किसी expression को भेस बदली हुई identity के रूप में पहचानना

0:00a plus b, का square, बराबर a squared, plus 2 a b, plus b squared. यह line हम बाएँ से दाएँ पढ़ते आए हैं, और उस दिशा में तय करने को कुछ होता ही नहीं। bracket दिया है, expand करो, 3 terms मिल जाते हैं। अब उसी line को दाएँ से बाएँ पढ़ो। अब सामने 3 terms हैं और सवाल यह है कि a और b क्या थे। board पर यही इस video का पूरा काम है।

0:30इससे पहले कि कोई arithmetic हो, एक बात तय कर लो। 3 terms में से कौन सा term a और b को नाम दे सकता है? पहला term a squared है, तो a उसका square root है। आख़िरी term b squared है, तो b उसका square root है। बीच में बचा middle term, और वही एकमात्र चीज़ है जो असहमत हो सकती है। इसका मतलब यह है कि यह ढूँढ़ने का काम नहीं है, मिलान करने का काम है।

0:58कोई कोशिश करके देखना नहीं है कि क्या चलता है। दोनों सिरे नाम दे देते हैं, और middle term हाँ या ना कह देता है। यह जाँच कर देखा गया है। 288 squares सीधे बनाए गए, forwards, और फिर उसी matcher को ठंडे तरीक़े से दे दिए गए। 288 में से 288 वापस उन्हीं a और b पर आए जिनसे वे बने थे। पहला expression है x squared, plus 4 x, plus 4.

1:26इसे square के रूप में लिखना है, अगर यह square है तो। पहला term ऊपर उठाकर अलग रखो — x squared किसका square है? x का, और वही a है। यह नाम expression ने खुद दिया, हमने चुना नहीं। आख़िरी term 4 है, और 4, 2 का square है। तो b का नाम भी मिल गया। दोनों नाम expression ने खुद दिए, हमने चुने नहीं। right में बने इस डिब्बे में जो जोड़ी है, उसे candidate कहेंगे।

1:54candidate का मतलब है एक प्रस्ताव, जिसकी अभी जाँच बाक़ी है। इसे अभी तक सही नहीं कहा गया है। बहुत से students यहीं रुक जाते हैं और candidate को ही जवाब मान लेते हैं। पर दोनों सिरों ने अब तक सिर्फ़ नाम दिए हैं। जब तक middle term ने कुछ कहा नहीं, कुछ तय नहीं हुआ। candidate मान लिया, तो middle term को क्या होना चाहिए? identity कहती है कि वह 2 a b होगा, और वही ऊपर वाली line पर लिखा जा रहा है।

2:232, गुना x, गुना 2. यह 4 x होता है। यह ढूँढ़ा नहीं गया, निकाला गया है। और नीचे expression में जो middle term लिखा है वह भी 4 x है। दोनों मिल गए, तो verdict हाँ है। x squared plus 4 x plus 4 बराबर है x plus 2, का square. अब वह बात जो असल में मायने रखती है। अगर उस line में 4 x की जगह कुछ और लिखा होता, तो candidate फिर भी वही होते।

2:53बदलता सिर्फ़ verdict, और वह ना हो जाता। इसी वजह से यह तरीक़ा तेज़ है। और इसी वजह से यह संकीर्ण भी है, क्योंकि यह squares पहचानता है और उसके अलावा कुछ नहीं। तो पूरा तरीक़ा 2 क़दमों का है। पहला, दोनों सिरों के square root लेकर candidate बनाओ। दूसरा, 2 a b निकालो और middle term से मिलाओ। एक छोटी सी बात रह गई थी। पहली नज़र में लगता है कि 4 सिर्फ़ 2 का square है।

3:24पर क्या सचमुच सिर्फ़ 2 का? देखो, 4, 2 का square है और minus 2 का भी square है। तो आख़िरी term b को sign तक ही नाम देता है, पूरा नहीं। candidate 1 नहीं, 2 होते हैं। दोनों को test से गुज़ारो, एक-एक करके, नीचे की तरफ़। 2, गुना x, गुना 2 से 4 x मिलता है, और 2, गुना x, गुना minus 2 से minus 4 x. line में 4 x लिखा है, तो दूसरा candidate बाहर हो जाता है।

3:57तो middle term सिर्फ़ हाँ या ना नहीं कहता। वह sign भी चुनता है। यह भी गिना गया है। एक बड़े sweep में matcher ने 18 expressions माने। उन 18 में से हर एक पर 2 signs में से ठीक 1 चलता है, यानी 18 में 18. अगला expression है 36 x squared, plus 12 x, plus 1. board पर पहली बार a सिर्फ़ letter नहीं है — तो a है क्या?

4:27पहली नज़र में बहुत से students कहते हैं कि a, 36 x है। coefficient को सीधे a के अंदर ले जाना बहुत स्वाभाविक लगता है। उसे square करके देख लो, यहाँ उसके बग़ल में। 36 x का square, 36 गुना 36 x squared होता है, और वह इस expression में कहीं नहीं है। 36 x squared वह है जो a squared है, वह नहीं जो a है. सही क़दम square root लेना है।

4:5536 x squared का square root 6 x है, और 1 का square root 1. candidate बना, a is 6 x और b is 1. अब test चलाओ — 6 x को 2 से और 1 से गुणा करने पर 12 x मिलता है। line में 12 x ही लिखा है। तो यह 6 x plus 1, का square है. नियम एक line में यह है। coefficient a squared का हिस्सा है, a का नहीं, इसलिए उसका भी square root लेना पड़ता है।

5:26अगला expression है 50 p squared, plus 60 p q, plus 18 q squared। वही पहला क़दम चलाते हैं। 50 का square root क्या है। 49 एक square है और 64 एक square है, और यहाँ 50 दोनों के बीच में पड़ा है। 50 का कोई rational square root है ही नहीं। तो क्या a, 50 p मान लें? जिस चीज़ का square 50 p squared है, क्या वह 50 p है?

5:55नीचे लिखकर देखो, 50 गुना 50, 2500 होता है। तो 50 p का square 2500 p squared है, 50 p squared नहीं। जिस चीज़ का square 50 p squared है, वह 50 का square root गुना p है, और वह rational नहीं है। यहीं पर लग सकता है कि इस expression को factorise किया ही नहीं जा सकता। square root rational नहीं निकला, तो रास्ता बंद। पर रास्ता बंद नहीं है।

6:22ऐसा square root एक दीवार नहीं, एक संकेत है, कि पहले कोई common factor बाहर निकालना है। board पर तीनों coefficients एक साथ हैं, 50, 60 और 18 — इनमें साझा क्या है? तीनों में एक 2 है। उस 2 को बाहर निकाल लो। बचता है 2 गुणा एक bracket, जिसमें 25 p squared plus 30 p q plus 9 q squared है। अब पहला क़दम चल जाता है। 25 p squared का square root 5 p है, और 9 q squared का square root 3 q.

6:57candidate बना, a is 5 p और b is 3 q। test यह रहा — 2 गुना 5 p गुना 3 q, जो 30 p q है। bracket में 30 p q ही है। तो पूरा expression 2 गुना, 5 p plus 3 q, का square है। अब नीचे वह वजह लिखते हैं जो आमतौर पर बताई नहीं जाती। 50 को square बनने से रोक कौन रहा था — वह 2.

7:2450, 2 गुना 25 है, और 25 square है, तो उस 2 को हटाना ही square छोड़ जाता है। यह संयोग नहीं है। 1 से 400 तक हर number का वह हिस्सा निकालकर देखा गया जो उसे square बनने से रोकता है। 400 में से 400 बार, हटाने के बाद जो बचा वह square था। अब 2 और expressions, 3 a squared plus 4 a b plus 4 बटा 3 b squared।

7:52और 9 बटा 5 s squared plus 6 s v plus 5 v squared. ऊपर वाले में 3 का square root rational नहीं है, तो वही संकेत फिर मिला। पर common factor निकालने चलो तो लग सकता है कि बाहर whole number के अलावा कुछ आ ही नहीं सकता — क्या सचमुच ऐसा है? ऐसा कोई नियम नहीं है। bracket के बाहर 1 बटा 3 निकालो, तो अंदर 9 a squared plus 12 a b plus 4 b squared बचता है।

8:20उसका square root जोड़ा 3 a और 2 b है, और 2, गुना 3 a, गुना 2 b, 12 a b देता है. दूसरे में 1 बटा 5 बाहर आता है। bracket में 9 s squared plus 30 s v plus 25 v squared बचता है, यानी 3 s plus 5 v, का square. इसका test भी वही — 2 गुना 3 s गुना 5 v, जो 30 s v है और bracket में है ही।

8:51इस video में जो 13 expressions board पर आते हैं, matcher उनमें से 3 को सीधे नहीं लेता। उन 3 में से 2 में जो बाहर आता है वह fraction है और 1 में whole number. बाहर आने की वजह तीनों में एक ही है। क्या एक ही expression के 2 अलग-अलग ईमानदार जवाब हो सकते हैं? 64 p squared, plus 32 बटा 3 p q, plus 4 बटा 9 q squared — इसी पर देखते हैं।

9:19left में, जैसा लिखा है वैसे ही चलाओ। 64 का square root 8 है, और 4 बटा 9 का square root 2 बटा 3. test करके देखो — 2 गुना 8 गुना 2 बटा 3, जो ठीक 32 बटा 3 देता है। अब right में, 4 बटा 9 बाहर निकालो। bracket में 144 p squared plus 24 p q plus q squared बचता है। उसका square root जोड़ा 12 p और q है, और 2, गुना 12 p, गुना q, 24 p q देता है.

9:52दूसरे जवाब को वापस गुणा करके खोलो। 4 बटा 9 गुना वह square, फिर से वही expression बन जाता है। दोनों जवाब एक ही expression हैं, अलग-अलग रास्तों से लिखे। इससे एक बात साफ़ हो जाती है। इसलिए common factor निकालना किसी टूटे हुए expression की मरम्मत नहीं है। वह उसी जगह पहुँचने का दूसरा रास्ता है। अब minus वाला रूप है 16 y squared, minus 24 y, plus 9।

10:22क्या इसके लिए कोई नया matcher चाहिए? नहीं, वही matcher है, कुछ नया नहीं। middle term negative है, तो कई students सोच रहे होते हैं कि आख़िरी term भी negative होगा। यानी 9 की जगह minus 9. a minus b, के square में आख़िरी term b squared है। b चाहे negative हो, उसका square positive ही रहता है। इसलिए यहाँ 9 positive है और रहेगा। 16 y squared का square root 4 y, और 9 का square root 3.

10:51middle term negative है, तो b, minus 3 चुना जाता है। test में 2 गुना 4 y गुना minus 3 आता है, जो minus 24 y है और लिखा ही है। एक item ऐसा भी है जहाँ students सबसे ज़्यादा अटकते हैं। 1 बटा 16 p squared, minus 2, plus 16 बटा p squared. नीचे वाली line में middle term पर कोई letter है ही नहीं, सिर्फ़ minus 2. square root लो, p बटा 4 और 4 बटा p।

11:23फिर वही test — 2 गुना p बटा 4 गुना 4 बटा p — letters आपस में कट जाते हैं और ठीक 2 बचता है। sign minus है, तो जवाब p बटा 4 minus 4 बटा p, का square है। अगला expression है 16 s squared, plus 25 t squared, minus 40 s t। board पर यह पहली नज़र में पहचाने हुए रूप जैसा दिखता ही नहीं। तो क्या यह किसी अलग किस्म का सवाल है?

11:55पर नया कुछ भी नहीं है, सिर्फ़ लिखने का क्रम अलग है। जिस term में दोनों letters हैं वही middle term है, उसे यहाँ बीच में ले आओ। अब रूप दिख जाता है, 16 s squared, minus 40 s t, plus 25 t squared। square root जोड़ा 4 s और 5 t, और middle term negative है तो b, minus 5 t. test में 2 गुना 4 s गुना minus 5 t आता है, जो minus 40 s t है।

12:27तो क्रम ठीक करना कोई अलग सवाल नहीं है। वह पहला क़दम है, उसके बाद वही 2 क़दम चलते हैं। अब एक ऐसा expression जिस पर तरीक़ा ना कहेगा। x squared, plus 5 x, plus 4. दोनों सिरे वही हैं जो पहले expression में थे। x squared से a, x और 4 से b, 2. यहाँ भी कोई विकल्प नहीं था। ऊपर test चलाओ, यानी 2 गुना x गुना 2, जो 4 x है।

13:00पर line में 5 x लिखा है। तो verdict ना है, और यह expression किसी binomial का square नहीं है। पर ना का मतलब यह नहीं कि expression बेकार है। यह factorise होता है, x plus 1 गुना x plus 4। बस उसके 2 factors एक दूसरे से अलग हैं, और square होने का मतलब ही यही होता कि वे बराबर होते। एक शक बाक़ी रह जाता है। क्या सचमुच middle term ही फ़ैसला कर रहा है?

13:28इसकी जाँच सीधी है। जो 6 items इस video में square निकले, उनके middle term को 1 बढ़ाकर और 1 घटाकर देखा गया, यानी 12 expressions. matcher ने 12 में से 0 लिए, जबकि बिना हिलाए वही 6 सब पास होते हैं। तो शुरुआत में जो कहा गया था वह अब नापा जा चुका है। सिरे नाम देते हैं और middle term फ़ैसला करता है। अब 2 वाक्य जो पहली नज़र में एक ही बात लगते हैं।

13:57पहला वाक्य यह है, x plus 2 इस expression का एक factor है। क्या ये दोनों सचमुच एक ही बात कह रहे हैं? दूसरा वाक्य यह है, यह expression x plus 2 का square है। दोनों सच हैं, पर एक जैसे नहीं हैं। left में, x squared plus 4 x plus 4 को x plus 2 से भाग दो। पीछे x plus 2 ही बचता है, और कुछ नहीं बचता।

14:23अब right में, x squared plus 5 x plus 6 को उसी x plus 2 से भाग दो। पीछे x plus 3 बचता है, और वह expression square है ही नहीं। तो x plus 2 का factor होना दोनों के लिए सच है। पर square होना सिर्फ़ एक के लिए। square वाला वाक्य ज़्यादा कहता है, कि factor 2 बार आता है और उसके अलावा कुछ नहीं है। सवाल कभी एक factor माँगता है और कभी पूरा factorised रूप।

14:51दोनों अलग-अलग चीज़ें हैं, इसलिए दोनों अलग-अलग लिखी जाती हैं। आख़िर में यह देखते हैं कि यह तरीक़ा कहाँ तक पहुँचता है। एक बड़ा परिवार लिया गया, यानी वे 3-term expressions जिनके दोनों सिरों के coefficients 1 से 12 तक हैं और बीच वाला minus 40 से 40 तक। ऐसे expressions की गिनती 11664 है। board पर हर एक से दोनों सवाल पूछे गए। पहला सवाल, कितने 2 rational factors में टूटते हैं?

15:24808. दूसरा सवाल, कितने किसी एक binomial के square हैं? 18. बाक़ी 790 टूटते तो हैं, पर square नहीं हैं। देखो, तीनों अलग-अलग डिब्बे नहीं हैं, एक दूसरे के अंदर हैं। matcher ने जिन 18 को माना, उनमें से हर एक टूटता भी है — 18 में 0 अपवाद। square होना टूटने का एक ख़ास मामला है, जिसमें दोनों हिस्से बराबर होते हैं। एक और जाँच भी हुई, 5760 expressions जान-बूझकर एक factor गुना square के रूप में बनाए गए और matcher को ठंडे दिए गए।

16:01उसने 864 सीधे ले लिए और 4896 से इनकार किया। उन 4896 में से common factor वाली चाल ने 4896 बचा लिए। तो यह तरीक़ा एक recogniser है, general factoriser नहीं। जब यह हाँ कहता है तब यह सही होता है, क्योंकि हाँ कहने का मतलब ही है कि test पास हुआ। और जो 790 टूटते हैं पर square नहीं हैं, उनके लिए एक और तरीक़ा चाहिए।