PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to ProbabilityPrepShorts

Chapter 7 · The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability

सांख्यिकीय आँकड़ों से आकलन, और आकलन को बढ़ाकर पूरी समष्टि तक ले जाना

Two honest ways to get a number12 मिनट

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मौका निकालने के 2 रास्ते हम देख चुके हैं — एक record पढ़ता है, दूसरा जवाब गिनता है। यहाँ तीसरी जगह से number आता है: पहले से जमा हुए data से। एक class के 50 students से उनका पसंदीदा फल पूछा गया — mango 20, apple 15, banana 10 और grapes 5, जोड़ ठीक 50। mango का हिस्सा 20 बटा 50 है, यानी 2 बटा 5, दशमलव में 0 दशमलव 4, सैकड़े में 40 प्रतिशत।

मुख्य idea

किसी प्रतिदर्श को पूरी समष्टि के बारे में कथन में बदल देना गणित की दृष्टि से मामूली है और जानने की दृष्टि से महँगा: वह एक ही गुणा है, जो इस मान्यता पर टिकी है कि जो हिस्सा आपने देखा वह उस पूरे जैसा ही है जो आपने नहीं देखा। chapter अपना उदाहरण ऐसे गढ़ता है कि मान्यता से नज़र हटाना मुश्किल हो जाए — एक ही class के पचास students पूरे school के पंद्रह सौ students की जगह खड़े हुए — और फिर अपना उपाय ऐसे नाम देता है कि एक ही वाक्य के अंदर दो बिलकुल अलग मरम्मतें छिप जाती हैं। और students से पूछना आकलन को ज़्यादा स्थिर बनाता है; दूसरी classes और कक्षाओं के students से पूछना उसे school के बारे में बनाता है, तब कहीं। उसी class से लिया गया बड़ा प्रतिदर्श कुछ भी ठीक नहीं करता, और यही वह भेद है जिसके लिए यह topic मौजूद है।

आपको क्या आना चाहिए

  • सर्वेक्षण की गिनतियों से प्रायिकता का आकलन सापेक्ष बारंबारता की तरह निकालिए
  • समझाइए कि यादृच्छिक रूप से चुना गया उत्तरदाता ही वह चीज़ है जो उस सापेक्ष बारंबारता को प्रायिकता बनाती है
  • प्रतिदर्श के अनुपात को बढ़ाकर पूरी समष्टि तक ले जाइए और आकलन को एक गिनती की तरह बताइए
  • दिखाइए कि सारे वर्गों के बढ़ाए हुए आकलनों का जोड़ पूरी समष्टि होना ही चाहिए, और इसे जाँच की तरह बरतिए
  • प्रतिदर्श का आकार बढ़ाने और उसे प्रतिनिधिक बनाने में फ़र्क़ कीजिए, और कहिए कि हर एक क्या ठीक करता है
  • किसी बताए हुए सर्वेक्षण के लिए समष्टि, प्रतिदर्श और प्रतिचयन शब्द सही-सही बरतिए
  • हल किए हुए एक मामले के साथ समझाइए कि ठीक भिन्न से बढ़ाना पूर्णांकित दशमलव से बढ़ाने से बेहतर क्यों है
  • एक हज़ार दर्ज मामलों की table से प्रायिकताएँ सीधे पढ़ लीजिए
  • बताइए कि बढ़ाया हुआ आकलन क्या नहीं है — न कोई गिनती, न कोई गारंटी, न समष्टि की कोई माप

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
statistical dataजो हो चुका है उसके रिकॉर्ड, किसी प्रायिकता के प्रमाण की तरह बरते हुएसांख्यिकीय आँकड़े§7.2.3 (p. 162) के heading में और §7.2 के पहले रास्ते (p. 159) में छपा है
populationवह पूरा समूह जिसके बारे में आकलन होना हैसमष्टि§7.2.3 (p. 162) में bold में छपा है
sampleसमष्टि का वह हिस्सा जिससे आपने सचमुच आँकड़े जुटाएप्रतिदर्श§7.2.3 (p. 162) में bold में छपा है
samplingसमष्टि का कौन सा हिस्सा देखा जाए, यह चुनने की रीतिप्रतिचयन§7.2.3 (p. 163) के अंत में bold में छपा है
representativeऐसे प्रतिदर्श के बारे में जो जिन बातों में मायने रखता है उनमें समष्टि जैसा होप्रतिनिधिक§7.2.3 (p. 163) में और फिर LEARN MORE ABOUT SAMPLING box (p. 163) में छपा है
biasedऐसे प्रतिदर्श के बारे में जो समष्टि के किसी हिस्से को व्यवस्थित ढंग से ज़्यादा या कम दिखाता होअभिनत / पक्षपातीLEARN MORE ABOUT SAMPLING box (p. 163) में छपा है
sample sizeसमष्टि के कितने सदस्यों का सर्वेक्षण हुआप्रतिदर्श आकारLEARN MORE ABOUT SAMPLING box (p. 163) में छपा है; sample space के लिए यह §7.3.1 (p. 166) में परिभाषित है
relative frequencyकोई गिनती, जुटाई गई कुल संख्या से भाग दी हुईसापेक्ष बारंबारता§7.2.1 (p. 160) में bold में छपा है, और §7.2.3 यही राशि निकालता है
estimateऐसा मान जो नापा नहीं, अधूरे प्रमाण से निकाला गया होआकलन§7.2.3 (p. 162) में छपा है
forecastingआगे की राशियों का पूर्वानुमान, जो इस तरीक़े के उपयोगों में से एक की तरह दिया गया हैपूर्वानुमान§7.2.3 (p. 162) में छपा है
scaling upप्रतिदर्श के अनुपात को समष्टि के आकार से गुणा करनाबढ़ाकर आकलन करनायहाँ जोड़ा गया वाक्यांश; chapter यह क़दम करता है और उसे नाम नहीं देता
category total checkबढ़ाए हुए आकलनों को जोड़कर पक्का करना कि वे पूरी समष्टि को भर देते हैंवर्ग योग जाँचयहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter यह जाँच कभी करता ही नहीं

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण यहाँ नहीं देखा गया।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "प्रतिदर्श का अनुपात ही समष्टि का अनुपात है।" वह उसका आकलन है। 600 आमों के लिए chapter का शब्द लगभग है, और वही शब्द पूरी दलील उठाए हुए है।
  • "बड़ा प्रतिदर्श पक्षपाती प्रतिदर्श को ठीक कर देता है।" नहीं करता। उसी class से दो सौ बार पूछ लीजिए और आप उसी class के बारे में बहुत सटीकता से जान जाएँगे। आकार और प्रतिनिधिकता अलग-अलग मरम्मतें हैं, और chapter का अपना box भी उन्हें अलग ही नाम देता है।
  • "600 उतने ही आम हैं जितने school को चाहिए होंगे।" वह वही है जो आकलन सुझाता है। 1500 का कोई असली school 40 : 30 : 20 : 10 में नहीं बँटेगा।
  • "आँकड़ों से निकली प्रायिकता अलग क़िस्म की प्रायिकता है।" वह सापेक्ष बारंबारता है, ठीक वैसी ही जैसी §7.2.1 में, बस परीक्षणों की जगह उत्तरदाता हैं।
  • "दशमलव को पूर्णांकित कीजिए, फिर गुणा कीजिए।" 0.23 × 600 = 138, जबकि 7/30 × 600 = 140। पहले काटिए।
  • "सबसे ही पूछ लीजिए।" प्रतिचयन के लिए chapter का अपना कारण यह है कि पूरी समष्टि से जुटाना आम तौर पर व्यावहारिक नहीं होता। यह लागत और पहुँच के बारे में एक तथ्य है, आलस के बारे में नहीं।
  • "नाम छिपा होने का मतलब यादृच्छिक होना है।" फलों का सर्वेक्षण नाम छिपाकर होता है, जो जवाबों की हिफ़ाज़त करता है। आकलन को प्रायिकता जो बनाती है वह यह है कि student यादृच्छिक रूप से चुना गया, और वह एक अलग गुण है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 7.2 Q1, Exercise Set 7.2 Q2, End-of-Chapter Exercises Q7

पूरा transcript1,840 शब्द

मौका निकालने के 2 रास्ते हम देख चुके हैं: एक record पढ़ता है, दूसरा जवाब गिनता है। आज तीसरी जगह से number आता है — पहले से जमा हुए data से, यानी उन बातों से जो हो चुकी हैं। यह कोई किताबी बात नहीं है। marketing, आगे का अंदाजा लगाना, insurance और research — सब इसी तरीके पर चलते हैं। एक class के 50 students से बिना नाम लिखे पूछा गया कि उन्हें कौन-सा फल सबसे अच्छा लगता है।

mango 20, apple 15, banana 10 और grapes 5। पहली जाँच: इन चारों को जोड़िए तो पूरे 50 बनते हैं। यानी न कोई student छूटा, न किसी को 2 बार गिना गया। mango का हिस्सा है 20 बटा 50। इसे छोटा कीजिए तो 2 बटा 5, दशमलव में 0 दशमलव 4, और सैकड़े में 40 प्रतिशत। एक ही number, लिखने के 3 तरीके। इस number का नाम वही है जो पिछली बार था — सापेक्ष बारंबारता।

फर्क सिर्फ इतना है कि trial की जगह अब students हैं। चारों फलों के हिस्से जोड़िए तो पूरा 1 बनता है, और यह बात आगे बहुत काम आने वाली है। पर रुकिए — यह सिर्फ एक गिनती है। यह मौका किस वजह से बन जाती है? जवाब है: student को बिना देखे चुना गया है। इसका मतलब हर student का वजन बराबर है, और सारे वजन जुड़कर पूरा 1 बनते हैं।

इसीलिए mango वाला जवाब मिलने का मौका ठीक उतना ही है जितना उसका हिस्सा — 2 बटा 5। अब बिना देखे चुनने की जगह कोई नियम बना लीजिए — मान लीजिए हमेशा वही एक student। तब जवाब या तो पक्का mango होगा या पक्का नहीं, कभी 2 बटा 5 नहीं। सारे 50 नियमों में से एक भी हिस्सा नहीं देता। और एक बात जो अक्सर मिला दी जाती है: बिना नाम लिखे पूछना और बिना देखे चुनना — ये 2 अलग चीजें हैं।

पहली जवाबों को बचाती है, दूसरी हिस्से को मौका बनाती है। अब पूरे school की बात। school में 1500 students हैं, और पूछा गया सिर्फ एक class के 50 से। अनुमान लगाने के लिए बस एक गुणा करना है: 1500 गुना 20 बटा 50। पहले काटिए: 1500 बटा 50 बराबर 30, और 30 गुना 20 बराबर 600। तो अनुमान है करीब 600 students। यह गुणा असल में क्या मान रहा है, वह बोर्ड पर देखिए: इसी class को 30 बार रखकर पूरा school भर दिया गया है।

30 copy में 20-20 mango, यानी वही 600। यानी अनुमान यह मान रहा है कि पूरे school का स्वाद ठीक इसी एक class जैसा है। पूरी बहस इसी एक बात पर है। बाकी तीनों भी उसी तरह: apple 450, banana 300 और grapes 150। अब जोड़िए: 600 और 450 और 300 और 150 — ठीक 1500। यह इत्तेफाक नहीं है: चारों हिस्से जुड़कर 1 बनते थे, इसलिए चारों अनुमान जुड़कर पूरा school बनेंगे।

और यही एक जाँच है जो बढ़ाकर लगाए गए अनुमान के पास होती है। इसका नाम रख लीजिए: जोड़ की जाँच। और यह जाँच सचमुच मना कर सकती है। एक भी जवाब गिनने से छूट जाए तो कुल 1470 आता है — 30 की कमी। किसी को 2 बार गिन लें तो 1530 — 30 ज्यादा। एक छोटे sample पर सारे मुमकिन बँटवारे एक साथ जाँच लेते हैं। 30 लोगों को 3 किस्मों में बाँटने के कुल 496 तरीके हैं, और 496 के 496 जाँच पास कर जाते हैं।

और अगर पूछे 29 से जाएँ पर हिसाब 30 का लगाया जाए, तो उन 465 बँटवारों में से एक भी पास नहीं होता। यानी जाँच खाली नहीं है — वह ना भी कह सकती है। अब साफ कर लेते हैं कि यह 600 है क्या नहीं। यह school की गिनती नहीं है; यह वादा नहीं है कि इतने ही students mango माँगेंगे; और यह school की कोई नाप भी नहीं है।

यह सिर्फ एक number को दूसरे से गुणा किया हुआ है। इतना हल्का कि उन 50 में से एक भी जवाब बदल जाए तो अनुमान 30 students हिल जाता है। और कोई दूसरी class होती जिसमें 25 students mango कहते, तो वही हिसाब 750 दे देता। इसका इलाज आमतौर पर एक ही वाक्य में बताया जाता है: sample बड़ा कीजिए, और उसमें दूसरी classes के students भी रखिए। सवाल यह है — ये एक इलाज हैं या 2?

जवाब देने के लिए एक इतना छोटा school लेते हैं कि उसका हर मुमकिन sample गिना जा सके: 12 students, 3 classes, हर class में 4। जिस class से पूछा गया, उसमें 4 में से 3 को mango पसंद है, यानी हिस्सा 3 बटा 4। बाकी दोनों classes में 4 में से सिर्फ एक-एक को। पूरे school का हिस्सा 5 बटा 12 है। इन दोनों के बीच का फर्क है 1 बटा 3।

यही वह फर्क है जिसे कोई भी sample इस class के अंदर रहकर मिटा नहीं सकता। अब उस class से पूछते जाइए — पहले एक से, फिर 2 से, फिर 3 से, फिर चारों से — और हर बार हर मुमकिन sample का औसत जवाब देखिए। जवाब हर size पर वही रहता है: 3 बटा 4। sample बड़ा करने से औसतन मिलने वाला जवाब जरा भी नहीं हिलता। और school के जवाब से उसकी दूरी भी हर size पर वही 1 बटा 3 रहती है — चारों से पूछ लेने पर भी, जो उस class का सबसे बड़ा मुमकिन sample है।

अब वही काम पूरे school पर: sample चाहे एक student का हो या 12 का, औसतन मिलने वाला जवाब हर बार 5 बटा 12 है — यानी school का अपना जवाब। और उतार-चढ़ाव का क्या होता है? वह हर बार पहले से कम होता जाता है। 12 sizes में से किन्हीं 2 का उतार-चढ़ाव बराबर नहीं है — हर बार कम, कभी बराबर नहीं। और जब पूरे school से पूछ लिया जाता है, तो उतार-चढ़ाव बचता ही नहीं।

यही वह सुधार है जो sample बड़ा करने से मिलता है। अब सबसे जरूरी नाप। उसी एक class वाले sample को school के जवाब के मुकाबले नापिए। वह सुधरता तो है, पर एक जगह जाकर रुक जाता है। वह रुकता है 1 बटा 9 पर। और 1 बटा 9 है क्या? वही 1 बटा 3 वाला फर्क, खुद से गुणा किया हुआ। चारों sizes पर वह चूक ठीक 2 टुकड़ों में बँटती है: उसका अपना उतार-चढ़ाव, और ऊपर से वही बचा हुआ फर्क।

sample बड़ा करने से पहला टुकड़ा घटता है, दूसरा टस से मस नहीं होता। तो वे 2 इलाज हैं, एक नहीं। sample बड़ा करना उतार-चढ़ाव ठीक करता है। sample को पूरे समूह जैसा बनाना यह तय करता है कि अनुमान किस चीज के बारे में है। अब 3 शब्द अलग-अलग रख लीजिए। जिस पूरे समूह के बारे में बात करनी है वह population, उसका जो हिस्सा सचमुच देखा गया वह sample, और हिस्सा चुनने का तरीका sampling।

यहाँ population है 1500 students, sample है वे 50, यानी पूरे school का 1 बटा 30 हिस्सा। और इसका मतलब यह है कि यह अनुमान उन 1450 लोगों की तरफ से बोल रहा है जिनसे पूछा ही नहीं गया। अब दूसरा जाल, जो सीधे गलत जवाब तक ले जाता है। एक बड़े थैले से बिना देखे 30 sweets निकाली गईं: red 10, green 8, yellow 7 और blue 5। थैले में कुल 600 sweets हैं।

एक student कहता है yellow की गिनती 138 होगी, दूसरा कहता है 140। सही कौन है? yellow का हिस्सा है 7 बटा 30। 600 पर लगाइए: 600 बटा 30 बराबर 20, और 20 गुना 7 बराबर 140। और यह बिलकुल पूरी गिनती निकली, टुकड़ा नहीं। दूसरे student ने पहले दशमलव में बदला: 7 बटा 30 करीब 0 दशमलव 2 3, और 0 दशमलव 2 3 गुना 600 बराबर 138 — 2 sweets कम।

3 जगह तक लिखने पर 139 दशमलव 8 आता है, जो गिनती हो ही नहीं सकती। पहले काटिए, भाग आखिर में कीजिए। और यह गलती सिर्फ कम नहीं करती। green का हिस्सा है 8 बटा 30, जो ठीक 160 देता है। दशमलव में 0 दशमलव 2 7 लिखकर गुणा कीजिए तो 162 — इस बार 2 ज्यादा। और रोंदी हुई दशमलव जोड़ की जाँच भी तोड़ देती है। 30 को 4 किस्मों में बाँटने के 5456 तरीके हैं, और उनमें से 1540 में रोंदे हुए हिस्से जुड़कर 1 बनते ही नहीं।

जैसे एक बँटवारा 594 पर पहुँचता है और दूसरा 606 पर, जबकि सही हिस्सों से दोनों बार पूरा 600 आता है। अब तीसरा सवाल देखिए। 40 students से उनकी पसंद का club पूछा गया: science 14, arts 11, sports 9 और debate 6। arts का हिस्सा है 11 बटा 40, जो दशमलव में ठीक 0 दशमलव 2 7 5 बनता है — यहाँ रोंदने की जरूरत ही नहीं पड़ती। school में 800 students हैं।

इसी तरह sports का हिसाब — 800 बटा 40 बराबर 20, और 20 गुना 9 बराबर 180। चारों club जोड़िए तो पूरे 800। पर एक फर्क है जो असल में मायने रखता है। ये 40 students पूरे school में से चुने गए थे, किसी एक class में से नहीं। हिसाब वही है, पर उसके नीचे की मान्यता कहीं ज्यादा मजबूत है। और sweets वाला सवाल तीसरी ही हालत है: वहाँ 30 sweets उसी थैले से निकाली गई थीं जिसके बारे में अनुमान लगाना था।

एक ही हिसाब, पर तीनों जगह नीचे की मान्यता अलग दम की है। अब आखिरी हालत देखिए। एक record में 1000 tyre दर्ज हैं, और हर एक के आगे लिखा है कि बदलने से पहले वह कितने km चला। 4000 km से कम चलने वाले 20 हैं। 20 बटा 1000 बराबर 0 दशमलव 0 2। बीच वाला जवाब 2 खानों को मिलाकर बनता है: 210 और 325, यानी 535, जो 0 दशमलव 5 3 5 है।

और 14000 से ज्यादा चलने वाले 445, यानी 0 दशमलव 4 4 5। तीनों जोड़िए तो फिर पूरा 1। और ध्यान दीजिए: यहाँ कुछ बढ़ाना ही नहीं पड़ा, क्योंकि record ही पूरा समूह है। एक आखिरी बात, जो ध्यान से पढ़ने वाले student को खटकती है। इन खानों के नाम सख्ती से पढ़ने पर एक सवाल उठता है — क्या हर दूरी किसी न किसी खाने में जाती है? नहीं, हर दूरी किसी खाने में नहीं जाती।

पहला खाना कहता है 4000 से कम, दूसरा 4001 से शुरू होता है। तो ठीक 4000 किसी भी खाने में नहीं है। पर बाकी 2 सिरे ठीक बैठते हैं: 9000 दूसरे खाने के अंदर है और 14000 तीसरे के, क्योंकि वे खाने अपने ऊपरी सिरे को अपने अंदर ले लेते हैं। पूरी दूरी की पट्टी पर 81 जगहें जाँची गईं। सख्त पढ़ाई में उनमें से एक कहीं नहीं जाती; खानों को लगातार range मानकर पढ़ें तो एक भी नहीं छूटती।

इन खानों को लगातार range की तरह पढ़ा जाना चाहिए। जिस student को 4000 खटका, वह गलत नहीं था — नाम ही ढीले लिखे गए हैं। तो पूरे टॉपिक का हिसाब एक गुणा है। और उसके नीचे एक वाक्य लिखा होता है: जो हिस्सा देखा गया, वह पूरे समूह जैसा है। sample बड़ा करना उस जवाब को टिकाऊ बनाता है। sample को पूरे समूह जैसा बनाना तय करता है कि जवाब किस बारे में है।

ये 2 अलग काम हैं, और इन्हें अलग रखना ही इस टॉपिक का असली सबक है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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