PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to ProbabilityPrepShorts

Chapter 7 · The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability

कोई event sample space में से किया गया चुनाव है

Sample spaces and events17 मिनट

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सवाल हमेशा एक वाक्य की शक्ल में आता है — "कम से कम एक सिक्के पर head आए"। उस वाक्य में कोई गिनती नहीं बैठी होती। पहला काम वाक्य को सूची के एक चुने हुए हिस्से में बदलना है; उसी हिस्से को event कहते हैं। गिनती उसके बाद शुरू होती है, पहले नहीं। यह cut इन्हीं 2 कामों को अलग-अलग करके दिखाता है।

मुख्य idea

किसी event को subset कहना ही वह चाल है जो एक अंग्रेज़ी वाक्य को ऐसी चीज़ में बदल देती है जिसे गिना जा सके। "कम से कम एक coin पर head आए" तब तक दिखने में किसी चीज़ का तीन-चौथाई नहीं है, जब तक वह चार अवयवों वाली list के अंदर बैठा तीन अवयवों वाला चुनाव {HH, HT, TH} न बन जाए; अनुवाद हो जाने के बाद chapter का हर प्रायिकता वाला सवाल गिनती का सवाल बन चुका होता है। तो हुनर अनुवाद का है, और वह ठीक दो तरीक़ों से चूकता है, और दोनों subset के ही बारे में हैं: ऐसा अवयव छोड़ देना जो उसमें आता है, और ऐसे sample space के अंदर गिनना जिसके अवयव कभी समान रूप से संभावित थे ही नहीं। पहली चूक chapter "कम से कम" से दिखाता है, और दूसरी अपनी ही फलों की टोकरी के लिए प्रायिकता निकालने से इनकार करके।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताइए कि event क्या है, और किसी बताए गए event को किसी नामित sample space में से किए गए चुनाव की तरह लिखिए
  • "कम से कम", "ठीक" और "नहीं" वाली शर्तों का तीन अलग-अलग subsets में अनुवाद कीजिए
  • जब अवयव समान रूप से संभावित हों, तो किसी event के अवयवों को sample space के सामने गिनकर उसकी प्रायिकता निकालिए
  • पूरे sample space और ख़ाली चुनाव, दोनों को event की तरह पहचानिए, और उनकी प्रायिकताएँ बताइए
  • किसी "नहीं" वाले event की प्रायिकता गिनकर निकालिए, बिना किसी पूरक नियम के
  • वह तथ्य बताइए जिससे पूरक नियम चलता है, और कहिए कि यह chapter उसे छापता नहीं
  • किसी बताए गए experiment के लिए प्रायिकता 1 वाला एक event और प्रायिकता 0 वाला एक event दीजिए
  • chapter की फलों की टोकरी के सहारे समझाइए कि किसी event के अवयवों की गिनती को प्रतिदर्श आकार से हमेशा भाग क्यों नहीं दिया जा सकता

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
eventsample space में से चुना गया एक outcome, या outcomes का एक समूहघटना§7.3.2 (p. 167) में अपनी परिभाषा के साथ bold में छपा है; यह शब्द §7.1 (p. 155) से ही इस्तेमाल हो रहा है
subsetकिसी set के अंदर से किया गया चुनावउपसमुच्चय§7.3.2 की परिभाषा (p. 167) में छपा है
sample spaceहर संभावित outcome की list, जिसे S लिखा जाता हैप्रतिदर्श समष्टि§7.2.1 (p. 160) में छपा है, और §7.3.1 (p. 166) में इसे चिह्न S दिया गया है
elementsample space में बैठा एक outcomeअवयव§7.3.1 (p. 166) में छपा है
Eकिसी event के लिए chapter का अक्षरE — घटना का संकेत§7.3.2 (p. 167) के तीनों उदाहरणों में छपा है
P(E)event E की प्रायिकताP(E)Chapter Summary (p. 173) में छपा है
at least oneवह शर्त जो किसी चीज़ के एक या उससे ज़्यादा बार होने पर पूरी होती हैकम से कम एक§7.3.2 के पहले उदाहरण (p. 167) में छपा है, और दोबारा End-of-Chapter Q4 (i) (p. 170) में
exactly twoवह शर्त जो गिनती दो होने पर पूरी होती है, उससे ज़्यादा पर नहींठीक दोEnd-of-Chapter Q4 (v) और Q12 (iii) (pp. 170, 172) में छपा है
impossible eventऐसा event जिसे sample space का कोई outcome पूरा नहीं करताअसंभव घटनाEnd-of-Chapter Q1 (i) (p. 169) में छपा है
certain to happenऐसे event के बारे में जिसे हर outcome पूरा करता हैनिश्चित रूप से घटितEnd-of-Chapter Q1 (iii) (p. 170) में छपा है
complement of an eventsample space में वह सब कुछ जो event छोड़ देता हैपूरक घटनायहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में कहीं नहीं छपा, जो "नहीं" वाले मामले गिनकर निपटाता है
size of an event, n(E)किसी event में कितने अवयव हैंघटना का आकार, n(E)यहाँ जोड़ा गया संक्षेप; इस chapter में नहीं छपा, जो p. 166 पर n(S) परिभाषित करता है और event के लिए उससे मेल खाता चिह्न लिखे बिना छोड़ देता है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "'कम से कम एक head' का मतलब ठीक एक head है।" chapter की सबसे आम ग़लती। ग़लत subset से 1/2 मिलता है और सही से 3/4।
  • "event एक outcome होता है।" हो सकता है, और आमतौर पर होता नहीं। chapter की परिभाषा दोनों की इजाज़त देती है और उसका पहला उदाहरण तीन outcomes इस्तेमाल करता है।
  • "आप जिस भी subset का नाम ले लें, उसकी प्रायिकता गिनकर निकाली जा सकती है।" सिर्फ़ ऐसे sample space के अंदर जिसके अवयव समान रूप से संभावित हों। फलों की टोकरी chapter का अपना उलटा उदाहरण है।
  • "event ही जवाब है।" event एक set है। प्रायिकता उससे निकाली गई एक संख्या है। ये दो अलग-अलग चीज़ें हैं जो सौंपनी होती हैं, और exercises दोनों को अलग-अलग माँगती हैं।
  • "'लाल नहीं' के लिए कोई ख़ास नियम चाहिए।" वे गेंदें गिनिए जो लाल नहीं हैं। घटाना एक छोटा रास्ता है, और इस chapter में वह ऐसे छोटे रास्ते पर टिका है जो कहा ही नहीं गया।
  • "प्रायिकता 0 का मतलब है कि event sample space में है ही नहीं।" इसका मतलब है कि sample space का कोई अवयव उसे पूरा नहीं करता। event पूरी तरह ठीक से बताया गया है; वह बस कभी होता नहीं।
  • "किसी outcome की प्रायिकता 1 हो सकती है।" सिर्फ़ तब, जब sample space में एक ही अवयव हो। दो dice के साथ हर outcome 1/36 पर बैठता है — और यही वजह है कि End-of-Chapter Q11 को events के बारे में पूछता हुआ पढ़ना पड़ता है।
  • "शर्त जोड़ने से event की संभावना बढ़ती ही है।" Q12 (iii) उल्टा दिखाता है: जोड़ के साथ पहले coin की माँग भी लगा दीजिए और 3/8 घटकर 2/8 रह जाता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains End-of-Chapter Exercises Q8, End-of-Chapter Exercises Q11

पूरा transcript2,691 शब्द

सवाल हमेशा एक वाक्य की शक्ल में आता है। कम से कम 1 सिक्के पर head आए। इन शब्दों को देखकर कोई गिनती शुरू नहीं की जा सकती, क्योंकि वाक्य गिनने की चीज़ ही नहीं है। और इन शब्दों में कहीं भी यह नहीं लिखा कि जवाब 3 बटा 4 है। जब तक वाक्य वाक्य है, उसमें से कोई भी गिनती निकाली नहीं जा सकती। जो काम यह दूरी मिटाता है वह एक ही है।

उस experiment के जितने जवाब आ सकते हैं, उनकी पूरी सूची पहले से मौजूद है। अब वाक्य को उसी सूची में से एक चुनाव की शक्ल में लिख दीजिए। इस चुने हुए हिस्से को event कहते हैं। और किसी set के अंदर से चुने हुए हिस्से को गणित में subset कहा जाता है, इसलिए event असल में sample space का subset है। वाक्य जैसे ही subset बन जाता है, सवाल गिनती का सवाल बन जाता है।

2 सिक्के एक साथ उछालिए। जो आ सकता है वह 4 तरह का है — HH, HT, TH और TT। यही इस experiment का sample space है, और इसमें 4 element हैं। अब इस सूची पर वाक्य लगाइए, यानी कम से कम 1 head वाली शर्त। HH में head हैं, HT में है, TH में है। TT में एक भी नहीं। तो यह वाक्य 4 में से 3 जवाब चुनता है।

subset में 3 element हैं, पूरी सूची में 4। इसलिए इस event का मौका 3 बटा 4 है। ध्यान दीजिए कि गिनती subset बनने के बाद शुरू हुई, पहले नहीं। यहीं पर सबसे आम ग़लती होती है। कम से कम 1 head को लोग पढ़ लेते हैं ठीक 1 head। उस पढ़ने से HT और TH चुने जाते हैं, और HH छूट जाता है। उस subset में 2 element हैं, तो जवाब निकलता है 2 बटा 4, यानी आधा।

सही जवाब 3 बटा 4 था। दोनों के बीच का फ़ासला ठीक 1 बटा 4 है। यहाँ रुककर दोनों subset देख लीजिए — सही वाले में 3 थे और ग़लत वाले में 2। तो कौन सा element छूट गया, और वह छूटना क्यों नहीं चाहिए था? जो element छूटा वह HH है। और वह छूटना नहीं चाहिए था, क्योंकि 2 head भी कम से कम 1 head ही है। ज़्यादा होना शर्त तोड़ता नहीं।

यानी पूरा जवाब इस बात पर टिका था कि 1 element subset में गया या नहीं। subset लिखना कोई औपचारिकता नहीं है; वही जगह है जहाँ जवाब तय होता है। एक बात यहीं साफ़ कर दें। event में कई जवाब होने ज़रूरी नहीं हैं। सिर्फ़ HH चुन लीजिए — यह भी पूरा event है, और इसका मौका 1 बटा 4 निकलता है। दूसरा वाक्य, दूसरा experiment। एक पासा रोल कीजिए।

उसके sample space में 6 element हैं। इस बार का वाक्य 4 से बड़े number वाला है। 4 से बड़े सिर्फ़ 5 और 6 हैं। तो subset में 2 element गए, और जवाब 6 में से 2, यानी 1 बटा 3। यह काम सिक्कों तक सीमित नहीं है। 10 card लीजिए, जिन पर 1 से 10 तक के number लिखे हैं, और बिना देखे 1 उठाइए। इस बार का वाक्य सम number वाला है।

उठा हुआ number सम होना चाहिए। सम number हैं 2, 4, 6, 8 और 10 — कुल 5। तो 10 में से 5, और मौका आधा। अब एक और तरह की सूची लीजिए। खाने के लिए 3 चीज़ें हैं — muffin, bagel और cookie — और पीने के लिए 2, tea और juice। एक-एक चुनना है। तो जो जोड़े बन सकते हैं वे 6 हैं, और वही यहाँ का sample space है।

इस बार का वाक्य muffin वाला है। खाने वाली चीज़ muffin होनी चाहिए। ऐसे जोड़े 2 हैं — muffin के साथ tea, और muffin के साथ juice। 6 में से 2, यानी 1 बटा 3। ध्यान दीजिए कि यहाँ सूची का हर element अपने आप में एक जोड़ा है। अब तीसरा वाक्य लीजिए। एक basket में 3 तरह के फल हैं — apple, banana और orange। बिना देखे एक फल उठाना है, और sample space इन्हीं 3 नामों की सूची है।

इस बार का वाक्य पीले फल वाला है। उठा हुआ फल पीला होना चाहिए। apple पीला नहीं, orange पीला नहीं, banana पीला है। तो यह वाक्य सिर्फ़ banana को चुनता है। और यहाँ हम रुक जाते हैं। subset लिख दिया, पर उसके नीचे कोई मौका नहीं लिखा जाएगा। वजह यह है कि subset लिखना और उसका मौका निकालना 2 अलग-अलग काम हैं — और अभी तक किसी ने यह बताया ही नहीं कि basket में हर फल कितने-कितने हैं।

मान लीजिए basket में हर फल 1-1 है। तब उठाने पर तीनों का मौका बराबर है, और banana का हिस्सा सचमुच 1 बटा 3 है। अब दूसरा basket। उसमें apple 1, banana 1, और orange 4 हैं। नाम वही 3 हैं, sample space वही है, और पीले वाला subset भी बिलकुल वही है। एक पल रुकिए। सूची वही है और subset भी वही है। तो क्या मौका भी वही रहेगा?

पर अंदर कुल 6 फल हैं और उनमें banana सिर्फ़ 1 है। तो इस basket में banana का हिस्सा 1 बटा 6 है, 1 बटा 3 नहीं। अब गिनकर देखिए। दोनों में subset का आकार 1 है और सूची का आकार 3, तो गिनती दोनों जगह 1 बटा 3 देती है। दूसरे basket में यह 1 बटा 6 से पूरे 1 बटा 6 ज़्यादा है। subset बदला नहीं, जवाब बदल गया — इसलिए subset अपने आप जवाब नहीं है।

जो नियम सब सीखते हैं वह यही है — event का आकार बटा पूरी सूची का आकार। इसे आगे हम n(E) बटा n(S) लिखेंगे। पर इस नियम के नीचे एक शर्त लिखी होनी चाहिए, जो अक्सर साथ नहीं चलती — यह तभी सही है जब सूची के सारे जवाब बराबर मौके वाले हों। basket वाला उदाहरण उसी शर्त के टूटने का था। पूछिए कि यह ग़लती कितनी बड़ी है। उस basket की सूची में 3 नाम हैं, इसलिए उसमें से कुल 8 अलग-अलग event चुने जा सकते हैं — कुछ भी नहीं से लेकर तीनों तक।

इन 8 में से गिनती सिर्फ़ 2 पर सही जवाब देती है। और वे 2 हैं — खाली चुनाव, जिसमें कुछ नहीं है, और पूरी सूची, जिसमें सब कुछ है। यानी बराबर मौके वाली सूची न हो तो गिनती थोड़ी-सी ग़लत नहीं होती। वह सिर्फ़ वहीं सही रहती है जहाँ कुछ दाँव पर था ही नहीं, और बाक़ी 6 जगह ग़लत जवाब देती है। इन 2 सिरों को अलग से देखना ज़रूरी है।

पूरी सूची भी एक event है — हर जवाब इसे पूरा करता है, इसलिए इसका मौका 1 है। और खाली चुनाव भी event है — इसे कोई जवाब पूरा नहीं करता, इसलिए इसका मौका 0 है। खाली होना इसे event होने से नहीं रोकता। लोग सोचते हैं कि मौका 0 का मतलब है कि ऐसा event होता ही नहीं। ऐसा नहीं है। पासे पर 7 आना — यह वाक्य बिलकुल ठीक है और इसका subset खाली है।

event मौजूद है, बस कभी घटता नहीं। और basket पर लौटिए। उन 8 event में से 6 का जवाब दोनों basket में अलग निकलता है। जो 2 नहीं बदले, वे ठीक वही 2 हैं जिन पर गिनती सही थी — दोनों सिरे। अब 3 सिक्के। इनके 8 जवाब आ सकते हैं, और तीनों सिक्के अलग-अलग हैं, इसलिए ये 8 बराबर मौके वाले हैं। यहाँ गिनती चलेगी। पहले वाक्य में head ठीक 2 होने चाहिए।

ऐसे जवाब हैं HHT, HTH और THH। यानी 8 में से 3, और मौका 3 बटा 8। दूसरे वाक्य में head कम से कम 2 होने चाहिए। अब HHH भी साथ आ जाता है, तो 8 में से 4, और मौका आधा। तीसरे वाक्य में head बहुत से बहुत 2 होने चाहिए। सिर्फ़ HHH बाहर रह जाता है, तो 8 में से 7, और मौका 7 बटा 8। चौथे वाक्य में head ठीक 2 नहीं होने चाहिए।

यह पहले वाले subset के बाहर सब कुछ लेता है, तो 8 में से 5, और मौका 5 बटा 8। इन चारों को एक साथ रखिए — 3 बटा 8, आधा, 7 बटा 8 और 5 बटा 8। चारों अलग हैं। और experiment एक ही रहा, सिक्के वही रहे, head की गिनती भी वही रही। सिर्फ़ वाक्य बदला। इसलिए जवाब वाक्य का है, सिक्कों का नहीं। अब 2 शर्तें एक साथ लगाइए।

पहला सिक्का head हो, और कुल head ठीक 2 हों। अकेली पहली शर्त 8 में से 4 जवाब रखती है, अकेली दूसरी 3। दोनों शर्तें एक साथ जो जवाब पूरे करते हैं, वे सिर्फ़ HHT और HTH हैं। 8 में से 2, यानी मौका 1 बटा 4। ध्यान दीजिए कि शर्त जोड़ने से event छोटा हुआ, बड़ा नहीं। लोग अक्सर उलटा सोचते हैं — कि और शर्तें लगेंगी तो और जवाब आएँगे।

और यह सिर्फ़ इस उदाहरण की बात नहीं है। इन 8 जवाबों पर जितने event बन सकते हैं, उनके हर जोड़े को जाँचा गया — पूरे 65536 जोड़े। एक भी ऐसा नहीं मिला जहाँ 2 शर्तें मिलकर किसी अकेली शर्त से ज़्यादा जवाब रखती हों। यह सिर्फ़ बराबरी की बात भी नहीं है। 65536 में से 52670 जोड़ों पर जुड़ा हुआ event दोनों से सख़्ती से छोटा निकलता है। बाक़ी वही जोड़े हैं जहाँ एक event पहले से दूसरे के अंदर बैठा था।

इसे एक ही शर्त पर देखिए। इन 8 जवाबों पर कुल 256 event बनते हैं। पहले सिक्के वाली शर्त हर एक पर लगाइए तो 240 छोटे हो जाते हैं। जो 16 नहीं बदलते, वे कोई अपवाद नहीं हैं — वे ठीक वही event हैं जो पहले से उस शर्त के अंदर बैठे थे। इसलिए उन पर लगाने को कुछ बचा ही नहीं था। अब एक और वाक्य। एक bag में 6 ball हैं — 3 लाल, 2 नीली और 1 हरी।

बिना देखे 1 ball निकालनी है। छहों ball अलग-अलग चीज़ें हैं, इसलिए यह सूची बराबर मौके वाली है। इस बार का वाक्य लाल न होने वाला है। निकली हुई ball लाल नहीं होनी चाहिए। सीधे गिन लीजिए — लाल नहीं वाली ball 3 हैं, 2 नीली और 1 हरी। तो 6 में से 3, और मौका आधा। यहाँ किसी नियम की ज़रूरत नहीं पड़ी। एक छोटा रास्ता भी है। लाल का मौका निकालिए और उसे 1 में से घटा दीजिए।

लाल 3 हैं, तो लाल का मौका आधा, और 1 में से आधा घटाने पर फिर आधा निकलता है, यानी बिलकुल वही जवाब। पर यह रास्ता मुफ़्त नहीं है, और आगे दिखेगा कि उसकी क़ीमत क्या है। यह रास्ता इसलिए चलता है क्योंकि सूची के सारे जवाबों के हिस्से मिलकर पूरा 1 बनाते हैं। छहों ball का हिस्सा जोड़िए तो 1 आता है। और यही बात कहीं लिखी हुई नहीं मिलती; इसे अलग से जानना पड़ता है।

इसे तोड़कर देखिए। वही 6 ball लीजिए, पर हिस्से ऐसे रखिए कि जोड़ 1 न होकर 3 बटा 4 रह जाए। सूची वही है, वाक्य वही है, सिर्फ़ हिस्से कम पड़ रहे हैं। अब दोनों रास्ते अलग-अलग जवाब देते हैं। सीधे जोड़ने पर 3 बटा 8, और 1 में से घटाने पर 5 बटा 8। और दोनों के बीच का फ़ासला ठीक 1 बटा 4 है — यानी उतना ही जितना हिस्से 1 से कम पड़ रहे थे।

छोटा रास्ता उसी जोड़ पर खड़ा था। अब एक बारीक फ़र्क़। छोटे रास्ते को हिस्सों के बराबर होने की ज़रूरत नहीं है, सिर्फ़ जोड़ के 1 होने की है। वही टेढ़ा basket लीजिए, जहाँ orange 4 थे। वहाँ पीला न होने का मौका छोटे रास्ते से 5 बटा 6 निकलता है, और यह सही है। उसी जगह गिनती से 2 बटा 3 निकलता, जो ग़लत है। तो एक ही सूची पर छोटा रास्ता चलता है और गिनती नहीं चलती।

अब 5 card लीजिए। उन पर लिखा है P, E, A, C और E। बिना देखे 1 card उठाना है। पाँचों card अलग चीज़ें हैं, इसलिए यह सूची बराबर मौके वाली है और इसमें 5 element हैं। पहले वाक्य में उठा हुआ card P, E या C होना चाहिए। P वाला 1 card, E वाले 2 card, C वाला 1 card। कुल 4, तो मौका 4 बटा 5। दूसरे वाक्य में उठा हुआ card E नहीं होना चाहिए।

ऐसे card 3 हैं, यानी P, A और C वाले। मौका 3 बटा 5। इन 2 event को उलटा-सीधा जोड़ा समझ लेना आसान है, पर वे जोड़ा नहीं हैं। दोनों में 2 card साझे हैं — P वाला और C वाला। और कोई भी दूसरे का उलटा नहीं है। पर एक सवाल बाक़ी है — गिन किसमें रहे हैं। कोई यह भी लिख सकता है कि जो निकल सकता है वह P, E, A या C है।

यह भी एक पूरी सूची है और इसमें 4 element हैं। उसी वाक्य को इस छोटी सूची में गिनिए — E न होना। 4 में से 3, यानी 3 बटा 4। पहले जवाब 3 बटा 5 था। एक ही वाक्य, 2 जवाब। दोनों सूचियाँ पूरी हैं और दोनों में कुछ दोहराया नहीं गया। फिर भी जवाब अलग हैं। इन 2 में से किसमें गिनना जायज़ है? सही कौन सा है?

5 card वाली सूची, क्योंकि पाँचों card का मौका बराबर है। 4 letter वाली सूची ग़लत नहीं है — वह भी पूरी है और उसमें कुछ दोहराया नहीं गया। पर उसमें E का मौका बाक़ियों से ज़्यादा है, इसलिए उसमें गिनना मना है। यही जाल bag में भी है। 6 ball गिनिए तो लाल न होने का मौका आधा। 3 रंग गिनिए तो 2 बटा 3। रंगों वाली सूची में हर रंग का मौका बराबर नहीं है, इसलिए वह 1 बटा 6 से ग़लत जवाब देती है।

अब इस video का आख़िरी हिस्सा। 2 पासे एक साथ फेंकिए। पहला पासा 6 तरह से गिर सकता है और दूसरा भी 6 तरह से, इसलिए कुल 36 जवाब बनते हैं। छत्तीसों बराबर मौके वाले हैं, तो हर एक का हिस्सा 1 बटा 36 है। कोई भी अकेला जवाब इससे ज़्यादा नहीं रखता। अब अगर कोई पूछे कि ऐसा कौन सा जवाब है जिसका मौका 1 है, तो उसका उत्तर कुछ नहीं है।

36 में से हर जवाब 1 बटा 36 रखता है। अकेला जवाब 1 तभी रख सकता है जब सूची में सिर्फ़ 1 ही जवाब हो; 2 वाली सूची में भी वह आधा हो जाता है। जो चीज़ 1 रखती है वह जवाब नहीं, event है। दोनों पासों का जोड़ 2 से 12 के बीच कहीं भी आएगा — यह वाक्य पूरी grid को चुन लेता है, इसलिए इसका मौका 1 है।

और दूसरी तरफ़ — दोनों पासों का जोड़ 1 हो। सबसे छोटा जोड़ 2 है, इसलिए यह वाक्य grid में से कुछ भी नहीं चुनता और इसका मौका 0 है। सवाल इसी तरह पूछा जाना चाहिए, event के बारे में, जवाब के बारे में नहीं। अब लिखने का तरीक़ा। पूरी सूची को S लिखते हैं, उसके आकार को n(S), किसी event को E, और उस event के मौके को P(E)।

event के आकार के लिए भी एक निशान चाहिए, और वह हम खुद बना रहे हैं — n(E)। यह आम चलन का हिस्सा नहीं है, इसलिए कहीं और लिखते वक़्त इसे समझा देना पड़ेगा। अब पूरा नियम एक साथ — P(E) बराबर n(E) बटा n(S)। और उसके साथ वही शर्त, जो अलग नहीं होनी चाहिए — यह तभी, जब सूची के जवाब बराबर मौके वाले हों। यह नियम मान लेने की चीज़ नहीं है, जाँचने की है।

यह जाँच उन 9 सूचियों पर हुई जिनके सारे event बनाए जा सकते थे — कुल 1784 event। गिनती वाला जवाब और हिस्सों वाला जवाब हर बार एक ही निकला। और इस video में कुल 11 सूचियाँ आईं। उन सब में — बराबर मौके वाली हों या न हों — पूरी सूची का मौका 1 निकलता है और खाली चुनाव का 0। ये 2 सिरे किसी शर्त पर नहीं टिकते।

उन 11 में से 10 बराबर मौके वाली हैं। सिर्फ़ 1 नहीं है — वही basket जिसमें orange 4 थे। और वही अकेली जगह है जहाँ गिनती वाला नियम लगाया नहीं जा सकता। तो 2 काम हैं, और वे अलग हैं। पहला काम — वाक्य को subset में बदलना। यह हमेशा किया जा सकता है, चाहे सूची के बारे में कुछ भी पता न हो। दूसरा काम — उस subset को गिनकर मौका निकालना।

यह तभी किया जा सकता है जब पता हो कि सूची के जवाब बराबर मौके वाले हैं। पहला काम लिखने का है, दूसरा जानने का।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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