rationals और irrationals को मिलाकर एक अटूट रेखा बनाना

0:00यहाँ line का एक बहुत छोटा हिस्सा है। बाएँ सिरे पर 1.41 और दाएँ सिरे पर 1.42, यानी पूरी एक hundredth जितनी जगह। अंदाज़ा लगाइए, फिर गिनती देखिए। इतनी पतली जगह में कितने fractions आ सकते हैं? जिनका denominator 100 तक है, ऐसे 30 fractions इसी hundredth के अंदर बैठते हैं। हर एक इस window की दीवारों के बीच है, किसी सिरे पर नहीं। अब denominator 1000 तक जाने दीजिए।

0:32उसी hundredth में 3039 fractions मिलते हैं, और पहले वाले 30 उनमें से ही हैं। जितना बारीकी से देखिए, भीड़ उतनी ही बढ़ती जाती है। तो सवाल यह है कि क्या यह भीड़ line को पूरा भर देती है। जो बात इस भीड़ के पीछे है वह यह है कि किन्हीं भी 2 fractions के बीच एक और fraction ज़रूर मिलता है। सबसे आसान उम्मीदवार उनका midpoint है। denominator 13 से छोटा रखकर 185 fractions इकट्ठे किए गए, minus 2 और 2 के बीच।

1:06उनके 65703 जोड़े बनते हैं, और 65703 जोड़ों में midpoint ठीक बीच में गिरा। जिन जोड़ों के बीच कुछ नहीं मिला, उनकी गिनती 0 है। यह गिनती अलग से रखी गई है, क्योंकि जो कभी बोली न जाए वह जाँच नहीं होती। यह गिनती formality नहीं है। midpoint की जगह नीचे वाला सिरा दे दीजिए, तो 65703 में से 0 जोड़े टिकते हैं। यानी test में मना करने की ताक़त है।

1:39यहीं पर सबसे आम ग़लती होती है। भीड़ देखकर लगता है कि जगह पूरी भर गई होगी, पर यह वही बात नहीं है जो अभी साबित हुई। उन्हीं 65703 जोड़ों में से 55136 का midpoint ऐसा निकला जो इस collection में था ही नहीं, और 10567 का midpoint पहले से मौजूद था। तो सघनता का मतलब यह है कि list कभी पूरी नहीं होती। हर बार एक और मिल जाता है, और यह इस बात का सबूत नहीं है कि सारी जगहें भर चुकी हैं।

2:09दोनों बातों को साथ रखकर देखिए। पहली बात हर जोड़े के बारे में है, दूसरी बात line की हर जगह के बारे में। जोड़े और जगहें एक चीज़ नहीं हैं। एक बात को दूसरी में बदला नहीं जा सकता। चाहे जितने जोड़ों के बारे में सच बोल लीजिए, वह किसी एक जगह के बारे में कुछ नहीं कहता, क्योंकि जोड़ा 2 numbers से बनता है और जगह किसी number से बनी ही नहीं होती।

2:34पहली बात गिनकर तय हो चुकी है। दूसरी बात अब तक खुली पड़ी है, और उसे अपने अलग तरीक़े से जाँचना पड़ेगा। एक साफ़ तरीक़ा यह है। 1 और 2 के बीच की जगह को 10 बराबर हिस्सों में काटिए, जिस हिस्से में target है उसे रख लीजिए, और उसी को फिर 10 में काटिए। target 2 का square root रखिए। पहला हिस्सा 1.4 से 1.5 तक आता है, दूसरा 1.41 से 1.42 तक, तीसरा 1.414 से 1.415 तक।

3:09हर बार जगह पहले से 10 गुना छोटी। अब यही काम 50 steps तक चलाइए। बची हुई जगह 1 बटा 10 को 50 बार गुणा करने जितनी पतली है, और उसके दोनों सिरे अब भी target के आमने-सामने पड़े हैं। उन 50 steps में से 50 पर target हिस्से के ठीक अंदर रहा, किसी सिरे पर नहीं। जिन steps पर वह किसी सिरे पर आ गिरा, उनकी गिनती 0 है।

3:36यहाँ एक जायज़ शक उठता है। क्या तरीक़ा ही कमज़ोर है, जो किसी भी target पर कभी नहीं पहुँचता? वही code target 4 पर चलाइए। पहले 6 steps में हर बार दाहिना सिरा ठीक 2 पर बैठता है, और 2 का square ठीक 4 है, इससे कम या ज़्यादा नहीं। इसलिए वही सख़्त test 4 के लिए मना करता है। 4 हिस्से के अंदर नहीं है, वह सिरे पर ही खड़ा है, और यही तो पहुँच जाने का मतलब है।

4:04target 1 पर तो यह हिलता ही नहीं। बायाँ सिरा 1 पर ही रह जाता है और दायाँ सिरा उसकी तरफ़ सिमटता चला जाता है। यानी न पहुँचना target की बात है, तरीक़े की नहीं। अब एक बिलकुल अलग रास्ता लेते हैं। हर fraction को square कीजिए और देखिए कि किसी का square 2 आता है या नहीं। यहाँ कुछ भी काटा नहीं जा रहा। denominator 10000 तक के सारे fractions जाँचे गए।

4:33जिनका square ठीक 2 निकला, उनकी गिनती 0 है। सबसे क़रीब 8119 बटा 5741 पहुँचा। उसका square 2 से 1 बटा 32959081 जितना कम रह गया, यानी search ने सचमुच देखा और ख़ाली हाथ लौटा। यह फ़र्क़ बहुत छोटा है, पर 0 नहीं है। और यही बात हर fraction पर दोहराती है, इसीलिए क़रीब पहुँचना और पहुँच जाना 2 अलग बातें रह जाती हैं। वही search 4 के बारे में पूछिए तो 2 बटा 1 तुरंत मिल जाता है, और हर column में कुछ न कुछ खड़ा दिखता है।

5:10तो यह search जवाब देना जानती है। मतलब साफ़ है। यह तरीक़ा ढूँढ़ना जानता है, और 2 के लिए उसे कुछ मिला ही नहीं। इन 2 रास्तों की सबसे अहम बात यह है कि वे एक-दूसरे की मदद नहीं ले सकते। काटने वाला तरीक़ा कभी square root नहीं निकालता, वह सिर्फ़ square की तुलना करता है। और square वाली search कभी कोई हिस्सा नहीं काटती। वह सिर्फ़ denominators पर चलती जाती है।

5:37इसलिए जब दोनों एक ही जवाब देते हैं तो वे 2 अलग नतीजे होते हैं, एक ही बात 2 बार नहीं। फिर भी ईमानदारी ज़रूरी है। जहाँ तक देखा गया वहाँ तक कुछ नहीं मिला, यह सबूत है, कारण नहीं। कारण अलग से आना चाहिए, और वह पहले दिया जा चुका है। अब दोनों बातें एक साथ रखिए। line पर वह जगह मौजूद है, क्योंकि काटने वाला तरीक़ा उसके आस-पास हमेशा सिमटता रहता है।

6:06और कोई fraction वह जगह नहीं है। यह क्यों माना जाए कि वहाँ कोई जगह है ही। इसलिए कि हर bracket पिछले bracket के अंदर बैठता है और उसकी चौड़ाई घटते-घटते कुछ भी नहीं रह जाती। ऐसी सिमटती हुई brackets एक ही जगह पर आकर रुकती हैं, एक से ज़्यादा पर नहीं। और इसे किसी sweep के बिना भी पाया जा सकता है। 1 और 1 की 2 भुजाओं वाला right triangle बनाइए, उसकी सबसे लंबी भुजा को compass से घुमाकर line पर गिरा दीजिए, और वह जगह एक ही स्ट्रोक में मिल जाती है।

6:37ऐसी जगहों पर जो numbers बैठते हैं उन्हें irrational कहते हैं। किसी भी integer को किसी integer से भाग देकर वे नहीं बनते। rationals और irrationals को साथ मिला दीजिए तो जो बनता है उसे real numbers कहते हैं, और उसका symbol एक ख़ास तरह का बड़ा R है। इसके बाद line पर कोई जगह बिना मालिक के नहीं बचती। यही वह बात है जो अकेले fractions से नहीं मिल रही थी।

7:03सघनता पहले से सच थी। भरा होना तभी सच हुआ जब दूसरी तरह के numbers भी साथ आए। अब इन collections को आपस में रखकर देखिए। counting numbers whole numbers के अंदर हैं, यानी 0 और negatives मिलाकर बनने वाले integers, और whole numbers rationals के अंदर हैं। 1781 numbers की एक sweep चलाई गई। उनमें 60 counting numbers हैं, 121 whole numbers हैं, और तीनों regions मिलाकर सारे 1781 rational हैं।

7:35जो counting number होकर whole number न हो, ऐसे 0 निकले। और 61 ऐसे हैं जो whole हैं पर counting नहीं, 1660 ऐसे जो rational हैं पर whole नहीं। इसीलिए ये अलग-अलग regions बनते हैं, एक ही नहीं। एक collection और है, जो इनमें से किसी के अंदर नहीं बैठती। irrationals rationals के बग़ल में आते हैं, अंदर नहीं, और यही इस topic की सबसे आम drawing ग़लती है। कारण सीधा है।

8:02rationals के अंदर होने का मतलब होता किसी integer को किसी integer से भाग देकर बन जाना, और यही बात इनके बारे में झूठ है। 8 roots की एक क़तार लीजिए, जिनके नीचे 2, 3, 10, 11, 17, 43, 101 और 175 लिखे हैं। सब पर वही hunt चलाई गई। denominator 1200 तक हर fraction जाँचा गया। इन 8 में से 0 ऐसे निकले जिनके लिए कोई fraction मिला हो।

8:32वही hunt 4 के बारे में पूछिए तो 1200 fractions लौटते हैं, हर denominator के लिए एक। यानी ख़ाली हाथ लौटना hunt की आदत नहीं है। इसलिए ये आठों उसी बग़ल वाली region में बैठते हैं। किसी एक के लिए भी अंदर की जगह नहीं बनती। 5 numbers लेकर देखिए। 17 एक counting number है, minus 26 whole number है, minus 7 बटा 3 सिर्फ़ rational है, और 0 whole number है।

9:027.32 को fraction में लिखिए तो lowest terms में 183 बटा 25 आता है, इसलिए वह भी rational है। छठा number root 101 है। 101 perfect square नहीं है, इसलिए यह उन तीनों में से किसी में नहीं आता। अब वही सवाल लिखावट से नहीं, expansion से पूछिए। 7.32, 2 places के बाद रुक जाता है, 0.135, 3 places के बाद, और 1 बटा 7 कभी नहीं रुकता, वह 6 digits के block पर दोहराता है।

9:37एक ही axis पर दोनों तरह के numbers रखकर देखिए। ऊपर 9 marks हैं और नीचे 14, कुल 23। इनमें से 4 irrational हैं, यानी minus root 10, root 2, root 5 और pi, और बाक़ी 19 rational हैं। बाएँ से दाएँ पढ़िए तो दोनों तरह के numbers बीच-बीच में मिले हुए हैं। सबसे लंबा हिस्सा जिसमें कोई irrational न हो, उसमें 9 marks आते हैं, और उसके बाद फिर एक irrational आ जाता है।

10:06इसलिए यह मत सोचिए कि एक तरफ़ rationals हैं और दूसरी तरफ़ irrationals। ऐसी कोई सीमा है ही नहीं जिसे खींचा जा सके। पूरा रास्ता एक बार पीछे मुड़कर देखिए। पहले हर चीज़ के लिए एक निशान, जिससे counting numbers बने। फिर उस column के लिए एक चिह्न जिसमें कुछ है ही नहीं, यानी zero। फिर उसी चिह्न के उस पार जाना, ताकि घटाने का जवाब हमेशा मिले, यानी integers।

10:35फिर whole numbers के बीच fractions की भीड़। और आख़िर में वे जगहें जो यह भीड़ भी ख़ाली छोड़ देती है। उन्हें भरने पर line पूरी होती है। हर पड़ाव के नीचे उसका अपना सवाल रखिए। कुछ बचा ही नहीं तो क्या लिखें, कम में से ज़्यादा घटाएँ तो क्या बचे, एक चीज़ को बराबर हिस्सों में बाँटें तो हर हिस्सा क्या है, और आख़िर में एक ख़ास जगह का number क्या है।

11:02इनमें से कोई पड़ाव किसी शौक़ से नहीं आया। हर बार पिछली collection किसी सवाल का जवाब नहीं दे पा रही थी, और अगला क़दम उसी कमी को भरता है। अब इस line का काम देखिए। कोई length, कोई temperature, किसी instrument का कोई reading, सब यहीं कहीं एक point पर बैठ जाते हैं। अकेले rationals से यह काम नहीं चलता, क्योंकि reading उस जगह पर भी गिर सकती है जो उनके पास है ही नहीं।

11:28और अकेले irrationals से भी नहीं। यह बात नतीजे की तरह कही जाती है, साबित करके नहीं। इसे उसी हैसियत से लीजिए, वरना एक दावा चुपचाप theorem बन जाता है। पर इसी line से एक सवाल ऐसा भी है जिसका जवाब उस पर कहीं नहीं मिलता। उँगली line पर रखकर ढूँढ़िए। कौन सा number square होकर minus 1 देता है? 14219 numbers square किए गए। जिनका square negative आया, उनकी गिनती 0 है।

12:01उन्हीं में से 3481 का square 1 से छोटा निकला। तो sweep छोटे numbers गिन सकती थी, बस negative नहीं मिला। पर असली कारण sweep नहीं है, sign rule है। 3721 जोड़ों पर वह जाँचा गया और 0 जोड़ों पर टूटा। दोनों हालतें चलाकर देखिए। 1 गुणा 1 का जवाब 1 है, और minus 1 गुणा minus 1 का जवाब भी 1 है। positive हो या negative, अपने आप से गुणा करने पर जवाब positive ही आता है, इसलिए negative कभी बन ही नहीं सकता।

12:36जवाब यह निकला कि line को छोड़ दिया जाए। एक नई direction बनाई गई, इसी line का आगे का हिस्सा नहीं। उस direction पर बैठने वाले numbers imaginary कहलाते हैं और उन्हें letter i से लिखा जाता है। नाम पुराना है, कोई फ़ैसला नहीं। ये काम की चीज़ हैं। electrical engineering में, quantum physics में, और जिस phone को आप जेब में रखते हैं उसके अंदर भी। तो line पूरी है, पर किस बात के लिए पूरी है यह कहना ज़रूरी है।

13:06जो सवाल अब तक पूछे गए उनके लिए वह पूरी है, और इस आख़िरी सवाल के लिए नहीं। पूरा होना हमेशा किसी चीज़ के लिहाज़ से पूरा होना है। सवाल बदल दीजिए, और वही collection फिर से अधूरी लगने लगती है।