एक irrational length बनाना और उसे number line पर मार्क करना

0:00हमें एक length चाहिए जिसका square पूरा 2 हो। पिछली बार हमने यह settle किया था कि ऐसी कोई fraction नहीं है। आज का सवाल यह है कि वह length मौजूद भी है या नहीं। counting हमें एक ही तरीक़ा देता है। unit को बराबर parts में काटिए और उन parts पर चलते जाइए। जहाँ आप रुकते हैं, वही आपकी length है। तो एक सवाल। unit को बराबर parts में काटकर चलने से जो length मिलती है, वह हमेशा किस तरह का number होगा?

0:31नीचे parts की गिनती और ऊपर steps की गिनती। हर ऐसी walk एक fraction ही देती है, और कुछ नहीं। और fractions को पिछली बार इस length से बाहर किया जा चुका है। कोई कहेगा कि decimal readings तो कुछ और होती हैं। हमने 13 decimal lengths आज़माईं, 0 places से लेकर 12 places तक। हर एक अपने आप में एक fraction ही है, बस लिखने का तरीक़ा अलग है।

0:56उन 13 में से 0 उस length तक पहुँचती हैं। यानी काटने वाला रास्ता इस length को ढूँढ नहीं सकता। पर ढूँढ न पाना और मौजूद न होना, ये एक बात नहीं है। हर length पर सबसे अच्छी reading कौन सी है, वह भी हमने निकाली। 0 places पर वह 1 है और उसके बाद 14 बटा 10 आती है। 14 बटा 10 का square 196 बटा 100 है। यह 2 से कम है, यानी यह reading छोटी पड़ गई।

1:25अगली reading 141 बटा 100 है, और उसका square 19881 बटा 10000। यह भी 2 तक नहीं पहुँचा, हालाँकि पहले से क़रीब है। 13 में से हर एक reading कम पड़ती है। एक भी ऊपर नहीं जाती। यह सिर्फ़ कह देने वाली बात नहीं, हर row पर जाँची गई है। और हर reading पिछली से ज़्यादा क़रीब है। चूक लगातार छोटी होती जाती है। बहुत से students यहीं मान लेते हैं कि इतना क़रीब जाना ही पहुँच जाना है।

1:56पर 0 readings उस point पर बैठती हैं। क़रीब होते जाना पहुँच जाना नहीं है। एक ईमानदार शक यहाँ बनता है। शायद खाली जवाब length के बारे में नहीं, हमारे तरीक़े के बारे में कुछ कह रहा हो। इसका जवाब बहस से नहीं, वही search दोबारा चलाकर मिलेगा। हमने वही search चलाया, बस target 2 की जगह 4 रख दिया। बाक़ी सब कुछ वैसा ही रहा। पहली ही row पर वह 2 बटा 1 पर बैठ गया।

2:24यानी search अंधा नहीं है, जब जवाब मौजूद हो तो वह उसे पकड़ लेता है। और सिर्फ़ पहली row पर नहीं। उन्हीं 13 lengths में से हर एक पर वह target तक पहुँच जाता है। अब दोनों panes साथ रखिए। एक ही machinery से 0 hits और 13 hits। तो 2 वाला खाली जवाब machinery की कमी नहीं है, वह एक finding है। तो गिनने वाला रास्ता बंद है। पर हाथ में एक और रास्ता बचा है, और वह गिनता ही नहीं।

2:55पहला tool ruler है। ruler के किनारे पर एक scale होता है और वह उसी scale को पढ़ता है। जो scale पर नहीं छपा, ruler उसे नहीं बता सकता। दूसरा tool compass है, और उस पर कोई scale है ही नहीं। compass सिर्फ़ एक opening पकड़ता है और उसे जहाँ चाहे ले जाता है। यही वह जगह है जहाँ दोनों tools अलग हो जाते हैं। किसी length को उठाकर दूसरी जगह रखने के लिए उसका नाम जानना ज़रूरी नहीं है।

3:23पढ़ने के लिए नाम चाहिए, ढोने के लिए नहीं। कई students सोचते हैं कि construction में हम अंदाज़ा लगाते हैं। यहाँ अंदाज़ा कहीं नहीं है। opening जो थी वही रहती है, बस उसकी जगह बदलती है। तो योजना यह है। पहले उस length को बनाइए, फिर compass से उठाकर उसे line पर रख दीजिए। line पर O को 0 पर रखिए और A को 1 पर। इनके बीच का हिस्सा हमारी दी हुई unit है, और वह gold में है।

3:54अब A पर एक upright खड़ा कीजिए, यानी line के साथ right angle बनाता हुआ। यह भी compass से बनता है, arcs board पर छोड़ दीजिए। उसी unit को compass से उठाकर upright पर रख दीजिए। जहाँ वह ख़त्म होती है वह point B है, यानी A से ठीक 1 unit ऊपर। यही काम O पर दोहराइए और C मिल जाता है। अब चारों corners हमारे पास हैं। चारों sides एक ही unit से बनी हैं।

4:21तो उनमें से हर एक का square 1 है। यह जाँचा हुआ है, मान लिया हुआ नहीं। अब O से B तक एक diagonal खींच दीजिए। यह वही length है जिसकी हमें तलाश थी, पर अभी उसका नाम हमारे पास नहीं है। OA, फिर A से B तक की side, और यह diagonal मिलकर एक right triangle बनाते हैं। right angle A पर है। और दोनों legs 1 के हैं।

4:49right triangle के लिए जो relation है, उसे लगाइए। diagonal पर बना square दोनों legs पर बने squares का जोड़ है। यानी 1 गुणा 1 जमा 1 गुणा 1। और वह जोड़ 2 है। तो इस diagonal पर बना square पूरा 2 है। यहाँ एक बात का ध्यान रखना है। diagonal पर हम square लिख रहे हैं, root नहीं। root वहीं लिखा जाएगा जहाँ arc इसे line पर उतार देगा।

5:17तो जिस length को counting ढूँढ नहीं पाया था, वह board पर खिंच चुकी है। उसे ढूँढा नहीं गया, उसे बनाया गया है। यहाँ एक चेतावनी अक्सर दी जाती है कि upright ग़लत सिरे पर खड़ा हो गया। हम उसे मानने के बजाय चारों combinations चलाकर देखेंगे। upright 2 जगह खड़ा हो सकता है और arc का centre भी 2 जगह हो सकता है। इन चारों में से कौन सा वाला हमारा construction है?

5:45upright A पर और arc का centre O पर, तो जो length बनती है उसका square 2 है। upright O पर और centre A पर, तब भी square 2 ही है। यानी सिरा बदलने से कुछ नहीं बिगड़ा। अब बचे हुए 2 combinations देखिए। upright और arc का centre, दोनों point O पर रख दीजिए, तो square 1 रह जाता है। दोनों को point A पर रखिए, तब भी square 1 ही रहता है।

6:12तो ग़लती सिरे की नहीं है। ग़लती तब होती है जब upright और arc का centre एक ही point पर रख दिए जाएँ। तब compass कुछ नया ढोता ही नहीं, वही unit दोबारा रख देता है। B और C को जोड़ दीजिए और square पूरा हो जाता है। इसी square का diagonal वह length है जो हमें चाहिए। square का दूसरा diagonal AC है। उसी relation से उस पर बना square भी 2 निकलता है।

6:40दोनों diagonals बीच में मिलते हैं। वहाँ वे right angle बनाते हैं, और एक दूसरे को ठीक बीच से काटते हैं। यानी यह length इस square में एक बार नहीं, 2 बार मौजूद है। किसी ख़ास corner से बंधी हुई चीज़ नहीं है। पर अभी वह length square के अंदर तिरछी पड़ी है। line पर उसका कोई point अभी तय नहीं हुआ। थोड़ी देर पहले हमने ruler पर भरोसा नहीं किया था।

7:06तो compass पर भरोसा करने की वजह क्या है? दावा यह है कि point को O के चारों ओर घुमाने से O से उसकी दूरी नहीं बदलती। इसे मान लेने के बजाय हम घुमाकर नापेंगे। B को O के चारों ओर 5 बार घुमाया गया। हर turn उन right triangles के हिसाब से लिया गया जिनकी sides पूरे numbers हैं। पाँचों नए points की O से दूरी नापी गई। पाँचों का squared distance ठीक 2 निकला।

7:36और उनमें से कोई भी B ख़ुद नहीं है, यानी घुमाव सच में हुआ है। उसी point पर एक ऐसा map लगाया गया जो turn नहीं है। वह point को arc से हटा देता है। तो दूरी का न बदलना turn की ख़ासियत है, हर move की नहीं। compass की opening पूरे रास्ते वही रहती है। इसीलिए arc जो length लेकर जाता है, वह उसका radius है। compass का नुकीला सिरा O पर रखिए और उसे B तक खोलिए।

8:05अब compass के पास वही length है जो diagonal पर थी। अब उसी opening को घुमाते हुए नीचे line तक लाइए। जहाँ arc line से मिलता है, उस point को P कहिए। arc अपना radius पूरे रास्ते पकड़े रहता है। तो OP भी वही length है, और उस पर बना square 2 है। अब root का नाम इसी point पर लिखा जा सकता है। अगर compass का centre A पर होता, तो वह 1 वाली length लेकर जाता।

8:32C पर centre होता, तब भी 1। जो ढोया जाता है वह centre से तय होता है, हाथ की मर्ज़ी से नहीं। जिस point को हम काटकर नहीं ढूँढ पाए थे, वह अब line पर मौजूद है। उसे बनाया गया और फिर ढोकर लाया गया। अब उस point P को उसकी जगह देकर पढ़िए। वह पूरे numbers 1 और 2 के बीच बैठता है। यह तय करने के लिए हमने कोई root नहीं लिया।

8:58हर बार candidate का square निकालकर 2 से भिड़ाया गया। 3 बटा 2 को लीजिए, उसका square 2 से बड़ा निकलता है। और 7 बटा 5 का square 2 से छोटा। यानी वह point इन दोनों के बीच में है। वही काम और बारीक़ी से करने पर bracket सिकुड़ जाता है। वह point उस bracket के नीचे वाले सिरे से आगे है और ऊपर वाले सिरे से पीछे। root 3 भी 1 और 2 के बीच बैठता है।

9:26root 5, 2 और 3 के बीच, और root 10, 3 और 4 के बीच। यह वही तरीक़ा है, बस target बदल गया। बहुत से students उस point को उसकी decimal reading मान लेते हैं। पर कोई भी decimal reading एक fraction ही है। और fractions को इस point से पिछली बार ही बाहर किया जा चुका था। जो चीज़ हम सच में दे सकते हैं वह एक bracket है।

9:52एक नीचे वाला सिरा और एक ऊपर वाला, और point उन दोनों के बीच। उसी तरीक़े से bracket को 25 places तक कसा गया। उतने में उस length के पहले 10 digits तय हो जाते हैं। फिर भी वह एक bracket है, कोई value नहीं। उसकी चौड़ाई आख़िरी place में सिर्फ़ 1 है, पर वह 0 नहीं है। और यही construction की ख़ास बात है। arc ने वह point एकदम ठीक जगह पर रखा था।

10:18reading कितनी भी लंबी हो जाए, वह उस जगह तक पहुँचेगी नहीं। अब तक हमने एक length बनाई है। क्या यही तरीक़ा दूसरी lengths के लिए भी चलेगा, या सिर्फ़ 2 के लिए बना है? पहले triangle का hypotenuse उठाइए और उसे अगले triangle की leg बना दीजिए। यानी जो जवाब था वही अब input बन जाता है। उस पर एक नई unit का upright खड़ा कीजिए और triangle बंद कर दीजिए।

10:46relation दोबारा लगाइए, पहले की तरह। पहली leg पर बना square 2 है और नई leg पर 1। तो नए hypotenuse पर बना square 3 है। root 3 दूसरा triangle है। root 5 चौथा है और root 10 नौवाँ। किसी भी root n तक पहुँचने में n से 1 कम triangles लगते हैं। यह 2 से 59 तक हर n के लिए जाँचा गया है, किसी एक case से नहीं निकाला गया।

11:15अब यही move दोहराते जाइए। हर बार पिछला hypotenuse अगली leg बनता है और एक नई unit ऊपर खड़ी होती है। इन 10 hypotenuses पर बने squares 2 से शुरू होकर एक एक करके बढ़ते हैं। दसवाँ और आख़िरी hypotenuse 11 पर पहुँचता है। अब उन edges को गिनिए जिन पर 1 लिखा है। पहला triangle 2 ऐसी edges लाता है और उसके बाद हर triangle 1। तो 10 triangles पर 11 unit edges बनती हैं।

11:45छोटे fans पर भी यही गिनती चलती है। 1 triangle पर 2 unit edges, और उसके बाद हर बार 1 और। एक ग़लती यहाँ आम है, कि सारी sides को 1 मान लिया जाए। fan में हर triangle की एक leg 1 है, hypotenuse कोई भी 1 नहीं है। यही तो पूरे figure की बात है। यहाँ तक देखकर लगता है कि fan का हर step एक irrational देता है।

12:11इसे मानने से पहले उसी fan को गिन लीजिए। तीसरे hypotenuse पर बना square 4 है। और 4 अपने आप में एक perfect square है। तो वह hypotenuse एक पूरा number है। खींचे गए 10 में से जिन hypotenuses के squares 4 और 9 हैं, वही पूरे numbers हैं। बाक़ी सब पर पूरा number नहीं बैठता। इससे साफ़ है कि यह fan irrationals बनाने की machine नहीं है। वह roots बनाता है, और वे rational निकलें या न निकलें, यह उसका काम नहीं।

12:43किसी length का irrational होना construction से तय नहीं होता। वह पिछले topic वाले argument से तय हुआ था। construction सिर्फ़ यह बताता है कि वह length मौजूद है। अब एक ही line पर दोनों तरह के numbers रखिए। यहाँ 23 labels हैं, कुछ axis के ऊपर और कुछ नीचे। हर label को उसके exact bracket से बदल दीजिए। किन्हीं 2 brackets में टकराव नहीं है। और brackets को क्रम में लगाने पर वही क्रम मिलता है जो board पर है।

13:13इनमें से 19 पूरे numbers का अनुपात हैं। बाक़ी 4 नहीं हैं। उन 4 में से 3 whole-number roots हैं, यानी आज वाले fan से बनाए जा सकते हैं। चौथा किसी भी whole number का root नहीं है, और यह 100 तक जाँचा गया। वही जाँच hit भी देती है जब root सचमुच मौजूद हो। तो यह construction whole-number roots तक पहुँचता है और वहीं रुक जाता है। बाक़ी irrationals को हम line पर मान लेते हैं।

13:41मान लेना एक वादा है, proof नहीं। तो line पर हर point के लिए एक number और हर number के लिए एक point, यह अभी वादा भर है। उस वादे को पूरा करने के लिए किस तरह का argument चाहिए होगा?