PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to ProbabilityPrepShorts

Chapter 7 · The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability

0-to-1 मापक्रम, और उसके दोनों सिरों का मतलब

What probability measures14 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

14 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 9 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

3 बटा 4 सुनकर ज्यादातर लोग यह समझ लेते हैं कि बात हो ही जाएगी। वह इतना नहीं कहता। वह सिर्फ़ इतना कहता है कि होने का मौका न होने से भारी है — और scale पर वह दाईं तरफ बैठता है, पर सिरे पर नहीं। इसी तरह 1 बटा 2 का मतलब यह नहीं कि आपको कुछ पता नहीं; उसका मतलब है कि दोनों जवाब बराबर संभव हैं। पता न होना आपकी हालत है, घटना की नहीं, और उस पर कोई number नहीं बैठता।

मुख्य idea

0 और 1 किसी ने चुने नहीं; वे मजबूरी हैं। probability एक हिस्से को पूरे के सामने रखकर नापी जाती है — जो outcomes गिने जाते हैं, उन सबमें से — इसलिए वह न शून्य से नीचे गिर सकती है और न एक से ऊपर चढ़ सकती है, और दोनों सिरे ठीक वही दो चरम मामले हैं: कोई भी outcome खरा न उतरे, या हर एक उतरे। Fig. 7.1 वही दलील है, कही हुई नहीं, खींची हुई। गड्डी को छह cards पर टिकाए रखिए, सिर्फ़ यह बदलिए कि उनमें बैंगनी कितने हैं, और बैंगनी card निकलने की probability पूरे मापक्रम पर एक-बटा-छह के पगों से चल पड़ती है — ऐसी गड्डी से जिसमें एक भी बैंगनी card नहीं, ऐसी गड्डी तक जिसमें और कुछ है ही नहीं। मापक्रम probability के बग़ल में रखा हुआ कोई पैमाना नहीं है; वह तो वही है जो किसी तय पूरे के एक हिस्से को गिनने से निकल आता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • वह परास बताइए जिस पर probability नापी जाती है, और यह कि 0 का मान और 1 का मान अलग-अलग क्या कहते हैं
  • दशमलव में दी गई probability पढ़कर उसे प्रतिशत में दोबारा कहिए, और उल्टा भी
  • समझाइए कि कोई probability ऋणात्मक क्यों नहीं हो सकती और कोई 1 से आगे क्यों नहीं जा सकती
  • Fig. 7.1 पढ़िए: बताइए कि पाँचों गड्डियों में से हर एक में कितने बैंगनी cards हैं, और हर एक के लिए probability निकालिए
  • समझाइए कि गड्डी का आकार तय रहते हुए बैंगनी cards की संख्या बढ़ने पर probability मापक्रम पर ऊपर क्यों चढ़ती है
  • छपे हुए पाँचों नामों — असंभव, कम संभावित, समान संभावना, अधिक संभावित, निश्चित — को मापक्रम पर क्रम में रखिए, और कहिए कि इनमें से कौन ठीक-ठीक मान बताते हैं
  • chapter की पाँचों नमूना घटनाओं को मापक्रम के सामने वर्गीकृत कीजिए और दी हुई गिनतियों से उसे सही ठहराइए
  • Summary का संकेत P(E) बरतिए और वह असमिका बताइए जिसे वह पूरा करता है
  • रोज़मर्रा की चार घटनाओं को कारण सहित मापक्रम पर क्रम में रखिए (Exercise Set 7.1)

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
probability scale0 से 1 तक की वह परास जिस पर हर probability बैठती हैप्रायिकता मापक्रम§7.1.2 (p. 158) में bold में छपा है; §7.1 (p. 156) के सिरे पर इसका नाम पहले ही आ चुका है
impossibleऐसी घटना के बारे में जिसकी probability 0 होअसंभव§7.1.2 (p. 157) में bold में और Fig. 7.1 (p. 158) में एक नाम की तरह छपा है
certainऐसी घटना के बारे में जिसकी probability 1 होनिश्चित§7.1.2 (p. 157) में और Fig. 7.1 (p. 158) में एक नाम की तरह छपा है
even chanceमापक्रम का बीचोंबीच, जहाँ दो outcomes समसंभाव्य होंसमान संभावनाFig. 7.1 में एक नाम की तरह और घटनाओं वाली table (pp. 158–159) में छपा है
less likelyऐसी घटना के बारे में जो 0 और बीच के बीच पड़ेकम संभावितFig. 7.1 (p. 158) में एक नाम की तरह छपा है
more likelyऐसी घटना के बारे में जो बीच और 1 के बीच पड़ेअधिक संभावित§7.1.2 (p. 157) में bold में और Fig. 7.1 (p. 158) में एक नाम की तरह छपा है
equally likelyऐसे outcomes के बारे में जिनमें से किसी एक को तरजीह देने का कारण न होसमसंभाव्य§7.1.2 (p. 157) में bold में छपा है
deckवह संग्रह जिसमें से card निकाला जाता है — Fig. 7.1 में छह cards, table में बावनगड्डी§7.1.2 (p. 157) में और घटनाओं वाली table (p. 159) में छपा है
P(E)किसी घटना E की probability के लिए chapter का संकेतP(E) — प्रायिकता का संकेतChapter Summary (p. 173) में छपा है; §7.2.2 P(Event) और P(Outcome) बरतता है (p. 161)
percentageसौ में से लिखकर दोबारा कही गई probabilityप्रतिशत§7.1.2 में इसका वर्णन है पर नाम नहीं, जो 75% और 50% लिखता है और शब्द नहीं बरतता (p. 157)
number lineवह रेखा जिससे chapter मापक्रम की तुलना करता हैसंख्या रेखाFig. 7.1 वाले अनुच्छेद के सिरे पर छपा है (p. 158)
step of one sixthमापक्रम पर छह-card वाली लगातार गड्डियों के बीच का अंतरालएक-बटा-छह का पगयहाँ जोड़ा गया वाक्यांश; chapter की figure पग दिखाती है और उन्हें नापती नहीं

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण यहाँ नहीं देखा गया।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "कोई probability 150% हो सकती है, या −0.2।" नहीं हो सकती, और कारण ढाँचे का है, रटने वाला कोई नियम नहीं: अंश उसी का एक हिस्सा गिनता है जिसे हर गिनता है, इसलिए भिन्न 0 और 1 के बीच ही पड़ती है, दोनों सिरे शामिल।
  • "0.5 का मतलब है मुझे पता नहीं।" वह घटना के बारे में एक दावा है — दोनों outcomes समसंभाव्य हैं। न जानना तो उस व्यक्ति की हालत है, और उसकी कोई संख्या होती ही नहीं।
  • "probability 1 का मतलब है कि पहले हमेशा ऐसा ही हुआ है।" इसका मतलब है कि सूची का हर outcome गिना जाने वाला है। पूरी लाल मिठाइयों वाली थैली निश्चित इसलिए है कि उसमें और कुछ है ही नहीं, किसी इतिहास के कारण नहीं।
  • "पाँचों शब्द पाँच मान हैं।" इनमें से तीन संख्या पर कील ठोकते हैं — असंभव 0 है, समान संभावना 0.5 है, निश्चित 1 है। कम संभावित और अधिक संभावित क्षेत्र हैं, और Fig. 7.1 उनमें 1/6 और 5/6 को रखती है, यह दावा किए बिना कि मान वही हैं।
  • "अधिक संभावित का मतलब है कि वह होगा ही।" 5/6 न होने से अधिक संभावित है और फिर भी छह में एक बार हार जाता है।
  • "मापक्रम भिन्न से अलग कोई चीज़ है।" वे एक ही संख्या हैं। मापक्रम सिर्फ़ यह दिखाता है कि 0 और 1 के बीच की कोई भिन्न कहाँ बैठती है, और इसीलिए chapter उसकी तुलना संख्या रेखा से करता है।
  • "गड्डी बड़ी, probability बड़ी।" Fig. 7.1 में गड्डी का आकार जान-बूझकर छह पर तय रखा गया है। बदलती तो बैंगनी की गिनती है। जो दोनों एक साथ बदल देता है उसने figure से कुछ नहीं सीखा।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains End-of-Chapter Exercises Q1

पूरा transcript2,346 शब्द

मान लीजिए किसी बात का मौका 3 बटा 4 बताया गया है। बोर्ड पर देखिए — यही number दशमलव में 0 दशमलव 7 5 है, और 100 में से 75 भी। तीनों एक ही चीज हैं, सिर्फ़ लिखने का ढंग अलग है। पर यह number दावा क्या कर रहा है? बहुत से students को लगता है कि इतना बड़ा number होने की गारंटी देता है। नहीं — यह सिर्फ़ इतना कहता है कि होने का मौका न होने से भारी है।

यह नहीं कहता कि वह बात हो ही जाएगी। इसे scale पर रखकर देखिए। 0 से 1 तक का एक scale खींचिए और उस पर 3 बटा 4 निशान लगाइए। यह दाईं तरफ बैठता है, पर सिरे पर नहीं। तो एक सवाल: 3 बटा 4 के बारे में कौन सी बात गलत होगी — यह कि होना भारी है, या यह कि होना तय है? भारी होना दावा है, तय होना नहीं।

जो number सिरे पर नहीं है, वह कुछ तय नहीं करता। अब scale के ठीक बीच पर आइए, और वहाँ का निशान देखिए। 1 बटा 2 का मतलब है कि दोनों जवाब बराबर संभव हैं। यह उस बात के बारे में कही गई बात है, किसी की हालत के बारे में नहीं। पर यहाँ एक सोच अटक जाती है। बहुत से students 1 बटा 2 को इस तरह पढ़ते हैं कि मुझे पता ही नहीं।

ऊपर बुलबुले में वही लिखा देखिए। पर पता न होना आपकी हालत है, उस घटना की नहीं। उस हालत पर कोई number नहीं बैठता। तो 1 बटा 2 किसके बारे में कही गई बात है — उस घटना के, या आपके? वह उस घटना के बारे में है, इसलिए वह एक दावा है, कंधे उचकाना नहीं। दावा गलत हो सकता है और जाँचा जा सकता है; कंधे उचकाना दोनों नहीं।

अब scale के दोनों सिरे देखिए। 0 का मतलब है कि गिनने लायक एक भी जवाब नहीं है। 1 का मतलब है कि हर जवाब गिनने लायक है। अब नीचे दोनों तस्वीरें देखिए। बाएँ सिरे पर एक die रखिए और उससे 6 से बड़ा face माँगिए — वह है ही नहीं, तो मौका 0 है। दाएँ सिरे पर एक bag रखिए जिसमें हर sweet purple है — तो purple निकलने का मौका 1 है।

तो क्या ये सिरे सिर्फ़ सजावट हैं? कई students को लगता है कि कोई घटना वहाँ पहुँचती ही नहीं। दोनों सिरे असली number हैं, पर ज्यादातर घटनाएँ इनके बीच में बैठती हैं, ठीक सिरे पर नहीं। यही बात आगे नापी जाएगी। अब इसकी वजह देखिए। मौका हमेशा एक हिस्से को पूरे के मुकाबले गिनकर निकलता है। ऊपर गिनती उसी चीज की है जिसकी नीचे गिनती है। कुछ भी मत रंगिए, तो ऊपर 0 आता है।

पूरा रंग दीजिए, तो ऊपर और नीचे एक ही गिनती होती है और जवाब 1 आता है। इन दोनों से बाहर जाने के लिए हिस्से को पूरे से बड़ा करना पड़ेगा। तो क्या यह सिर्फ़ मान लेने वाली बात है? बहुत से students यही सोचते हैं कि 0 और 1 किसी ने तय कर दिए। बहस के बजाय गिन डालिए — 11 अलग-अलग deck के आकार लेकर हर मुमकिन deck बनाइए — कुल 214 बनते हैं।

इनमें 0 से नीचे गिरने वाले 0 हैं, और 1 से ऊपर जाने वाले भी 0। उनमें से 11 ठीक 0 पर बैठते हैं और 11 ठीक 1 पर, और बाकी 192 दोनों के बीच में। यानी दोनों सिरे छुए भी जाते हैं और पार भी नहीं होते। 6 में से 7 purple माँगिए तो जवाब मिलता ही नहीं, मना कर दिया जाता है। घटाकर माँगिए तो भी, और बिना किसी card के deck माँगिए तो भी।

पर एक आम deck मना नहीं होता — वरना ये तीनों मना करना कुछ साबित न करते। अब एक deck लीजिए जिसमें 6 card हैं। बोर्ड पर देखिए — इनमें कुछ purple हैं और बाकी green। deck का आकार पूरे वक्त 6 ही रहेगा। तो इस तस्वीर में बदलेगा क्या? यहाँ एक ही dial घूमेगा — purple card की गिनती। जो deck का आकार भी साथ-साथ बदल देता है, वह इस तस्वीर से कुछ नहीं सीखता।

तो एक सवाल: अगर deck में purple card एक भी न हो, तो purple निकलने का मौका क्या होगा? बाईं तरफ देखिए। 0 purple वाले deck से purple निकल ही नहीं सकता, तो मौका 0 है। 6 purple वाले deck से purple के अलावा कुछ निकल ही नहीं सकता, तो मौका 1 है। दोनों सिरे इसी एक deck से मिल गए। और बीच वाले? कई students यहाँ deck के आकार को भी बदलने लगते हैं, पर वह 6 ही रहेगा।

अब बीच वाले तीनों देखिए — 1 purple हो तो मौका 1 बटा 6, 3 purple हों तो 3 बटा 6 यानी 1 बटा 2, और 5 purple हों तो 5 बटा 6। इन पाँचों को scale पर उनकी असली जगह रखिए — 0, 1 बटा 6, 1 बटा 2, 5 बटा 6 और 1। ध्यान रखिए, यह जगह गिनती से निकली है, किसी खाने के बँटवारे से नहीं। यानी एक ही dial घुमाकर मौका scale के एक सिरे से दूसरे सिरे तक चल दिया, और deck का आकार कभी नहीं बदला।

अब गिनिए कि 6 card से कितने अलग deck बन सकते हैं। पहली नजर में लगता है कि जितने तस्वीर में हैं, उतने ही होंगे। purple की गिनती 0 से 6 तक जा सकती है, तो deck बनते हैं 7, और 5 नहीं। नीचे देखिए और इन 7 पायदानों के बीच के फासले नापिए। अलग-अलग फासले कितने तरह के हैं? सिर्फ़ 1 तरह के, और वह फासला है 1 बटा 6।

अब ऊपर देखिए। जो तस्वीर आमतौर पर बनाई जाती है उसमें 5 deck ही दिखते हैं, और 2 छूट जाते हैं। वे हैं 2 purple और 4 purple वाले, जिनका मौका 1 बटा 3 और 2 बटा 3 है। इसका असर यह है कि जो 5 दिखते हैं वे बराबर फासले पर नहीं हैं — उनके बीच पायदानों की गिनती 1, 2, 2, 1 है। दोनों छूटे हुए वापस रख दीजिए, तो फासले सचमुच बराबर हो जाते हैं।

अब वह गलती जो यह तस्वीर खुद बुलाती है। 5 शब्द बराबर फासले पर लिखे हों तो उन्हें 5 number की तरह पढ़ लिया जाता है — 0, 1 बटा 4, 1 बटा 2, 3 बटा 4 और 1। तो यह पढ़ना कितना गलत है? इसे असली गिनती के साथ रखकर देखिए। 5 में से 3 पर यह पढ़ना ठीक बैठता है, और 2 पर नहीं। दोनों गलतियाँ एक ही नाप की हैं — 1 बटा 12।

पर एक ऊपर की तरफ है और दूसरी नीचे की तरफ। दोनों को जोड़ दीजिए तो 0 मिलता है। इसीलिए यह गलती बेऐब लगती है — औसत में छिप जाती है, पर हर एक deck पर मौजूद रहती है। अब शुरू वाला number वापस लाइए। सवाल यह है: क्या 6 card वाला कोई deck 3 बटा 4 दे सकता है? बोर्ड पर सातों पायदान देख लीजिए — 3 बटा 4 देने वाले deck 0 हैं।

वह 2 बटा 3 और 5 बटा 6 के बीच में गिरता है, किसी पायदान पर नहीं। नीचे देखिए — जो आकार यह दे सकते हैं वे हैं 4, 52 और 100। ऊपर देखिए — पूरे pack से माँगिए तो इसके लिए 39 card चाहिए। इन तीनों में एक बात एक जैसी है — तीनों 4 के गुणक हैं, और इस जाँच में इसका कोई अपवाद 0 है। यानी deck का आकार तय कर देता है कि कौन से number कहे ही जा सकते हैं।

अब ऊपर वे 5 शब्द देखिए जो इस scale पर लिखे जाते हैं — नामुमकिन, कम संभव, बराबर मौका, ज्यादा संभव और पक्का। हर एक scale के एक हिस्से पर बैठता है। अब इन्हें जाँचकर देखिए। scale पर 61 जगहें लेकर हर एक पर पूछिए कि कितने शब्द उसे अपना कहते हैं। जिन पर एक से ज्यादा शब्द दावा करते हैं वे 0 हैं, और जिन पर कोई शब्द नहीं पहुँचता वे भी 0।

तो क्या पाँचों एक जैसे हैं? पहली नजर में लगता है कि हाँ। पर इनमें से 3 ठीक एक number पर उँगली रखते हैं — नामुमकिन 0 पर, बराबर मौका 1 बटा 2 पर, पक्का 1 पर। बाकी 2 एक इलाका घेरते हैं। यह देखिए — 7 पायदानों में से 4 उन्हीं 2 शब्दों के हिस्से में आते हैं, यानी हर एक के पास एक से ज्यादा। इसलिए कम संभव कोई एक number नहीं है, वह एक इलाका है।

अब 5 घटनाएँ scale पर रखिए, और नीचे उनके निशान देखिए। die पर 6 से बड़ा face माँगिए — वह face है ही नहीं, तो मौका 0। एक बार die फेंकने पर 3 आना — 6 में से 1 face, यानी 1 बटा 6। coin पर heads — 1 बटा 2। अगली दोनों का मौका कितना होगा? पूरे pack से 2 से 10 तक का कोई number — यह 9 बटा 13 बनता है।

और जिस bag में हर sweet purple है, उससे purple — मौका 1। पाँचों के नीचे उनका शब्द लिखिए। पाँचों अलग-अलग शब्द लेते हैं, यानी यह table पूरे scale को एक-एक बार छूता है। बहुत से students यह 36 बिना गिने मान लेते हैं। उसे मान मत लीजिए, बना लीजिए। 2 से 10 तक के number कितने हैं? गिनने पर 9 निकलते हैं। इनमें से हर number कितने suit में आता है?

suit की गिनती 4 है। तो गिनने लायक card हुए 36। बोर्ड पर देखिए — इन्हें पूरे pack के मुकाबले गिनिए, 52 card में से 36। यह छोटा करके 9 बटा 13 बनता है। अब एक सवाल: यह 9 बटा 13 और वह 5 बटा 6 वाला deck — दोनों ज्यादा संभव की तरफ हैं, पर इनमें बड़ा कौन है? scale पर रखते ही दिख जाता है — 9 बटा 13 बाईं तरफ बैठता है, यानी वह 5 बटा 6 से छोटा है।

एक ही शब्द के नीचे आना बराबर होना नहीं है। 5 purple वाला deck ज्यादा संभव की तरफ है, और यहीं बहुत से students इसे हो ही जाना पढ़ लेते हैं। पर बचा हुआ हिस्सा गायब नहीं होता — purple न निकलने का मौका 1 बटा 6 है। नीचे गिनकर देखिए। 6 बार निकालिए तो उनमें से 1 बार purple न आने की उम्मीद है। 60 बार निकालिए तो 10 बार।

तो क्या ज्यादा संभव का मतलब हो ही जाना है? ऊपर दोनों लिखे देखिए — नहीं, ये एक बात नहीं हैं। scale पर 1 से पहले जो भी है, वह कभी-कभी चूकता है। अब दूसरा dial घुमाइए और बोर्ड पर देखिए। 6 card में 1 purple का मौका 1 बटा 6 है। उसी 1 purple को 52 card के pack में रख दीजिए, तो मौका 1 बटा 52 रह जाता है।

यानी deck बड़ा कर देने से मौका बड़ा नहीं होता, छोटा होता है। बहुत लोग यहीं उल्टा सोच लेते हैं। तो क्या deck बड़ा करना हमेशा उल्टा पड़ता है? अब दोनों dial साथ घुमाइए और नीचे देखिए। 6 में से 3 और 52 में से 26 — दोनों scale पर एक ही निशान पर बैठते हैं। इनका फर्क 0 है। तो ये 2 अलग dial हैं, और scale सिर्फ़ उनका अनुपात दिखाता है।

एक अकेला घूमे तो निशान हिलता है, दोनों बराबर घूमें तो नहीं। अब वही पहली बात, पर जाँचकर। 6 number लेकर तीनों ढंग में लिखिए और हाथ से लिखे per cent के साथ मिलाइए। न मिलने वाले 0 हैं। 3 बटा 4 को 100 में से लिखिए तो 75 है, 1 बटा 2 है 50, और 1 बटा 5 है 20। यहाँ तक तीनों कोट ठीक बैठते हैं। पर हर number पर नहीं बैठता।

नीचे देखिए — 1 बटा 6 को 3 जगह तक लिखिए तो 167 बटा 1000 मिलता है — और यह 1 बटा 6 है ही नहीं। फर्क कितना है? एक छठे हिस्से के मुकाबले यह फर्क 1 बटा 500 है। छोटा है, पर 0 नहीं — इसीलिए fraction सही ढंग है और दशमलव सुविधा। इसी वजह से 7 पायदानों में से सिर्फ़ 3 पूरे per cent देते हैं — 0, 50 और 100।

बाकी 4 पर दशमलव कभी खत्म ही नहीं होता। अब 4 रोजमर्रा की घटनाएँ। किसी भी दिन के बाद वाला दिन उसके अगले दिन ही आता है — 7 में से 7 बार, तो मौका 1, यानी पक्का। जहाँ समुद्र साल भर गरम रहता है, वहाँ साल के सबसे गरम दिनों में बर्फ नहीं गिरती — नामुमकिन, 0 पर। बाकी 2 सिरों पर नहीं बैठतीं, और यहाँ लग सकता है कि इन्हें भी कोई number दे दिया जाएगा।

classroom में आज elephant आ जाना कम संभव है, और कल school में कम से कम एक दोस्त से मिलना ज्यादा संभव। इन दोनों को यहाँ एक इलाका मिलता है, कोई number नहीं। तो इनमें से कितनी ठीक सिरे पर बैठती हैं? गिनती बोर्ड पर है — 2 सिरे पर बैठती हैं और 2 को इलाका मिलता है। चारों अलग-अलग शब्द लेती हैं, और 5 में से 1 शब्द बिना इस्तेमाल के बचा रह जाता है।

बचा हुआ शब्द है बराबर मौका। कोई भी घटना ठीक बीच पर नहीं गिरी, और यह बात इन्हीं 4 के बारे में है, scale के बारे में नहीं। अब पूरी बात का संकेत। किसी घटना E के मौके को P(E) लिखा जाता है, और उस पर यह शर्त है कि वह 0 और 1 के बीच रहता है। बाएँ का चिह्न वह 214 वाली जाँच है जिसमें 0 से नीचे कुछ नहीं गिरा, और दाएँ का वह जिसमें 1 से ऊपर कुछ नहीं गया।

और दोनों चिह्नों में बराबर वाला हिस्सा क्यों है? क्योंकि दोनों सिरे छुए जाते हैं — 11 deck ठीक 0 पर बैठे और 11 ठीक 1 पर। एक हद यहाँ साफ रखनी है। इस पूरे हिस्से में 0 और नामुमकिन एक ही चीज हैं, क्योंकि हर list गिनी जा सकने वाली छोटी list है। एक घेरे पर जहाँ जगह लगातार है, ये दोनों अलग हो जाते हैं — किनारे से एक पतली पट्टी का हिस्सा 19 बटा 100 से घटते-घटते लगभग कुछ नहीं रह जाता, पर किनारा खुद कभी गायब नहीं होता।

यह बात यहाँ की अपनी है, और इससे आगे नहीं जाना। जो सवाल खड़ा है वह यह है कि वह number निकाला कैसे जाए — किस गिनती से, और किन शर्तों पर। scale तैयार है, number अभी नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab