक बार x-coefficient पर, एक बार constant पर। दोनों expressions को एक के ऊपर एक रखकर दिखाइए और मिलान को दो तीरों की तरह खींचिए।
  • "constant का कोई भी factor pair चल जाएगा।" chapter ख़ुद 2 और 15 देता है, फिर 3 और 10, और दोनों को ख़ारिज कर देता है। गुणनफल वाली शर्त मैदान छोटा करती है; जोड़ वाली शर्त जीतने वाला चुनती है।
  • "दो अलग-अलग factorisations हैं, a = 3, b = 4 और a = 4, b = 3।" वही गुणनफल, brackets उल्टे क्रम में लिखे हुए। यह बात एक बार कह दीजिए।
  • "middle term ऋणात्मक है, तो इसका मतलब एक हिस्सा ऋणात्मक है।" तब नहीं, जब constant धनात्मक हो: तब दोनों ऋणात्मक होते हैं। चिह्न के तीन patterns हैं, और वे पहले constant से और फिर middle term से तय होते हैं — धनात्मक constant के साथ ऋणात्मक middle दो ऋणात्मक देता है, ऋणात्मक constant एक-एक देता है।
  • "जो tiles नहीं दिखा सकतीं, वहाँ method टूट जाता है।" Example 12 ठीक वही मामला है जिसे छपा हुआ tile model बिछा ही नहीं सकता, और algebra उसे बिना कुछ कहे निपटा देती है। तस्वीर को पीछे छोड़ने की दलील यही है।
  • "सामने 6x² हो तो 2 के factor pairs देखिए।" 6 × 2 = 12 के factor pairs देखिए। chapter का अपना Q1 (iii) और (iv) यही माँगता है और chapter यह कहता कभी नहीं।
  • "x² − 4x − 96 = 0 के दो जवाब हैं, तो pool के भी दो नाप हैं।" equation के दो roots हैं; pool की एक ही लंबाई है, क्योंकि लंबाई −8 नहीं हो सकती। बीजगणित वाले क़दम और भौतिक क़दम को दिखने लायक़ अलग रखिए।
  • "किसी root को हटाना equation हल करने का ही एक हिस्सा है।" नहीं है — End-of-Chapter Q8 दोनों रखता है। हटाने की इजाज़त अक्षर के अर्थ से मिलती है।
  • "18 × 29 भी वर्गों का अंतर होना ही चाहिए, क्योंकि 23 × 17 था।" 18 और 29 के बीच कोई पूर्ण संख्या नहीं पड़ती। बड़ी identity दोनों को समेट लेती है, और वर्गों का अंतर उसका ख़ास मामला है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 4.4 Q1, End-of-Chapter Exercises Q8, End-of-Chapter Exercises Q9

पूरा transcript2,359 शब्द

देखो, पिछली बार यह rectangle tiles से बना था। strips बीच वाला term बनाती थीं और units constant। और वही 2 numbers दोनों काम करते थे, क्योंकि वे कोने की 2 sides थीं। अब board पर से वह तस्वीर हटाओ। पहली नज़र में लगता है कि वे 2 शर्तें सिर्फ़ तस्वीर की बात थीं, तो अब कुछ नहीं बचना चाहिए। तो क्या tiles के साथ वे शर्तें भी चली जाती हैं?

पर वे तस्वीर की बात कभी थीं ही नहीं। वे 2 expressions की एक ही तुलना थीं। और तुलना करने के लिए किसी drawing की ज़रूरत नहीं पड़ती। board पर x squared plus 7 x plus 12 लिखा है। ठीक उसके नीचे आम शक्ल लिखो, x squared plus, a plus b, गुना x, plus a b। दोनों को ऐसे रखो कि हर power दूसरे की उसी power के नीचे आए।

अब माँग सिर्फ़ इतनी है कि ये 2 एक ही expression हों। मिलती-जुलती नहीं, बिल्कुल एक ही। और 2 expressions एक ही तब होती हैं जब उनके सारे coefficients मिलें। x वाले coefficient को मिलाओ। ऊपर 7 है और नीचे a plus b, तो a plus b बराबर 7 हुआ। अब constant मिलाओ, ऊपर 12 और नीचे a b, तो a b बराबर 12। तीसरा arrow कहाँ खींचोगे। x squared वाले coefficient दोनों तरफ़ 1 हैं, तो वहाँ कहने को कुछ नहीं।

इसलिए मिलाने का काम यहीं ख़त्म हो जाता है। जोड़ 7 और गुणनफल 12 चाहिए। search करने पर सिर्फ़ 1 जोड़ा बचता है, 3 और 4। 3 और 4 को उल्टा लिखो तो वही expression बनता है, इसलिए यह 1 ही जवाब है। बहुत से students को लगता है कि ये 2 अलग rules हैं जो रटने पड़ते हैं। ऐसा नहीं है, ये 2 शर्तें उस मिलान से बची हुई चीज़ें हैं, शुरुआत नहीं।

board पर पहले तुलना होती है, इसलिए शर्तें उसके बाद निकलती हैं। यह बात जाँची भी गई है, और यहाँ उसकी गिनती है। 83521 जोड़ियों पर 2 सवाल अलग-अलग पूछे गए। पहला यह कि क्या ये 2 expressions सचमुच एक हैं, और दूसरा यह कि क्या इनके जोड़ और गुणनफल दोनों मिलते हैं। 83521 में से 561 सचमुच एक ही expression निकलीं। और ठीक वही 561 दोनों coefficients पर मिलीं।

दोनों फ़ैसले 0 बार अलग हुए। search को सिर्फ़ multiply किया हुआ expression दिया गया। 400 में से 400 बार उसने ठीक वही जोड़ा वापस निकाला जो brackets बनाने में लगा था। फिर उसी term को 1 से हिला दिया गया, और तब 400 में से 0 बार। अब x squared plus 11 x plus 30 लो। वही तुलना करो तो जोड़ 11 चाहिए और गुणनफल 30। सवाल यह है कि ऐसे जोड़े ढूँढना कहाँ से शुरू करें।

गुणनफल से शुरू करो, क्योंकि वही सीमित है। 30 को 1 से बाँटो, 2 से, 3 से, 4 से, 5 से, और देखो कि 4 पर कुछ नहीं मिलता। इस तरह 30 के divisors निकलते हैं, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30। किसी भी number के divisors गिनती में सीमित होते हैं, 30 के 8 हैं और 96 के 12। 36 के 9 हैं, क्योंकि 6 अपना ही partner है।

और किसी prime के सिर्फ़ 2 होते हैं। अब इन्हें जोड़ों में बाँधो। 30 के positive factor pairs 4 हैं। उनके जोड़ 31, 17, 13 और 11 हैं। 2 minus numbers का गुणनफल भी plus होता है, इसलिए वे भी गिने जाते हैं। उन्हें मिलाकर search में 8 entries हैं। और उन 8 में से सिर्फ़ 1 का जोड़ 11 है। एक पल रुको, पहली नज़र में गुणनफल ही असली शर्त लगती है।

गुणनफल तो चारों जोड़ों का 30 ही है। तो क्या इनमें से कोई भी जोड़ा चल जाएगा? 2 और 15 लो। यहाँ गुणनफल 30 है, यह शर्त पूरी हुई। पर जोड़ 17 निकलता है, और चाहिए था 11। 3 और 10 पर भी यही होता है। गुणनफल फिर 30 है और जोड़ 13। यानी 2 उम्मीदवार गुणनफल पर सही हैं और जोड़ पर ग़लत। इनमें arithmetic की कोई ग़लती नहीं है।

ये पूछे गए सवाल के ग़लत जवाब हैं। multiply करो तो 2 और 15 से x squared plus 17 x plus 30 बनता है, और 3 और 10 से x squared plus 13 x plus 30। अब नीचे वाली row देखो, 5 और 6 दोनों शर्तें पूरी करता है। गुणनफल 30 और जोड़ 11। multiply करने पर वही expression लौटता है जिससे चले थे। अब उल्टा करके देखो। मान लो पहले सिर्फ़ जोड़ की शर्त लगाई जाए।

यानी ऐसे जोड़े जिनका जोड़ 11 है। जिस range में हम देख रहे हैं, उसमें ऐसे 61 जोड़े हैं। उनमें से सिर्फ़ 2 का गुणनफल 30 निकलता है। और वे 2 एक ही जोड़े के 2 रुख़ हैं, 5 और 6। तो हर शर्त choices कम करती है। गुणनफल वाली शर्त list को 8 पर ले आती है और जोड़ वाली शर्त उन 8 में से 1 चुनती है। अकेले कोई शर्त फ़ैसला नहीं करती।

अब x squared minus 5 x plus 6 लो। बीच वाले term पर minus है और constant पर plus। यही वह हालत है जो तस्वीर कभी नहीं दिखा सकती थी। बहुत से students को लगता है कि बीच वाला term minus है, इसलिए 1 हिस्सा minus होगा। एक बार वैसा करके देखो, 1 हिस्सा plus और 1 minus हो, तो गुणनफल minus हो जाएगा। पर हमें गुणनफल plus 6 चाहिए, इसलिए वह रास्ता वहीं बंद है।

constant plus है, इसलिए दोनों हिस्सों का sign एक ही होगा। और जोड़ minus है, इसलिए वह एक ही sign minus है। यानी constant तय करता है कि signs एक जैसे हैं, और बीच वाला term बताता है कौन सा। search भी यही देती है, सिर्फ़ 1 जोड़ा, minus 3 और minus 2। उनका गुणनफल 6 है और जोड़ minus 5। brackets multiply करो तो वही expression वापस मिलता है।

signs पहले पढ़े जा सकते हैं और arithmetic बाद में। कुल 3 हालतें बनती हैं। और उन्हें पढ़ने का क्रम तय है, पहले constant, फिर बीच वाला term। constant plus और middle term plus हो, तो दोनों हिस्से plus होते हैं, और 576 जोड़ों में से यह 144 जोड़े हैं। constant plus और बीच वाला term minus हो, तो दोनों हिस्से minus। यह भी ठीक 144 जोड़े हैं। constant minus हो, तो 2 हिस्से zero के 2 तरफ़ पड़ते हैं।

वहाँ बीच वाले term से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता, इसलिए वह row बँटती नहीं। यह 288 जोड़े हैं। तीनों बातें 576 जोड़ों पर जाँची गईं। और हर बार सिर्फ़ अपनी band के अंदर नहीं, पूरे grid पर, यानी यह भी देखा गया कि band के बाहर वह pattern बनता ही नहीं। तीनों बार दोनों बयान 576 में से 576 पर सहमत रहे। उस आख़िरी हालत में एक बात और पढ़ी जा सकती है, कि जब 2 हिस्सों का size अलग हो, middle term बड़े वाले का sign लेता है।

यह 264 में से 264 पर सही निकला। बचे 24 जोड़े बराबर size के हैं, और उन्हीं में बीच वाला term रह ही नहीं जाता। अब उस बात पर लौटो जिसके लिए tiles हटाई गई थीं। बहुत से students यहाँ भी tiles बिछाने की कोशिश करते हैं, पर किसी tile का area minus नहीं होता। इसलिए जिस बँटवारे के दोनों हिस्से minus हैं, वह बिछाया ही नहीं जा सकता। 576 जोड़ों में से 144 tiles से बिछाए जा सकते हैं।

और उन 144 में से 0 उस band में हैं जहाँ constant plus और बीच वाला term minus है। गिनती दोनों तरफ़ से की गई, इसलिए यह सिर्फ़ चेतावनी नहीं, एक नाप है। यानी जो case अभी हल हुआ, वही case tiles खींच ही नहीं सकतीं। फिर भी वह हल हो गया। तस्वीर वहाँ रुक गई और तुलना आगे चलती रही। अब 4 खाली जगहें भरो। हर एक में brackets का कोई हिस्सा ग़ायब है।

पहला है s squared minus 11 s plus 24। constant plus है और बीच वाला term minus, इसलिए दोनों हिस्से minus होंगे। 24 के factor pairs में से minus 8 और minus 3 का जोड़ minus 11 है। दूसरे में x plus 1 दिया है और जवाब 3 x squared minus 4 x minus 7। दूसरा bracket 3 x minus 7 है। दोनों को multiply करो तो वही जवाब बन जाता है।

तीसरा है 10 x squared minus 11 x minus 6। वह 2 x minus 3 गुना 5 x plus 2 है। और चौथा, 6 x squared plus 7 x plus 2, बराबर 2 x plus 1 गुना 3 x plus 2 है। इन 4 में से 3 के आगे वाला coefficient 1 नहीं है। वहाँ सिर्फ़ constant के factor pairs देखना काम नहीं करता। यह अगली बात है। बहुत से students 6 x squared plus 7 x plus 2 में 2 के factor pairs देखने लगते हैं।

देखो, factor pairs 6 गुना 2 के चाहिए, यानी 12 के। मतलब आगे वाला coefficient और constant, दोनों का गुणनफल। 12 का बँटवारा 3 और 4 है, और जोड़ 7 मिल जाता है। अब पिछले वाले पर लगाओ, जहाँ 10 x squared minus 11 x minus 6 है और यह number 10 गुना minus 6, यानी minus 60 है। उसका बँटवारा minus 15 और 4 है, और जोड़ minus 11 मिल जाता है।

वजह multiply करके देखी जा सकती है। यहाँ a x plus b गुना c x plus d में x वाले 2 products बनते हैं, a d और b c। उनका जोड़ middle term है, और उनका गुणनफल a c गुना b d है, यानी वही आगे वाला coefficient गुना constant। यह इत्तेफ़ाक़ नहीं है, और 4 numbers के 2500 सेटों पर जाँचा गया। search ने 2500 में से 2500 बार वही 2 हिस्से लौटाए जिनसे brackets बने थे।

और बीच वाले term को 1 से हिलाने पर 0 बार। बँटवारे के बाद 4 terms बचते हैं। x squared minus 12 x plus 8 x minus 96। अब इन्हें 2 जोड़ों में बाँटना है। पहले 2 में से x बाहर निकालो, तो x minus 12 बचता है। बाद के 2 में से 8 निकालो, तो फिर x minus 12। यही असली शर्त है, दोनों तरफ़ एक ही bracket। अगर वे 2 brackets अलग निकलें तो यह रास्ता है ही नहीं।

आख़िरी term को minus 95 करके दोबारा देखो। तब दूसरा bracket बदल जाता है और दोनों मिलते नहीं। जो 2 चीज़ें बाहर निकालीं, वही दूसरा bracket बन जाती हैं। तो जवाब x minus 12 गुना x plus 8 है। 361 जोड़ों पर यह करके देखा गया, और हर बार वही expression लौटा जिससे शुरू किया था। बहुत से students को लगता है कि यह सिर्फ़ algebra की एक चाल है।

पर यही identity गिनती में भी काम आती है। x की जगह कोई भी number रखा जा सकता है। 23 गुना 17 लो। दोनों 20 से 3 दूर हैं, 1 ऊपर और 1 नीचे, तो 2 हिस्से 3 और minus 3 हैं और उनका जोड़ 0 है। इसलिए बीच वाला term ग़ायब हो जाता है और जवाब 400 minus 9, यानी 391। अब 18 गुना 29 लो। 20 से दूरियाँ minus 2 और 9 हैं, और वे बराबर नहीं हैं।

फिर भी identity वैसी की वैसी चलती है, और जवाब 400 plus 20 गुना 7 minus 18, यानी 522 आता है। 34 गुना 43 पर 40 से दूरियाँ minus 6 और 3 हैं। 1600 minus 120 minus 18, यानी 1462। पहले वाले में कुछ ख़ास हुआ था। 3 और minus 3 का जोड़ 0 है, इसलिए बीच वाला term बचा ही नहीं। बाक़ी 2 में जोड़ 0 नहीं था, इसलिए वहाँ बीच वाला term रहा।

उस हालत का अपना नाम है, difference of 2 squares। यानी वह इस identity की एक ख़ास हालत है, अलग rule नहीं। 589 cases पर यही निकला, हर बार। और चौड़ी वाली identity 11191 तिकड़ियों पर जाँची गई। सीधी multiplication और identity हर बार एक ही जवाब पर आईं। उस question में 8 products थे, और उनमें से 6 किसी whole number के दोनों तरफ़ बराबर दूरी पर बैठते हैं।

2 नहीं बैठते, और वे 18 वाला और 34 वाला हैं। उन 2 के लिए चौड़ी identity ही चाहिए। आख़िरी सवाल शब्दों में आता है, जिसमें एक pool की breadth उसकी length से 4 कम है। और उसका area 96 square metres है। उसकी 2 sides निकालनी हैं। length को x कहो। तो breadth x minus 4 है। area दोनों का गुणनफल है, यानी x गुना x minus 4, और वह 96 के बराबर है।

96 को दूसरी तरफ़ ले जाओ। तब x squared minus 4 x minus 96 बचता है। अब गुणनफल minus 96 चाहिए और जोड़ minus 4। constant minus है, इसलिए 2 हिस्सों के signs अलग होंगे, और minus 96 पर search में 12 entries हैं। उनमें से minus 12 और 8 का जोड़ minus 4 है। तो brackets x minus 12 और x plus 8 हैं। roots brackets से पढ़ने के बजाय रखकर देखे गए।

expression में numbers रखो और देखो कहाँ 0 आता है। 0 सिर्फ़ 2 जगह आता है, minus 8 पर और 12 पर। equation के पास 2 roots हैं। pool की length तो 1 ही होगी। तो क्या इस pool के 2 अलग size हो सकते हैं? minus 8 वाला जवाब pool नहीं बना सकता। length minus 8 का कोई मतलब ही नहीं है। इसलिए वह root यहाँ काम का नहीं है।

बहुत से students को लगता है कि बस root plus होना चाहिए। 3 को देखो, जो plus है और फिर भी breadth 3 minus 4, यानी minus 1 बना देता है। minus 8, 3 और 12 में से सिर्फ़ 12 दोनों sides plus रखता है। तो length 12 है और breadth 8। 12 गुना 8 बराबर 96, यानी area मिल गया। पर root फेंकना method का हिस्सा नहीं है। एक number अपने reciprocal के साथ जोड़ने पर 10 बटा 3 दे, तो 3 x squared minus 10 x plus 3 बनता है।

वह 3 x minus 1 गुना x minus 3 है, और उसके roots 3 और 1 बटा 3 हैं, दोनों सही, क्योंकि हर एक दूसरे का reciprocal है। तो pool अपने 2 में से 1 root रखता है और यह सवाल 2 में से 2। फ़ैसला equation ने नहीं, बल्कि इस बात ने किया कि letter किस चीज़ के लिए खड़ा है। और शुरू से आख़िर तक कोई तस्वीर नहीं चाहिए थी, सिर्फ़ 2 expressions की तुलना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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