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Chapter 3 · The World of Numbers

Density: average हमेशा बीच में एक और rational निकाल देता है

Rational numbers fill the line — almost11 मिनट

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किन्हीं 2 rationals के बीच एक और rational ढूँढना नहीं पड़ता — उसे बनाया जाता है। Average एक machine है: दोनों को एक ही lower part पर लाइए, upper parts जोड़िए, और lower part दुगना कर दीजिए। जोड़ना और भाग देना दोनों closed हैं, इसलिए जवाब rational ही रहता है: pool के 225 जोड़ों पर 0 बार lower part 0 निकला।

मुख्य idea

किन्हीं दो rationals के बीच एक तीसरा rational हमेशा होता है, और उसे ढूँढना नहीं पड़ता: average एक ऐसा formula है जो माँगने पर एक बना देता है। इसके पीछे दो अलग-अलग बातें काम करती हैं, और दोनों §3.4 में पहले से छपी हुई हैं — closure इस बात की गारंटी देता है कि average फिर भी rational ही रहेगा, और ordering इस बात की कि वह किसी endpoint पर बैठने के बजाय ठीक उन दोनों के बीच में गिरेगा। चूँकि इस formula को उसका अपना ही जवाब वापस खिलाया जा सकता है, इसलिए "किन्हीं दो के बीच अनगिनत rationals हैं" वाला दावा इसी construction का नतीजा है, कोई और चमत्कार नहीं। और यह section जान-बूझकर अधूरा रुक जाता है: वह यह पूछते हुए ख़त्म होता है कि क्या rationals line को भर देते हैं, क्योंकि वे भरते नहीं, और जवाब §3.5 में आता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • यह बताना कि numbers के किसी set का dense होना किसे कहते हैं
  • average की मदद से दो दिए हुए rationals के ठीक बीच में एक rational निकालना
  • यह समझाना कि दो rationals का average ख़ुद भी rational क्यों होता है, और इसमें किन closure बातों का इस्तेमाल हुआ यह नाम लेकर बताना
  • यह समझाना कि average उन दोनों के ठीक बीच में क्यों बैठता है, किसी सिरे पर क्यों नहीं
  • इसी construction को बार-बार चलाकर दिए हुए interval में कई numbers निकालना, और यह दलील देना कि यह प्रक्रिया कभी ख़त्म नहीं होती
  • दो दिए हुए numbers के बीच कई rationals एक दूसरे तरीक़े से निकालना — एक shared denominator, जिसमें numerators के बीच जगह बची हो
  • यह बताना कि माँगी गई गिनती जितने numbers देने के लिए shared-denominator तरीक़े को numerators पर कौन-सी शर्त चाहिए
  • "घनी तरह भरा होना" और "कोई ख़ाली जगह न छोड़ना" में फ़र्क़ करना, और यह बताना कि §3.4.2 इन दोनों में से कौन-सी बात साबित करता है
  • वह सवाल तय करना जिस पर यह section ख़त्म होता है, और यह बताना कि chapter उसका जवाब कहाँ देता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
denseअपने किन्हीं दो members के बीच — चाहे वे कितने ही पास हों — set का एक और member होनाघन / सघन§3.4.2, पृष्ठ 52 पर छपा
averageदो numbers का जोड़, दो से भाग दिया हुआऔसत§3.4.2, पृष्ठ 52 पर छपा
closed underoperation के बाद वापस उसी set के अंदर आ गिरनाके अंतर्गत संवृत§3.4, पृष्ठ 48 पर छपा
strictly betweenछोटे से बड़ा और बड़े से छोटा, और दोनों में से किसी के बराबर नहींदोनों के बीच में हीExercise Set 3.4, Q2, पृष्ठ 52 पर छपा
lowest termsवह लेखन जिसमें numerator और denominator में 1 से बड़ा कोई साझा factor न बचेनिम्नतम पद§3.6.1, पृष्ठ 58 पर छपा, और §3.4 में बिना कहे इस्तेमाल हुआ
midpointकिसी segment का वह बिंदु जो दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होमध्य बिंदुयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो इसकी जगह average की बात करता है
gap-halvingकिसी सिरे का सबसे नए जवाब के साथ बार-बार average लेने के लिए यहाँ जोड़ा गया नाम—यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter एक चक्कर करके दिखाता है और बाक़ी ख़ुद देख लेने का न्योता student को देता है

हिंदी column में मानक हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। मैंने Ganita Manjari का हिंदी संस्करण नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "जो दो fractions बहुत पास-पास हैं, उनके बीच जगह ही नहीं बचती।" average वाली construction को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि वे कितने पास हैं; वह हमेशा कुछ न कुछ ठीक अंदर से निकालकर देती है। पास होना कोई रुकावट नहीं है, क्योंकि सबसे छोटा positive rational होता ही नहीं।
  • "average शायद किसी सिरे पर ही जा गिरे।" ऐसा हो ही नहीं सकता, जब तक दोनों inputs पहले से बराबर न हों। section 5 वाली inequality की दलील ही इसे रोकती है, और उसे कहकर छोड़ देने के बजाय दिखाना चाहिए।
  • "दो fractions का average शायद fraction न हो।" वह हमेशा होता है, और वजह हैं छपी हुई दो closure बातें। जो student वजह का नाम नहीं ले पाते, उन्होंने समझा ही नहीं कि closure किस काम की चीज़ है।
  • "Dense का मतलब है कि कोई ख़ाली जगह नहीं बची।" पूरा chapter इसी ग़लतफ़हमी पर घूमता है, और §3.4.2 उसे इसीलिए खड़ा करता है ताकि §3.5 उसे गिरा सके। Density rationals के जोड़ों के बारे में कही गई बात है; वह इस बारे में कुछ नहीं कहती कि कोई ख़ास बिंदु rational है या नहीं।
  • "दो fractions के बीच तीन numbers चाहिए तो तीन बार average ले लो।" इससे काम तो चलता है, पर सारे जवाब एक ही सिरे की तरफ़ जमा हो जाते हैं। shared-denominator वाला रास्ता उन्हें फैलाकर रखता है, और exercises उसी को इनाम देने के लिए बने हैं।
  • "कोई भी common denominator चल जाएगा।" Q2, Q5, Q6 और Q13 — student सबसे पहले जिस denominator तक पहुँचता है, इन सब पर वही नाकाम होता है। denominator इतना बड़ा होना चाहिए कि सिरों के बीच माँगे गए जितने integer numerators बच जाएँ।
  • "3.1415 और 3.1416 लगातार हैं, इसलिए इनके बीच कुछ है ही नहीं।" ये लगातार दस-हज़ारवें हिस्से हैं, लगातार numbers नहीं। एक decimal जगह और बढ़ाइए, interval खुल जाता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 3.4 Q2, Exercise Set 3.4 Q5, Exercise Set 3.4 Q6, End-of-Chapter Exercises Q5, End-of-Chapter Exercises Q6, End-of-Chapter Exercises Q7, End-of-Chapter Exercises Q13, End-of-Chapter Exercises Q15

पूरा transcript1,764 शब्द

Line पर 1 और 2 के बीच का हिस्सा देखिए। इन 2 के बीच कोई पूरा number नहीं आता। तो क्या इस हिस्से में कोई rational number बैठता है? बैठता है, और वह 3 बटा 2 है। यह न 1 है, न 2, और इसे 2 whole numbers के भाग की तरह लिखा जा सकता है। यानी यह भी एक rational है। अब 1 और 3 बटा 2 के बीच का हिस्सा लीजिए, जो पहले से आधा है।

इसमें भी वही सवाल पूछिए। इस बार जवाब देखकर नहीं बताना है, बनाकर निकालना है। दोनों को जोड़िए और आधा कर दीजिए। जो निकलता है वह 5 बटा 4 है, और देखिए, वह इस छोटे हिस्से के अंदर बैठा है। इसे ढूँढना नहीं पड़ा, यह बन गया। जो अभी हुआ, वह कोई ख़ुशक़िस्मत अंदाज़ा नहीं था। यह एक machine है जिसमें 2 numbers डालिए और एक number बाहर आता है।

इसे average कहते हैं। अंदर काम बहुत सीधा है। दोनों को एक ही lower part पर लाइए, upper parts जोड़ दीजिए, और फिर lower part को दुगना कर दीजिए। आधा करना यही है, और जवाब अपने आप एक fraction की शक्ल में निकलता है। अब इस machine के बारे में 2 बातें साबित करनी हैं। पहली, कि बाहर आया number भी rational ही होगा। दूसरी, कि वह दोनों के बीच में ही गिरेगा, किसी सिरे पर नहीं।

पहली बात का जवाब पहले से हमारे पास है। 2 rationals को जोड़िए तो जवाब rational ही रहता है। यह वही closure है जो पहले भी देखा जा चुका है। और किसी rational को एक ऐसे rational से भाग दीजिए जो 0 न हो, तो जवाब फिर rational रहता है। आधा करना यानी 2 से भाग देना, और 2 rational है और 0 भी नहीं है। तो दोनों क़दम हमें rationals के अंदर ही रखते हैं।

यह हमने एक pool के हर जोड़े पर चलाकर देखा। कुल 225 जोड़े machine में डाले गए। इनमें से 0 पर ऐसा हुआ कि lower part 0 निकल आया हो, या जवाब fraction की शक्ल में न बना हो। अब दूसरी बात। Machine में एक ही number दोनों तरफ़ से डालिए, तो वही number वापस आता है। Pool के हर number पर यह सही निकला। अब a को a के साथ, फिर a को b के साथ, और फिर b को b के साथ डालिए।

पहला जवाब a है और तीसरा b है। देखिए, बीच वाला जवाब इन्हीं 2 के बीच में गिरना पड़ेगा। कई students को लगता है कि average कभी किसी सिरे पर भी गिर सकता है। अलग अलग numbers के 210 जोड़ों पर यह 0 बार हुआ। सिरे पर तब गिरता है जब दोनों numbers एक ही हों, और तब बीच में कुछ है ही नहीं। यह क्रम अपने आप नहीं आ जाता, इसके पीछे एक वजह है।

Machine का जवाब हर input के साथ ऊपर जाता है। दूसरा input बड़ा कीजिए, तो जवाब भी बड़ा हो जाता है। Pool के 3375 triples पर यह जाँचा गया। इनमें से 0 पर machine का जवाब नीचे रह गया। और उसी जाँच में 2 में से बड़ा वाला उठा लेने का rule 560 बार नाकाम रहा, यानी जाँच सो नहीं रही थी। अब एक सवाल जो अक्सर पूछा जाता है।

अगर 2 numbers बहुत ही पास पास हों, तो क्या उनके बीच जगह बचती है? Machine को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। देखिए, pool में सबसे पास वाले जोड़े की दूरी 1 बटा 8 है, और ऐसे 2 जोड़े हैं। Machine का जवाब दोनों तरफ़ 1 बटा 16 जगह छोड़ देता है। इसकी वजह गहरी है। Rationals में सबसे छोटा positive number होता ही नहीं। किसी भी positive rational को आधा कीजिए, वह छोटा भी हो जाता है और positive भी रहता है।

देखिए, pool में 8 positive numbers हैं। इनमें से 0 पर आधा करना नाकाम रहा। तो दूरी कितनी भी कम कर दीजिए, वह कभी शून्य नहीं होती, और जगह कभी ख़त्म नहीं होती। अब एक ख़ास बात। Machine का जवाब वापस उसी machine में डाला जा सकता है। एक सिरा 1 पर रोक रखिए और हर बार ताज़ा जवाब के साथ average लेते जाइए। पहला जवाब 3 बटा 2 आता है, फिर 5 बटा 4, फिर 9 बटा 8, और फिर 17 बटा 16।

देखिए, हर बार बचा हुआ हिस्सा आधा रह जाता है। चौथे round के बाद 1 से दूरी सिर्फ़ 1 बटा 16 बची है। यही चलाते जाइए तो 20 rounds में 20 अलग अलग numbers मिलते हैं। इनमें से 0 उस रुके हुए सिरे पर गिरा। इसलिए किन्हीं 2 के बीच अनगिनत rationals होने की बात कोई नया चमत्कार नहीं है, वह इसी construction का नतीजा है। अब दूसरा रास्ता, जो पहले वाले से बिलकुल अलग है।

दोनों सिरों को एक ही lower part पर लिख डालिए, और बीच में पड़ने वाले पूरे upper parts गिन लीजिए। जैसे −1 बटा 2 और 1 बटा 4 को quarters पर लिखिए। देखिए, quarters पर सिरे −2 और 1 पढ़े जाते हैं, और बीच में सिर्फ़ 2 पूरे upper parts आते हैं। Eighths पर सिरे −4 और 2 हो जाते हैं, और बीच में 5 आ जाते हैं। वे 5 numbers हैं −3 बटा 8, −1 बटा 4, −1 बटा 8, 0, और 1 बटा 8।

अब 1 और 2 के बीच 3 numbers चाहिए। Machine को बार बार चलाइए तो 3 बटा 2, 5 बटा 4 और 9 बटा 8 मिलते हैं। ये तीनों पूरे हिस्से के 3 बटा 8 में ही सिमट जाते हैं, और इनमें से 0 बीच से आगे निकलता है। अब नीचे eighths पर लिखकर 9 बटा 8, 3 बटा 2 और 15 बटा 8 चुनिए। ये पूरे हिस्से के 3 बटा 4 में फैले हैं, यानी पहले वाले तरीक़े से 2 गुना ज़्यादा।

दोनों जवाब सही हैं, छहों numbers अंदर ही हैं, पर दूसरा तरीक़ा उन्हें फैलाकर रखता है। यहाँ एक बात है जो अक्सर छूट जाती है। Lower part सिर्फ़ इस बात पर नहीं चुना जाता कि वह कितनी जगह छोड़ता है। पहले तो वह ऐसा होना चाहिए जिस पर दोनों सिरे लिखे ही जा सकें। −1 बटा 2 और 1 बटा 4 के लिए 8 से नीचे के lower parts देखिए।

इनमें से 6 इसलिए बाहर हुए कि कोई सिरा उन पर बैठता ही नहीं, और सिर्फ़ 1 इसलिए कि जगह कम पड़ गई। यानी ज़्यादातर बार वजह जगह की कमी होती ही नहीं। 1 बटा 6 और 2 बटा 5 पर तो यह और साफ़ है। 30 से नीचे के 29 lower parts में से हर एक इसीलिए बाहर हुआ कि कोई सिरा उस पर नहीं बैठता। जगह कम पड़ने वाला एक भी नहीं मिला, क्योंकि 30 तक इन दोनों का साझा lower part सिर्फ़ 30 ही है।

अब 2 बटा 5 और 3 बटा 5 के बीच 5 numbers चाहिए। Lower part कितना बड़ा लेना पड़ेगा? देखिए, पच्चीसवें हिस्सों पर सिरे 10 और 15 पढ़े जाते हैं। बीच में 11, 12, 13 और 14 आते हैं, यानी कुल 4। यह माँगे गए 5 से 1 कम है, तो lower part और बड़ा करना पड़ता है। तीसवें हिस्सों पर 5 मिल जाते हैं। यही जाल 7 बटा 12 और 5 बटा 6 पर भी लगता है, जहाँ बारहवें हिस्सों पर बीच में सिर्फ़ 2 आते हैं।

वहाँ चौबीसवें हिस्सों तक जाना पड़ता है, जहाँ सिरे 14 और 20 पढ़े जाते हैं। इसे एक साफ़ शर्त में बदला जा सकता है। दोनों upper parts के बीच का फ़ासला माँगी गई गिनती से कम से कम 1 ज़्यादा होना चाहिए। जैसे 0 और 6 के बीच पूरे 5 numbers आते हैं, और 0 और 7 के बीच 6। इस शर्त को 209 cases पर जाँचा गया। इनमें से 143 में फ़ासला वाक़ई गिनती दे देता है, और शर्त भी ठीक उन्हीं 143 को मानती है।

यानी 0 cases पर शर्त और असली गिनती अलग अलग जवाब देती हैं। यही शर्त असली numbers पर भी चलाई गई। अलग अलग lower parts पर कुल 564 writings बनीं। इनमें से भी 0 पर गिनकर निकला जवाब और शर्त का जवाब अलग निकला। एक चलता हुआ rule यह भी कहा जाता है कि फ़ासला गिनती से 1 ज़्यादा से भी ऊपर होना चाहिए। उन्हीं 209 cases पर यह rule 132 को मानता है।

तंग शर्त 143 को मानती थी। देखिए, फ़र्क़ 11 cases का है। यह rule उन 11 को मना कर देता है जिन पर काम बन जाता, और ऐसे 0 cases को मानता है जिन पर काम बनता ही नहीं। यानी यह ग़लत नहीं है, बस ज़रूरत से 1 क़दम ज़्यादा माँगता है। अब 2 decimals लीजिए जो एक दूसरे से सटे हुए लगते हैं। इनके सारे digits दशमलव के बाद चौथी जगह तक एक जैसे हैं और आख़िरी digit में सिर्फ़ 1 का फ़र्क़ है।

देखने में लगता है कि इनके बीच कुछ आ ही नहीं सकता। 10 हज़ारवें हिस्सों पर सिरे 31415 और 31416 पढ़े जाते हैं, और बीच में 0 पूरे upper parts आते हैं। अब नीचे एक और दशमलव जगह खोलिए, यानी लाखवें हिस्सों पर जाइए, तो बीच में 9 आ जाते हैं। ये दोनों लगातार numbers नहीं थे, सिर्फ़ लगातार 10 हज़ारवें हिस्से थे। और machine को तो lower part बताने की ज़रूरत भी नहीं पड़ती।

इन्हीं 2 decimals को उसमें डालिए तो जवाब सीधे अंदर गिरता है। वह जवाब 62831 बटा 20000 है। अब तक जो साबित हुआ वह यह है। किन्हीं भी 2 rationals के बीच एक और rational मिल जाता है, चाहे वे कितने भी पास हों। इसे rationals का घना होना कहते हैं। पर घना होना और पूरा भर देना एक ही बात नहीं है। एक ऐसा point लीजिए जिसका square 2 हो।

यहाँ 50 तक के हर lower part पर 5050 writings जाँची गईं, और उनमें से 0 का square 2 निकला। यह ख़ाली जवाब तभी मायने रखता है जब जाँच कुछ ढूँढ भी सकती हो। वही जाँच 4 पर चलाइए तो पहली ही कोशिश में 2 बटा 1 मिल जाता है। और उसी point की तरफ़ rationals पास आते जाते हैं, 1, फिर 14 बटा 10, फिर 141 बटा 100, फिर 1414 बटा 1000, पर उस पर पहुँचता कोई नहीं।

देखिए, इस video में 2 बातें तय हुईं। पहली, कि किन्हीं 2 rationals के बीच एक और rational बनाया जा सकता है, और उसे ढूँढना नहीं पड़ता। दूसरी, कि यह बात कितने भी पास वाले जोड़े पर लागू होती है, इसलिए बीच में अनगिनत rationals हैं। और एक बात जानबूझकर तय नहीं हुई। घना होना 2 numbers के जोड़े के बारे में कहता है, किसी एक point के बारे में नहीं।

इसलिए इससे यह नहीं निकलता कि line का हर point किसी rational का घर है। तो सवाल यही बचता है, और इसका जवाब अगली बार। क्या rationals पूरी line भर देते हैं?

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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